Utöka en funktion till en kraftserie online. Maclaurin-serien och utbyggnad av vissa funktioner

Om funktionen f(x) har på något intervall som innehåller punkten A, derivator av alla ordningar, kan Taylor-formeln tillämpas på den:

Där r n– den så kallade resttermen eller resten av serien, den kan uppskattas med hjälp av Lagrange-formeln:

, där talet x är mellan X Och A.

Om för något värde x r n®0 kl n®¥, i gränsen förvandlas Taylor-formeln till en konvergent formel för detta värde Taylor-serien:

Funktionen alltså f(x) kan utökas till en Taylor-serie vid den aktuella punkten X, Om:

1) den har derivat av alla beställningar;

2) den konstruerade serien konvergerar vid denna punkt.

På A=0 får vi en serie som heter nära Maclaurin:

Exempel 1 f(x)= 2x.

Lösning. Låt oss hitta värdena för funktionen och dess derivator vid X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2x ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Genom att ersätta de erhållna värdena för derivaten i Taylor-seriens formel får vi:

Konvergensradien för denna serie är lika med oändlighet, därför är denna expansion giltig för -¥<x<+¥.

Exempel 2 X+4) för funktion f(x)= e x.

Lösning. Hitta derivatorna av funktionen e x och deras värderingar vid punkten X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Därför har den erforderliga Taylor-serien av funktionen formen:

Denna expansion gäller även för -¥<x<+¥.

Exempel 3 . Expandera en funktion f(x)=ln x i en serie i makter ( X- 1),

(dvs i Taylor-serien i närheten av punkten X=1).

Lösning. Hitta derivatorna av denna funktion.

Genom att ersätta dessa värden i formeln får vi den önskade Taylor-serien:

Med hjälp av d'Alemberts test kan du verifiera att serien konvergerar när

½ X- 1½<1. Действительно,

Serien konvergerar om ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 får vi en alternerande serie som uppfyller villkoren för Leibniz-kriteriet. På X=0-funktionen är inte definierad. Således är konvergensområdet för Taylor-serien det halvöppna intervallet (0;2].

Låt oss presentera de expansioner som erhållits på detta sätt i Maclaurin-serien (dvs. i närheten av punkten X=0) för vissa elementära funktioner:

(2) ,

(3) ,

( den sista nedbrytningen kallas binomial serie)

Exempel 4 . Utöka funktionen till en effektserie

Lösning. I expansion (1) byter vi ut X på – X 2, vi får:

Exempel 5 . Utöka funktionen i en Maclaurin-serie

Lösning. Det har vi

Med formel (4) kan vi skriva:

ersätta istället X in i formeln -X, vi får:

Härifrån hittar vi:

Att öppna parenteserna, ordna om termerna för serien och ta med liknande termer, vi får

Denna serie konvergerar i intervallet

(-1;1), eftersom det erhålls från två serier, som var och en konvergerar i detta intervall.

Kommentar .

Formlerna (1)-(5) kan också användas för att utöka motsvarande funktioner till en Taylor-serie, dvs. för att utöka funktioner i positiva heltalspotenser ( Ha). För att göra detta är det nödvändigt att utföra sådana identiska transformationer på en given funktion för att erhålla en av funktionerna (1)-(5), där istället X kostar k( Ha) m , där k är ett konstant tal, m är ett positivt heltal. Det är ofta bekvämt att ändra variabel t=Ha och utöka den resulterande funktionen med avseende på t i Maclaurin-serien.

Denna metod illustrerar satsen om det unika med en potensserieexpansion av en funktion. Kärnan i detta teorem är att i närheten av samma punkt inte kan erhållas två olika potensserier som skulle konvergera till samma funktion, oavsett hur dess expansion utförs.

Exempel 6 . Expandera funktionen i en Taylor-serie i närheten av en punkt X=3.

Lösning. Detta problem kan lösas, som tidigare, med definitionen av Taylor-serien, för vilken vi måste hitta derivatorna av funktionen och deras värden vid X=3. Det blir dock lättare att använda den befintliga expansionen (5):

Den resulterande serien konvergerar kl eller –3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Exempel 7 . Skriv Taylor-serien i krafter ( X-1) funktioner .

Lösning.

Serien konvergerar kl , eller -2< x£5.

Om funktionen f(x) har derivator av alla ordningar på ett visst intervall som innehåller punkt a, kan Taylor-formeln tillämpas på den:
,
Där r n– den så kallade resttermen eller resten av serien, den kan uppskattas med hjälp av Lagrange-formeln:
, där talet x är mellan x och a.

f(x)=

Vid punkten x 0 =
Antal radelement 3 4 5 6 7
Använd expansionen av elementära funktioner e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Regler för inmatning av funktioner:

Om för något värde X r n→0 kl n→∞, då i gränsen blir Taylor-formeln konvergent för detta värde Taylor-serien:
,
Således kan funktionen f(x) utökas till en Taylor-serie vid punkten x som övervägs om:
1) den har derivat av alla beställningar;
2) den konstruerade serien konvergerar vid denna punkt.

När a = 0 får vi en serie kallad nära Maclaurin:
,
Utvidgning av de enklaste (elementära) funktionerna i Maclaurin-serien:
Exponentiella funktioner
, R=∞
Trigonometriska funktioner
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funktionen actgx expanderar inte i potenser av x, eftersom ctg0=∞
Hyperboliska funktioner


Logaritmiska funktioner
, -1
Binomial serie
.

Exempel nr 1. Utöka funktionen till en effektserie f(x)= 2x.
Lösning. Låt oss hitta värdena för funktionen och dess derivator vid X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2x ln 2 2, f""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Genom att ersätta de erhållna värdena för derivaten i Taylor-seriens formel får vi:

Konvergensradien för denna serie är lika med oändlighet, därför är denna expansion giltig för -∞<x<+∞.

Exempel nr 2. Skriv Taylor-serien i krafter ( X+4) för funktion f(x)= e x.
Lösning. Hitta derivatorna av funktionen e x och deras värderingar vid punkten X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e x, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e x, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Därför har den erforderliga Taylor-serien av funktionen formen:

Denna expansion gäller även för -∞<x<+∞.

Exempel nr 3. Expandera en funktion f(x)=ln x i en serie i makter ( X- 1),
(dvs i Taylor-serien i närheten av punkten X=1).
Lösning. Hitta derivatorna av denna funktion.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Genom att ersätta dessa värden i formeln får vi den önskade Taylor-serien:

Med d'Alemberts test kan du verifiera att serien konvergerar vid ½x-1½<1 . Действительно,

Serien konvergerar om ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 får vi en alternerande serie som uppfyller villkoren för Leibniz-kriteriet. När x=0 är funktionen inte definierad. Således är konvergensområdet för Taylor-serien det halvöppna intervallet (0;2].

Exempel nr 4. Utöka funktionen till en effektserie.
Lösning. I expansion (1) ersätter vi x med -x 2, vi får:
, -∞

Exempel nr 5. Utöka funktionen till en Maclaurin-serie.
Lösning. Det har vi
Med formel (4) kan vi skriva:

genom att ersätta –x istället för x i formeln får vi:

Härifrån hittar vi: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Att öppna parenteserna, ordna om termerna för serien och ta med liknande termer, vi får
. Denna serie konvergerar i intervallet (-1;1), eftersom den erhålls från två serier, som var och en konvergerar i detta intervall.

Kommentar .
Formlerna (1)-(5) kan också användas för att utöka motsvarande funktioner till en Taylor-serie, dvs. för att utöka funktioner i positiva heltalspotenser ( Ha). För att göra detta är det nödvändigt att utföra sådana identiska transformationer på en given funktion för att erhålla en av funktionerna (1)-(5), där istället X kostar k( Ha) m , där k är ett konstant tal, m är ett positivt heltal. Det är ofta bekvämt att ändra variabel t=Ha och utöka den resulterande funktionen med avseende på t i Maclaurin-serien.

Denna metod bygger på satsen om det unika med expansionen av en funktion i en potensserie. Kärnan i detta teorem är att i närheten av samma punkt inte kan erhållas två olika potensserier som skulle konvergera till samma funktion, oavsett hur dess expansion utförs.

Exempel nr 5a. Expandera funktionen i en Maclaurin-serie och ange konvergensområdet.
Lösning. Först hittar vi 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x), .
till elementärt:

Bråket 3/(1-3x) kan betraktas som summan av en oändligt minskande geometrisk progression med nämnaren 3x, om |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

med konvergensregion |x|< 1/3.

Exempel nr 6. Expandera funktionen till en Taylor-serie i närheten av punkten x = 3.
Lösning. Detta problem kan lösas, som tidigare, med definitionen av Taylor-serien, för vilken vi måste hitta derivatorna av funktionen och deras värden vid X=3. Det blir dock lättare att använda den befintliga expansionen (5):
=
Den resulterande serien konvergerar vid eller –3

Exempel nr 7. Skriv Taylor-serien i potenser (x -1) för funktionen ln(x+2) .
Lösning.


Serien konvergerar vid , eller -2< x < 5.

Exempel nr 8. Expandera funktionen f(x)=sin(πx/4) till en Taylor-serie i närheten av punkten x =2.
Lösning. Låt oss byta ut t=x-2:

Genom att använda expansion (3), där vi ersätter π / 4 t i stället för x, får vi:

Den resulterande serien konvergerar till den givna funktionen vid -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Således,
, (-∞

Ungefärliga beräkningar med effektserier

Power-serier används ofta i ungefärliga beräkningar. Med deras hjälp kan du beräkna värdena för rötter, trigonometriska funktioner, logaritmer av tal och bestämda integraler med en given noggrannhet. Serier används också vid integration av differentialekvationer.
Betrakta expansionen av en funktion i en potensserie:

För att beräkna det ungefärliga värdet av en funktion vid en given punkt X, som hör till regionen för konvergens av den angivna serien, de första lämnas i sin expansion n medlemmar ( n– ett ändligt tal), och de återstående termerna kasseras:

För att uppskatta felet för det erhållna ungefärliga värdet är det nödvändigt att uppskatta den kasserade återstoden rn (x) . För att göra detta, använd följande tekniker:

• om den resulterande serien är alternerande, används följande egenskap: för en alternerande serie som uppfyller Leibniz-villkoren överstiger inte resten av serien i absolut värde den första kasserade termen.
• om den givna serien har konstant tecken, jämförs serien som består av kasserade termer med en oändligt minskande geometrisk progression.
• i det allmänna fallet, för att uppskatta resten av Taylor-serien, kan du använda Lagrange-formeln: a x ).

Exempel nr 1. Beräkna ln(3) till närmaste 0,01.
Lösning. Låt oss använda expansionen där x=1/2 (se exempel 5 i föregående ämne):

Låt oss kontrollera om vi kan förkasta resten efter de tre första termerna av expansionen för att göra detta, vi kommer att utvärdera det med hjälp av summan av en oändligt minskande geometrisk progression:

Så vi kan kassera resten och få

Exempel nr 2. Beräkna till närmaste 0,0001.
Lösning. Låt oss använda binomialserien. Eftersom 5 3 är kuben för ett heltal närmast 130, är ​​det lämpligt att representera talet 130 som 130 = 5 3 +5.



eftersom redan den fjärde termen i den resulterande alternerande serien som uppfyller Leibniz-kriteriet är mindre än den erforderliga noggrannheten:
, så det och villkoren efter det kan kasseras.
Många praktiskt nödvändiga bestämda eller felaktiga integraler kan inte beräknas med Newton-Leibniz-formeln, eftersom dess tillämpning är förknippad med att hitta en antiderivata, som ofta inte har ett uttryck i elementära funktioner. Det händer också att det är möjligt att hitta ett antiderivat, men det är onödigt arbetskrävande. Men om integrandfunktionen expanderas till en potensserie och integrationsgränserna hör till konvergensintervallet för denna serie, är en ungefärlig beräkning av integralen med en förutbestämd noggrannhet möjlig.

Exempel nr 3. Beräkna integralen ∫ 0 1 4 sin (x) x inom 10 -5 .
Lösning. Den motsvarande obestämda integralen kan inte uttryckas i elementära funktioner, d.v.s. representerar en "icke-permanent integral". Newton-Leibniz-formeln kan inte tillämpas här. Låt oss beräkna integralen ungefär.
Dela term för term serien för synd x på x, vi får:

Genom att integrera denna serie term för term (detta är möjligt, eftersom integrationens gränser tillhör konvergensintervallet för denna serie), får vi:

Eftersom den resulterande serien uppfyller Leibniz villkor och det räcker att ta summan av de två första termerna för att erhålla det önskade värdet med en given noggrannhet.
Sålunda finner vi
.

Exempel nr 4. Beräkna integralen ∫ 0 1 4 e x 2 med en noggrannhet på 0,001.
Lösning.
. Låt oss kontrollera om vi kan kassera resten efter den andra termen av den resulterande serien.
0,0001<0.001. Следовательно, .

16.1. Utbyggnad av elementära funktioner i Taylor-serier och

Maclaurin

Låt oss visa att om en godtycklig funktion är definierad på en mängd
, i närheten av punkten
har många derivator och är summan av en potensserie:

då kan du hitta koefficienterna för denna serie.

Låt oss ersätta i en kraftserie
. Sedan
.

Låt oss hitta den första derivatan av funktionen
:

På
:
.

För den andra derivatan får vi:

På
:
.

Fortsätter denna procedur n när vi får:
.

Således fick vi en potensserie av formen:

,

som kallas bredvid Taylor för funktion
i närheten av punkten
.

Ett specialfall av Taylor-serien är Maclaurin-serien på
:

Resten av Taylor (Maclaurin) serien erhålls genom att kassera huvudserien n första medlemmar och betecknas som
. Sedan funktionen
kan skrivas som en summa n första medlemmarna i serien
och resten
:,

.

Resten är vanligtvis
uttrycks i olika formler.

En av dem är i lagrangeform:

, Var
.
.

Observera att i praktiken används Maclaurin-serien oftare. Alltså för att skriva funktionen
i form av en potensseriesumma är det nödvändigt:

1) hitta koefficienterna för Maclaurin (Taylor)-serien;

2) hitta konvergensområdet för den resulterande potensserien;

3) bevisa att denna serie konvergerar till funktionen
.

Sats1 (ett nödvändigt och tillräckligt villkor för konvergensen av Maclaurin-serien). Låt radien av konvergens av serien
. För att denna serie ska konvergera i intervallet
att fungera
, det är nödvändigt och tillräckligt för att villkoret ska vara uppfyllt:
i det angivna intervallet.

Sats 2. Om derivator av vilken ordning som helst av funktionen
i något intervall
begränsat i absolut värde till samma antal M, det vill säga
, sedan i detta intervall funktionen
kan utökas till en Maclaurin-serie.

Exempel1 . Expandera i en Taylor-serie runt punkten
fungera.

Lösning.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

Konvergensregion
.

Exempel2 . Expandera en funktion i en Taylor-serie runt en punkt
.

Lösning:

Hitta värdet på funktionen och dess derivator vid
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Låt oss lägga dessa värden på rad. Vi får:

eller
.

Låt oss hitta konvergensområdet för denna serie. Enligt d'Alemberts test konvergerar en serie if

.

Därför för någon denna gräns är mindre än 1, och därför kommer seriens konvergensintervall att vara:
.

Låt oss betrakta flera exempel på Maclaurin-seriens expansion av grundläggande elementära funktioner. Kom ihåg att Maclaurin-serien:

.

konvergerar på intervallet
att fungera
.

Observera att för att expandera en funktion till en serie är det nödvändigt:

a) hitta koefficienterna för Maclaurin-serien för denna funktion;

b) beräkna konvergensradien för den resulterande serien;

c) bevisa att den resulterande serien konvergerar till funktionen
.

Exempel 3. Tänk på funktionen
.

Lösning.

Låt oss beräkna värdet på funktionen och dess derivator vid
.

Sedan har seriens numeriska koefficienter formen:

för vem som helst n. Låt oss ersätta de hittade koefficienterna i Maclaurin-serien och få:

Låt oss hitta konvergensradien för den resulterande serien, nämligen:

.

Därför konvergerar serien på intervallet
.

Denna serie konvergerar till funktionen för alla värden , eftersom på vilket intervall som helst
fungera och dess absolutvärdesderivat är begränsat till antalet .

Exempel4 . Tänk på funktionen
.

Lösning.

:

Det är lätt att se att derivat av jämn ordning
, och derivatorna är av udda ordning. Låt oss ersätta de hittade koefficienterna i Maclaurin-serien och erhålla expansionen:

Låt oss hitta konvergensintervallet för denna serie. Enligt d'Alemberts tecken:

för vem som helst . Därför konvergerar serien på intervallet
.

Denna serie konvergerar till funktionen
, eftersom alla dess derivat är begränsade till enhet.

Exempel5 .
.

Lösning.

Låt oss hitta värdet på funktionen och dess derivator vid
:

Således är koefficienterna för denna serie:
Och
, därav:

I likhet med föregående rad, konvergensområdet
. Serien konvergerar till funktionen
, eftersom alla dess derivat är begränsade till enhet.

Observera att funktionen
udda och serieexpansion i udda potenser, funktion
– jämn och expansion till en serie i jämna krafter.

Exempel6 . Binomial serie:
.

Lösning.

Låt oss hitta värdet på funktionen och dess derivator vid
:

Av detta kan man se att:

Låt oss ersätta dessa koefficientvärden i Maclaurin-serien och erhålla expansionen av denna funktion till en potensserie:

Låt oss hitta konvergensradien för denna serie:

Därför konvergerar serien på intervallet
. Vid begränsningspunkterna kl
Och
en serie kan eller kanske inte konvergerar beroende på exponenten
.

Den studerade serien konvergerar på intervallet
att fungera
, det vill säga summan av serien
på
.

Exempel7 . Låt oss utöka funktionen i Maclaurin-serien
.

Lösning.

För att utöka denna funktion till en serie använder vi binomialserien vid
. Vi får:

Baserat på egenskapen hos effektserier (en effektserie kan integreras i området för dess konvergens), hittar vi integralen av vänster och höger sida av denna serie:

Låt oss hitta konvergensområdet för denna serie:
,

det vill säga konvergensområdet för denna serie är intervallet
.

. Denna serie är en harmonisk serie, det vill säga den divergerar. På
vi får en talserie med en gemensam term
.

Serien konvergerar enligt Leibniz test. Således är konvergensområdet för denna serie intervallet
.

16.2. Tillämpning av effektserier i ungefärliga beräkningar

I ungefärliga beräkningar spelar effektserier en extremt viktig roll. Med deras hjälp har tabeller över trigonometriska funktioner, tabeller över logaritmer, tabeller över värden för andra funktioner sammanställts, som används inom olika kunskapsområden, till exempel i sannolikhetsteori och matematisk statistik. Dessutom är expansionen av funktioner till en potensserie användbar för deras teoretiska studie. Huvudfrågan när man använder potensserier i ungefärliga beräkningar är frågan om att uppskatta felet när man ersätter summan av en serie med summan av dess första n medlemmar.

Låt oss överväga två fall:

funktionen utökas till en teckenväxlande serie;

funktionen utökas till en serie konstanttecken.

Beräkning med alternerande serier

Låt funktionen
utvidgas till en växeleffektserie. Sedan när man beräknar denna funktion för ett specifikt värde vi får en nummerserie som vi kan tillämpa Leibniz-kriteriet på. I enlighet med detta kriterium, om summan av en serie ersätts med summan av dess första n termer, så överstiger inte det absoluta felet den första termen i resten av denna serie, det vill säga:
.

Exempel8 . Kalkylera
med en noggrannhet på 0,0001.

Lösning.

Vi kommer att använda Maclaurin-serien för
, ersätter vinkelvärdet i radianer:

Om vi ​​jämför de första och andra termerna i serien med en given noggrannhet, då: .

Tredje expansionsperioden:

mindre än den angivna beräkningsnoggrannheten. Därför att beräkna
det räcker med att lämna två termer av serien, det vill säga

.

Således
.

Exempel9 . Kalkylera
med en noggrannhet på 0,001.

Lösning.

Vi kommer att använda binomialseriens formel. För att göra detta, låt oss skriva
i formen:
.

I detta uttryck
,

Låt oss jämföra var och en av termerna i serien med den noggrannhet som anges. Det är klart att
. Därför att beräkna
det räcker med att lämna tre termer av serien.

eller
.

Beräkning med positiva serier

Exempel10 . Beräkna antal med en noggrannhet på 0,001.

Lösning.

På rad för en funktion
låt oss ersätta
. Vi får:

Låt oss uppskatta felet som uppstår när summan av en serie ersätts med summan av den första medlemmar. Låt oss skriva ner den uppenbara ojämlikheten:

alltså 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Beroende på problemet måste du hitta n så att följande ojämlikhet gäller:
eller
.

Det är lätt att kontrollera att när n= 6:
.

Därför,
.

Exempel11 . Kalkylera
med en noggrannhet på 0,0001.

Lösning.

Observera att för att beräkna logaritmer kan man använda en serie för funktionen
, men denna serie konvergerar väldigt långsamt och för att uppnå den givna noggrannheten skulle det vara nödvändigt att ta 9999 termer! Därför, för att beräkna logaritmer, används som regel en serie för funktionen
, som konvergerar på intervallet
.

Låt oss räkna
använder denna serie. Låta
, Då .

Därför,
,

För att beräkna
med en given noggrannhet, ta summan av de fyra första termerna:
.

Resten av serien
låt oss kassera det. Låt oss uppskatta felet. Det är uppenbart

eller
.

I serien som användes för beräkningen räckte det alltså med att endast ta de fyra första termerna istället för 9999 i serien för funktionen
.

Självdiagnosfrågor

1. Vad är en Taylor-serie?

2. Vilken form hade Maclaurin-serien?

3. Formulera ett teorem om expansionen av en funktion i en Taylor-serie.

4. Skriv ner Maclaurin-seriens expansion av huvudfunktionerna.

5. Ange konvergensområdena för den betraktade serien.

6. Hur uppskattar man felet i ungefärliga beräkningar med effektserier?

Studenter i högre matematik bör veta att summan av en viss potensserie som hör till seriens konvergensintervall som ges till oss visar sig vara en kontinuerlig och obegränsat antal gånger differentierad funktion. Frågan uppstår: är det möjligt att säga att en given godtycklig funktion f(x) är summan av en viss potensserie? Det vill säga under vilka förhållanden kan funktionen f(x) representeras av en potensserie? Vikten av denna fråga ligger i det faktum att det är möjligt att ungefär ersätta funktionen f(x) med summan av de första termerna i en potensserie, det vill säga ett polynom. Denna ersättning av en funktion med ett ganska enkelt uttryck - ett polynom - är också praktiskt när man löser vissa problem, nämligen: vid lösning av integraler, vid beräkning, etc.

Det har bevisats att för en viss funktion f(x), där det är möjligt att beräkna derivator upp till (n+1):e ordningen, inklusive den sista, i närheten av (α - R; x 0 + R ) någon punkt x = α, det är sant att formeln:

Denna formel är uppkallad efter den berömda vetenskapsmannen Brooke Taylor. Serien som erhålls från den föregående kallas Maclaurin-serien:

Regeln som gör det möjligt att utföra en expansion i en Maclaurin-serie:

1. Bestäm derivator av första, andra, tredje... ordningen.
2. Beräkna vad derivatorna vid x=0 är lika med.
3. Skriv ner Maclaurin-serien för denna funktion och bestäm sedan intervallet för dess konvergens.
4. Bestäm intervallet (-R;R), där resten av Maclaurin-formeln

R n (x) -> 0 vid n -> oändlighet. Om en sådan finns måste funktionen f(x) i den sammanfalla med summan av Maclaurin-serien.

Låt oss nu överväga Maclaurin-serien för individuella funktioner.

1. Den första blir alltså f(x) = e x. Naturligtvis, genom sina egenskaper, har en sådan funktion derivator av mycket olika ordning, och f (k) (x) = e x , där k är lika med alla. Vi får f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Baserat på ovanstående kommer serien e x att se ut så här:

2. Maclaurin-serien för funktionen f(x) = sin x. Låt oss omedelbart klargöra att funktionen för alla okända kommer att ha derivator, dessutom f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), där k är lika med vilket naturligt tal som helst Det vill säga efter att ha gjort enkla beräkningar kan vi komma till slutsatsen att serien för f(x) = sin x kommer att se ut så här:

3. Låt oss nu försöka betrakta funktionen f(x) = cos x. För alla okända har den derivator av godtycklig ordning, och |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Så vi har listat de viktigaste funktionerna som kan utökas i en Maclaurin-serie, men de kompletteras av Taylor-serien för vissa funktioner. Nu ska vi lista dem. Det är också värt att notera att Taylor- och Maclaurin-serier är en viktig del av det praktiska arbetet med att lösa serier i högre matematik. Alltså, Taylor-serien.

1. Den första kommer att vara serien för funktionen f(x) = ln(1+x). Som i de tidigare exemplen, för givna f(x) = ln(1+x) kan vi addera serien med den allmänna formen av Maclaurin-serien. Men för denna funktion kan Maclaurin-serien erhållas mycket enklare. Efter att ha integrerat en viss geometrisk serie får vi en serie för f(x) = ln(1+x) av ett sådant prov:

2. Och den andra, som kommer att vara sista i vår artikel, kommer att vara serien för f(x) = arktan x. För x som hör till intervallet [-1;1] är expansionen giltig:

Det är allt. Den här artikeln undersökte de mest använda Taylor- och Maclaurin-serierna inom högre matematik, särskilt inom ekonomi och tekniska universitet.

Utvidgning av en funktion till en Taylor-, Maclaurin- och Laurent-serie på en plats för träning av praktiska färdigheter. Denna serieexpansion av en funktion gör det möjligt för matematiker att uppskatta det ungefärliga värdet av funktionen någon gång i dess definitionsdomän. Det är mycket lättare att beräkna ett sådant funktionsvärde jämfört med att använda Bredis-tabellen, som är så irrelevant i datateknikens tidsålder. Att expandera en funktion till en Taylor-serie innebär att beräkna koefficienterna för de linjära funktionerna i denna serie och skriva den i rätt form. Eleverna blandar ihop dessa två serier, utan att förstå vad som är det allmänna fallet och vad som är ett specialfall av det andra. Låt oss en gång för alla påminna dig om att Maclaurin-serien är ett specialfall av Taylor-serien, det vill säga detta är Taylor-serien, men vid punkten x = 0. Alla korta poster för utbyggnad av välkända funktioner, t.ex. e^x, Sin(x), Cos(x) och andra, dessa är Taylor-serieexpansioner, men vid punkt 0 för argumentet. För funktioner av ett komplext argument är Laurent-serien det vanligaste problemet i TFCT, eftersom den representerar en tvåsidig oändlig serie. Det är summan av två serier. Vi föreslår att du tittar på ett exempel på nedbrytning direkt på webbplatsen. Detta är mycket enkelt att göra genom att klicka på "Exempel" med valfritt nummer och sedan på knappen "Lösning". Det är just denna expansion av en funktion till en serie som är associerad med en majoriserande serie som begränsar den ursprungliga funktionen i ett visst område längs ordinataaxeln om variabeln tillhör abskissområdet. Vektoranalys jämförs med en annan intressant disciplin inom matematik. Eftersom varje termin behöver granskas kräver processen ganska mycket tid. Vilken Taylor-serie som helst kan associeras med en Maclaurin-serie genom att ersätta x0 med noll, men för en Maclaurin-serie är det ibland inte självklart att representera Taylor-serien omvänt. Som om detta inte krävs i sin rena form är det intressant för allmän självutveckling. Varje Laurent-serie motsvarar en tvåsidig oändlig potensserie i heltalspotenser av z-a, med andra ord en serie av samma Taylor-typ, men något annorlunda i beräkningen av koefficienterna. Vi kommer att prata om konvergensområdet för Laurent-serien lite senare, efter flera teoretiska beräkningar. Liksom under förra seklet kan en steg-för-steg-expansion av en funktion till en serie knappast uppnås genom att bara föra termerna till en gemensam nämnare, eftersom funktionerna i nämnarna är olinjära. En ungefärlig beräkning av funktionsvärdet krävs vid formulering av problem. Tänk på det faktum att när argumentet för en Taylor-serie är en linjär variabel, så sker expansionen i flera steg, men bilden är en helt annan när argumentet för funktionen som expanderas är en komplex eller olinjär funktion, då blir processen av Att representera en sådan funktion i en potensserie är uppenbart, eftersom det på detta sätt är lätt att beräkna, om än ett ungefärligt värde, när som helst i definitionsområdet, med ett minimalt fel som har liten effekt på ytterligare beräkningar. Det gäller även Maclaurin-serien. när det är nödvändigt att beräkna funktionen vid nollpunkten. Men själva Laurent-serien representeras här av en expansion på planet med imaginära enheter. Den korrekta lösningen av problemet under den övergripande processen kommer inte heller att vara utan framgång. Detta tillvägagångssätt är inte känt inom matematiken, men det existerar objektivt sett. Som ett resultat kan du komma till slutsatsen av de så kallade punktvisa delmängderna, och vid expansionen av en funktion i en serie måste du använda metoder som är kända för denna process, såsom tillämpningen av teorin om derivator. Återigen är vi övertygade om att läraren hade rätt när han gjorde sina antaganden om resultaten av efterberäkningar. Låt oss notera att Taylor-serien, erhållen enligt alla matematikens kanoner, finns och definieras på hela den numeriska axeln, men kära användare av webbplatstjänsten, glöm inte typen av den ursprungliga funktionen, eftersom det kan visa sig att det initialt är nödvändigt att fastställa definitionsdomänen för funktionen, det vill säga skriva och utesluta från vidare övervägande de punkter där funktionen inte är definierad i domänen av reella tal. Så att säga, detta kommer att visa din effektivitet när det gäller att lösa problemet. Konstruktionen av en Maclaurin-serie med ett noll-argumentvärde kommer inte att vara ett undantag från det som har sagts. Ingen har avbrutit processen att hitta definitionsdomänen för en funktion, och du måste närma dig denna matematiska operation med fullt allvar. I fallet med en Laurent-serie som innehåller huvuddelen, kommer parametern "a" att kallas en isolerad singularpunkt, och Laurent-serien kommer att expanderas i en ring - detta är skärningspunkten mellan delarnas konvergensområden, därför motsvarande sats följer. Men allt är inte så komplicerat som det kan verka vid första anblicken för en oerfaren student. Efter att ha studerat Taylor-serien kan du lätt förstå Laurent-serien - ett generaliserat fall för att utöka utrymmet för siffror. Varje serieexpansion av en funktion kan endast utföras vid en punkt i definitionsdomänen för funktionen. Egenskaper hos funktioner som periodicitet eller oändlig differentiabilitet bör beaktas. Vi föreslår också att du använder tabellen över färdiga Taylor-serie-expansioner av elementära funktioner, eftersom en funktion kan representeras av upp till dussintals olika effektserier, vilket kan ses från vår onlineräknare. Online Maclaurin-serien är lätt som en plätt att avgöra, om du använder den unika webbtjänsten behöver du bara ange rätt skriftlig funktion så får du det presenterade svaret inom några sekunder, det är garanterat korrekt och i en vanlig skriftlig form. Du kan kopiera resultatet direkt till en ren kopia för inlämning till läraren. Det vore korrekt att först fastställa analyticiteten för den aktuella funktionen i ringar, och sedan entydigt ange att den är expanderbar i en Laurent-serie i alla sådana ringar. Det är viktigt att inte glömma villkoren för Laurent-serien som innehåller negativa krafter. Fokusera på detta så mycket som möjligt. Använd Laurents sats om expansion av en funktion i heltalspotenser.