Figuren visar en graf över derivatan av en viss funktion. Derivata av en funktion. Geometrisk betydelse av derivata

Lösa problem i del B av Unified State Examination i matematik

Lösning. Maxpoängen motsvarar de punkter där derivatans tecken ändras från plus till minus. Figuren visar en graf över derivatan av funktionen f(x) definierad på intervallet (−10; 8). Hitta antalet maxpunkter för funktionen f(x) på intervallet [−9;6].

Lösning. Maxpoängen motsvarar de punkter där derivatans tecken ändras från plus till minus. På segmentet [−9;6] har funktionen två maxpunkter x = − 4 och x = 4. Svar: 2. Figuren visar en graf över derivatan av funktionen f(x) definierad på intervallet (−10; 8). Hitta antalet maxpunkter för funktionen f(x) på intervallet [−9;6].

Lösning. Figuren visar en graf över funktionen y=f(x), definierad på intervallet (−1; 12). Bestäm antalet heltalspunkter där derivatan av funktionen är negativ. En funktions derivata är negativ på de intervaller där funktionen minskar.

Lösning. Figuren visar en graf över funktionen y=f(x), definierad på intervallet (−1; 12). Bestäm antalet heltalspunkter där derivatan av funktionen är negativ. Funktionens derivata är negativ på de intervall som funktionen minskar på, dvs på intervallen (0,5; 3), (6; 10) och (11; 12). De innehåller hela punkterna 1, 2, 7, 8 och 9. Det finns 5 poäng totalt. Svar: 5.

Figuren visar en graf över derivatan av funktionen f(x), definierad på intervallet (−10; 4). Hitta minskningsintervallen för funktionen f(x). I ditt svar, ange längden på den största av dem. Lösning. De minskande intervallen för funktionen f(x) motsvarar de intervall på vilka funktionens derivata är negativ, det vill säga intervallet (−9; −6) av längden 3 och intervallet (−2; 3) av längden 5. Längden på den största av dem är 5. Svar: 5.

Figuren visar en graf över derivatan av funktionen f(x) definierad på intervallet (−7; 14). Hitta antalet maxpunkter för funktionen f(x) på intervallet [−6; 9]. Lösning. Maxpoängen motsvarar de punkter där derivattecknet ändras från positivt till negativt.

Figuren visar en graf över derivatan av funktionen f(x), definierad på intervallet (−8; 6). Hitta ökningsintervallen för funktionen f(x). I ditt svar, ange längden på den största av dem. Lösning. Ökningsintervallen för funktionen f(x) motsvarar de intervall på vilka funktionens derivata är positiv.

Figuren visar en graf över derivatan av funktionen f(x) definierad på intervallet (−7; 10). Hitta antalet minimipunkter för funktionen f(x) på intervallet [−3; 8]. Lösning. Minsta poäng motsvarar de punkter där derivatans tecken ändras från minus till plus.

Figuren visar en graf över derivatan av funktionen f(x) definierad på intervallet (−16; 4). Hitta antalet extrema punkter för funktionen f(x) på intervallet [−14; 2]. Lösning. Extremumpunkterna motsvarar de punkter där tecknet för derivatan ändras - nollorna för derivatan som visas på grafen. Derivatan försvinner vid punkterna −13, −11, −9, −7. På segmentet [−14; 2] funktionen har 4 extrema punkter. Svar: 4.

Figuren visar en graf över funktionen y=f(x) definierad på intervallet (−2; 12). Hitta summan av extrempunkterna för funktionen f(x). Lösning. Angiven funktion har maxima vid punkterna 1, 4, 9, 11 och minima vid punkterna 2, 7, 10. Därför är summan av extrempunkterna 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44. Svar: 44.

Figuren visar en graf över funktionen y=f(x) och en tangent till den i punkten med abskissan x 0. Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x 0 .

Figuren visar en graf över funktionen y=f(x) och en tangent till den i punkten med abskissan x 0. Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x 0 . Lösning. Värdet på derivatan vid tangenspunkten är lika med tangentens lutning, som i sin tur är lika med tangenten för lutningsvinkeln för denna tangent till abskissaxeln. Låt oss konstruera en triangel med hörn i punkterna A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Lutningsvinkeln för tangenten till x-axeln kommer att vara lika med vinkeln intill vinkeln ACB

Figuren visar en graf av funktionen y = f(x) och en tangent till denna graf vid abskisspunkten lika med 3. Hitta värdet på derivatan av denna funktion i punkten x = 3. För att lösa använder vi derivatans geometriska betydelse: värdet av funktionens derivata vid punkten är lika med lutningen på tangenten till grafen för denna funktion som ritas vid denna punkt. Tangentvinkeln är lika med tangenten för vinkeln mellan tangenten och x-axelns positiva riktning (tg α). Vinkel α = β, som tvärgående vinklar med parallella linjer y=0, y=1 och en sekanttangens. För triangel ABC

Figuren visar grafen för funktionen y=f(x) och tangenten till den i punkten med abskissan x 0. Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x 0 .

Figuren visar grafen för funktionen y=f(x) och tangenten till den i punkten med abskissan x 0. Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x 0 . Enligt egenskaperna för tangenten y=f ′ (x 0)⋅x+b, b=const Figuren visar att tangenten till funktionen f(x) i punkten x 0 går genom punkterna (-3;2) (5,4). Därför kan vi skapa ett ekvationssystem

Källor http://reshuege.ru/

Hallå! Låt oss göra det kommande Unified State Examen med högkvalitativa systematiska förberedelser och uthållighet i att slipa vetenskapens granit!!! IDet finns en tävlingsuppgift i slutet av inlägget, var först! I en av artiklarna i det här avsnittet du och jag, där grafen för funktionen gavs, och vi lägger olika frågor relaterade till extremer, intervall för ökning (minskning) och andra.

I den här artikeln kommer vi att överväga problemen som ingår i Unified State Examination i matematik, där en graf av derivatan av en funktion ges och följande frågor ställs:

1. Vid vilken punkt i ett givet segment får funktionen det största (eller minsta) värdet.
2. Hitta antalet maximala (eller minimum) poäng för funktionen som hör till ett givet segment.
3. Hitta antalet extrema punkter för funktionen som hör till ett givet segment.
4. Hitta extremumpunkten för funktionen som hör till det givna segmentet.
5. Hitta intervallen för ökande (eller minskande) funktion och i svaret ange summan av heltalspunkter som ingår i dessa intervall.
6. Hitta intervallen för ökning (eller minskning) av funktionen. Ange i ditt svar längden på det största av dessa intervall.
7. Hitta antalet punkter där tangenten till funktionens graf är parallell med eller sammanfaller med en linje av formen y = kx + b.
8. Hitta abskissan för den punkt där tangenten till funktionens graf är parallell med abskissaxeln eller sammanfaller med den.

Det kan finnas andra frågor, men de kommer inte att orsaka dig några svårigheter om du förstår och (länkar tillhandahålls till artiklar som ger den information som behövs för lösningen, jag rekommenderar att du upprepar dem).

Grundläggande information (kortfattat):

1. Derivatan med ökande intervall har ett positivt tecken.

Om derivatan vid en viss punkt från ett visst intervall har positivt värde, då ökar grafen för funktionen över detta intervall.

2. Med avtagande intervall har derivatan ett negativt tecken.

Om derivatan vid en viss punkt från ett visst intervall har ett negativt värde, så minskar grafen för funktionen på detta intervall.

3. Derivatan i punkt x är lika med lutningen på tangenten som ritas till grafen för funktionen i samma punkt.

4. Vid punkterna för extremum (maximum-minimum) för funktionen är derivatan lika med noll. Tangenten till grafen för funktionen vid denna punkt är parallell med x-axeln.

Detta måste tydligt förstås och komma ihåg!!!

Den derivata grafen "förvirrar" många människor. Vissa människor missförstås av misstag med grafen för själva funktionen. Därför, i sådana byggnader, där du ser att en graf ges, fokusera omedelbart din uppmärksamhet i tillståndet på det som är givet: grafen för funktionen eller grafen för funktionens derivata?

Om det är en graf av derivatan av en funktion, behandla den som en "reflektion" av själva funktionen, som helt enkelt ger dig information om den funktionen.

Tänk på uppgiften:

Figuren visar en graf y =f'(X)- derivata av en funktion f(X), definierad på intervallet (–2;21).

Vi kommer att svara på följande frågor:

1. Vid vilken punkt på segmentet är funktionen f(X) accepterar högsta värde.

På ett givet intervall är derivatan av en funktion negativ, vilket betyder att funktionen på detta intervall minskar (den minskar från intervallets vänstra gräns till höger). Således uppnås det största värdet av funktionen på segmentets vänstra kant, d.v.s. vid punkt 7.

Svar: 7

2. Vid vilken punkt på segmentet är funktionen f(X)

Från denna derivata graf kan vi säga följande. På ett givet intervall är derivatan av funktionen positiv, vilket betyder att funktionen på detta intervall ökar (den ökar från intervallets vänstra gräns till höger). Således, minsta värde funktionen uppnås på segmentets vänstra gräns, det vill säga vid punkten x = 3.

Svar: 3

3. Hitta antalet maximala poäng för funktionen f(X)

Maxpoängen motsvarar de punkter där derivattecknet ändras från positivt till negativt. Låt oss överväga var tecknet ändras på detta sätt.

På segmentet (3;6) är derivatan positiv, på segmentet (6;16) är den negativ.

På segmentet (16;18) är derivatan positiv, på segmentet (18;20) är den negativ.

På ett givet segment har funktionen alltså två maxpunkter x = 6 och x = 18.

Svar: 2

4. Hitta antalet minimipunkter för funktionen f(X), som tillhör segmentet.

Minsta poäng motsvarar punkter där derivattecknet ändras från negativt till positivt. Vår derivata är negativ på intervallet (0;3) och positiv på intervallet (3;4).

Således har funktionen på segmentet endast en minimipunkt x = 3.

*Var försiktig när du skriver ner svaret - antalet poäng registreras, inte x-värdet kan ett sådant misstag göras på grund av ouppmärksamhet.

Svar: 1

5. Hitta antalet extrema punkter för funktionen f(X), som tillhör segmentet.

Notera vad du behöver hitta kvantitet extrema punkter (dessa är både max- och minimumpunkter).

Extremumpunkter motsvarar punkter där derivatans tecken ändras (från positiv till negativ eller vice versa). I grafen som ges i villkoret är dessa nollorna för funktionen. Derivaten försvinner vid punkterna 3, 6, 16, 18.

Funktionen har alltså 4 extrema punkter på segmentet.

Svar: 4

6. Hitta intervallen för ökande funktion f(X)

Ökningsintervall för denna funktion f(X) motsvarar de intervall på vilka dess derivata är positiv, det vill säga intervallen (3;6) och (16;18). Observera att intervallets gränser inte ingår i det (runda parentes - gränser ingår inte i intervallet, hakparenteser - ingår). Dessa intervall innehåller heltalspunkter 4, 5, 17. Deras summa är: 4 + 5 + 17 = 26

Svar: 26

7. Hitta intervallen för minskande funktion f(X) vid ett givet intervall. I ditt svar, ange summan av heltalspunkter som ingår i dessa intervall.

Funktion minskande intervall f(X) motsvarar intervall där derivatan av funktionen är negativ. I detta problem är dessa intervaller (–2;3), (6;16), (18:21).

Dessa intervall innehåller följande heltalspunkter: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Deras summa är:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Svar: 140

*Var uppmärksam på villkoret: om gränserna ingår i intervallet eller inte. Om gränser ingår måste dessa gränser beaktas i de intervall som beaktas i lösningsprocessen.

8. Hitta intervallen för ökande funktion f(X)

Intervaller med ökande funktion f(X) motsvarar intervall där derivatan av funktionen är positiv. Vi har redan angett dem: (3;6) och (16:18). Den största av dem är intervallet (3;6), dess längd är 3.

Svar: 3

9. Hitta intervallen för minskande funktion f(X). I ditt svar, ange längden på den största av dem.

Funktion minskande intervall f(X) motsvarar intervall där derivatan av funktionen är negativ. Vi har redan angett dem, dessa är intervallen (–2;3), (6;16), (18;21), deras längder är respektive 5, 10, 3.

Längden på den största är 10.

Svar: 10

10. Hitta antalet punkter där tangenten till grafen för funktionen f(X) parallell med eller sammanfaller med den räta linjen y = 2x + 3.

Värdet på derivatan vid tangenspunkten är lika med tangentens lutning. Eftersom tangenten är parallell med den räta linjen y = 2x + 3 eller sammanfaller med den, är deras vinkelkoefficienter lika med 2. Det betyder att det är nödvändigt att hitta antalet punkter där y′(x 0) = 2. Geometriskt motsvarar detta antalet skärningspunkter för derivatagrafen med den räta linjen y = 2. Det finns 4 sådana punkter på detta intervall.

Svar: 4

11. Hitta extremumpunkten för funktionen f(X), som tillhör segmentet.

Extremumpunkten för en funktion är den punkt där dess derivata är lika med noll, och i närheten av denna punkt ändrar derivatan tecken (från positiv till negativ eller vice versa). På segmentet skär derivatagrafen x-axeln, derivatan ändrar tecken från negativ till positiv. Därför är punkten x = 3 en extrempunkt.

Svar: 3

12. Hitta abskissan för de punkter där tangenterna till grafen y = f (x) är parallella med abskissaxeln eller sammanfaller med den. Ange den största av dem i ditt svar.

Tangenten till grafen y = f (x) kan vara parallell med abskissaxeln eller sammanfalla med den, endast vid punkter där derivatan är lika med noll (dessa kan vara extrema punkter eller stationära punkter i närheten av vilka derivatan gör inte ändra dess tecken). Denna graf visar att derivatan är noll vid punkterna 3, 6, 16,18. Den största är 18.

Du kan konstruera ditt resonemang så här:

Värdet på derivatan vid tangenspunkten är lika med tangentens lutning. Eftersom tangenten är parallell med eller sammanfaller med x-axeln, är dess lutning 0 (tangensen för en vinkel på noll grader är noll). Därför letar vi efter punkten där lutningen är lika med noll, och därför är derivatan lika med noll. Derivatan är lika med noll vid den punkt där dess graf skär x-axeln, och dessa är punkterna 3, 6, 16,18.

Svar: 18

Figuren visar en graf y =f'(X)- derivata av en funktion f(X), definierad på intervallet (–8;4). Vid vilken punkt i segmentet [–7;–3] finns funktionen f(X) tar det minsta värdet.

Figuren visar en graf y =f'(X)- derivata av en funktion f(X), definierat på intervallet (–7;14). Hitta antalet maximala poäng för funktionen f(X), tillhörande segmentet [–6;9].

Figuren visar en graf y =f'(X)- derivata av en funktion f(X), definierad på intervallet (–18;6). Hitta antalet minimipunkter för funktionen f(X), tillhörande segmentet [–13;1].

Figuren visar en graf y =f'(X)- derivata av en funktion f(X), definierat på intervallet (–11; –11). Hitta antalet extrema punkter för funktionen f(X), tillhörande segmentet [–10; -10].

Figuren visar en graf y =f'(X)- derivata av en funktion f(X), definierad på intervallet (–7;4). Hitta intervallen för ökande funktion f(X). I ditt svar, ange summan av heltalspunkter som ingår i dessa intervall.

Figuren visar en graf y =f'(X)- derivata av en funktion f(X), definierat på intervallet (–5;7). Hitta intervallen för minskande funktion f(X). I ditt svar, ange summan av heltalspunkter som ingår i dessa intervall.

Figuren visar en graf y =f'(X)- derivata av en funktion f(X), definierad på intervallet (–11;3). Hitta intervallen för ökande funktion f(X). I ditt svar, ange längden på den största av dem.

F Figuren visar en graf

Villkoren för problemet är desamma (vilket vi ansåg). Hitta summan av tre tal:

1. Summan av kvadraterna av extrema för funktionen f (x).

2. Skillnaden mellan kvadraterna av summan av maximipunkterna och summan av minimipunkterna för funktionen f (x).

3. Antalet tangenter till f (x) parallellt med den räta linjen y = –3x + 5.

Den första som ger rätt svar kommer att få ett incitamentpris på 150 rubel. Skriv dina svar i kommentarerna. Om det här är din första kommentar på bloggen kommer den inte att dyka upp omedelbart, utan lite senare (oroa dig inte, tiden då kommentaren skrevs registreras).

Lycka till!

Med vänlig hälsning, Alexander Krutitsikh.

P.S: Jag skulle vara tacksam om du berättar om webbplatsen på sociala nätverk.

Derivatan av en funktion är ett av de svåra ämnena i Läroplanen. Inte alla akademiker kommer att svara på frågan om vad ett derivat är.

Den här artikeln förklarar på ett enkelt och tydligt sätt vad ett derivat är och varför det behövs.. Vi kommer nu inte att sträva efter matematisk rigor i presentationen. Det viktigaste är att förstå innebörden.

Låt oss komma ihåg definitionen:

Derivatan är förändringshastigheten för en funktion.

Figuren visar grafer över tre funktioner. Vilken tror du växer snabbare?

Svaret är uppenbart - det tredje. Den har den högsta förändringshastigheten, det vill säga den största derivatan.

Här är ett annat exempel.

Kostya, Grisha och Matvey fick jobb samtidigt. Låt oss se hur deras inkomst förändrades under året:

Grafen visar allt på en gång, eller hur? Kostyas inkomst mer än fördubblades på sex månader. Och Grishas inkomst ökade också, men bara lite. Och Matveys inkomst minskade till noll. Startvillkoren är desamma, men funktionens förändringshastighet, det vill säga derivat, - annorlunda. När det gäller Matvey är hans inkomstderivat generellt negativt.

Intuitivt uppskattar vi enkelt förändringshastigheten för en funktion. Men hur gör vi detta?

Vad vi egentligen tittar på är hur brant grafen för en funktion går upp (eller ner). Med andra ord, hur snabbt förändras y när x ändras? Uppenbarligen kan samma funktion vid olika punkter ha annan betydelse derivata - det vill säga den kan ändras snabbare eller långsammare.

Derivatan av en funktion betecknas .

Vi visar dig hur du hittar den med hjälp av en graf.

En graf över någon funktion har ritats. Låt oss ta en punkt med en abskissa på den. Låt oss rita en tangent till grafen för funktionen vid denna punkt. Vi vill uppskatta hur brant funktionsgrafen går uppåt. Ett bekvämt värde för detta är tangent för tangentvinkeln.

Derivatan av en funktion i en punkt är lika med tangenten för tangentvinkeln som ritas till grafen för funktionen vid denna punkt.

Observera att som tangentens lutningsvinkel tar vi vinkeln mellan tangenten och axelns positiva riktning.

Ibland frågar eleverna vad en tangent till grafen för en funktion är. Detta är en rak linje som har detta område den enda gemensamma punkten med grafen, och som visas i vår figur. Det ser ut som en tangent till en cirkel.

Låt oss hitta det. Vi kommer ihåg att tangenten för en spetsig vinkel i rät triangel lika med förhållandet mellan den motsatta sidan och den intilliggande sidan. Från triangeln:

Vi hittade derivatan med hjälp av en graf utan att ens veta formeln för funktionen. Sådana problem finns ofta i Unified State Examination i matematik under numret.

Det finns en annan viktig relation. Kom ihåg att den räta linjen ges av ekvationen

Kvantiteten i denna ekvation kallas lutningen av en rak linje. Det är lika med tangenten för lutningsvinkeln för den räta linjen till axeln.

Det förstår vi

Låt oss komma ihåg denna formel. Det uttrycker den geometriska betydelsen av derivatan.

Derivatan av en funktion i en punkt är lika med lutningen på tangenten som ritas till grafen för funktionen vid den punkten.

Med andra ord är derivatan lika med tangenten till tangentvinkeln.

Vi har redan sagt att samma funktion kan ha olika derivator vid olika punkter. Låt oss se hur derivatan är relaterad till funktionens beteende.

Låt oss rita en graf över någon funktion. Låt denna funktion öka på vissa områden, och minska på andra, och med i olika hastigheter. Och låt denna funktion ha max- och minimumpoäng.

Vid ett tillfälle ökar funktionen. En tangent till grafen ritad vid punkten bildar en spetsig vinkel; med positiv axelriktning. Detta betyder att derivatan vid punkten är positiv.

Vid det tillfället minskar vår funktion. Tangenten vid denna punkt bildar en trubbig vinkel; med positiv axelriktning. Eftersom tangenten för en trubbig vinkel är negativ, är derivatan vid punkten negativ.

Så här händer:

Om en funktion ökar är dess derivata positiv.

Om den minskar är dess derivata negativ.

Vad kommer att hända vid högsta och lägsta poäng? Vi ser att vid punkterna (maximumpunkt) och (minimipunkt) är tangenten horisontell. Därför är tangentens tangent vid dessa punkter noll, och derivatan är också noll.

Punkt - maximal poäng. Vid denna tidpunkt ersätts ökningen av funktionen av en minskning. Följaktligen ändras derivatans tecken vid punkten från "plus" till "minus".

Vid punkten - minimipunkten - är derivatan också noll, men dess tecken ändras från "minus" till "plus".

Slutsats: med hjälp av derivatan kan vi ta reda på allt som intresserar oss om en funktions beteende.

Om derivatan är positiv ökar funktionen.

Om derivatan är negativ, minskar funktionen.

Vid maxpunkten är derivatan noll och ändrar tecken från "plus" till "minus".

Vid minimipunkten är derivatan också noll och ändrar tecken från "minus" till "plus".

Låt oss skriva dessa slutsatser i form av en tabell:

	ökar	högsta poäng	minskar	minimipunkt	ökar
+	0	-	0	+

Låt oss göra två små förtydliganden. Du kommer att behöva en av dem när du löser problemet. En annan - under det första året, med en mer seriös studie av funktioner och derivator.

Det är möjligt att derivatan av en funktion vid något tillfälle är lika med noll, men funktionen har varken ett maximum eller ett minimum vid denna punkt. Detta är den så kallade :

Vid en punkt är tangenten till grafen horisontell och derivatan är noll. Men före punkten ökade funktionen - och efter punkten fortsätter den att öka. Tecknet för derivatan ändras inte - det förblir positivt som det var.

Det händer också att derivatan inte existerar vid punkten för maximum eller minimum. På grafen motsvarar detta ett skarpt brott, när det är omöjligt att rita en tangent vid en given punkt.

Hur hittar man derivatan om funktionen inte ges av en graf, utan av en formel? I detta fall gäller det

Därefter, i klassen, är det lämpligt att överväga en nyckeluppgift: med hjälp av den givna grafen för derivatan måste eleverna (naturligtvis med hjälp av läraren) komma på olika frågor relaterade till egenskaperna hos själva funktionen. Naturligtvis diskuteras dessa frågor, korrigeras vid behov, sammanfattas, registreras i en anteckningsbok, varefter steget för att lösa dessa uppgifter börjar. Här är det nödvändigt att se till att eleverna inte bara ger det korrekta svaret, utan också kan argumentera (bevisa) det med hjälp av lämpliga definitioner, egenskaper och regler.
Låt oss ge ett exempel på en sådan uppgift: på tavlan (till exempel med hjälp av en projektor) presenteras eleverna med en graf av derivatan 10 uppgifter formulerades utifrån den (inte helt korrekta eller dubbla frågor avvisades).
Funktionen y = f(x) är definierad och kontinuerlig på intervallet [–6; 6].
Använd grafen för derivatan y = f"(x), bestäm:

1) antalet intervall med ökande funktion y = f(x);
2) längden av intervallet av minskande funktion y = f(x);
3) antalet extrema punkter för funktionen y = f(x);
4) maxpunkten för funktionen y = f(x);
5) kritisk (stationär) punkt för funktionen y = f(x), som inte är en extrempunkt;
6) abskissan för grafpunkten där funktionen y = f(x) tar det största värdet på segmentet;
7) abskissan för grafpunkten där funktionen y = f(x) får det minsta värdet på segmentet [–2; 2];
8) antalet punkter i grafen för funktionen y = f(x), där tangenten är vinkelrät mot Oy-axeln;
9) antalet punkter på grafen för funktionen y = f(x), vid vilka tangenten bildar en vinkel på 60° med Ox-axelns positiva riktning;
10) abskissan för grafpunkten för funktionen y = f(x), vid vilken tangentens lutning har det minsta värdet.
Svar: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.
För att stärka färdigheterna att studera egenskaperna hos en funktion kan eleverna ta hem en uppgift relaterad till att läsa samma graf, men i det ena fallet är det en graf över en funktion och i det andra en graf av dess derivata.

Artikeln publicerades med stöd av forumet för systemadministratörer och programmerare. På "CyberForum.ru" hittar du forum om ämnen som programmering, datorer, programvarudiskussioner, webbprogrammering, vetenskap, elektronik och Vitvaror, karriär och näringsliv, rekreation, människor och samhälle, kultur och konst, hem och hushåll, bilar, motorcyklar och mycket mer. På forumet kan du få gratis hjälp. Du kan ta reda på mer på webbplatsen, som finns på: http://www.cyberforum.ru/differential-equations/.

Funktionen y = f(x) är definierad och kontinuerlig på intervallet [–6; 5]. Bilden visar:
a) graf över funktionen y = f(x);
b) graf av derivatan y = f"(x).
Bestäm från schemat:
1) minimipunkter för funktionen y = f(x);
2) antalet intervall av minskande funktion y = f(x);
3) abskissan för grafpunkten för funktionen y = f(x), vid vilken den tar det största värdet på segmentet;
4) antalet punkter i grafen för funktionen y = f(x), där tangenten är parallell med Ox-axeln (eller sammanfaller med den).
Svar:
a) 1) -3; 2; 4; 2) 3; 3) 3; 4) 4;
b) 1) -2; 4,6;2) 2; 3) 2; 4) 5.
För att utföra kontroll kan du organisera arbetet i par: varje elev förbereder en derivatgraf på ett kort för sin partner i förväg och nedan erbjuder 4-5 frågor för att bestämma funktionernas egenskaper. Under lektionerna byter de kort, slutför de föreslagna uppgifterna, varefter alla kontrollerar och utvärderar sin partners arbete.

Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x), definierad på intervallet [–5; 6]. Hitta antalet punkter på grafen för f(x), vid vilka tangenten som ritas till grafen för funktionen sammanfaller med eller är parallell med x-axeln

Figuren visar en graf över derivatan av den differentierbara funktionen y = f(x).

Hitta antalet punkter på funktionsgrafen som hör till segmentet [–7; 7], där tangenten till grafen för funktionen är parallell med den räta linjen som anges av ekvationen y = –3x.

Materialpunkt M börjar röra sig från punkt A och rör sig i en rak linje i 12 sekunder. Grafen visar hur avståndet från punkt A till punkt M förändrades över tiden. Abskissaxeln visar tiden t i sekunder och ordinataaxeln visar avståndet s i meter. Bestäm hur många gånger under rörelsen hastigheten för punkt M vände till noll (ta inte hänsyn till början och slutet av rörelsen).

Figuren visar sektioner av grafen för funktionen y=f(x) och tangenten till den i punkten med abskissan x = 0. Det är känt att denna tangent är parallell med den räta linjen som går genom grafens punkter. med abskissan x = -2 och x = 3. Använd denna, hitta värdet på derivatan f"(o).

Figuren visar en graf av y = f’(x) - derivatan av funktionen f(x), definierad på segmentet (−11; 2). Hitta abskissan för den punkt där tangenten till grafen för funktionen y = f(x) är parallell med eller sammanfaller med abskissan.

En materialpunkt rör sig rätlinjigt enligt lagen x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, där x är avståndet från referenspunkten i meter, t är tiden i sekunder, mätt från början av rörelsen. Vid vilken tidpunkt (i sekunder) var dess hastighet lika med 2 m/s?

En materialpunkt rör sig längs en rät linje från den ursprungliga till slutpositionen. Figuren visar en graf över dess rörelse. Abskissaxeln visar tiden i sekunder, och ordinataaxeln visar avståndet från punktens initiala position (i meter). Hitta medelhastigheten för punkten. Ge ditt svar i meter per sekund.

Funktionen y = f (x) definieras på intervallet [-4; 4]. Figuren visar en graf över dess derivata. Hitta antalet punkter på grafen för funktionen y = f (x), tangenten vid vilken bildar en vinkel på 45° med Ox-axelns positiva riktning.

Funktionen y = f (x) definieras på intervallet [-2; 4]. Figuren visar en graf över dess derivata. Hitta abskissan för punkten i grafen för funktionen y = f (x), vid vilken den tar det minsta värdet på segmentet [-2; -0,001].

Figuren visar en graf över funktionen y = f(x) och en tangent till denna graf ritad vid punkt x0. Tangenten ges av ekvationen y = -2x + 15. Hitta värdet på derivatan av funktionen y = -(1/4)f(x) + 5 i punkten x0.

På grafen för den differentierbara funktionen y = f (x) är sju punkter markerade: x1,.., x7. Hitta alla markerade punkter där derivatan av funktionen f(x) är större än noll. I ditt svar, ange antalet av dessa punkter.

Figuren visar en graf y = f"(x) av derivatan av funktionen f(x), definierad på intervallet (-10; 2). Hitta antalet punkter där tangenten till grafen för funktionen f är (x) är parallell med den räta linjen y = -2x-11 eller sammanfaller med den.

Figuren visar en graf av y=f"(x) - derivatan av funktionen f(x). Det finns nio punkter markerade på abskissaxeln: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Hur många av dessa punkter tillhör intervallen för avtagande funktion f(x)?

Figuren visar en graf över funktionen y = f(x) och en tangent till denna graf ritad vid punkt x0. Tangenten ges av ekvationen y = 1,5x + 3,5. Hitta värdet på derivatan av funktionen y = 2f(x) - 1 i punkten x0.

Figuren visar grafen y=F(x) för en av antiderivata funktioner f(x). Det finns sex punkter markerade på grafen med abskiss x1, x2, ..., x6. Vid hur många av dessa punkter tar funktionen y=f(x). negativa värden?

Figuren visar en graf över bilen som rör sig längs rutten. Abskissaxeln visar tiden (i timmar), och ordinataaxeln visar tillryggalagd sträcka (i kilometer). Hitta medelhastigheten för bilen på denna rutt. Ge ditt svar i km/h

En materialpunkt rör sig rätlinjigt enligt lagen x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, där x är avståndet från referenspunkten (i meter), t är tiden rörelse (i sekunder). Hitta dess hastighet (i meter per sekund) vid tiden t=6 s

Figuren visar en graf av antiderivatan y = F(x) för någon funktion y = f(x), definierad på intervallet (-6; 7). Använd figuren och bestäm antalet nollor för funktionen f(x) i detta intervall.

Figuren visar en graf av y = F(x) för en av antiderivatorna för någon funktion f(x), definierad på intervallet (-7; 5). Använd figuren och bestäm antalet lösningar till ekvationen f(x) = 0 på intervallet [- 5; 2].

Figuren visar grafen för den differentierbara funktionen y=f(x). Det finns nio punkter markerade på x-axeln: x1, x2, ... x9. Hitta alla markerade punkter där derivatan av funktionen f(x) är negativ. I ditt svar, ange antalet av dessa punkter.

En materialpunkt rör sig rätlinjigt enligt lagen x(t)=12t^3−3t^2+2t, där x är avståndet från referenspunkten i meter, t är tiden i sekunder mätt från början av rörelsen. Hitta dess hastighet (i meter per sekund) vid tiden t=6 s.

Figuren visar en graf över funktionen y=f(x) och en tangent till denna graf ritad vid punkt x0. Tangentekvationen visas i figuren. hitta värdet på derivatan av funktionen y=4*f(x)-3 i punkten x0.