Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.
Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.
Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:
- Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определенному множеству.
- Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
- Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.
- Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Методы решений задач с параметрами.
1. Аналитический метод.
Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.
Пример 1. Найдите все значения параметра a , при которых уравнение:
(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.
При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.
Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.
Если a ≠ 1/2, то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:
D = a 2 – 4(2a – 1)(2a – 3) = -15a 2 + 32a – 12;
Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,
2. Графический метод.
В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a ) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y ) или в плоскости (x;a ).
Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .
Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.
График функции показан на рис.1.
y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).
Ответ: при a < 0 – решений нет; при a = 0 и a = 25/4 – четыре решения; при 0 < a < 6 – восемь решений; при a = 6 – семь решений; при
6 < a < 25/4 – шесть решений; при a > 25/4 – два решения.
3. Метод решения относительно параметра.
При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.
Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение = -ax +3a +2 имеет единственное решение.
Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t , t ≥ 0 , тогда x = t 2 + 8 и уравнение примет вид at 2 + t + 5a – 2 = 0 . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а , при которых уравнение at 2 + t + 5a – 2 = 0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.
1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.
Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.
Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.
Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.
. Линейные уравнения.Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?
. Степенные уравнения, неравенства и их системы.Задача №2. Найти все значения параметра a , при которых множество решений неравенства:
содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.
Преобразуем обе части неравенства.
Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия:
Рис.4
При a > 6 множество решений неравенства: .
Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a ).
. Показательные уравнения, неравенства и системы.Задача № 3. В области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.
1) Графиком дробно-линейной функции является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.
2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства . При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.
3) При 0 < a < 1 показательная функция с основанием а убывает и неравенство равносильно неравенству . Так как x > 0 , то z (x ) > z (0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства . Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.
4) При a > 1 показательная функция с основанием а возрастает и неравенство равносильно неравенству . Если a ≥ 5, то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 < a < 5, то множество положительных решений – это интервал (0;x 0) , где a = z (x 0) .
5) Целые числа расположены в этом интервале подряд, начиная с 1. Вычислим суммы последовательно идущих натуральных чисел, начиная с 1: 1; 1+2 = 3; 1+2+3 = 6; 1+2+3+4 = 10;… Поэтому указанная сумма будет больше 5 и меньше 10, только если число 3 лежит в интервале (0;x 0), а число 4 не лежит в этом интервале. Значит, 3 < x 0 ≤ 4 . Так как возрастает на , то z (3) < z (x 0) ≤ z (4) .
Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.
Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.
По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.
1.1. Общая методическая концепция решения уравнений с параметрами
Пусть дано уравнение F(x, a) = 0, (1)
если ставится задача для каждого значения а А решить уравнение (1) относительно х , т.е. получить уравнение
то уравнение (1) называется уравнением с неизвестным х и параметром а . А – область изменения параметра. Принято считать, что А – множество действительных чисел. Решить уравнение (1) – значит решить множество уравнений, которые получаются из уравнения (1) при а R. Сделать это можно, если по некоторому признаку разбить множество А на подмножества и решить заданное уравнение на каждом из них. Значения а называются контрольными.
1.2. Использование параметра как равноправной переменной
Некоторые уравнения бывает целесообразно решать, рассматривая их как уравнение именно относительно параметра, который фигурирует в условии, а не относительно искомой переменной. Этот путь эффективен, в частности, в тех случаях, когда степень переменной относительно высока, а степень параметра равна двум.
Пример 1. Решить уравнение с параметром.
2x 3 – (а+2)х 2 – ах + а 2 = 0 (1)
Решение: Данное уравнение можно рассматривать как квадратное относительно параметра а, переписав его в виде:
а 2 – х(х+1)а – 2х 2 + 2х 3 = 0 (2)
Найдем дискриминант D.
D = х 2 (х+1) 2 – 8(х 3 – х 2) = х 4 - 6х 3 + 9х 2 = х 2 (х 2 - 6х + 9) = х 2 (х - 3) 2 .
D = х 2 (х - 3) 2
Найдем корни уравнения (2).
; а 2 = 2х.
Получим уравнение (а – х 2 + х)(а – 2х) = 0 равносильное исходному уравнению, которое ещё в свою очередь равносильно совокупности
Рассмотрим уравнение х 2 – х – а = 0, D = 1 – 4а.
D = 0 при а = -1/4 один корень х = 1/2
D < 0 при а < - 1/4 корней нет
D > 0 при а > -1/4 два корня
Рассмотрим уравнение х = а/2, при а = -1/4, х = -1/8.
Выбираем ответ.
Ответ: при а > -1/4 три корня: х1 = а/2,
при а = -1/4 два корня: х1 = -1/8; х 2 = ½
при а < - 1/4 один корень: х = а/2.
Упражнения
Решить уравнения.
- 2x 4 – (а+2)х 3 – (а – 1)х 2 + (а 2 – 1) = 0;
- x 4 + 6х 3 + (4 – 2а)х 2 – (6а + 1)х + а 2 + а = 0;
- х 3 + (2а – 3)х 2 + (а 2 – 4а + 2)х – а 2 + 2а = 0;
- х 3 - (2а + 3)х 2 + (а 2 + 4а + 2)х – а 2 – 2а = 0.
1.3. Графический способ решения уравнений с параметрами
Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. В самом деле, поскольку параметр «равен в правах» с переменной, то ему, естественно можно выделить и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость (х; а). Рассмотрим примеры.
Пример 1. В зависимости от параметра а определить число корней уравнения.
x 4 – 10х 3 – 2(а - 11)х 2 + 2(5а + 6)х + 2а + а 2 = 0;
Решение. Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно а.
а 2 + 2а(1 + 5х – х 2) + (х 4 – 10х 3 + 22х 2 + 12х) = 0;
Найдем дискриминант
D/4 = 1 + 25х 2 + х 4 + 10х – 10х 3 – 2х 2 – х 4 + 10х 3 – 22х 2 – 12х = х 2 – 2х +1 = = (х – 1) 2
Найдем а 1 и а 2 ; а 1 = х 2 -5х – 1 + х – 1 = х 2 - 4х – 2;
а 2 = х 2 -5х – 1 - х + 1 = = х 2 – 6х.
Теперь обращаемся к координатной плоскости (х; а).
х 2 - 4х – 2 = х 2 – 6х, 2х = 2, х = 1, а(1) = -5.
Ответ: если а < -9, то нет решений;
если а = -9, то одно решение;
если -9 < a < -6, то два решения;
если а = -6 или а = -5, то три решения;
если -6 < а < -5 или а > -5, то четыре решения.
Упражнения
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет три решения.
- (х 2 – 12а) 2 – 24х 2 + 32х + 96а = 0;
- (2х 2 – а) 2 – 24х 2 + 16х + 4а = 0;
- (2х 2 – а) 2 = 13х 2 + 6х – 2а = 0.
1.4. Использование свойств функций для решения алгебраических уравнений
На выпускных экзаменах за курс средней школы встречаются уравнения с параметром, решение которых связано с использованием четности функций. Напомним определение четности функции.
Определение. Функция f(x) называется четной, если f(-x) = f(x) для любого х из области определения этой функции. График четной функции симметричен относительно оси ординат. У четной функции область определения симметрична относительно начала координат.
Пример 1. Может ли при каком-нибудь значении а уравнение
2х 8 – 3ах 6 + 4х 4 – ах 2 = 5 иметь 5 корней?
Решение. Обозначим f(x) = 2х 8 – 3ах 6 + 4х 4 – ах 2 . f(x) – функция четная, поэтому, если х0 – корень данного уравнения, то – х 0 – тоже, х = 0 не является корнем данного уравнения (0 ≠ 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.
Ответ: не может.
Пример 2. При каком значении а уравнение х 10 – а|х| + a 2 – а = 0 имеет единственное решение?
Решение. Обозначим f(x) = х 10 – а|х| + a 2 – а, f(x) – функция четная, поэтому, если х0 – корень данного уравнения, то – х 0 – тоже. Значит для единственности решения необходимо, чтобы х 0 = 0. В этом случае из уравнения получим: a 2 – а = 0, а = 0 или а = 1. Проверим достаточность каждого из полученных значений параметра а ,
при а = 0, х 10 = 0, т.е. х = 0 единственное решение.
при а = 1, х 10 - |x| = 0. Корнями являются числа ± 1, 0.
Ответ: при а = 0 уравнение имеет единственное решение.
Упражнения
1.5. Метод замены
Как мы уже знаем, что рациональное и быстрое решение уравнения зависит от замены переменной. Рассмотрим примеры, для решения которых нужны специальные замены, которые приводят как раз к быстрому решению уравнений.
Задание 1 #6329
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых система \[\begin{cases} (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\\ y^2=x^2\end{cases}\]
имеет ровно четыре решения.
(ЕГЭ 2018, основная волна)
Второе уравнение системы можно переписать в виде \(y=\pm x\) . Следовательно, рассмотрим два случая: когда \(y=x\) и когда \(y=-x\) . Тогда количество решений системы будет равно сумме количества решений в первом и во втором случаях.
1) \(y=x\)
. Подставим в первое уравнение и получим: \
(заметим, что в случае \(y=-x\)
мы поступим так же и тоже получим квадратное уравнение)
Чтобы исходная система имела 4 различных решения, нужно, чтобы в каждом из двух случаев получилось по 2 решения.
Квадратное уравнение имеет два корня, когда его \(D>0\)
. Найдем дискриминант уравнения (1):
\(D=-4(a^2+4a+2)\)
.
Дискриминант больше нуля: \(a^2+4a+2<0\)
, откуда \(a\in (-2-\sqrt2;
-2+\sqrt2)\)
.
2) \(y=-x\)
. Получаем квадратное уравнение: \
Дискриминант больше нуля: \(D=-4(9a^2+12a+2)>0\)
, откуда \(a\in
\left(\frac{-2-\sqrt2}3; \frac{-2+\sqrt2}3\right)\)
.
Необходимо проверить, не совпадают ли решения в первом случае с решениями во втором случае.
Пусть \(x_0\)
– общее решение уравнений (1) и (2), тогда \
Отсюда получаем, что либо \(x_0=0\)
, либо \(a=0\)
.
Если \(a=0\)
, то уравнения (1) и (2) получаются одинаковыми, следовательно, имеют одинаковые корни. Этот случай нам не подходит.
Если \(x_0=0\)
– их общий корень, то тогда \(2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0\)
, откуда \((2a+2)^2+a^2-1=0\)
, откуда \(a=-1\)
или \(a=-0,6\)
. Тогда вся исходная система будет иметь 3 различных решения, что нам не подходит.
Учитывая все это, в ответ пойдут:
Ответ:
\(a\in\left(\frac{-2-\sqrt2}3; -1\right)\cup\left(-1; -0,6\right)\cup\left(-0,6; -2+\sqrt2\right)\)
Задание 2 #4032
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения \(a\) , при каждом из которых система \[\begin{cases} (a-1)x^2+2ax+a+4\leqslant 0\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\geqslant 0 \end{cases}\]
имеет единственное решение.
Перепишем систему в виде: \[\begin{cases} ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end{cases}\] Рассмотрим три функции: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\) , \(g=x^2-4\) , \(h=-2x-1\) . Из системы следует, что \(y\leqslant g\) , но \(y\geqslant h\) . Следовательно, чтобы система имела решения, график \(y\) должен находиться в области, которая задается условиями: “выше” графика \(h\) , но “ниже” графика \(g\) :
(будем называть “левую” область областью I, “правую” область – областью II)
Заметим, что при каждом фиксированном \(a\ne 0\)
графиком \(y\)
является парабола, вершина которой находится в точке \((-1;0)\)
, а ветви обращены либо вверх, либо вниз. Если \(a=0\)
, то уравнение выглядит как \(y=0\)
и графиком является прямая, совпадающая с осью абсцисс.
Заметим, что для того, чтобы исходная система имела единственное решение, нужно, чтобы график \(y\)
имел ровно одну общую точку с областью I или с областью II (это значит, что график \(y\)
должен иметь единственную общую точку с границей одной из этих областей).
Рассмотрим по отдельности несколько случаев.
1) \(a>0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вверх. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) касалась границы области I или границы области II, то есть касалась параболы \(g\) , причем абсцисса точки касания должна быть \(\leqslant -3\) или \(\geqslant 2\) (то есть парабола \(y\) должна коснуться границы одной из областей, которая находится выше оси абсцисс, раз парабола \(y\) лежит выше оси абсцисс).
\(y"=2a(x+1)\)
, \(g"=2x\)
. Условия касания графиков \(y\)
и \(g\)
в точке с абсциссой \(x_0\leqslant -3\)
или \(x_0\geqslant 2\)
: \[\begin{cases}
2a(x_0+1)=2x_0\\
a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x_0\leqslant -3\\
&x_0\geqslant 2 \end{aligned}\end{gathered}\right. \end{cases}
\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x_0\leqslant -3\\
&x_0\geqslant 2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\\
a=\dfrac{x_0}{x_0+1}\\
x_0^2+5x_0+4=0 \end{cases}\]
Из данной системы \(x_0=-4\)
, \(a=\frac43\)
.
Получили первое значение параметра \(a\)
.
2) \(a=0\) . Тогда \(y=0\) и видно, что прямая имеет бесконечное множество общих точек с областью II. Следовательно, это значение параметра нам не подходит.
3) \(a<0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\) , причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\) , то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\) ).
Найдем \(a\)
, при которых парабола \(y\)
проходит через точку \(B\)
: \[-3=a(1+1)^2\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34\]
Убеждаемся, что при этом значении параметра вторая точка пересечения параболы \(y=-\frac34(x+1)^2\)
с прямой \(h=-2x-1\)
– это точка с координатами \(\left(-\frac13; -\frac13\right)\)
.
Таким образом, получили еще одно значение параметра.
Так как мы рассмотрели все возможные случаи для \(a\) , то итоговый ответ: \
Ответ:
\(\left\{-\frac34; \frac43\right\}\)
Задание 3 #4013
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end{cases}\]
имеет ровно два решения.
1) Рассмотрим первое уравнение системы как квадратное относительно \(x\)
: \
Дискриминант равен \(D=9y^2\)
, следовательно, \
Тогда уравнение можно переписать в виде \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\]
Следовательно, всю систему можно переписать в виде \[\begin{cases}
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &y=2x\\
&y=0,5x\end{aligned}\end{gathered}\right.\\
(x-a)^2+(y-a)^2=5a^4\end{cases}\]
Совокупность задает две прямые, второе уравнение системы задает окружность с центром в \((a;a)\)
и радиусом \(R=\sqrt5a^2\)
. Чтобы исходное уравнение имело два решения, нужно, чтобы окружность пересекала график совокупности ровно в двух точках. Вот чертеж, когда, например, \(a=1\)
:
Заметим, что так как координаты центра окружности равны, то центр окружности “бегает” по прямой \(y=x\)
.
2) Так как у прямой \(y=kx\)
тангенс угла наклона этой прямой к положительному направлению оси \(Ox\)
равен \(k\)
, то тангенс угла наклона прямой \(y=0,5x\)
равен \(0,5\)
(назовем его \(\mathrm{tg}\,\alpha\)
), прямой \(y=2x\)
– равен \(2\)
(назовем его \(\mathrm{tg}\,\beta\)
). Заметим, что \(\mathrm{tg}\,\alpha\cdot
\mathrm{tg}\,\beta=1\)
, следовательно, \(\mathrm{tg}\,\alpha=\mathrm{ctg}\,\beta=\mathrm{tg}\,(90^\circ-\beta)\)
. Следовательно, \(\alpha=90^\circ-\beta\)
, откуда \(\alpha+\beta=90^\circ\)
. Это значит, что угол между \(y=2x\)
и положительным направлением \(Oy\)
равен углу между \(y=0,5x\)
и положительным направлением \(Ox\)
:
А так как прямая \(y=x\)
является биссектрисой I координатного угла (то есть углы между ней и положительными направлениями \(Ox\)
и \(Oy\)
равны по \(45^\circ\)
), то углы между \(y=x\)
и прямыми \(y=2x\)
и \(y=0,5x\)
равны.
Все это нам нужно было для того, чтобы сказать, что прямые \(y=2x\)
и \(y=0,5x\)
симметричны друг другу относительно \(y=x\)
, следовательно, если окружность касается одной из них, то она обязательно касается и второй прямой.
Заметим, что если \(a=0\)
, то окружность вырождается в точку \((0;0)\)
и имеет лишь одну точку пересечения с обеими прямыми. То есть этот случай нам не подходит.
Таким образом, для того, чтобы окружность имела 2 точки пересечения с прямыми, нужно, чтобы она касалась этих прямых:
Видим, что случай, когда окружность располагается в третьей четверти, симметричен (относительно начала координат) случаю, когда она располагается в первой четверти. То есть в первой четверти \(a>0\)
, а в третьей \(a<0\)
(но такие же по модулю).
Поэтому рассмотрим только первую четверть.
Заметим, что \(OQ=\sqrt{(a-0)^2+(a-0)^2}=\sqrt2a\)
, \(QK=R=\sqrt5a^2\)
. Тогда \
Тогда \[\mathrm{tg}\,\angle
QOK=\dfrac{\sqrt5a^2}{\sqrt{2a^2-5a^4}}\]
Но, с другой стороны, \[\mathrm{tg}\,\angle QOK=\mathrm{tg}\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac{\mathrm{tg}\,
45^\circ-\mathrm{tg}\,\alpha}{1+\mathrm{tg}\,45^\circ\cdot
\mathrm{tg}\,\alpha}\]
следовательно, \[\dfrac{1-0,5}{1+1\cdot 0,5}=\dfrac{\sqrt5a^2}{\sqrt{2a^2-5a^4}}
\quad\Leftrightarrow\quad a=\pm \dfrac15\]
Таким образом, мы уже сразу получили и положительное, и отрицательное значение для \(a\)
. Следовательно, ответ: \
Ответ:
\(\{-0,2;0,2\}\)
Задание 4 #3278
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения \(a\) , для каждого из которых уравнение \
имеет единственное решение.
(ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017)
Сделаем замену \(t=5^x, t>0\)
и перенесем все слагаемые в одну часть: \
Получили квадратное уравнение, корнями которого по теореме Виета являются \(t_1=a+6\)
и \(t_2=5+3|a|\)
. Для того, чтобы исходное уравнение имело один корень, достаточно, чтобы полученное уравнение с \(t\)
тоже имело один (положительный!) корень.
Заметим сразу, что \(t_2\)
при всех \(a\)
будет положительным. Таким образом, получаем два случая:
1) \(t_1=t_2\) : \ &a=-\dfrac14 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]
2) Так как \(t_2\) всегда положителен, то \(t_1\) должен быть \(\leqslant 0\) : \
Ответ:
\((-\infty;-6]\cup\left\{-\frac14;\frac12\right\}\)
Задание 5 #3252
Уровень задания: Равен ЕГЭ
\[\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{3x^2-(3a+1)x+a}\]
имеет ровно один корень на отрезке \(\) .
(ЕГЭ 2017, резервный день)
Уравнение можно переписать в виде: \[\sqrt{(x-a)(x+a)}=\sqrt{(3x-1)(x-a)}\]
Таким образом, заметим, что \(x=a\)
является корнем уравнения при любых \(a\)
, так как уравнение принимает вид \(0=0\)
. Для того, чтобы этот корень принадлежат отрезку \(\)
, нужно, чтобы \(0\leqslant
a\leqslant 1\)
.
Второй корень уравнения находится из \(x+a=3x-1\)
, то есть \(x=\frac{a+1}2\)
. Для того, чтобы это число было корнем уравнения, нужно, чтобы оно удовлетворяло ОДЗ уравнения, то есть: \[\left(\dfrac{a+1}2-a\right)\cdot
\left(\dfrac{a+1}2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad
-\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\]
Для того, чтобы этот корень принадлежал отрезку \(\)
, нужно, чтобы \
Таким образом, чтобы корень \(x=\frac{a+1}2\)
существовал и принадлежал отрезку \(\)
, нужно, чтобы \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\)
.
Заметим, что тогда при \(0\leqslant a\leqslant 1\)
оба корня \(x=a\)
и \(x=\frac{a+1}2\)
принадлежат отрезку \(\)
(то есть уравнение имеет два корня на этом отрезке), кроме случая, когда они совпадают: \
Таким образом, нам подходят \(a\in \left[-\frac13; 0\right)\)
и \(a=1\)
.
Ответ:
\(a\in \left[-\frac13;0\right)\cup\{1\}\)
Задание 6 #3238
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \
имеет единственный корень на отрезке \(.\)
(ЕГЭ 2017, резервный день)
Уравнение равносильно: \ ОДЗ уравнения: \[\begin{cases} x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end{cases}\] На ОДЗ уравнение перепишется в виде: \
1) Пусть \(a<0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \(\) , этот корень должен быть равен \(1\) . Проверим: \ Не подходит под \(a<0\) . Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.
2) Пусть \(a=0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 0\) . Уравнение перепишется в виде: \ Полученный корень подходит под ОДЗ и входит в отрезок \(\) . Следовательно, \(a=0\) – подходит.
3) Пусть \(a>0\)
. Тогда ОДЗ: \(x\geqslant a\)
и \(x\leqslant 1\)
. Следовательно, если \(a>1\)
, то ОДЗ – пустое множество. Таким образом, \(0
Рассмотрим функцию \(y=x^3-a(x^2-3x+3)\)
. Исследуем ее.
Производная равна \(y"=3x^2-2ax+3a\)
. Определим, какого знака может быть производная. Для этого найдем дискриминант уравнения \(3x^2-2ax+3a=0\)
: \(D=4a(a-9)\)
. Следовательно, при \(a\in (0;1]\)
дискриминант \(D<0\)
. Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\)
положительно при всех \(x\)
. Следовательно, при \(a\in (0;1]\)
производная \(y">0\)
. Следовательно, \(y\)
возрастает. Таким образом, по свойству возрастающей функции уравнение \(y(x)=0\)
может иметь не более одного корня.
Следовательно, для того, чтобы корень уравнения (точка пересечения графика \(y\)
с осью абсцисс) находился на отрезке \(\)
, нужно, чтобы \[\begin{cases} y(1)\geqslant 0\\
y(a)\leqslant 0 \end{cases}\quad\Rightarrow\quad a\in \]
Учитывая, что изначально в рассматриваемом случае \(a\in (0;1]\)
, то ответ \(a\in (0;1]\)
. Заметим, что корень \(x_1\)
удовлетворяет \((1)\)
, корни \(x_2\)
и \(x_3\)
удовлетворяют \((2)\)
. Также заметим, что корень \(x_1\)
принадлежит отрезку \(\)
.
Рассмотрим три случая:
1) \(a>0\)
. Тогда \(x_2>3\)
, \(x_3<3\)
, следовательно, \(x_2\notin .\)
Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\)
в одном из двух случаях:
- \(x_1\)
удовлетворяет \((2)\)
, \(x_3\)
не удовлетворяет \((1)\)
, или совпадает с \(x_1\)
, или удовлетворяет \((1)\)
, но не входит в отрезок \(\)
(то есть меньше \(0\)
);
- \(x_1\)
не удовлетворяет \((2)\)
, \(x_3\)
удовлетворяет \((1)\)
и не равен \(x_1\)
.
Заметим, что \(x_3\)
не может быть одновременно меньше нуля и удовлетворять \((1)\)
(то есть быть больше \(\frac35\)
). Учитывая это замечание, случаи записываются в следующую совокупность: \[\left[
\begin{gathered}\begin{aligned}
&\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\
3-a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\
&\begin{cases}
\dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\
3-a> Решая данную совокупность и учитывая, что \(a>0\)
, получим: \
2) \(a=0\) . Тогда \(x_2=x_3=3\in .\) Заметим, что в этом случае \(x_1\) удовлетворяет \((2)\) и \(x_2=3\) удовлетворяет \((1)\) , то есть уравнение имеет два корня на \(\) . Это значение \(a\) нам не подходит.
3) \(a<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) и \(x_3\notin \) . Рассуждая аналогично пункту 1), нужно решить совокупность: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\ &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решая данную совокупность и учитывая, что \(a<0\) , получим: \\]
Ответ:
\(\left(-\frac{13}5;-\frac{12}5\right] \cup\left[\frac{12}5;\frac{13}5\right)\)