Regeln för att lösa de enklaste exponentialekvationerna. Lösa exponentiella ekvationer. Exempel

Exempel:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Hur man löser exponentiella ekvationer

När vi löser en exponentiell ekvation strävar vi efter att få den till formen \(a^(f(x))=a^(g(x))\), och gör sedan övergången till exponenternas likhet, det vill säga:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Till exempel:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Viktig! Från samma logik följer två krav för en sådan övergång:
- nummer in vänster och höger ska vara samma;
- graderna till vänster och höger måste vara "rena", det vill säga det ska inte finnas någon multiplikation, division osv.

Till exempel:

För att reducera ekvationen till formen \(a^(f(x))=a^(g(x))\) och används.

Exempel . Lös exponentialekvationen \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Lösning:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Vi vet att \(27 = 3^3\). Med hänsyn till detta omvandlar vi ekvationen.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Genom egenskapen för roten \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) får vi att \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Därefter, genom att använda egenskapen grad \((a^b)^c=a^(bc)\), får vi \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Vi vet också att \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Om vi ​​applicerar detta på vänster sida får vi: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Kom nu ihåg att: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Denna formel kan också användas i motsatt riktning: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Sedan \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Genom att applicera egenskapen \((a^b)^c=a^(bc)\) på höger sida får vi: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		Och nu är våra baser lika och det finns inga störande koefficienter osv. Så vi kan göra omställningen.
		Exempel . Lös exponentialekvationen \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Lösning: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Vi använder återigen maktegenskapen \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) i motsatt riktning. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Kom nu ihåg att \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) Med hjälp av graders egenskaper transformerar vi: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Vi tittar noga på ekvationen och ser att ersättningen \(t=2^x\) föreslår sig själv. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Men vi har hittat värdena för \(t\), och vi behöver \(x\). Vi återvänder till X:en och gör en omvänd ersättning. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Låt oss transformera den andra ekvationen med egenskapen negativ effekt... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...och vi bestämmer tills svaret. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Svar : \(-1; 1\). Frågan kvarstår - hur ska man förstå när man ska använda vilken metod? Detta kommer med erfarenhet. Tills du får det, använd det allmän rekommendation att lösa komplexa problem - "om du inte vet vad du ska göra, gör vad du kan." Det vill säga, leta efter hur du i princip kan transformera ekvationen, och försök göra det - tänk om vad händer? Huvudsaken är att endast göra matematiskt baserade transformationer. Exponentiella ekvationer utan lösningar Låt oss titta på ytterligare två situationer som ofta förvirrar elever: - ett positivt tal i potensen är lika med noll, till exempel \(2^x=0\); - ett positivt tal är lika med potensen av ett negativt tal, till exempel \(2^x=-4\). Låt oss försöka lösa med brute force. Om x är ett positivt tal, kommer hela potensen \(2^x\) bara att öka när x växer: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Även av. Negativa X finns kvar. När vi kommer ihåg egenskapen \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), kontrollerar vi: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Trots att antalet blir mindre för varje steg kommer det aldrig att nå noll. Så den negativa graden räddade oss inte. Vi kommer till en logisk slutsats: Ett positivt tal i någon grad förblir ett positivt tal. Båda ekvationerna ovan har alltså inga lösningar. Exponentiella ekvationer med olika baser I praktiken möter vi ibland exponentiella ekvationer med av olika skäl, inte reducerbara till varandra, och samtidigt med samma exponenter. De ser ut så här: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), där \(a\) och \(b\) är positiva tal. Till exempel: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Sådana ekvationer kan enkelt lösas genom att dividera med någon av ekvationens sidor (vanligtvis dividerat med höger sida, det vill säga med \(b^(f(x))\). Du kan dividera på detta sätt eftersom ett positivt tal är positiv till vilken makt som helst (det vill säga vi dividerar inte med noll). \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Exempel . Lös exponentialekvationen \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Lösning: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Här kommer vi inte att kunna förvandla en femma till en trea, eller vice versa (åtminstone utan att använda ). Det betyder att vi inte kan komma till formen \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Indikatorerna är dock desamma. Låt oss dividera ekvationen med höger sida, det vill säga med \(3^(x+7)\) (vi kan göra detta eftersom vi vet att tre inte kommer att vara noll i någon grad). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Kom nu ihåg egenskapen \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) och använd den till vänster i motsatt riktning. Till höger minskar vi helt enkelt bråkdelen. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Det verkar som att det inte blev bättre. Men kom ihåg ytterligare en egenskap hos potens: \(a^0=1\), med andra ord: "vilket som helst tal till nollpotensen är lika med \(1\)." Det omvända är också sant: "en kan representeras som vilket tal som helst till nollpotensen." Låt oss dra fördel av detta genom att göra basen till höger likadan som till vänster. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Låt oss bli av med baserna. Vi skriver ett svar. Svar : \(-7\). Ibland är "likheten" hos exponenter inte uppenbar, men skicklig användning av exponenternas egenskaper löser detta problem. Exempel . Lös exponentialekvationen \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Lösning: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Ekvationen ser väldigt sorglig ut... Inte nog med att baserna inte kan reduceras till samma antal (sju kommer inte på något sätt att vara lika med \(\frac(1)(3)\)), utan även exponenterna är olika. .. Men låt oss använda vänster exponent tvåa. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) När vi kommer ihåg egenskapen \((a^b)^c=a^(b·c)\), transformerar vi från vänster: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) När vi nu kommer ihåg egenskapen negativ grad \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformerar vi från höger: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) halleluja! Indikatorerna är desamma! Agerar enligt schemat som redan är bekant för oss, vi löser innan svaret. Svar : \(2\).

Ansökan

Lösa alla typer av ekvationer online på webbplatsen för studenter och skolbarn för att konsolidera det studerade materialet.. Lösa ekvationer online. Ekvationer online. Det finns algebraiska, parametriska, transcendentala, funktionella, differentiala och andra typer av ekvationer. Vissa klasser av ekvationer har analytiska lösningar, som är bekväma eftersom de inte bara ger exakt värde root, men låter dig skriva lösningen i form av en formel, som kan innehålla parametrar. Analytiska uttryck tillåter inte bara att beräkna rötterna, utan också att analysera deras existens och deras kvantitet beroende på parametervärdena, vilket ofta är ännu viktigare för praktisk tillämpning, än de specifika värdena för rötterna. Lösa ekvationer online.. Ekvationer online. Att lösa en ekvation är uppgiften att hitta sådana värden för de argument vid vilka denna jämlikhet uppnås. De möjliga värdena för argumenten kan påtvingas ytterligare villkor(heltal, verkligt, etc.). Lösa ekvationer online.. Ekvationer online. Du kan lösa ekvationen online direkt och med hög noggrannhet av resultatet. Argumenten till specificerade funktioner (ibland kallade "variabler") kallas "okända" i fallet med en ekvation. Värdena för de okända där denna jämlikhet uppnås kallas lösningar eller rötter till denna ekvation. Rötterna sägs uppfylla denna ekvation. Att lösa en ekvation online innebär att hitta mängden av alla dess lösningar (rötter) eller bevisa att det inte finns några rötter. Lösa ekvationer online.. Ekvationer online. Ekvationer vars uppsättningar av rötter sammanfaller kallas ekvationer eller lika. Ekvationer som inte har rötter anses också vara likvärdiga. Ekvivalensen av ekvationer har egenskapen symmetri: om en ekvation är ekvivalent med en annan, då är den andra ekvationen ekvivalent med den första. Ekvivalens av ekvationer har egenskapen transitivitet: om en ekvation är ekvivalent med en annan och den andra är ekvivalent med en tredje, då är den första ekvationen ekvivalent med den tredje. Ekvivalensegenskapen för ekvationer tillåter oss att utföra transformationer med dem, på vilka metoder för att lösa dem är baserade. Lösa ekvationer online.. Ekvationer online. Webbplatsen låter dig lösa ekvationen online. Ekvationer för vilka analytiska lösningar är kända inkluderar algebraiska ekvationer som inte är högre än fjärde graden: linjär ekvation, andragradsekvation, kubikekvation och fjärdegradsekvation. Algebraiska ekvationer I det allmänna fallet har ekvationer med högre grader inga analytiska lösningar, även om vissa av dem kan reduceras till ekvationer med lägre grader. Ekvationer som inkluderar transcendentala funktioner kallas transcendentala. Bland dem är analytiska lösningar kända för vissa trigonometriska ekvationer, eftersom nollorna trigonometriska funktioner välkänd. I det allmänna fallet, när en analytisk lösning inte kan hittas, används numeriska metoder. Numeriska metoder ger ingen exakt lösning, utan tillåter bara att man begränsar intervallet där roten ligger till ett visst förutbestämt värde. Lösa ekvationer online.. Ekvationer online.. Istället för en ekvation online kommer vi att föreställa oss hur samma uttryck bildar ett linjärt samband, inte bara längs en rak tangent, utan också vid själva böjningspunkten för grafen. Denna metod är oumbärlig vid alla tillfällen i studiet av ämnet. Det händer ofta att att lösa ekvationer närmar sig slutvärdet genom att använda oändliga tal och skriva vektorer. Det är nödvändigt att kontrollera de ursprungliga uppgifterna och detta är kärnan i uppgiften. Annars konverteras det lokala villkoret till en formel. Inversion längs en rak linje från given funktion, som ekvationsberäknaren kommer att beräkna utan större fördröjning i utförandet, kommer offseten att betjänas av utrymmesprivilegiet. Vi kommer att prata om elevers framgångar i den vetenskapliga miljön. Men som allt ovanstående kommer det att hjälpa oss i processen att hitta och när du löser ekvationen helt, lagrar du det resulterande svaret i ändarna av det raka linjesegmentet. Linjer i rymden skär varandra i en punkt och denna punkt kallas skärs av linjerna. Intervallet på linjen anges som tidigare specificerat. Den högsta tjänsten för matematikstudiet kommer att publiceras. Att tilldela ett argumentvärde från en parametriskt specificerad yta och lösa ekvationen online kommer att kunna beskriva principerna för produktiv åtkomst till en funktion. Möbiusremsan, eller oändligheten som den heter, ser ut som en åttasiffra. Detta är en ensidig yta, inte tvåsidig. Enligt den princip som är allmänt känd för alla kommer vi objektivt att acceptera linjära ekvationer som grundbeteckning som den är inom forskningsområdet. Endast två värden av sekventiellt givna argument kan avslöja vektorns riktning. Att anta att en annan lösning på onlineekvationer är mycket mer än att bara lösa den innebär att man får en fullfjädrad version av invarianten som ett resultat. Utan integrerat tillvägagångssätt Det är svårt för elever att lära sig detta material. Som tidigare, för varje specialfall, kommer vår bekväma och smarta ekvationskalkylator online att hjälpa alla i svåra tider, eftersom du bara behöver ange ingångsparametrarna och systemet självt kommer att beräkna svaret. Innan vi börjar mata in data behöver vi ett inmatningsverktyg, vilket kan göras utan större svårighet. Antalet för varje svarsuppskattning kommer att leda till en andragradsekvation för våra slutsatser, men detta är inte så lätt att göra, eftersom det är lätt att bevisa motsatsen. Teorin, på grund av dess egenskaper, stöds inte av praktisk kunskap. Att se en bråkräknare vid publicering av svaret är inte en lätt uppgift i matematik, eftersom alternativet att skriva ett tal på en uppsättning bidrar till att öka tillväxten av funktionen. Det skulle dock vara felaktigt att inte prata om studentutbildning, så vi kommer var och en att säga så mycket som det behöver göras. Den tidigare hittade kubikekvationen kommer med rätta att tillhöra definitionsdomänen och innehålla utrymmet för numeriska värden, såväl som symboliska variabler. Efter att ha lärt sig eller memorerat satsen kommer våra elever att bevisa sig endast med den bästa sidan, och vi kommer att vara glada för dem. Till skillnad från skärningspunkter med flera fält, beskrivs våra onlineekvationer av ett rörelseplan genom att multiplicera två och tre numeriska kombinerade linjer. En mängd i matematik definieras inte unikt. Den bästa lösningen, enligt eleverna, är en fullständig inspelning av uttrycket. Som det sades i vetenskapligt språk, kommer abstraktionen av symboliska uttryck inte in i sakernas tillstånd, men lösningen av ekvationer ger ett entydigt resultat i alla kända fall. Längden på lärarens lektion beror på behoven för detta förslag. Analysen visade på nödvändigheten av alla beräkningstekniker inom många områden, och det är helt klart att en ekvationsräknare är ett oumbärligt verktyg i en elevs begåvade händer. Ett lojalt förhållningssätt till matematikstudier avgör vikten av åsikter från olika håll. Du vill identifiera ett av nyckelsatserna och lösa ekvationen på ett sådant sätt, beroende på svaret som det kommer att finnas ett ytterligare behov av för dess tillämpning. Analysen inom detta område tar fart. Låt oss börja från början och härleda formeln. Efter att ha brutit igenom nivån av ökning av funktionen, kommer linjen längs tangenten vid böjningspunkten säkerligen att leda till det faktum att att lösa ekvationen online kommer att vara en av huvudaspekterna för att konstruera samma graf från argumentet för funktionen. En amatörmetod har rätt att tillämpas om detta villkor inte strider mot elevernas slutsatser. Det är deluppgiften som sätter analysen av matematiska förhållanden som linjära ekvationer i den existerande definitionsdomänen för objektet som förs i bakgrunden. Förskjutning i riktning mot ortogonalitet minskar ömsesidigt fördelen med ensam absolut värde. Modulolösning av ekvationer online ger samma antal lösningar om du öppnar parenteserna först med ett plustecken och sedan med ett minustecken. I det här fallet kommer det att finnas dubbelt så många lösningar, och resultatet blir mer exakt. En stabil och korrekt ekvationsräknare online är framgång för att uppnå det avsedda målet i uppgiften som läraren ställt in. Det verkar möjligt att välja rätt metod på grund av de betydande skillnaderna i åsikter från stora forskare. Den resulterande andragradsekvationen beskriver kurvan för linjer, den så kallade parabeln, och tecknet kommer att bestämma dess konvexitet i det kvadratiska koordinatsystemet. Från ekvationen får vi både diskriminanten och själva rötterna enligt Vietas teorem. Det första steget är att representera uttrycket som ett korrekt eller oegentligt bråk och använda en bråkräknare. Beroende på detta kommer planen för våra vidare beräkningar att utformas. Matematik med ett teoretiskt förhållningssätt kommer att vara användbart i varje steg. Vi kommer definitivt att presentera resultatet som en kubikekvation, eftersom vi kommer att dölja dess rötter i detta uttryck för att förenkla uppgiften för en student vid ett universitet. Alla metoder är bra om de lämpar sig för ytlig analys. Extra aritmetiska operationer kommer inte att leda till räknefel. Bestämmer svaret med en given noggrannhet. Med hjälp av ekvationslösningen, låt oss inse det - att hitta den oberoende variabeln för en given funktion är inte så lätt, särskilt under perioden för att studera parallella linjer i oändligheten. Med hänsyn till undantaget är behovet mycket uppenbart. Polaritetsskillnaden är tydlig. Från erfarenheten av att undervisa på institut, lärde vår lärare huvudläxan där onlineekvationer studerades i fullständig matematisk mening. Här pratade vi om högre insatser och specialkunskaper i att tillämpa teorin. Till förmån för våra slutsatser bör man inte se genom ett prisma. Tills nyligen trodde man att en sluten uppsättning snabbt ökar över regionen som den är och lösningen av ekvationerna behöver helt enkelt undersökas. I det första skedet övervägde vi inte allt möjliga alternativ, men detta tillvägagångssätt är mer berättigat än någonsin. Extra åtgärder med parenteser motiverar vissa framsteg längs ordinata- och abskissaxlarna, som inte kan förbises med blotta ögat. I betydelsen en omfattande proportionell ökning av funktionen finns en böjningspunkt. Än en gång ska vi bevisa hur nödvändigt tillstånd kommer att tillämpas under hela intervallet för minskning av en eller annan nedåtgående position för vektorn. I ett begränsat utrymme kommer vi att välja en variabel från det första blocket av vårt skript. Ett system konstruerat som en bas längs tre vektorer är ansvarigt för frånvaron av det huvudsakliga kraftmomentet. Men ekvationsräknaren genererade och hjälpte till att hitta alla termer i den konstruerade ekvationen, både ovanför ytan och längs parallella linjer. Låt oss rita en cirkel runt startpunkten. Således kommer vi att börja röra oss uppåt längs sektionslinjerna, och tangenten kommer att beskriva cirkeln längs hela dess längd, vilket resulterar i en kurva som kallas involut. Låt oss förresten berätta lite historia om denna kurva. Faktum är att det historiskt sett i matematiken inte fanns något begrepp om själva matematiken i dess rena förståelse som den är idag. Tidigare var alla forskare engagerade i en gemensam uppgift, det vill säga vetenskap. Senare, flera århundraden senare, när den vetenskapliga världen var fylld med en kolossal mängd information, identifierade mänskligheten ändå många discipliner. De är fortfarande oförändrade. Och ändå försöker forskare runt om i världen varje år bevisa att vetenskapen är obegränsad, och du kommer inte att lösa ekvationen om du inte har kunskap om naturvetenskap. Det kanske inte går att slutligen sätta stopp för det. Att tänka på detta är lika meningslöst som att värma luften utanför. Låt oss hitta intervallet vid vilket argumentet, om dess värde är positivt, kommer att bestämma värdets modul i en kraftigt ökande riktning. Reaktionen hjälper dig att hitta minst tre lösningar, men du måste kontrollera dem. Låt oss börja med det faktum att vi måste lösa ekvationen online med hjälp av den unika tjänsten på vår webbplats. Låt oss ange båda sidor av den givna ekvationen, klicka på "LÖS"-knappen och få det exakta svaret inom bara några sekunder. I särskilda fall Låt oss ta en bok om matematik och dubbelkolla vårt svar, nämligen titta bara på svaret så blir allt klart. Samma projekt för en konstgjord redundant parallellepiped kommer att flyga ut. Det finns ett parallellogram med dess parallella sidor, och det förklarar många principer och tillvägagångssätt för att studera det rumsliga förhållandet i den uppåtgående processen att ackumulera ihåligt utrymme i naturliga formler. Tvetydiga linjära ekvationer visar beroendet av den önskade variabeln på vår gemensamma just nu tid beslut och du måste på något sätt härleda och ta felaktig bråkdel till ett icke-trivialt fall. Markera tio punkter på den räta linjen och rita en kurva genom varje punkt i den givna riktningen, med den konvexa punkten uppåt. Utan några speciella svårigheter kommer vår ekvationsräknare att presentera ett uttryck i en sådan form att dess kontroll av reglernas giltighet kommer att vara uppenbar även i början av inspelningen. Systemet med speciella representationer av stabilitet för matematiker kommer först, om inget annat anges av formeln. Vi kommer att svara på detta genom att presentera en detaljerad rapport om ämnet det isomorfa tillståndet för ett plastiskt system av kroppar och att lösa ekvationer online kommer att beskriva rörelsen för varje materialpunkt i detta system. På nivån av djupgående forskning kommer det att vara nödvändigt att i detalj klargöra frågan om inversioner av åtminstone det nedre lagret av rymden. Stigande i avsnittet där funktionen är diskontinuerlig kommer vi att tillämpa den allmänna metoden för en utmärkt forskare, förresten, vår landsman, och kommer att berätta nedan om planets beteende. På grund av de starka egenskaperna hos en analytiskt definierad funktion använder vi endast ekvationsräknaren online för dess avsedda syfte inom de härledda behörighetsgränserna. För att resonera vidare kommer vi att fokusera vår granskning på homogeniteten i ekvationen själv, det vill säga dess högra sida är lika med noll. Låt oss återigen se till att vårt beslut i matematik är korrekt. För att undvika att få en trivial lösning kommer vi att göra några justeringar av de initiala förutsättningarna för problemet med villkorlig stabilitet i systemet. Låt oss skapa en andragradsekvation, för vilken vi skriver ut två poster med en välkänd formel och hittar de negativa rötterna. Om en rot är fem enheter större än den andra och tredje roten, förvränger vi därigenom de initiala förutsättningarna för deluppgiften genom att göra ändringar i huvudargumentet. Till sin natur kan något ovanligt i matematik alltid beskrivas till närmaste hundradel av ett positivt tal. Bråkräknaren är flera gånger överlägsen sina analoger på liknande resurser vid det bästa ögonblicket av serverbelastning. På ytan av hastighetsvektorn som växer längs ordinataaxeln ritar vi sju linjer, böjda i motsatta riktningar. Kommensurabiliteten för det tilldelade funktionsargumentet ligger före avläsningarna av återvinningsbalansräknaren. I matematik kan vi representera detta fenomen genom en kubisk ekvation med imaginära koefficienter, såväl som i den bipolära progressionen av minskande linjer. Kritiska punkter Temperaturskillnader beskriver på många sätt processen att bryta ner en komplex bråkdelfunktion i faktorer. Om du blir tillsagd att lösa en ekvation, skynda dig inte att göra det direkt, utvärdera definitivt först hela handlingsplanen, och först sedan ta rätt tillvägagångssätt. Det kommer säkert att finnas fördelar. Det lätta att arbeta är uppenbart, och detsamma gäller i matematik. Lös ekvationen online. Alla onlineekvationer representerar en viss typ av post med siffror eller parametrar och en variabel som måste bestämmas. Beräkna just denna variabel, det vill säga hitta specifika värden eller intervall för en uppsättning värden där identiteten kommer att hålla. De initiala och slutliga förhållandena beror direkt på. Den allmänna lösningen av ekvationer inkluderar vanligtvis några variabler och konstanter, genom att ställa in vilka vi kommer att få hela familjer av lösningar för en given problemformulering. Generellt sett motiverar detta de ansträngningar som satsas på att öka funktionaliteten hos en rumslig kub med en sida lika med 100 centimeter. Du kan tillämpa ett teorem eller ett lemma i vilket skede som helst av att konstruera ett svar. Webbplatsen producerar gradvis en ekvationsräknare om det är nödvändigt att visa det minsta värdet vid något intervall av summering av produkter. I hälften av fallen är en sådan boll ihålig, inte i större utsträckning uppfyller kraven för att ställa ett mellansvar. Åtminstone på ordinataaxeln i riktning mot minskande vektorrepresentation kommer denna proportion utan tvekan att vara mer optimal än det tidigare uttrycket. Klockan när linjära funktioner en fullständig punktanalys kommer att utföras, vi kommer faktiskt att sammanföra alla våra komplexa tal och bipolära plana rum. Genom att ersätta en variabel i det resulterande uttrycket kommer du att lösa ekvationen steg för steg och ge det mest detaljerade svaret med hög noggrannhet. Det skulle vara bra för en elev att kontrollera sina handlingar i matematik igen. Andelen i förhållandet av fraktioner registrerade integriteten av resultatet i alla viktiga aktivitetsområden för nollvektorn. Trivialitet bekräftas i slutet av de genomförda åtgärderna. Med en enkel uppgift kanske eleverna inte har några svårigheter om de löser ekvationen online på kortast möjliga tid, men glöm inte bort alla olika regler. En uppsättning delmängder skär varandra i ett område med konvergent notation. I olika fall produkten är inte felaktigt faktoriserad. Du kommer att få hjälp att lösa ekvationen online i vårt första avsnitt, tillägnat grunderna i matematiska tekniker för viktiga avsnitt för studenter vid universitet och tekniska högskolor. Vi behöver inte vänta några dagar på svar, eftersom processen för den bästa interaktionen av vektoranalys med sekventiellt finna lösningar patenterades i början av förra seklet. Det visar sig att ansträngningarna att etablera relationer med det omgivande teamet inte var förgäves, något annat behövdes uppenbarligen först. Flera generationer senare fick forskare över hela världen människor att tro att matematiken är vetenskapernas drottning. Oavsett om det är det vänstra svaret eller det högra, ändå måste de uttömmande termerna skrivas i tre rader, eftersom vi i vårt fall definitivt bara kommer att prata om vektoranalys av matrisens egenskaper. Icke-linjära och linjära ekvationer, tillsammans med biquadratiska ekvationer, har en speciell plats i vår bok om bästa praxis beräkning av rörelsebanan i utrymmet för alla materialpunkter i ett slutet system. En linjär analys av den skalära produkten av tre på varandra följande vektorer kommer att hjälpa oss att förverkliga idén. I slutet av varje påstående görs uppgiften enklare genom att implementera optimerade numeriska undantag över de numeriska överlagringar som utförs. En annan bedömning kommer inte att kontrastera det hittade svaret i den godtyckliga formen av en triangel i en cirkel. Vinkeln mellan två vektorer innehåller den erforderliga procentandelen av marginal, och att lösa ekvationer online avslöjar ofta en viss gemensam rot till ekvationen i motsats till de initiala förutsättningarna. Undantaget spelar rollen som en katalysator i hela den oundvikliga processen att hitta en positiv lösning inom området för att definiera en funktion. Om det inte sägs att du inte kan använda en dator, så är en ekvationsräknare online helt rätt för dina svåra problem. Du behöver bara ange dina villkorliga uppgifter i rätt format och vår server kommer att ge ett fullfjädrat resultatsvar på kortast möjliga tid. En exponentialfunktion ökar mycket snabbare än en linjär. Talmuderna om smart bibliotekslitteratur vittnar om detta. Kommer att utföra en beräkning i allmän mening som en given andragradsekvation med tre komplexa koefficienter skulle göra. Parabeln i den övre delen av halvplanet kännetecknar rätlinjig parallell rörelse längs punktens axlar. Här är det värt att nämna den potentiella skillnaden i kroppens arbetsutrymme. I utbyte mot ett suboptimalt resultat intar vår bråkräknare med rätta den första positionen i den matematiska bedömningen av granskningen av funktionella program på serversidan. Den enkla användningen av denna tjänst kommer att uppskattas av miljontals internetanvändare. Om du inte vet hur du använder den hjälper vi dig gärna. Vi vill också särskilt notera och lyfta fram kubikekvationen från ett antal grundskoleproblem, då det är nödvändigt att snabbt hitta dess rötter och konstruera en graf över funktionen på ett plan. Högre reproduktionsgrader är ett av de komplexa matematiska problemen vid institutet och ett tillräckligt antal timmar avsätts för dess studier. Liksom alla linjära ekvationer är våra inte något undantag enligt många objektiva regler se ur olika synvinklar, och det visar sig vara enkelt och tillräckligt för att sätta de initiala förutsättningarna. Ökningsintervallet sammanfaller med funktionens konvexitetsintervall. Lösa ekvationer online. Teoristudiet baseras på onlineekvationer från många avsnitt om studiet av huvuddisciplinen. När det gäller detta tillvägagångssätt i osäkra problem är det mycket enkelt att presentera lösningen på ekvationer i en förutbestämd form och inte bara dra slutsatser, utan också förutsäga resultatet av en sådan positiv lösning. En tjänst i matematikens bästa traditioner hjälper oss att lära oss ämnesområdet, precis som det är brukligt i öst. I bästa stunderna tidsintervall multiplicerades liknande uppgifter med en gemensam faktor på tio. Överflödet av multiplikationer av flera variabler i ekvationsräknaren började multiplicera med kvalitet snarare än kvantitativa variabler som massa eller kroppsvikt. För att undvika fall av obalans i materialsystemet är härledningen av en tredimensionell transformator på den triviala konvergensen av icke-degenererade matematiska matriser ganska uppenbar för oss. Slutför uppgiften och lös ekvationen i de givna koordinaterna, eftersom slutsatsen är okänd på förhand, liksom alla variabler som ingår i post-rymdtiden. Under en kort tid flyttar du den gemensamma faktorn utanför parentesen och dividerar med den största gemensam divisor båda delarna i förväg. Från under den resulterande täckta delmängden av siffror, extrahera på ett detaljerat sätt trettiotre punkter i rad under en kort period. I den mån det på bästa möjliga sätt Att lösa en ekvation online är möjligt för varje student. Om vi ​​ser framåt, låt oss säga en viktig men viktig sak, utan vilken det kommer att bli svårt att leva i framtiden. Under förra seklet märkte den store vetenskapsmannen ett antal mönster i matematikteorin. I praktiken blev resultatet inte riktigt det förväntade intrycket av händelserna. Men i princip hjälper just denna lösning av ekvationer online till att förbättra förståelsen och uppfattningen av ett holistiskt tillvägagångssätt för studier och praktisk konsolidering av det teoretiska materialet som studeras. Det är mycket lättare att göra detta under din studietid.

=

Vad är en exponentiell ekvation? Exempel.

Så, en exponentiell ekvation... En ny unik utställning i vår allmänna utställning av en mängd olika ekvationer!) Som nästan alltid är fallet är nyckelordet för varje ny matematisk term motsvarande adjektiv som kännetecknar den. Så det är här. Nyckelord i termen "exponentiell ekvation" är ordet "indikativ". Vad betyder det? Detta ord betyder att det okända (x) finns vad gäller eventuella grader. Och bara där! Detta är oerhört viktigt.

Till exempel dessa enkla ekvationer:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Eller till och med dessa monster:

2 sin x = 0,5

Var genast uppmärksam på en viktig sak: skäl grader (botten) – bara siffror. Men i indikatorer grader (ovan) - en mängd olika uttryck med ett X. Absolut vilken som helst.) Allt beror på den specifika ekvationen. Om x plötsligt förekommer någon annanstans i ekvationen, förutom indikatorn (säg, 3 x = 18 + x 2), så kommer en sådan ekvation redan att vara en ekvation blandad typ. Sådana ekvationer har inga tydliga regler för att lösa dem. Därför i denna lektion vi kommer inte att överväga dem. Till elevernas glädje.) Här kommer vi endast att betrakta exponentiella ekvationer i deras "rena" form.

Generellt sett kan inte alla och inte alltid ens rena exponentialekvationer lösas tydligt. Men bland all den rika mångfalden exponentiella ekvationer Det finns vissa typer som kan och bör åtgärdas. Det är dessa typer av ekvationer som vi kommer att överväga. Och vi kommer definitivt att lösa exemplen.) Så låt oss bli bekväma och iväg! Precis som i dator-"shooters" kommer vår resa att ske genom nivåer.) Från elementärt till enkelt, från enkelt till genomsnittligt och från genomsnittligt till komplext. Längs vägen kommer också en hemlig nivå att vänta på dig - tekniker och metoder för att lösa icke-standardiserade exempel. De som du inte kommer att läsa om i de flesta skolböcker... Tja, och i slutet väntar naturligtvis en sista chef på dig i form av läxor.)

Nivå 0. Vilken är den enklaste exponentiella ekvationen? Lösa enkla exponentialekvationer.

Låt oss först titta på några uppriktiga elementära saker. Man måste börja någonstans, eller hur? Till exempel denna ekvation:

2 x = 2 2

Även utan några teorier, enligt enkel logik och sunt förnuft Det är tydligt att x = 2. Det finns inget annat sätt, eller hur? Ingen annan betydelse av X är lämplig... Och låt oss nu vända oss till protokoll över beslut denna coola exponentiella ekvation:

2 x = 2 2

X = 2

Vad hände med oss? Och följande hände. Vi tog det faktiskt och... slängde helt enkelt ut samma baser (tvåor)! Helt utkastad. Och de goda nyheterna är att vi träffar tjuren!

Ja, faktiskt, om det finns vänster och höger i en exponentiell ekvation identisk tal i valfri potens, då kan dessa tal kasseras och helt enkelt likställa exponenterna. Matematik tillåter.) Och då kan man arbeta separat med indikatorerna och lösa en mycket enklare ekvation. Bra, eller hur?

Här är nyckelidén för att lösa vilken som helst (ja, exakt vilken som helst!) exponentiell ekvation: med identiska transformationer är det nödvändigt att se till att vänster och höger sida av ekvationen är identisk bastal i olika potenser. Och då kan du säkert ta bort samma baser och likställa exponenterna. Och arbeta med en enklare ekvation.

Låt oss nu komma ihåg järn regel: det är möjligt att ta bort identiska baser om och endast om talen till vänster och höger om ekvationen har bastal i fantastisk isolering.

Vad betyder det, i strålande isolering? Detta innebär utan några grannar och koefficienter. Låt mig förklara.

Till exempel i Ekv.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Treor kan inte tas bort! Varför? För till vänster har vi inte bara en ensam trea till den grad, men arbete 3·3 x-5 . Ytterligare tre stör: koefficienten förstår du.)

Detsamma kan sägas om ekvationen

5 3 x = 5 2 x +5 x

Även här är alla baser likadana – fem. Men till höger har vi inte en enda potens av fem: det finns en summa av potenser!

Kort sagt, vi har rätt att ta bort identiska baser endast när vår exponentiella ekvation ser ut så här och bara så här:

af (x) = ett g (x)

Denna typ av exponentiell ekvation kallas det enklaste. Eller, vetenskapligt, kanonisk . Och oavsett vilken krystad ekvation vi har framför oss kommer vi på ett eller annat sätt att reducera den till just denna enklaste (kanoniska) form. Eller, i vissa fall, att helhet ekvationer av denna typ. Då kan vår enklaste ekvation skrivas som allmän syn skriv om det så här:

F(x) = g(x)

Det är allt. Detta skulle vara en likvärdig konvertering. I det här fallet kan f(x) och g(x) vara absolut alla uttryck med ett x. Vad som helst.

Kanske kommer en särskilt nyfiken student att undra: varför i hela friden kastar vi så enkelt och enkelt bort samma baser till vänster och höger och likställer exponenterna? Intuition är intuition, men tänk om, i någon ekvation och av någon anledning, detta tillvägagångssätt visar sig vara felaktigt? Är det alltid lagligt att kasta ut samma grunder? Tyvärr, för ett rigoröst matematiskt svar på denna intressanta fråga, måste du dyka ganska djupt och seriöst in i den allmänna teorin om funktioners struktur och beteende. Och lite mer specifikt – i fenomenet strikt monotoni. I synnerhet strikt monotoni exponentiell funktiony= ett x. Eftersom det är exponentialfunktionen och dess egenskaper som ligger till grund för lösningen av exponentiella ekvationer, ja.) Ett detaljerat svar på denna fråga kommer att ges i en separat speciallektion tillägnad att lösa komplexa icke-standardiserade ekvationer med hjälp av monotoniteten hos olika funktioner.)

Att förklara denna punkt i detalj nu skulle bara förvirra den genomsnittliga studenten och skrämma bort honom i förväg med en torr och tung teori. Jag kommer inte att göra det här.) Eftersom vår huvudsakliga uppgift för tillfället är lär dig att lösa exponentialekvationer! De enklaste! Låt oss därför inte oroa oss ännu och djärvt kasta ut samma skäl. Detta Burk, ta mitt ord för det!) Och så löser vi ekvivalentekvationen f(x) = g(x). Som regel enklare än den ursprungliga exponentialen.

Det antas förstås att folk redan vet hur man löser åtminstone , och ekvationer, utan x i exponenter.) För den som fortfarande inte vet hur, stäng gärna denna sida, följ de relevanta länkarna och fyll i de gamla luckorna. Annars får du det jobbigt, ja...

Jag pratar inte om irrationella, trigonometriska och andra brutala ekvationer som också kan dyka upp i processen att eliminera grunderna. Men var inte orolig, vi kommer inte att överväga direkt grymhet i termer av grader för nu: det är för tidigt. Vi tränar bara på de enklaste ekvationerna.)

Låt oss nu titta på ekvationer som kräver ytterligare ansträngning för att reducera dem till det enklaste. För skillnadens skull, låt oss kalla dem enkla exponentiella ekvationer. Så låt oss gå till nästa nivå!

Nivå 1. Enkla exponentialekvationer. Låt oss känna igen graderna! Naturliga indikatorer.

Nyckelreglerna för att lösa exponentiella ekvationer är regler för hantering av examina. Utan dessa kunskaper och färdigheter kommer ingenting att fungera. Tyvärr. Så om det är problem med examina så är du först välkommen. Dessutom kommer vi också att behöva . Dessa transformationer (två av dem!) är grunden för att lösa alla matematiska ekvationer i allmänhet. Och inte bara demonstrativa. Så, den som har glömt, ta en titt på länken: Jag lägger dem inte bara där.

Men enbart verksamhet med befogenheter och identitetsförvandlingar räcker inte. Personlig observation och uppfinningsrikedom krävs också. Vi behöver samma skäl, eller hur? Så vi undersöker exemplet och letar efter dem i en explicit eller förtäckt form!

Till exempel denna ekvation:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Första titt på grunder. De är... olika! Tre och tjugosju. Men det är för tidigt för panik och förtvivlan. Det är dags att komma ihåg det

27 = 3 3

Nummer 3 och 27 är släktingar! Och närstående.) Därför har vi all rätt skriva ner:

27 x +2 = (3 3) x+2

Låt oss nu koppla vår kunskap om åtgärder med grader(och jag varnade dig!). Det finns en mycket användbar formel där:

(a m) n = a mn

Om du nu sätter igång det, fungerar det utmärkt:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Det ursprungliga exemplet ser nu ut så här:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Jättebra, gradernas grunder har planat ut. Det var vad vi ville. Halva striden är klar.) Nu startar vi den grundläggande identitetstransformationen - flytta 3 3(x +2) åt höger. Ingen har avbrutit matematikens elementära operationer, ja.) Vi får:

3 2 x = 3 3 (x +2)

Vad ger den här typen av ekvationer oss? Och det faktum att nu är vår ekvation reducerad till kanonisk form: vänster och höger stativ samma siffror(tre) i grader. Dessutom befinner sig båda tre i utmärkt isolering. Ta gärna bort trippeln och få:

2x = 3(x+2)

Vi löser detta och får:

X = -6

Det är det. Detta är det korrekta svaret.)

Låt oss nu tänka på lösningen. Vad räddade oss i detta exempel? Kunskapen om tres krafter räddade oss. Hur exakt? Vi identifieras nummer 27 innehåller en krypterad trea! Detta trick (som kodar samma bas under olika siffror) är ett av de mest populära i exponentiella ekvationer! Om det inte är det mest populära. Ja, och på samma sätt förresten. Det är därför observation och förmågan att känna igen potenser för andra tal i tal är så viktiga i exponentiella ekvationer!

Praktiska råd:

Du måste känna till krafterna hos populära siffror. I ansiktet!

Naturligtvis kan vem som helst höja två till sjunde potens eller tre till femte potens. Inte i mina tankar, men åtminstone i ett utkast. Men i exponentiella ekvationer är det mycket oftare nödvändigt att inte höja till en potens, utan tvärtom, att ta reda på vilket nummer och till vilken makt som döljs bakom talet, säg 128 eller 243. Och detta är mer komplicerat än att bara höja, kommer du att hålla med. Känn skillnaden, som man säger!

Eftersom förmågan att erkänna examina personligen kommer att vara användbar inte bara på den här nivån, utan även på nästa, är här en liten uppgift för dig:

Bestäm vilka potenser och vilka siffror talen är:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Svar (slumpmässigt förstås):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Ja, ja! Bli inte förvånad över att det finns fler svar än uppgifter. Till exempel är 2 8, 4 4 och 16 2 alla 256.

Nivå 2. Enkla exponentialekvationer. Låt oss känna igen graderna! Negativa och fraktionerade indikatorer.

På den här nivån använder vi redan vår kunskap om examina på till fullo. Vi involverar nämligen negativa och bråkdelar i denna fascinerande process! Ja, ja! Vi måste öka vår makt, eller hur?

Till exempel denna hemska ekvation:

Återigen är den första anblicken på grunderna. Anledningarna är olika! Och den här gången inte ens på avstånd liknande vän på en vän! 5 och 0,04... Och för att eliminera baserna behövs samma... Vad ska man göra?

Det är okej! Faktum är att allt är sig likt, det är bara att kopplingen mellan femman och 0,04 är visuellt dåligt synlig. Hur kan vi komma ut? Låt oss gå vidare till talet 0,04 som ett vanligt bråk! Och sedan, du förstår, kommer allt att ordna sig.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Det visar sig att 0,04 är 1/25! Tja, vem hade trott!)

Så hur? Är det nu lättare att se sambandet mellan siffrorna 5 och 1/25? Det är det...

Och nu enligt reglerna för åtgärder med grader med negativ indikator Du kan skriva med en stadig hand:

Det är jättebra. Så vi kom till samma bas - fem. Nu ersätter vi det obekväma talet 0,04 i ekvationen med 5 -2 och får:

Återigen, enligt reglerna för operationer med examina, kan vi nu skriva:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

För säkerhets skull påminner jag er (ifall någon inte vet) att de grundläggande reglerna för hantering av examina gäller för några indikatorer! Inklusive för negativa.) Så ta och multiplicera indikatorerna (-2) och (x-1) med motsvarande regel. Vår ekvation blir bättre och bättre:

Alla! Förutom ensamma femmor finns det inget annat i krafterna till vänster och höger. Ekvationen reduceras till kanonisk form. Och sedan - längs det räfflade spåret. Vi tar bort femmorna och likställer indikatorerna:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Exemplet är nästan löst. Allt som återstår är grundskolans matematik - öppna (korrekt!) parenteserna och samla allt till vänster:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Vi löser detta och får två rötter:

x 1 = 1; x 2 = 3

Det är allt.)

Låt oss nu tänka om. I i detta exempel vi var återigen tvungna att känna igen samma nummer i olika grad! Nämligen att se en krypterad femma i siffran 0,04. Och den här gången - in negativ grad! Hur gjorde vi detta? Rätt av stapeln - inget sätt. Men efter att ha flyttat från decimalbråket 0,04 till det vanliga bråket 1/25 blev allt klart! Och sedan gick hela beslutet som på räls.)

Därför ytterligare ett grönt praktiskt råd.

Om en exponentiell ekvation innehåller decimalbråk, så går vi från decimalbråk till vanliga bråk. Det är mycket lättare att känna igen krafter av många populära tal i bråktal! Efter igenkänning går vi från bråk till potenser med negativa exponenter.

Tänk på att detta trick förekommer väldigt, väldigt ofta i exponentiella ekvationer! Men personen är inte med i ämnet. Han tittar till exempel på siffrorna 32 och 0,125 och blir upprörd. Utan att han vet är detta en och samma två, bara i olika grader... Men du är redan insatt!)

Lös ekvationen:

I! Det ser ut som tyst skräck... Skenet bedrar dock. Detta är den enklaste exponentiella ekvationen, trots dess skrämmande utseende. Och nu ska jag visa det för dig.)

Låt oss först titta på alla siffror i baserna och koefficienterna. De är förstås olika, ja. Men vi kommer ändå att ta en risk och försöka göra dem identisk! Låt oss försöka komma till samma antal i olika makter. Dessutom är siffrorna helst så små som möjligt. Så låt oss börja avkoda!

Tja, med de fyra är allt omedelbart klart - det är 2 2. Så det är redan något.)

Med en bråkdel av 0,25 – det är fortfarande oklart. Måste kolla. Låt oss använda praktiska råd - gå från ett decimalbråk till ett vanligt bråktal:

0,25 = 25/100 = 1/4

Redan mycket bättre. För nu syns det tydligt att 1/4 är 2 -2. Bra, och siffran 0,25 är också besläktad med två.)

Så långt så bra. Men det värsta antalet av alla kvarstår - kvadratroten ur två! Vad ska man göra med denna paprika? Kan det också representeras som en tvåpotens? Och vem vet...

Nåväl, låt oss dyka ner i vår skattkammare av kunskap om examina igen! Den här gången kopplar vi dessutom ihop vår kunskap om rötter. Från 9:e årskursen borde du och jag ha lärt oss att vilken rot som helst, om så önskas, alltid kan förvandlas till en examen med en bråkindikator.

Så här:

I vårt fall:

Wow! Det visar sig att kvadratroten ur två är 2 1/2. Det är det!

Det är jättebra! Alla våra obekväma nummer visade sig faktiskt vara en krypterad tvåa.) Jag argumenterar inte, någonstans mycket sofistikerat krypterad. Men vi förbättrar också vår professionalitet när det gäller att lösa sådana chiffer! Och då är allt redan uppenbart. I vår ekvation ersätter vi talen 4, 0,25 och roten av två med två potenser:

Alla! Grunderna för alla grader i exemplet blev desamma - två. Och nu används standardåtgärder med grader:

en mett n = en m + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

För vänster sida får du:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

För högersidan blir det:

Och nu ser vår onda ekvation ut så här:

För dem som inte har listat ut exakt hur denna ekvation kom till, då handlar frågan här inte om exponentiella ekvationer. Frågan handlar om handlingar med examina. Jag bad dig att snarast upprepa det för dem som har problem!

Här är målgången! Den kanoniska formen av exponentiella ekvationen har erhållits! Så hur? Har jag övertygat dig om att allt inte är så läskigt? ;) Vi tar bort tvåorna och likställer indikatorerna:

Allt som återstår är att lösa denna linjära ekvation. Hur? Med hjälp av identiska transformationer, förstås.) Bestäm vad som händer! Multiplicera båda sidor med två (för att ta bort bråket 3/2), flytta termerna med X till vänster, utan X till höger, ta med liknande, räkna - och du kommer att vara nöjd!

Allt ska bli vackert:

X=4

Låt oss nu tänka på lösningen igen. I det här exemplet fick vi hjälp av övergången från kvadratrot Till grad med exponent 1/2. Dessutom var det bara en sådan listig förvandling som hjälpte oss att nå samma bas (två) överallt, vilket räddade situationen! Och om inte för det, då skulle vi ha alla möjligheter att frysa för alltid och aldrig klara av det här exemplet, ja...

Därför försummar vi inte nästa praktiska råd:

Om en exponentiell ekvation innehåller rötter, så går vi från rötter till potenser med bråkexponenter. Mycket ofta klargör bara en sådan omvandling den ytterligare situationen.

Naturligtvis är negativa och bråkdelar redan mycket mer komplexa än naturliga krafter. Åtminstone ur synvinkeln av visuell perception och, särskilt, igenkänning från höger till vänster!

Det är klart att det inte är så stort problem att direkt höja till exempel två till -3 eller fyra till -3/2. För de som vet.)

Men gå, till exempel, inse det direkt

0,125 = 2 -3

Eller

Här är det bara övning och rik erfarenhet som styr, ja. Och naturligtvis tydlig presentation, Vad är en negativ och bråkdelgrad? Och även praktiska råd! Ja, ja, samma grön.) Jag hoppas att de fortfarande kommer att hjälpa dig att bättre navigera i alla olika grader och avsevärt öka dina chanser att lyckas! Så låt oss inte försumma dem. Jag är inte förgäves grön Jag skriver ibland.)

Men om ni lär känna varandra även med sådana exotiska krafter som negativa och bråkdelar, så kommer era möjligheter att lösa exponentiella ekvationer att expandera enormt, och ni kommer att kunna hantera nästan alla typer av exponentiella ekvationer. Tja, om inte några, så 80 procent av alla exponentiella ekvationer – helt klart! Ja, ja, jag skämtar inte!

Så vår första del av vår introduktion till exponentiella ekvationer har kommit till sin logiska slutsats. Och som ett mellanpass föreslår jag traditionellt att du gör lite självreflektion.)

Uppgift 1.

För att mina ord om att dechiffrera negativa och bråkdelar inte ska gå förgäves, föreslår jag att du spelar ett litet spel!

Uttryck siffror som tvåpotenser:

Svar (i oordning):

Fungerade det? Stor! Sedan gör vi ett stridsuppdrag - vi löser de enklaste och enklaste exponentiella ekvationerna!

Uppgift 2.

Lös ekvationerna (alla svar är en enda röra!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

Svar:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Fungerade det? Det är faktiskt mycket enklare!

Då löser vi nästa spel:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

Svar:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Och dessa exempel är ett kvar? Stor! Du växer! Här är några fler exempel för dig att snacka på:

Svar:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Och är detta bestämt? Nåväl, respekt! Jag tar av hatten.) Detta betyder att lektionen inte var förgäves, och den initiala nivån för att lösa exponentiella ekvationer kan anses vara framgångsrik. Nästa nivåer och mer komplexa ekvationer ligger framför dig! Och nya tekniker och tillvägagångssätt. Och icke-standardiserade exempel. Och nya överraskningar.) Allt detta är i nästa lektion!

Gick något fel? Det betyder att problemen med största sannolikhet finns i . Eller i. Eller båda på en gång. Jag är maktlös här. Jag kan återigen bara föreslå en sak - var inte lat och följ länkarna.)

Fortsättning följer.)

Belgorod State University

AVDELNING algebra, talteori och geometri

Ämne: Exponentiella potensekvationer och ojämlikheter.

Avhandling student vid fakulteten för fysik och matematik

Vetenskaplig handledare:

______________________________

Granskare: __________________________________________

________________________

Belgorod. 2006

Introduktion			3
Ämne jag.	Analys av litteratur om forskningsämnet.
Ämne II.	Funktioner och deras egenskaper som används för att lösa exponentiella ekvationer och olikheter.
	I.1.	Power funktion och dess egenskaper.
	I.2.	Exponentialfunktion och dess egenskaper.
Ämne III.	Lösa exponentiella potensekvationer, algoritm och exempel.
Ämne IV.	Lösning av exponentiella ojämlikheter, lösningsplan och exempel.
Ämne V.	Erfarenhet av att hålla klasser med skolbarn om ämnet: "Lösa exponentiella ekvationer och ojämlikheter."
V. 1.	Utbildningsmaterial.
V. 2.	Problem för oberoende lösning.
Slutsats.	Slutsatser och förslag.
Lista över begagnad litteratur.
Ansökningar

Introduktion.

"...glädjen att se och förstå..."

A. Einstein.

I detta arbete försökte jag förmedla min erfarenhet av att arbeta som matematiklärare, för att åtminstone till viss del förmedla min inställning till dess undervisning – en mänsklig strävan där båda förvånansvärt flätas samman. matematisk vetenskap, och pedagogik, och didaktik, och psykologi och till och med filosofi.

Jag fick möjligheten att arbeta med barn och akademiker, med barn vid polerna för intellektuell utveckling: de som var registrerade hos en psykiater och som verkligen var intresserade av matematik

Jag fick möjlighet att lösa många metodproblem. Jag ska försöka prata om de som jag lyckades lösa. Men ännu fler misslyckades, och även i de som verkar vara lösta uppstår nya frågor.

Men ännu viktigare än själva upplevelsen är lärarens reflektioner och tvivel: varför är det exakt så här, denna upplevelse?

Och sommaren är annorlunda nu, och utvecklingen av utbildning har blivit mer intressant. "Under the Jupiters" är idag inte ett sökande efter ett mytiskt optimalt system för att lära ut "alla och allt", utan barnet självt. Men då - av nödvändighet - läraren.

I skolkurs algebra och början av analys, årskurs 10 - 11, med klara Unified State Exam per kurs gymnasiet och på inträdesprov till universitet finns det ekvationer och ojämlikheter som innehåller en okänd i basen och exponenterna - dessa är exponentiella ekvationer och ojämlikheter.

De får lite uppmärksamhet i skolan, det finns praktiskt taget inga uppgifter om detta ämne i läroböcker. Men att behärska tekniken för att lösa dem, verkar det för mig, är mycket användbart: det ökar mentala och kreativitet studenter öppnar sig helt nya horisonter inför oss. När de löser problem får eleverna de första färdigheterna forskningsarbete, deras matematiska kultur berikas, deras förmågor till logiskt tänkande. Skolbarn utvecklar sådana personlighetsegenskaper som beslutsamhet, målsättning och oberoende, vilket kommer att vara användbart för dem senare i livet. Och det finns även upprepning, expansion och djup assimilering av utbildningsmaterial.

Jag började arbeta med detta ämne för min avhandling genom att skriva mina kurser. Under loppet av vilken jag djupgående studerade och analyserade den matematiska litteraturen om detta ämne, identifierade jag den mest lämpliga metoden för att lösa exponentiella ekvationer och ojämlikheter.

Det ligger i det faktum att utöver det allmänt accepterade tillvägagångssättet när man löser exponentiella ekvationer (basen tas större än 0) och när man löser samma olikheter (basen tas större än 1 eller större än 0, men mindre än 1) , fall beaktas också när baserna är negativa, lika med 0 och 1.

Analys av skriftligt tentamen studenter visar att bristen på bevakning av frågan om negativt värde argumentet för den exponentiella funktionen i skolböcker orsakar dem ett antal svårigheter och leder till fel. Och de har också problem i det skede att systematisera de erhållna resultaten, där, på grund av övergången till en ekvation - en konsekvens eller en ojämlikhet - en konsekvens, kan främmande rötter uppstå. För att eliminera fel använder vi ett test som använder den ursprungliga ekvationen eller olikheten och en algoritm för att lösa exponentiella ekvationer, eller en plan för att lösa exponentiella olikheter.

För att eleverna ska klara slut- och inträdesproven tror jag att det är nödvändigt att ägna mer uppmärksamhet åt att lösa exponentiella ekvationer och ojämlikheter i klasser, eller dessutom i valfria och klubbar.

Således ämne , min avhandling definieras enligt följande: "Exponentiella potensekvationer och ojämlikheter."

Mål av detta arbete är:

1. Analysera litteraturen om detta ämne.

2. Ge en fullständig analys av lösningen av exponentiella ekvationer och ojämlikheter.

3. Ge ett tillräckligt antal exempel av olika typer om detta ämne.

4. Kontrollera i klasser, valfria och klubbklasser hur de föreslagna metoderna för att lösa exponentiella ekvationer och ojämlikheter kommer att uppfattas. Ge lämpliga rekommendationer för att studera detta ämne.

Ämne Vår forskning är att utveckla en metodik för att lösa exponentiella ekvationer och ojämlikheter.

Syftet och ämnet för studien krävde att man skulle lösa följande problem:

1. Studera litteraturen om ämnet: "Exponentiella potensekvationer och ojämlikheter."

2. Behärska teknikerna för att lösa exponentiella ekvationer och ojämlikheter.

3. Välj träningsmaterial och utveckla ett system med övningar på olika nivåer om ämnet: "Lösa exponentiella ekvationer och ojämlikheter."

Under examensarbetet analyserades mer än 20 artiklar om användningen av olika metoder för att lösa exponentiella ekvationer och ojämlikheter. Härifrån får vi.

Uppsatsplan:

Introduktion.

Kapitel I. Analys av litteratur om forskningsämnet.

Kapitel II. Funktioner och deras egenskaper som används för att lösa exponentiella ekvationer och olikheter.

II.1. Power funktion och dess egenskaper.

II.2. Exponentialfunktion och dess egenskaper.

Kapitel III. Lösa exponentiella potensekvationer, algoritm och exempel.

Kapitel IV. Lösning av exponentiella ojämlikheter, lösningsplan och exempel.

Kapitel V. Erfarenhet av att hålla klasser med skolbarn om detta ämne.

1. Utbildningsmaterial.

2. Uppgifter för oberoende lösning.

Slutsats. Slutsatser och förslag.

Lista över begagnad litteratur.

Kapitel I analyserar litteraturen

Lösa exponentiella ekvationer. Exempel.

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som är väldigt "inte särskilt..."
Och för dem som "mycket...")

Vad har hänt exponentiell ekvation? Detta är en ekvation där de okända (x) och uttryck med dem finns med indikatorer några grader. Och bara där! Detta är viktigt.

Varsågod exempel på exponentiella ekvationer:

3 x 2 x = 8 x+3

Var uppmärksam! I grunderna för grader (nedan) - bara siffror. I indikatorer grader (ovan) - en mängd olika uttryck med ett X. Om plötsligt ett X dyker upp i ekvationen någon annanstans än en indikator, till exempel:

detta kommer redan att vara en ekvation av blandad typ. Sådana ekvationer har inga tydliga regler för att lösa dem. Vi kommer inte att överväga dem för närvarande. Här kommer vi att ta itu med lösa exponentiella ekvationer i sin renaste form.

Faktum är att inte ens rena exponentiella ekvationer alltid löses tydligt. Men det finns vissa typer av exponentiella ekvationer som kan och bör lösas. Det är dessa typer vi kommer att överväga.

Lösa enkla exponentialekvationer.

Låt oss först lösa något väldigt grundläggande. Till exempel:

Även utan några teorier, genom ett enkelt urval är det tydligt att x = 2. Inget mer, eller hur!? Inget annat värde på X fungerar. Låt oss nu titta på lösningen på denna knepiga exponentiella ekvation:

Vad har vi gjort? Vi, faktiskt, helt enkelt kastade ut samma baser (trippel). Helt utkastad. Och de goda nyheterna är att vi slår huvudet på spiken!

Ja, om det finns vänster och höger i en exponentiell ekvation identisk tal i valfri potens kan dessa tal tas bort och exponenterna kan utjämnas. Matematik tillåter. Det återstår att lösa en mycket enklare ekvation. Bra, eller hur?)

Men låt oss komma ihåg: Du kan bara ta bort baser när basnumren till vänster och höger är i utmärkt isolering! Utan några grannar och koefficienter. Låt oss säga i ekvationerna:

2 x +2 x+1 = 2 3, eller

tvåor kan inte tas bort!

Jo, vi har bemästrat det viktigaste. Hur man går från onda exponentiella uttryck till enklare ekvationer.

"Det är tiderna!" - säger du. "Vem skulle ge en så primitiv lektion om prov och tentor!?"

Jag måste hålla med. Ingen kommer att göra det. Men nu vet du vart du ska sikta när du löser knepiga exempel. Det är nödvändigt att ta det till den form där samma basnummer är till vänster och till höger. Då blir allt lättare. Egentligen är detta en klassiker inom matematik. Vi tar det ursprungliga exemplet och omvandlar det till det önskade oss sinne. Enligt matematikens regler förstås.

Låt oss titta på exempel som kräver lite extra ansträngning för att reducera dem till det enklaste. Låt oss ringa dem enkla exponentiella ekvationer.

Lösa enkla exponentialekvationer. Exempel.

Vid lösning av exponentiella ekvationer är huvudreglerna åtgärder med grader. Utan kunskap om dessa handlingar kommer ingenting att fungera.

Till handlingar med grader måste man lägga personlig observation och uppfinningsrikedom. Behöver vi samma bastal? Så vi letar efter dem i exemplet i explicit eller krypterad form.

Låt oss se hur detta går till i praktiken?

Låt oss ge ett exempel:

2 2x - 8 x+1 = 0

Den första skarpa titten är på grunder. De... De är olika! Två och åtta. Men det är för tidigt att bli avskräckt. Det är dags att komma ihåg det

Två och åtta är släkt i grad.) Det är fullt möjligt att skriva:

8 x+1 = (2 3) x+1

Om vi ​​minns formeln från operationer med grader:

(a n) m = a nm ,

det här går jättebra:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Det ursprungliga exemplet började se ut så här:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Vi överför 2 3 (x+1) till höger (ingen har avbrutit matematikens elementära operationer!), får vi:

2 2x = 2 3(x+1)

Det är praktiskt taget allt. Ta bort baserna:

Vi löser detta monster och får

Detta är det korrekta svaret.

I det här exemplet hjälpte det oss att känna till tvås krafter. Vi identifieras i åtta finns en krypterad tvåa. Denna teknik (kodning av gemensamma baser under olika tal) är en mycket populär teknik i exponentiella ekvationer! Ja, och i logaritmer också. Du måste kunna känna igen potenser för andra tal i tal. Detta är oerhört viktigt för att lösa exponentiella ekvationer.

Faktum är att det inte är ett problem att höja valfritt antal till valfri makt. Multiplicera, även på papper, och det är allt. Till exempel kan vem som helst höja 3 till femte potensen. 243 kommer att fungera om du känner till multiplikationstabellen.) Men i exponentialekvationer är det mycket oftare inte nödvändigt att höja till en potens, utan vice versa... Ta reda på det vilket antal i vilken gradär gömd bakom siffran 243, eller, säg, 343... Ingen miniräknare hjälper dig här.

Du måste känna till krafterna hos vissa siffror genom synen, eller hur... Låt oss öva?

Bestäm vilka potenser och vilka siffror talen är:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Svar (i en röra, förstås!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Om du tittar noga kan du se konstigt faktum. Det finns betydligt fler svar än uppgifter! Tja, det händer... Till exempel, 2 6, 4 3, 8 2 - det är alla 64.

Låt oss anta att du har tagit del av informationen om förtrogenhet med siffror.) Låt mig också påminna dig om att för att lösa exponentialekvationer använder vi alla lager av matematiska kunskaper. Inklusive de från junior- och medelklass. Du gick inte direkt till gymnasiet, eller hur?)

Till exempel, när man löser exponentiella ekvationer, hjälper det ofta att sätta den gemensamma faktorn inom parentes (hej till 7:e klass!). Låt oss titta på ett exempel:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Och återigen, den första anblicken är på grunderna! Grunderna för graderna är olika... Tre och nio. Men vi vill att de ska vara likadana. Tja, i det här fallet är önskan helt uppfylld!) Eftersom:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Använd samma regler för att hantera examina:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Det är bra, du kan skriva ner det:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Vi gav ett exempel av samma skäl. Och vad härnäst!? Du kan inte kasta ut treor... Återvändsgränd?

Inte alls. Kom ihåg den mest universella och kraftfulla beslutsregeln alla matematiska uppgifter:

Om du inte vet vad du behöver, gör vad du kan!

Titta, allt kommer att ordna sig).

Vad finns i den här exponentiella ekvationen Burk do? Ja, på vänster sida ber det bara att tas ur parentes! Den totala multiplikatorn på 3 2x tyder tydligt på detta. Låt oss försöka, så får vi se:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Exemplet blir bättre och bättre!

Vi kommer ihåg att för att eliminera grunder behöver vi en ren grad, utan några koefficienter. Siffran 70 stör oss. Så vi dividerar båda sidor av ekvationen med 70, vi får:

hoppsan! Allt blev bättre!

Detta är det slutliga svaret.

Det händer dock att taxning på samma grunder löser sig, men att deras eliminering inte gör det. Detta händer i andra typer av exponentiella ekvationer. Låt oss bemästra den här typen.

Ersätta en variabel vid lösning av exponentialekvationer. Exempel.

Låt oss lösa ekvationen:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Först - som vanligt. Låt oss gå vidare till en bas. Till en tvåa.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Vi får ekvationen:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Och det är här vi umgås. De tidigare teknikerna kommer inte att fungera, hur man än ser på det. Vi måste ta fram en annan kraftfull och universell metod ur vår arsenal. Det heter variabel ersättning.

Kärnan i metoden är förvånansvärt enkel. Istället för en komplex ikon (i vårt fall - 2 x) skriver vi en annan, enklare (till exempel - t). En sådan till synes meningslös ersättning leder till fantastiska resultat!) Allt blir bara klart och begripligt!

Så låt

Sedan 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

I vår ekvation ersätter vi alla potenser med x med t:

Tja, går det upp för dig?) Andragradsekvationer Har du glömt ännu? Löser vi genom diskriminanten får vi:

Huvudsaken här är att inte sluta, som händer... Det här är inte svaret än, vi behöver ett x, inte ett t. Låt oss återgå till X:en, dvs. vi gör en omvänd ersättning. Först för t 1:

Därför,

En rot hittades. Vi letar efter den andra från t 2:

Hm... 2 x till vänster, 1 till höger... Problem? Inte alls! Det räcker med att komma ihåg (från operationer med befogenheter, ja...) att en enhet är några nummer till nollpotens. Några. Vad som än behövs kommer vi att installera det. Vi behöver en tvåa. Medel:

Det är det nu. Vi har 2 rötter:

Detta är svaret.

På lösa exponentiella ekvationer på slutet ibland får man något slags besvärligt uttryck. Typ:

Sju kan inte omvandlas till två genom en enkel kraft. De är inte släktingar... Hur kan vi vara det? Någon kan vara förvirrad... Men personen som läste på denna sida ämnet "Vad är en logaritm?" , ler bara sparsamt och skriver ner med fast hand det absolut rätta svaret:

Det kan inte finnas ett sådant svar i uppgifter "B" på Unified State Examination. Där krävs ett specifikt nummer. Men i uppgifter "C" är det enkelt.

Den här lektionen ger exempel på att lösa de vanligaste exponentiella ekvationerna. Låt oss lyfta fram huvudpunkterna.

Praktiska råd:

1. Först och främst tittar vi på grunder grader. Vi undrar om det går att göra dem identisk. Låt oss försöka göra detta genom att aktivt använda åtgärder med grader. Glöm inte att tal utan x också kan omvandlas till potenser!

2. Vi försöker få exponentialekvationen till formen när det till vänster och till höger finns identisk siffror i valfri potens. Vi använder åtgärder med grader Och faktorisering. Det som kan räknas i siffror, det räknar vi.

3. Om det andra tipset inte fungerar, försök att använda variabel ersättning. Resultatet kan bli en ekvation som lätt kan lösas. Oftast - fyrkantig. Eller bråk, som också reduceras till kvadrat.

4. För att framgångsrikt lösa exponentialekvationer måste du känna till potenserna för vissa tal genom synen.

Som vanligt, i slutet av lektionen uppmanas du att bestämma lite.) På egen hand. Från enkelt till komplext.

Lös exponentiella ekvationer:

Svårare:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Hitta produkten av rötter:

2 3:or + 2 x = 9

Fungerade det?

Jo då det mest komplicerade exemplet(beslutade dock i sinnet...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Vad är mer intressant? Då är här ett dåligt exempel för dig. Ganska frestande för ökad svårighetsgrad. Låt mig antyda att i detta exempel är det som räddar dig uppfinningsrikedom och den mest universella regeln för att lösa alla matematiska problem.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Ett enklare exempel, för avkoppling):

9 2 x - 4 3 x = 0

Och till efterrätt. Hitta summan av rötterna till ekvationen:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ja, ja! Detta är en ekvation av blandad typ! Vilket vi inte tog hänsyn till i den här lektionen. Varför överväga dem, de måste lösas!) Den här lektionen är tillräckligt för att lösa ekvationen. Nåväl, du behöver uppfinningsrikedom... Och må sjunde klass hjälpa dig (det här är ett tips!).

Svar (i oordning, separerade med semikolon):

1; 2; 3; 4; det finns inga lösningar; 2; -2; -5; 4; 0.

Är allt lyckat? Stor.

Några problem? Ingen fråga! Special Section 555 löser alla dessa exponentiella ekvationer med detaljerade förklaringar. Vad, varför och varför. Och, naturligtvis, det finns ytterligare värdefull information om att arbeta med alla typer av exponentiella ekvationer. Inte bara dessa.)

En sista rolig fråga att fundera över. I den här lektionen arbetade vi med exponentiella ekvationer. Varför sa jag inte ett ord om ODZ här? I ekvationer är detta en väldigt viktig sak, förresten...

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Låt oss lära oss - med intresse!)

Du kan bekanta dig med funktioner och derivator.