§ 3 સ્થિર બિંદુઓ અને વિભેદક કેલ્ક્યુલસ 369

તે સ્પષ્ટ છે કે, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, પરિવારના બે વર્તુળો વિચારણા હેઠળ છે, સીધી રેખા l ની સ્પર્શક: તેમના કેન્દ્રો P Q સેગમેન્ટની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર સ્થિત છે. સ્પર્શકતાના બિંદુઓમાંથી એક સંપૂર્ણ મહત્તમ મૂલ્ય j, જ્યારે અન્ય ફક્ત "સંબંધિત" મહત્તમ આપે છે: આનો અર્થ એ છે કે આ બિંદુએ j ના મૂલ્યો પ્રશ્નમાં રહેલા બિંદુના કેટલાક પડોશના મૂલ્યો કરતા વધારે છે. બે મેક્સિમામાંથી મોટો - સંપૂર્ણ મહત્તમ - સ્પર્શના બિંદુ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે સીધી રેખા l અને સેગમેન્ટ P Q ની ચાલુતા દ્વારા રચાયેલા તીવ્ર કોણમાં સ્થિત છે, અને નાનો - સ્પર્શના બિંદુ દ્વારા, જે આ સીધી રેખાઓ દ્વારા રચાયેલા સ્થૂળ કોણમાં સ્થિત છે. (સેગમેન્ટ P Q ની ચાલુતા સાથે સીધી રેખા l ના આંતરછેદનું બિંદુ આપે છે ન્યૂનતમ મૂલ્યકોણ j, એટલે કે j = 0.)

ચોખા. 190. કયા બિંદુથી l સેગમેન્ટ P Q સૌથી મોટા કોણ પર દેખાય છે?

ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલ સમસ્યાનું સામાન્યીકરણ કરીને, આપણે સીધી રેખા l ને અમુક વળાંક C સાથે બદલી શકીએ છીએ અને વળાંક C પર બિંદુઓ R શોધી શકીએ છીએ જેમાંથી આપેલ સેગમેન્ટ P Q, C ને છેદતો નથી, સૌથી મોટા અથવા નાના કોણ પર દૃશ્યમાન છે. આ સમસ્યામાં, અગાઉના એકની જેમ, P, Q અને Rમાંથી પસાર થતા વર્તુળને R બિંદુ પર વળાંક Cને સ્પર્શ કરવો આવશ્યક છે.

§ 3. સ્થિર બિંદુઓ અને વિભેદક કલન

1. આત્યંતિક અને સ્થિર બિંદુઓ. અગાઉની ચર્ચાઓમાં અમે ડિફરન્શિયલ કેલ્ક્યુલસની તકનીકી પદ્ધતિઓનો બિલકુલ ઉપયોગ કર્યો નથી.

એ સ્વીકારવું મુશ્કેલ છે કે અમારી પ્રાથમિક પદ્ધતિઓ વિશ્લેષણની પદ્ધતિઓ કરતાં સરળ અને વધુ સીધી છે. સામાન્ય રીતે, એક અથવા બીજી વસ્તુ કરતી વખતે વૈજ્ઞાનિક સમસ્યા, તેના વ્યક્તિગતથી આગળ વધવું વધુ સારું છે

માત્ર સામાન્ય પદ્ધતિઓ પર આધાર રાખવા કરતાં લક્ષણો, જો કે, બીજી બાજુ, સામાન્ય સિદ્ધાંત, જે ઉપયોગમાં લેવાતી વિશેષ પ્રક્રિયાઓનો અર્થ સ્પષ્ટ કરે છે, અલબત્ત, હંમેશા રમવું જોઈએ નેતૃત્વ ભૂમિકા. આત્યંતિક સમસ્યાઓનો વિચાર કરતી વખતે વિભેદક કેલ્ક્યુલસની પદ્ધતિઓનું આ ચોક્કસ મહત્વ છે. માં અવલોકન કર્યું આધુનિક વિજ્ઞાનસામાન્યતા માટેની ઇચ્છા આ બાબતની માત્ર એક બાજુ રજૂ કરે છે, કારણ કે ગણિતમાં ખરેખર જે મહત્વપૂર્ણ છે તે કોઈ શંકા વિના નિર્ધારિત છે. વ્યક્તિગત લક્ષણોધ્યાનમાં લેવામાં આવતી સમસ્યાઓ અને પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ.

તેના માં ઐતિહાસિક વિકાસવિભેદક કેલ્ક્યુલસ જથ્થાના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવા સાથે સંકળાયેલી વ્યક્તિગત સમસ્યાઓથી ખૂબ પ્રભાવિત હતા. આત્યંતિક સમસ્યાઓ અને વચ્ચેનું જોડાણ વિભેદક કલનનીચે પ્રમાણે સમજી શકાય છે. પ્રકરણ VIII માં આપણે f(x) ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન f0 (x) નો વિગતવાર અભ્યાસ કરીશું અને તેના ભૌમિતિક અર્થ. ત્યાં આપણે જોઈશું કે, સંક્ષિપ્તમાં કહીએ તો, વ્યુત્પન્ન f0 (x) એ બિંદુ (x, y) પર વળાંક y = f(x) તરફના સ્પર્શકનો ઢોળાવ છે. તે ભૌમિતિક રીતે સ્પષ્ટ છે કે સરળ વળાંક y = f(x) ના મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ બિંદુઓ પર, વળાંકની સ્પર્શક ચોક્કસપણે આડી હોવી જોઈએ, એટલે કે, ઢોળાવ શૂન્ય હોવો જોઈએ. આમ, આપણે એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ માટે f0 (x) = 0 શરત મેળવીએ છીએ.

વ્યુત્પન્ન f0 (x) ના અદ્રશ્ય થવાનો અર્થ શું છે તે સ્પષ્ટપણે સમજવા માટે, આકૃતિ 191 માં બતાવેલ વળાંકને ધ્યાનમાં લો. આપણે અહીં પાંચ બિંદુઓ A, B, C, D, E જોઈએ છીએ, જેના પર વળાંકની સ્પર્શક આડી છે; ચાલો સૂચિત કરીએ અનુરૂપ મૂલ્યો f(x) a, b, c, d, e દ્વારા આ બિંદુઓ પર. f(x) નું સૌથી મોટું મૂલ્ય (ડ્રોઇંગમાં દર્શાવેલ ક્ષેત્રની અંદર) બિંદુ D પર પ્રાપ્ત થાય છે, સૌથી નાનું - બિંદુ A પર. બિંદુ B પર મહત્તમ છે - તે અર્થમાં કે ચોક્કસ પડોશના તમામ બિંદુઓ પર બિંદુ B એ f(x) નું મૂલ્ય b કરતાં ઓછું છે, જોકે D ની નજીકના બિંદુઓ પર, f(x) નું મૂલ્ય હજુ પણ b કરતાં વધારે છે. આ કારણોસર, એવું કહેવાનો રિવાજ છે કે બિંદુ B પર કાર્ય f(x) ની સંબંધિત મહત્તમ છે, જ્યારે બિંદુ D પર ચોક્કસ મહત્તમ છે. એ જ રીતે, બિંદુ C પર સાપેક્ષ લઘુત્તમ છે, અને બિંદુ A પર સંપૂર્ણ લઘુત્તમ છે. અંતે, બિંદુ E માટે, ત્યાં મહત્તમ કે લઘુત્તમ નથી, જો કે સમાનતા f0 (x) = 0 હજુ પણ સાચી છે તે અનુસરે છે કે વ્યુત્પન્ન f0 (x) નું અદ્રશ્ય થવું જરૂરી છે, પરંતુ પૂરતું નથી સરળ કાર્ય f(x) ના એક્સ્ટ્રીમમના દેખાવ માટેની સ્થિતિ; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક બિંદુએ જ્યાં એક્સ્ટ્રીમમ (નિરપેક્ષ અથવા સંબંધિત) હોય, સમાનતા f0 (x) = 0 ચોક્કસપણે ધરાવે છે, પરંતુ દરેક બિંદુએ જ્યાં f0 (x) = 0 હોય, ત્યાં એક આત્યંતિક હોવું આવશ્યક નથી. તે બિંદુઓ કે જેના પર વ્યુત્પન્ન f0 (x) અદૃશ્ય થઈ જાય છે, પછી ભલેને તેમના પર કોઈ એક્સ્ટ્રીમમ હોય, તેને સ્થિર કહેવામાં આવે છે. વધુ વિશ્લેષણ વધુ કે ઓછા તરફ દોરી જાય છે

§ 3 સ્થિર બિંદુઓ અને વિભેદક કેલ્ક્યુલસ 371

ફંક્શન f(x)ના ઉચ્ચ ડેરિવેટિવ્ઝને લગતી જટિલ પરિસ્થિતિઓ અને મેક્સિમા, મિનિમા અને અન્ય સ્થિર બિંદુઓને સંપૂર્ણપણે દર્શાવતી.

ચોખા. 191. કાર્યના સ્થિર બિંદુઓ

2. મેક્સિમા અને કેટલાક ચલોના ન્યૂનતમ કાર્યો. સેડલ પોઈન્ટ. ત્યાં આત્યંતિક સમસ્યાઓ છે જે એક ચલના ફંકશન f(x) ના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત કરી શકાતી નથી. અહીં સંબંધિત સૌથી સરળ ઉદાહરણ બે સ્વતંત્ર ચલોના z = f(x, y) ફંક્શનની સીમા શોધવાની સમસ્યા છે.

આપણે હંમેશા ફંક્શન f(x, y) ને x, y પ્લેનની ઉપરની સપાટીની ઊંચાઈ z તરીકે કલ્પના કરી શકીએ છીએ અને અમે આ ચિત્રનું અર્થઘટન કરીશું, કહો કે, પર્વતીય લેન્ડસ્કેપ. ફંક્શનની મહત્તમ f(x, y) અનુલક્ષે છે પર્વત શિખર, ન્યૂનતમ - ખાડો અથવા તળાવની નીચે. બંને કિસ્સાઓમાં, જ્યાં સુધી સપાટી સરળ ન હોય ત્યાં સુધી, સપાટી પરનો સ્પર્શક સમતલ આવશ્યકપણે આડી હોય છે. પરંતુ, પર્વતોની ટોચ અને ખાડાઓમાં સૌથી નીચા બિંદુઓ ઉપરાંત, એવા અન્ય બિંદુઓ હોઈ શકે છે કે જેના પર ટેન્જેન્ટ પ્લેન આડી હોય છે: આ "સેડલ" બિંદુઓ છે જે પર્વતીય પસારોને અનુરૂપ છે. ચાલો તેમને વધુ કાળજીપૂર્વક તપાસીએ. ધારો કે (ફિગ. 192) પર્વતમાળામાં બે શિખરો A અને B છે અને પર્વતમાળાના વિવિધ ઢોળાવ પર બે બિંદુઓ C અને D છે; ચાલો ધારીએ કે C થી આપણે D તરફ જવાની જરૂર છે. ચાલો પહેલા C થી D તરફ જતા રસ્તાઓ પર વિચાર કરીએ કે જે C અને Dમાંથી પસાર થતા વિમાનો સાથે સપાટીને છેદવાથી મેળવવામાં આવે છે. આવા દરેક પાથમાં ઉચ્ચ બિંદુ હોય છે. જ્યારે કટીંગ પ્લેનની સ્થિતિ બદલાય છે, ત્યારે પાથ પણ બદલાય છે, અને તે માટે કોઈ રસ્તો શોધવાનું શક્ય બનશે. સર્વોચ્ચ બિંદુમાં હશે

સૌથી ઓછી શક્ય સ્થિતિ. આ માર્ગ પરનો સૌથી ઊંચો બિંદુ E એ આપણા લેન્ડસ્કેપમાં પર્વતીય પાસનું બિંદુ છે; તેને સેડલ પોઈન્ટ પણ કહી શકાય. તે સ્પષ્ટ છે કે બિંદુ E પર મહત્તમ કે લઘુત્તમ નથી, કારણ કે E ની ગમે તેટલી નજીક હોવા છતાં સપાટી પર બિંદુઓ છે જે E ઉપર છે અને તે E ની નીચે છે. અગાઉના તર્કમાં, વ્યક્તિ પોતાને મર્યાદિત કરી શકતો નથી. ફક્ત તે જ પાથને ધ્યાનમાં લેવા માટે, જ્યારે વિમાનો સપાટીને છેદે ત્યારે ઉદ્ભવે છે, અને C અને Dને જોડતા કોઈપણ પાથને ધ્યાનમાં લો. અમે બિંદુ E માટે આપેલી લાક્ષણિકતા આનાથી બદલાશે નહીં.

એ જ રીતે, જો આપણે શિખર A થી શિખર B પર જવા માંગીએ, તો આપણે પસંદ કરી શકીએ તે દરેક માર્ગમાં સૌથી નીચો બિંદુ હશે; માત્ર સમતલ વિભાગોને ધ્યાનમાં રાખીને પણ, અમે એક પાથ AB શોધીશું જેના માટે સૌથી નાનો બિંદુ સૌથી વધુ સ્થિત હશે, અને ફરીથી અગાઉના બિંદુ E પ્રાપ્ત થશે આમ, આ સેડલ પોઈન્ટ E સૌથી વધુ ન્યૂનતમ અથવા સૌથી નીચો પહોંચાડવાની મિલકત ધરાવે છે મહત્તમ: અહીં "મહત્તમ" અથવા "લઘુત્તમ" છે - ટૂંકા માટે લઘુત્તમ. બિંદુ E પર સ્પર્શક સમતલ આડી છે; ખરેખર, ત્યારથી ઇ - સૌથી નીચો બિંદુપાથ AB, પછી E માં AB ની સ્પર્શક આડી છે, અને તેવી જ રીતે, E એ પાથ CD નો સૌથી ઊંચો બિંદુ હોવાથી, પછી E માં CD ની સ્પર્શક આડી છે. તેથી, આ બે સ્પર્શક રેખાઓમાંથી પસાર થતું સ્પર્શક વિમાન આડું હોવું આવશ્યક છે. તેથી આપણે ત્રણ શોધીએ છીએ વિવિધ પ્રકારોઆડી સ્પર્શક વિમાનો સાથેના બિંદુઓ: મહત્તમ પોઈન્ટ, ન્યૂનતમ પોઈન્ટ અને અંતે, સેડલ પોઈન્ટ્સ; તદનુસાર, ત્રણ અલગ અલગ પ્રકારના સ્થિર કાર્ય મૂલ્યો છે.

ફંક્શન f(x, y) ને ભૌમિતિક રીતે રજૂ કરવાની બીજી રીત એ છે કે સ્તરની રેખાઓ દોરવી - તે જ જેનો ઉપયોગ જમીન પરની ઊંચાઈ દર્શાવવા માટે કાર્ટોગ્રાફીમાં થાય છે (જુઓ પૃષ્ઠ 308). લેવલ લાઇન એ x, y પ્લેનમાં એક વળાંક છે જેની સાથે ફંકશન f(x, y) સમાન મૂલ્ય ધરાવે છે; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સ્તર રેખાઓ કુટુંબ f(x, y) = c ના વળાંકો સમાન છે. સામાન્ય દ્વારા

ચોખા. 194. સ્ટેસી બમણા રીતે જોડાયેલા પ્રદેશમાં અનરી પોઈન્ટ

§ 3 સ્થિર બિંદુઓ અને વિભેદક કેલ્ક્યુલસ 373

બરાબર એક સ્તરની રેખા પ્લેન પર એક બિંદુ પસાર કરે છે; મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓ બંધ સ્તરની રેખાઓથી ઘેરાયેલા હોય છે. ફિગ માં. ફિગમાં બતાવેલ લેન્ડસ્કેપને અનુરૂપ 193 સ્તરની રેખાઓ દોરવામાં આવી છે. 192.

આ કિસ્સામાં, સેડલ પોઈન્ટ E ની નોંધપાત્ર મિલકત ખાસ કરીને સ્પષ્ટ થઈ જાય છે: A અને B ને જોડતો અને E માંથી પસાર થતો દરેક રસ્તો આંશિક રીતે તે પ્રદેશમાં આવેલો છે જ્યાં f(x, y)< f(E), тогда как путь AEB на рис. 192 имеет минимум как раз в точке E. Таким же образом мы убеждаемся, что значение f(x, y) в точке E представляет собой наименьший максимум на путях, связывающих C и D.

3. મિનિમેક્સ પોઈન્ટ્સ અને ટોપોલોજી. સ્થિર બિંદુઓના સામાન્ય સિદ્ધાંત અને ટોપોલોજીકલ વિચારો વચ્ચે ઊંડો જોડાણ છે. આ સંદર્ભે, અમે અહીં માત્ર એક સંક્ષિપ્ત સંકેત આપી શકીએ છીએ અને એક ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લેવા માટે પોતાને મર્યાદિત કરી શકીએ છીએ.

રિંગ-આકારના ટાપુ B પર બે દરિયાઇ રૂપરેખા C અને C0 સાથે પર્વતીય લેન્ડસ્કેપનો વિચાર કરો; જો આપણે પહેલાની જેમ, સમુદ્ર સપાટીથી ઉપરની ઊંચાઈ u = f(x, y) દ્વારા દર્શાવીએ અને ચાલો ધારીએ કે રૂપરેખા C અને C0 પર f(x, y) = 0 અને f(x, y) > 0

અંદર, પછી ટાપુ પર ઓછામાં ઓછો એક પર્વત પાસ હોવો જોઈએ: ફિગમાં. 194 આવા પાસ એ બિંદુ પર સ્થિત છે જ્યાં બે સ્તરની રેખાઓ છેદે છે. જણાવેલ નિવેદનની માન્યતા ક્યારે સ્પષ્ટ થાય છે

શું આપણે આવો રસ્તો શોધવાનું, જોડવાનું કામ જાતે સેટ કરવું જોઈએ

સામાન્ય C અને C0, જે વધુ ઊંચાઈ સુધી વધશે નહીં તે અનિવાર્ય છે તેના કરતાં. દરેક C થી C0 સુધીનો માર્ગ સૌથી વધુ છે

સર્વોચ્ચ બિંદુ, અને જો આપણે એવો રસ્તો પસંદ કરીએ કે જેના માટે સર્વોચ્ચ બિંદુ સૌથી નીચો હોય, તો આ રીતે પ્રાપ્ત થયેલો સર્વોચ્ચ બિંદુ ફંક્શન u = f(x, y) નો સેડલ બિંદુ હશે. (જ્યારે કોઈ ચોક્કસ આડું વિમાન બંધ વળાંકની સાથે રિંગ-આકારની પર્વતમાળાને સ્પર્શે છે ત્યારે અપવાદનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી નજીવી બાબતને નિર્ધારિત કરવી જરૂરી છે.) p બંધ વણાંકોથી બંધાયેલા પ્રદેશના કિસ્સામાં, સામાન્ય રીતે ત્યાં અસ્તિત્વ હોવું જોઈએ. ઓછામાં ઓછા p − 1 મિનિમેક્સ પોઈન્ટ. માર્સ્ટન મોર્સ દ્વારા સ્થાપિત સમાન સંબંધો, બહુપરીમાણીય પ્રદેશો માટે પણ થાય છે,

પરંતુ આ કિસ્સામાં ટોપોલોજીકલ શક્યતાઓની વિવિધતા અને સ્થિર બિંદુઓના પ્રકારો ઘણા વધારે છે. આ સંબંધો આધાર બનાવે છે આધુનિક સિદ્ધાંતસ્થિર બિંદુઓ.

4. સપાટીથી બિંદુનું અંતર. બિંદુ P અંતર માટે

બંધ વળાંકના વિવિધ બિંદુઓમાંથી (ઓછામાં ઓછા) બે સ્થિર મૂલ્યો છે: લઘુત્તમ અને મહત્તમ. જ્યારે ત્રણ પરિમાણમાં જઈએ છીએ, ત્યારે કોઈ નવી હકીકતો શોધી શકાતી નથી જો આપણે આપણી જાતને સપાટી Cને ધ્યાનમાં લઈએ જે ટોપોલોજીકલ રીતે ગોળા (જેમ કે લંબગોળ) ની સમકક્ષ હોય. પરંતુ જો સપાટી જીનસ 1 અથવા તેનાથી વધુ હોય, તો પરિસ્થિતિ અલગ છે. ચાલો ટોરસ C ની સપાટીને ધ્યાનમાં લઈએ. બિંદુ P ગમે તે હોય, અલબત્ત, ટોરસ C પર હંમેશા એવા બિંદુઓ હોય છે જે P થી સૌથી મોટું અને નાનું અંતર આપે છે, અને અનુરૂપ સેગમેન્ટ્સ સપાટી પર જ લંબરૂપ હોય છે. પરંતુ અમે હવે સ્થાપિત કરીશું કે આ કિસ્સામાં મિનિમેક્સ પોઈન્ટ પણ છે. ચાલો ટોરસ (ફિગ. 195) પરના "મેરિડીયન" વર્તુળોમાંથી એક Lની કલ્પના કરીએ અને આ વર્તુળ L પર આપણે P ની સૌથી નજીક Q બિંદુ શોધીશું. પછી, ટોરસ સાથે વર્તુળ L ને ખસેડતા, આપણે તેની સ્થિતિ શોધીએ છીએ કે અંતર P Q બને છે: a) ન્યૂનતમ - પછી આપણને P ની સૌથી નજીક C પર એક બિંદુ મળે છે; b) મહત્તમ - પછી તમને સ્થિર મિનિમેક્સ પોઇન્ટ મળશે. એ જ રીતે આપણે L પરનો બિંદુ શોધી શકીએ છીએ જે P થી સૌથી દૂર છે, અને પછી L ની સ્થિતિ શોધી શકીશું જ્યાંથી મળી સૌથી વધુ અંતરહશે: c) મહત્તમ (C પરનો બિંદુ જે P થી સૌથી દૂર છે તે મેળવવામાં આવશે), d) ન્યૂનતમ. તેથી આપણે બિંદુ P થી ટોરસ બિંદુ C ના અંતર માટે ચાર અલગ અલગ સ્થિર મૂલ્યો મેળવીએ છીએ.

ચોખા. 195-196. બિંદુથી સપાટી સુધીનું અંતર

કસરત. C પર બંધ વળાંકના બીજા પ્રકાર L0 માટે સમાન તર્કનું પુનરાવર્તન કરો, જેને બિંદુ સુધી સંકોચાઈ શકાતું નથી (ફિગ. 196).

જટિલ મુદ્દાઓ– આ એવા બિંદુઓ છે કે જેના પર ફંક્શનનું ડેરિવેટિવ શૂન્ય બરાબર છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી. જો વ્યુત્પન્ન 0 ની બરાબર હોય તો આ બિંદુ પરનું કાર્ય લે છે સ્થાનિક લઘુત્તમ અથવા મહત્તમ. આવા બિંદુઓ પરના ગ્રાફ પર ફંક્શનમાં આડી એસિમ્પ્ટોટ છે, એટલે કે, સ્પર્શક ઓક્સ અક્ષની સમાંતર છે.

આવા બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે સ્થિર. જો તમે સતત કાર્યના ગ્રાફ પર "હમ્પ" અથવા "છિદ્ર" જુઓ છો, તો યાદ રાખો કે નિર્ણાયક બિંદુ પર મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ પહોંચી ગયું છે. ચાલો નીચેના કાર્યને ઉદાહરણ તરીકે લઈએ.

ઉદાહરણ 1. ફંક્શન y=2x^3-3x^2+5 ના નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધો.
ઉકેલ.

નિર્ણાયક મુદ્દાઓ શોધવા માટેનું અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ છે:

તેથી ફંક્શનમાં બે નિર્ણાયક બિંદુઓ છે. આગળ, જો તમારે ફંક્શનનો અભ્યાસ કરવાની જરૂર હોય, તો પછી અમે નિર્ણાયક બિંદુની ડાબી અને જમણી તરફ વ્યુત્પન્નની નિશાની નક્કી કરીએ છીએ. જો નિર્ણાયક બિંદુમાંથી પસાર થતી વખતે વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન “-” થી “+” માં બદલાય છે, તો કાર્ય લે છેસ્થાનિક લઘુત્તમ . જો “+” થી “-” જોઈએ.

સ્થાનિક મહત્તમબીજા પ્રકારના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ

આ અપૂર્ણાંક અને અતાર્કિક કાર્યોના છેદના શૂન્ય છે


લઘુગણક અને ત્રિકોણમિતિ કાર્યો કે જે આ બિંદુઓ પર વ્યાખ્યાયિત નથીત્રીજા પ્રકારના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ
piecewise સતત કાર્યો અને મોડ્યુલો હોય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, કોઈપણ મોડ્યુલ-ફંક્શનમાં બ્રેક પોઈન્ટ પર ન્યૂનતમ અથવા મહત્તમ હોય છે.
ઉદાહરણ તરીકે મોડ્યુલ y = | x -5 | બિંદુ x = 5 પર ન્યૂનતમ (જટિલ બિંદુ) છે.

વ્યુત્પન્ન તેમાં અસ્તિત્વમાં નથી, પરંતુ જમણી અને ડાબી બાજુ અનુક્રમે 1 અને -1 મૂલ્ય લે છે.

1)
2)
3)
4)
5)

કાર્યોના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ નક્કી કરવાનો પ્રયાસ કરો
જો જવાબ y છે તો તમને મૂલ્ય મળશે
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1. પછી તમે પહેલાથી જ જાણો છોનિર્ણાયક બિંદુઓ કેવી રીતે શોધવી

અને એક સરળ કસોટી અથવા પરીક્ષણોનો સામનો કરવામાં સક્ષમ બનો. સ્થિર બિંદુઓની હાજરી માટે ફંક્શનની તપાસ કરવાની અને તેમને શોધવાની પ્રક્રિયા પણ તેમાંની એક છેમહત્વપૂર્ણ તત્વો

જ્યારે ફંક્શનનું આયોજન કરવામાં આવે છે. જો તમારી પાસે ગાણિતિક જ્ઞાનનો ચોક્કસ સમૂહ હોય તો તમે કાર્યના સ્થિર બિંદુઓ શોધી શકો છો.

• તમને જરૂર પડશે
• - સ્થિર પોઈન્ટની વ્યાખ્યા: ફંક્શનના સ્થિર પોઈન્ટ એ પોઈન્ટ (દલીલ મૂલ્યો) છે જેના પર પ્રથમ ઓર્ડર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન થઈ જાય છે.

સૂચનાઓ

• ફંક્શનને અલગ પાડવા માટે ડેરિવેટિવ્ઝ અને સૂત્રોના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવું જરૂરી છે. કાર્ય દરમિયાન આ પગલું સૌથી મુશ્કેલ અને જવાબદાર છે. જો તમે આ તબક્કે ભૂલ કરો છો, તો આગળની ગણતરીઓનો અર્થ રહેશે નહીં.
• તપાસો કે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન તેની દલીલ પર આધારિત છે કે કેમ. જો મળેલ વ્યુત્પન્ન દલીલ પર આધાર રાખતું નથી, એટલે કે, તે સંખ્યા છે (ઉદાહરણ તરીકે, f"(x) = 5), તો આ કિસ્સામાં ફંક્શનમાં સ્થિર બિંદુઓ નથી. આવા ઉકેલ ત્યારે જ શક્ય છે જો અભ્યાસ હેઠળનું કાર્ય છે રેખીય કાર્યપ્રથમ ક્રમ (ઉદાહરણ તરીકે, f(x) = 5x+1). જો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન દલીલ પર આધાર રાખે છે, તો પછી છેલ્લા પગલા પર આગળ વધો.
• સમીકરણ f"(x) = 0 કંપોઝ કરો અને તેને હલ કરો. સમીકરણમાં કોઈ ઉકેલો ન હોઈ શકે - આ કિસ્સામાં, કાર્યમાં સ્થિર બિંદુઓ નથી. જો સમીકરણમાં ઉકેલો હોય, તો દલીલના આ ચોક્કસ મૂલ્યો હશે ફંક્શનના સ્થિર બિંદુઓ આ તબક્કે, સમીકરણનો ઉકેલ દલીલ અવેજી દ્વારા તપાસવો જોઈએ.

વ્યાખ્યાઓ:

આત્યંતિકઆપેલ સેટ પર ફંક્શનના મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ મૂલ્યને કૉલ કરો.

આત્યંતિક બિંદુતે બિંદુ છે જ્યાં ફંક્શનનું મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ મૂલ્ય પહોંચ્યું છે.

મહત્તમ બિંદુતે બિંદુ છે જ્યાં ફંક્શનની મહત્તમ કિંમત પહોંચી છે.

ન્યૂનતમ બિંદુતે બિંદુ છે જ્યાં ફંક્શનનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય પહોંચી ગયું છે.

સમજૂતી.

આકૃતિમાં, બિંદુ x = 3 ની નજીકમાં, કાર્ય તેના મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે (એટલે ​​​​કે, આ ચોક્કસ બિંદુની નજીકમાં કોઈ ઉચ્ચ બિંદુ નથી). x = 8 ની પડોશમાં, તે ફરીથી મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે (ચાલો ફરીથી સ્પષ્ટ કરીએ: તે આ પડોશમાં છે કે ત્યાં કોઈ બિંદુ વધારે નથી). આ બિંદુઓ પર, વધારો ઘટાડાને માર્ગ આપે છે. તેઓ મહત્તમ પોઈન્ટ છે:

x મહત્તમ = 3, x મહત્તમ = 8.

બિંદુ x = 5 ની નજીકમાં, કાર્યનું લઘુત્તમ મૂલ્ય પહોંચી ગયું છે (એટલે ​​​​કે, x = 5 ની નજીકમાં નીચે કોઈ બિંદુ નથી). આ બિંદુએ ઘટાડો વધારો માર્ગ આપે છે. તે ન્યૂનતમ બિંદુ છે:

મહત્તમ અને લઘુત્તમ પોઈન્ટ છે કાર્યના અંતિમ બિંદુઓ, અને આ બિંદુઓ પરના કાર્યના મૂલ્યો તેના છે ચરમસીમા.

કાર્યના નિર્ણાયક અને સ્થિર બિંદુઓ:

એક્સ્ટ્રીમ માટે જરૂરી સ્થિતિ:

એક્સ્ટ્રીમ માટે પૂરતી સ્થિતિ:

એક સેગમેન્ટ પર કાર્ય y = f(x) સૌથી નાના સુધી પહોંચી શકે છે અથવા ઉચ્ચતમ મૂલ્યનિર્ણાયક બિંદુઓ પર અથવા સેગમેન્ટના છેડે.

સતત કાર્યનો અભ્યાસ કરવા માટે અલ્ગોરિધમy = f(x) એકવિધતા અને ચરમસીમા માટે: