Hej David.
Grafen för en funktion är dess geometriska bild. Den visar var på koordinatplanet det finns en punkt vars koordinater (X och Y) är relaterade till ett visst matematiskt uttryck (funktion).
Innan du börjar rita funktioner måste du först rita koordinataxlarna OX och OU. Det är bäst att använda skala-koordinatpapper för detta. Därefter måste du bestämma typen av funktion, eftersom grafiken för olika funktioner är väldigt olika. Till exempel har den linjära funktionen som diskuteras nedan en graf i form av en rät linje. Efter detta måste du bestämma omfattningen av funktionerna, d.v.s. begränsningar för värdena på X och Y. Till exempel, om X är i nämnaren för ett bråk, kan dess värde inte vara lika med 0. Därefter måste du hitta nollorna för funktionen, det vill säga skärningspunkten av funktionsgrafen med koordinataxlarna.
Låt oss börja plotta funktionen som anges i punkt a) i din fråga.
Funktion y= - 6x + 4, vars graf du vill rita i det första problemet i din fråga, är en linjär funktion, eftersom linjära funktioner representeras av uttrycket y = kx + m. Definitionsdomänen för en linjär funktion anses vara hela den räta linjen OX. Parametern m i en linjär funktion bestämmer punkten där grafen för den linjära funktionen skär OY-axeln.
För att bygga en graf för en linjär funktion räcker det att bestämma minst två av dess punkter, eftersom grafen för en funktion är en rät linje. Om du hittar fler punkter kan du bygga en mer exakt graf. I allmänhet, när man konstruerar en graf för en linjär funktion, är det nödvändigt att bestämma de punkter där grafen skär X, Y-koordinataxlarna.
Så i ditt fall kommer skärningspunkterna för funktionsgrafen med koordinataxlarna att vara så här:
När X=0, Y= -6*0+4=4 Så har vi fått värdet på parametern m i en linjär funktion.
Y=0, det vill säga 0= -6*X+4, det vill säga 6x=4, därför X=4/6=0,667
När X= -1, Y=-6*-1+4=10
När X=1, Y= -6*1+4=-2
När X=2, Y= -6*2+4=-8
Efter att ha fått alla ovanstående punkter är allt du behöver göra att markera dem på koordinatplanet och ansluta dem med en rak linje, som visas i exemplet i figuren som bifogas den här artikeln.
Låt oss nu plotta funktionen som anges i punkt b) i din fråga.
Det är direkt uppenbart att funktion y=0,5x, från det andra problemet, är också en linjär funktion. Till skillnad från det första exemplet innehåller detta uttryck inte värdet m, vilket betyder att grafen för funktionen y = 0,5x går genom koordinataxlarnas origo, det vill säga i deras nollpunkt.
När X=0, Y= 0,5*0=0
När X=1, Y=0,5*1=0,5
När X=2, Y= 0,5*2=1
När X=3, Y=0,5*3=1,5
När X= -1, Y=0,5*-1= -0,5
Vid X= -2, Y= 0,5*-2= -1
När X= -3, Y=0,5*3= -1,5
Nu, med alla ovanstående värden på X och Y, kan du enkelt placera dessa punkter på koordinatplanet, koppla dem till en rät linje med hjälp av en linjal, och du får en graf över den linjära funktionen y = 0,5x
Nedan har jag tillhandahållit en länk, genom att klicka på vilken du kan hitta lektioner i matematik, algebra, geometri och ryska språket. Jag skulle uppmuntra dig att läsa några ämnen som rör grafiska funktioner. I denna utbildningsmaterial visar mycket tydligt hur man bygger grafer linjära funktioner, och i ämnena nedan kan du se exempel på att plotta grafer för andra funktioner. Allt är skrivet tillräckligt detaljerat, så det kommer att vara förståeligt inte bara för dem som har tagit examen från skolan för länge sedan och har en idé om hur man konstruerar en graf för en funktion, utan också för de som precis har börjat förstå vetenskapens grunder. Jag tror att efter att ha sett klart på specifika exempel hur funktionsgrafer är uppbyggda kommer du då att kunna lösa vilket problem som helst med att konstruera en funktionsgraf utan problem.
Tillbaka framåt
Uppmärksamhet! Förhandsvisningar av bilder är endast i informationssyfte och representerar kanske inte alla funktioner i presentationen. Om du är intresserad av detta arbete, ladda ner den fullständiga versionen.
En algebra-lektion i årskurs 9 på ämnet "Konstruera grafer för funktioner vars analytiska uttryck innehåller tecknet på det absoluta värdet" byggdes på datateknik, med hjälp av forskningsinlärningsaktiviteter.
Lektionens mål: Pedagogiskt: Visuellt demonstrera för eleverna möjligheterna att använda en dator när de plottar funktioner med moduler; för självkontroll, vilket sparar tid när du konstruerar grafer över funktioner i formuläret y=f|(x)| , y = | f(x)| , y=|f |(x)| |.
Utveckling: Utveckling av intellektuella färdigheter och mentala operationer - analys och syntes, jämförelse, generalisering. Bildande av IKT-kompetens hos elever.
Utbildning: Odla kognitivt intresse för ämnet genom att introducera den senaste undervisningstekniken. Främja självständighet vid lösning av utbildningsproblem.
Utrustning: Utrustning: datorklass, interaktiv tavla, presentation om ämnet "Konstruera grafer av funktioner, vars analytiska uttryck innehåller tecknet på det absoluta värdet," utdelningar: kort för att arbeta med en grafisk modell av funktioner, ark för att registrera resultaten av att studera funktioner, persondatorer. Självkontrollblad.
Programvara: Microsoft PowerPoint-presentation "Plotta grafer över funktioner vars analytiska uttryck innehåller ett absolut värdetecken"
Under lektionerna
1. Organisatoriskt ögonblick
2. Upprepning, generalisering och systematisering. Detta skede av lektionen åtföljs av en datorpresentation.
Graf över en funktion y=f|(x)|
y=f |(x)| - jämn funktion, därför att | x | = | -x |, sedan f |-x| = f | x |
Grafen för denna funktion är symmetrisk kring koordinataxeln.
Därför räcker det att plotta funktionen y=f(x) för x>0, och komplettera sedan dess vänstra sida, symmetriskt till höger i förhållande till koordinataxeln.
Låt till exempel grafen för funktionen y=f(x) är kurvan som visas i fig. 1, sedan grafen för funktionen y=f|(x)| det kommer att finnas en kurva som visas i fig. 2.
1. Studie av grafen för funktionen y= |x|
Den erforderliga grafen är således en streckad linje som består av två halvlinjer. (Fig.3)
Från en jämförelse av två grafer: y=x och y= |x|, kommer eleverna att dra slutsatsen att den andra erhålls från den första genom en spegelbild i förhållande till OX av den del av den första grafen som ligger under abskissaxeln. Denna position följer av definitionen av absolut värde.
Från en jämförelse av två grafer: y = x och y = -x, kommer de att dra slutsatsen: funktionen y = f(|x|) erhålls från grafen y = f (x) vid x 0 symmetrisk display i förhållande till op-amp-axeln.
Kan den här grafmetoden användas för alla funktioner som innehåller ett absolut värde?
Bild 3 och 4.
1. Rita funktionen y=0,5 x 2 - 2|x| - 2,5
1) För att |x| = x vid x 0, y=0,5 x 2 - 2x - 2,5. Om x<0, то поскольку х 2 = |х| 2 , |х|=-х и требуемый график совпадает с параболой y=0,5 x 2 + 2x - 2,5.
2) Om vi betraktar grafen y=0,5 x 2 -2x - 2,5 vid x
Kan den här metoden att plotta kvadratiska funktionsgrafer användas för grafer med omvänd proportionalitet som innehåller ett absolut värde?
1) För att |x| = x vid x 0, den önskade grafen sammanfaller med en parabel y=0,25 x 2 - x - 3. Om x<0, то поскольку х 2 = |х| 2 , |х|=-х и требуемый график совпадает с параболой y=0,25 x 2 + x - 3.
2) Om vi betraktar grafen y=0,25 x 2 - x - 3 vid x0 och visar den relativt op-amp-axeln, får vi samma graf.
(0; - 3) koordinater för skärningspunkten för funktionsgrafen med OU-axeln.
y = 0, x 2 - x -3 = 0
x 2 -4x -12 = 0
Vi har, x 1 = - 2; x 2 = 6.
(-2; 0) och (6; 0) är koordinaterna för funktionsgrafens skärningspunkt med OX-axeln.
Om x<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной |х|. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4).
Detta innebär att den del av den nödvändiga grafen som motsvarar värdena på x<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0.
b) Därför slutför jag konstruktionen för x<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ.
I sina anteckningsböcker bevisar eleverna att grafen för funktionen y = f |(x)| sammanfaller med grafen för funktionen y = f (x) på uppsättningen av icke-negativa värden för argumentet och är symmetrisk till den i förhållande till objektets axel på uppsättningen negativa värden för argumentet.
Bevis: Om x 0, då f |(x)|= f (x), dvs. på uppsättningen av icke-negativa värden för argumentet, rita funktionen y = f (x) och y = f |(x)| passa ihop. Eftersom y = f |(x)| är en jämn funktion, då är dess graf symmetrisk med avseende på op-förstärkaren.
Således är grafen för funktionen y = f |(x)| kan erhållas från grafen för funktionen y = f (x) enligt följande:
1. konstruera en graf av funktionen y = f(x) för x>0;
2. För x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ.
Slutsats: Att plotta funktionen y = f |(x)|
1. konstruera en graf av funktionen y = f(x) för x>0;
2. För x<0, симметрично speglar den konstruerade delen
relativt op-förstärkarens axel.
Bild 5
4. Forskningsarbete om att plotta funktionen y = | f(x)|
Konstruera en graf av funktionen y = |x 2 - 2x|
Låt oss befria oss från modultecknet per definition
Om x 2 - 2x0, dvs. om x 
0 och x2, sedan |x 2 - 2x|= x 2 - 2x
Om x 2 - 2x<0, т.е. если 0<х< 2, то |х 2 - 2х|=- х 2 + 2х
Vi ser det på uppsättningen x 0 och x2 funktionsdiagram
y = x 2 - 2x och y = |x 2 - 2x| sammanfaller, och på uppsättningen (0;2)
grafer för funktionen y = -x 2 + 2x och y = |x 2 - 2x| passa ihop. Låt oss bygga dem.
Graf för funktionen y = | f(x)| består av en del av grafen för funktionen y = f(x) för y?0 och en symmetriskt reflekterad del av y = f(x) för y<0 относительно оси ОХ.
Plotta funktionen y = |x 2 - X - 6|
1) Om x 2 - x -6 0, dvs. om x -2 och x3, sedan |x 2 - x -6|= x 2 - x -6.
Om x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то |х 2 - х -6|= -х 2 + х +6.
Låt oss bygga dem.
2) Låt oss bygga y = x 2 - x -6. Nederst i grafen
visas symmetriskt i förhållande till OX.
Jämför vi 1) och 2) ser vi att graferna är desamma.
Arbeta med anteckningsböcker.
Låt oss bevisa att grafen för funktionen y = | f(x)| sammanfaller med grafen för funktionen y = f (x) för f (x) > 0 och den symmetriskt reflekterade delen av y = f (x) för y<0 относительно оси ОХ.
I själva verket, per definition av absolut värde, kan denna funktion betraktas som en uppsättning av två linjer:
y = f(x), om f(x) 0; y = - f(x), om f(x)<0
För alla funktioner y = f(x), om f(x) >0, då
| f(x)| = f(x), vilket betyder i denna del grafen för funktionen
y = | f(x)| sammanfaller med grafen för själva funktionen
Om f(x)<0, то | f (х)| = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) symmetrisk punkt (x; f (x)) i förhållande till OX-axeln. För att erhålla den önskade grafen reflekterar vi därför symmetriskt med avseende på OX-axeln den "negativa" delen av grafen y = f(x).
Slutsats: faktiskt, för att konstruera en graf för funktionen y = |f(x) | tillräckligt:
1. Rita en graf över funktionen y = f(x);
F(x)<0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5)
Slutsats: Att plotta funktionen y=|f(x) |
1. Rita en graf över funktionen y=f(X);
2. I områden där grafen är placerad i det nedre halvplanet, d.v.s. var f(X)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс.
Bild 8-13.
5. Forskningsarbete kring grafiska funktioner y=|f|(x)| |
Med hjälp av definitionen av absolut värde och de tidigare diskuterade exemplen kommer vi att rita funktionsgraferna:
y = |2|x| - 3|
y = |x 2 - 5|x||
y = | |x 2 | - 2| och drog slutsatser.
För att plotta funktionen y = | f |(x)| nödvändig:
1. Bygg en graf av funktionen y = f(x) för x>0.
2. Konstruera den andra delen av grafen, d.v.s. reflektera den konstruerade grafen symmetriskt i förhållande till op-förstärkaren, eftersom Denna funktion är jämn.
3. Konvertera sektioner av den resulterande grafen i det nedre halvplanet till det övre halvplanet symmetriskt mot OX-axeln.
Konstruera en graf för funktionen y = | 2|x | - 3| (Första metoden för att bestämma modulen)
1. Vi bygger y = 2|x | - 3, För 2 |x| - 3 > 0 , | x |>1,5 dvs. X< -1,5 и х>1,5
a) y = 2x - 3, för x>0
b) för x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.
2. Vi bygger y = - 2 |x| + 3, För 2|x | - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5
a) y = - 2x + 3, för x>0
b) för x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.
Y = | 2|x | - 3|
1) Vi konstruerar y = 2x-3, för x>0.
2) Vi konstruerar en rät linje, symmetrisk mot den som är konstruerad i förhållande till op-förstärkarens axel.
3) Jag visar sektioner av grafen placerade i det nedre halvplanet symmetriskt i förhållande till OX-axeln.
Jämför vi båda graferna ser vi att de är likadana.
y = | X 2 - 5|x| |
1. Vi konstruerar y = x 2 - 5 |x|, för x 2 - 5 |x| > 0 dvs. x >5 och x<-5
a) y = x 2 - 5 x, för x>0
b) för x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.
2. Vi bygger y = - x 2 + 5 |x| , för x 2 - 5 |x|< 0. т.е. -5х5
a) y = - x 2 + 5 x, för x>0
b) för x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.
Y = | x 2 - 5|x| |
a) Vi bygger en graf av funktionen y = x 2 - 5 x för x>0.
B) Vi bygger en del av grafen som är symmetrisk till den plottade relativt op-förstärkarens axel
c) Jag transformerar den del av grafen som ligger i det nedre halvplanet till det övre halvplanet symmetriskt mot OX-axeln.
När vi jämför båda graferna ser vi att de är likadana. (Bild 10)
3. Sammanfattning av lektionen.
14,15 bilder.
y=f|(x)|
1. Rita en graf över funktionen y=f(x) för x>0;
2. Bygg för x<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ.
Algoritm för att rita en funktionsgraf y=|f(x) |
1. Rita en graf över funktionen y=f(X);
2. I områden där grafen är placerad i det nedre halvplanet, d.v.s. var f(X)<0, строить кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс.
Algoritm för att rita en funktionsgraf y=|f|(x)| |
1. Rita funktionen y=f(x) för x>0.
2. Konstruera en grafkurva som är symmetrisk med den som är konstruerad relativt op-amp-axeln, eftersom Denna funktion är jämn.
3. Konvertera sektioner av grafen i det nedre halvplanet till det övre halvplanet symmetriskt med OX-axeln.
Idag ska vi noggrant studera funktioner vars graf är en rät linje.
Skriv ner ämnet för lektionen i din anteckningsbok
"Linjär funktion och direkt proportionalitet."
Slutför alla uppgifter noggrant och
försök komma ihåg definitioner som är nya för dig.
Kom ihåg definitionen:
En linjär funktion är en funktion som kan specificeras med en formel i formen
y = kx + b, där x är en oberoende variabel, k och b är några tal.
Till exempel: om k = 0,5 och b = -2, då är y = 0,5x - 2.
Träning:
Konstruera en graf av den linjära funktionen y = 0,5x - 2.
Gör en tabell med värden av par (x, y).
Markera dem på koordinatplanet.
Anslut prickarna med en linje.
Kontrollera lösningen:
Låt oss bygga en graf av den linjära funktionen y = 0,5x - 2.
| X | -4 | 0 | 2 | 4 |
| på | -4 | -2 | -1 | 0 |
För att rita grafen y = -x + 3, beräkna koordinaterna för två punkter
| X | -2 | 4 |
| på | 5 | -1 |
Låt oss markera två punkter på koordinatplanet och koppla ihop dem med en rak linje.
Kan du bestämma:
hör punkt A(36; 5) till grafen för den linjära funktionen?
Ja
Nej
Jämför nu dessa två grafer och se att den linjära funktionen har y = kx + b,
redan innan du konstruerar den kan du "förutsäga" platsen för en rät linje på koordinatplanet!
Hur?
Du behöver bara titta noga på siffrorna k och b...
Och de kommer att berätta mycket för oss!
Försöka gissa...
| Funktion y = 0,5x - 2 | Funktion y = -x + 3 |
 |
Så vi observerar och drar slutsatser:
1) Den första skär op-amp-axeln vid punkt (0; -2) och den andra vid (0; 3)
!!! den första har b = -2 och den andra har b = 3
Slutsats: med talet b i formeln y = kx + b bestämmer vi vid vilken punkt den räta linjen kommer att skära ordinataaxeln.
2) Den första lutar mot den positiva riktningen av OX-axeln i en spetsig vinkel och den andra - i en trubbig vinkel.
!!! den första har k > 0 och den andra har k
Slutsats: om vi i formeln y = kx + b ser att talet k > 0, så lutar grafen mot den positiva riktningen av x-axeln i en spetsig vinkel;
om talet är k kallas talet k (koefficienten för x) vinkelkoefficienten av denna anledning.
Kom ihåg allt detta! Sådan kunskap kommer att vara användbar för oss mer än en gång
Om vi i formeln y = kx + b tar b = 0, får vi formeln y = kx.
Kom ihåg definitionen:
En funktion som kan specificeras med formeln y = kx, där k är ett tal som inte är lika med 0, x är en variabel, kallas direkt proportionalitet.
Slutför uppgiften i din anteckningsbok:
Kom på flera direkta proportionalitetsformler med olika koefficienter k och rita deras grafer i samma koordinatplan.
Eftersom direkt proportionalitet har b = 0, kommer grafen att skära op-amp-axeln vid punkten (0; 0). 
Vi kan rita flera grafer på ett koordinatplan!
En linjär funktion har en rak linjegraf.
Och linjer kan vara parallella eller skära vid en punkt...
Det är intressant, men innan vi ritar graferna, bara genom att titta (noggrant!) på deras formler, kan vi dra slutsatsen:
Graferna för dessa funktioner kommer att skära varandra,
Graferna för dessa funktioner är placerade parallellt.
