Formulação e prova do teorema de Vieta para equações quadráticas. Teorema inverso de Vieta. Teorema de Vieta para equações cúbicas e equações de ordem arbitrária.
Equações quadráticas
Teorema de Vieta
Deixe e denote as raízes da equação quadrática reduzida
(1)
.
Então a soma das raízes é igual ao coeficiente de , tomado com sinal oposto. O produto das raízes é igual ao termo livre:
;
.
Uma nota sobre raízes múltiplas
Se o discriminante da equação (1) for zero, então esta equação terá uma raiz. Mas, para evitar formulações complicadas, é geralmente aceito que, neste caso, a equação (1) tem duas raízes múltiplas ou iguais:
.
Prova um
Vamos encontrar as raízes da equação (1). Para fazer isso, aplique a fórmula para as raízes de uma equação quadrática:
;
;
.
Encontre a soma das raízes:
.
Para encontrar o produto, aplique a fórmula:
.
Então
.
O teorema está provado.
Prova dois
Se os números são as raízes da equação quadrática (1), então
.
Abrindo os parênteses.
.
Assim, a equação (1) terá a forma:
.
Comparando com (1) encontramos:
;
.
O teorema está provado.
Teorema inverso de Vieta
Que haja números arbitrários. Então e são as raízes da equação quadrática
,
Onde
(2)
;
(3)
.
Prova do teorema inverso de Vieta
Considere a equação quadrática
(1)
.
Precisamos provar que se e, então e são as raízes da equação (1).
Vamos substituir (2) e (3) em (1):
.
Agrupamos os termos no lado esquerdo da equação:
;
;
(4)
.
Vamos substituir em (4):
;
.
Vamos substituir em (4):
;
.
A equação é válida. Ou seja, o número é a raiz da equação (1).
O teorema está provado.
Teorema de Vieta para uma equação quadrática completa
Agora considere a equação quadrática completa
(5)
,
onde e são alguns números. Além disso.
Vamos dividir a equação (5) por:
.
Ou seja, obtivemos a equação dada
,
Onde ; .
Então o teorema de Vieta para uma equação quadrática completa tem a seguinte forma.
Deixe e denote as raízes da equação quadrática completa
.
Então a soma e o produto das raízes são determinados pelas fórmulas:
;
.
Teorema de Vieta para equação cúbica
De forma semelhante, podemos estabelecer conexões entre as raízes de uma equação cúbica. Considere a equação cúbica
(6)
,
onde , , , são alguns números. Além disso.
Vamos dividir esta equação por:
(7)
,
Onde , , .
Sejam , , as raízes da equação (7) (e da equação (6)). Então
.
Comparando com a equação (7) encontramos:
;
;
.
Teorema de Vieta para uma equação de enésimo grau
Da mesma forma, você pode encontrar conexões entre as raízes , , ... , , para a equação enésimo grau
.
Teorema de Vieta para enésimas equações grau tem a seguinte forma:
;
;
;
.
Para obter essas fórmulas, escrevemos a equação da seguinte forma:
.
Em seguida, igualamos os coeficientes para , , , ... e comparamos o termo livre.
Referências:
EM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemática para engenheiros e estudantes universitários, “Lan”, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Álgebra: livro didático para a 8ª série em instituições de ensino geral, Moscou, Educação, 2006.
Qualquer equação quadrática completa machado 2 + bx + c = 0 pode ser trazido à mente x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, se você primeiro dividir cada termo pelo coeficiente a antes x 2. E se introduzirmos novas notações (b/uma) = p E (c/a) = q, então teremos a equação x 2 + px + q = 0, que em matemática é chamado dada equação quadrática.
Raízes da equação quadrática reduzida e coeficientes p E q conectados entre si. Está confirmada Teorema de Vieta, em homenagem ao matemático francês François Vieta, que viveu no final do século XVI.
Teorema. Soma das raízes da equação quadrática reduzida x 2 + px + q = 0 igual ao segundo coeficiente p, tomado com sinal oposto, e o produto das raízes - ao termo livre q.
Vamos escrever essas relações da seguinte forma:
Deixar x 1 E x 2 diferentes raízes da equação dada x 2 + px + q = 0. De acordo com o teorema de Vieta x 1 + x 2 = -p E x 1 x 2 = q.
Para provar isso, vamos substituir cada uma das raízes x 1 e x 2 na equação. Obtemos duas igualdades verdadeiras:
x 1 2 + px 1 + q = 0
x 2 2 + px 2 + q = 0
Subtraímos a segunda da primeira igualdade. Nós temos: 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
Expandimos os dois primeiros termos usando a fórmula da diferença de quadrados:
(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0
Por condição, as raízes x 1 e x 2 são diferentes. Portanto, podemos reduzir a igualdade para (x 1 – x 2) ≠ 0 e expressar p.
(x 1 + x 2) + p = 0;
(x 1 + x 2) = -p.
A primeira igualdade foi provada.
Para provar a segunda igualdade, substituímos na primeira equação
x 1 2 + px 1 + q = 0 em vez do coeficiente p, um número igual é (x 1 + x 2):
x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0
Transformando o lado esquerdo da equação, obtemos:
x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;
x 1 x 2 = q, que é o que precisava ser provado.
O teorema de Vieta é bom porque Mesmo sem conhecer as raízes de uma equação quadrática, podemos calcular sua soma e produto .
O teorema de Vieta ajuda a determinar as raízes inteiras de uma determinada equação quadrática. Mas para muitos alunos isso causa dificuldades pelo fato de não conhecerem um algoritmo de ação claro, principalmente se as raízes da equação tiverem sinais diferentes.
Portanto, a equação quadrática acima tem a forma x 2 + px + q = 0, onde x 1 e x 2 são suas raízes. De acordo com o teorema de Vieta, x 1 + x 2 = -p e x 1 · x 2 = q.
A seguinte conclusão pode ser tirada.
Se o último termo da equação for precedido por um sinal de menos, então as raízes x 1 e x 2 terão sinais diferentes. Além disso, o sinal da raiz menor coincide com o sinal do segundo coeficiente da equação.
Com base no fato de que ao adicionar números com sinais diferentes seus módulos são subtraídos, e o sinal do maior valor absoluto do número é colocado antes do resultado obtido, proceda da seguinte forma:
- determine os fatores do número q tais que sua diferença seja igual ao número p;
- coloque o sinal do segundo coeficiente da equação antes do menor dos números resultantes; a segunda raiz terá o sinal oposto.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1.
Resolva a equação x 2 – 2x – 15 = 0.
Solução.
Vamos tentar resolver esta equação usando as regras propostas acima. Então podemos dizer com certeza que esta equação terá duas raízes diferentes, porque D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.
Agora, de todos os fatores do número 15 (1 e 15, 3 e 5), selecionamos aqueles cuja diferença é 2. Esses serão os números 3 e 5. Colocamos um sinal de menos na frente do número menor, ou seja, sinal do segundo coeficiente da equação. Assim, obtemos as raízes da equação x 1 = -3 ex 2 = 5.
Responder. x 1 = -3 e x 2 = 5.
Exemplo 2.
Resolva a equação x 2 + 5x – 6 = 0.
Solução.
Vamos verificar se esta equação tem raízes. Para fazer isso, encontramos um discriminante:
D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. A equação tem duas raízes diferentes.
Os possíveis fatores do número 6 são 2 e 3, 6 e 1. A diferença é 5 para o par 6 e 1. Neste exemplo, o coeficiente do segundo termo tem sinal de mais, então o número menor terá o mesmo sinal . Mas antes do segundo número haverá um sinal de menos.
Resposta: x 1 = -6 e x 2 = 1.
O teorema de Vieta também pode ser escrito para uma equação quadrática completa. Então, se a equação quadrática machado 2 + bx + c = 0 tem raízes x 1 e x 2, então as igualdades são válidas para eles
x 1 + x 2 = -(b/uma) E x 1 x 2 = (c/a). Contudo, a aplicação deste teorema numa equação quadrática completa é bastante problemática, porque se existem raízes, pelo menos uma delas é um número fracionário. E trabalhar com seleção de frações é bastante difícil. Mas ainda há uma saída.
Considere a equação quadrática completa ax 2 + bx + c = 0. Multiplique seus lados esquerdo e direito pelo coeficiente a. A equação terá a forma (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Agora vamos introduzir uma nova variável, por exemplo t = ax.
Neste caso, a equação resultante se transformará em uma equação quadrática reduzida da forma t 2 + bt + ac = 0, cujas raízes t 1 e t 2 (se houver) podem ser determinadas pelo teorema de Vieta.
Neste caso, as raízes da equação quadrática original serão
x 1 = (t 1 / a) e x 2 = (t 2 / a).
Exemplo 3.
Resolva a equação 15x 2 – 11x + 2 = 0.
Solução.
Vamos criar uma equação auxiliar. Vamos multiplicar cada termo da equação por 15:
15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.
Fazemos a substituição t = 15x. Nós temos:
t2 – 11t + 30 = 0.
De acordo com o teorema de Vieta, as raízes desta equação serão t 1 = 5 e t 2 = 6.
Voltamos à substituição t = 15x:
5 = 15x ou 6 = 15x. Portanto, x 1 = 5/15 e x 2 = 6/15. Reduzimos e obtemos a resposta final: x 1 = 1/3 e x 2 = 2/5.
Responder. x 1 = 1/3 e x 2 = 2/5.
Para dominar a resolução de equações quadráticas usando o teorema de Vieta, os alunos precisam praticar tanto quanto possível. Este é precisamente o segredo do sucesso.
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Antes de passarmos ao teorema de Vieta, introduzimos uma definição. Equação quadrática da forma x² + pixels + q= 0 é chamado de reduzido. Nesta equação, o coeficiente líder é igual a um. Por exemplo, a equação x² - 3 x- 4 = 0 é reduzido. Qualquer equação quadrática da forma machado² +b x + c= 0 pode ser reduzido dividindo ambos os lados da equação por A≠ 0. Por exemplo, equação 4 x² + 4 x— 3 = 0 dividindo por 4 é reduzido à forma: x² + x— 3/4 = 0. Vamos derivar a fórmula para as raízes da equação quadrática reduzida, para isso usamos a fórmula para as raízes de uma equação quadrática geral: machado² + bx + c = 0
Equação reduzida x² + pixels + q= 0 coincide com uma equação geral na qual A = 1, b = p, c = q. Portanto, para a equação quadrática dada, a fórmula assume a forma: 
a última expressão é chamada de fórmula para as raízes da equação quadrática reduzida; é especialmente conveniente usar esta fórmula quando; R — numero par. Por exemplo, vamos resolver a equação x²-14 x — 15 = 0
Em resposta, escrevemos que a equação tem duas raízes.
Para a equação quadrática reduzida com positivo, o seguinte teorema é válido.
Teorema de Vieta
Se x 1 e x 2 - raízes da equação x² + pixels + q= 0, então as fórmulas são válidas:
x 1 + x 2 = — R
x 1 * x 2 =q, isto é, a soma das raízes da equação quadrática reduzida é igual ao segundo coeficiente tomado com sinal oposto, e o produto das raízes é igual ao termo livre.
Com base na fórmula das raízes da equação quadrática acima, temos:
Somando essas igualdades, obtemos: x 1 + x 2 = —R.
Multiplicando essas igualdades, usando a fórmula da diferença de quadrados, obtemos:
Observe que o teorema de Vieta também é válido quando o discriminante é igual a zero, se assumirmos que neste caso a equação quadrática tem duas raízes idênticas: x 1 = x 2 = — R/2.
Sem resolver equações x²-13 x+ 30 = 0 encontre a soma e o produto de suas raízes x 1 e x 2. esta equação D= 169 – 120 = 49 > 0, então o teorema de Vieta pode ser aplicado: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Vejamos mais alguns exemplos. Uma das raízes da equação x² — pixels- 12 = 0 é igual x 1 = 4. Encontrar coeficiente R e a segunda raiz x 2 desta equação. Pelo teorema de Vieta x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — R. Porque x 1 = 4, então 4 x 2 = - 12, de onde x 2 = — 3, R = — (x 1 + x 2) = - (4 - 3) = - 1. Na resposta anotamos a segunda raiz x 2 = - 3, coeficiente p = - 1.
Sem resolver equações x²+2 x- 4 = 0 vamos encontrar a soma dos quadrados de suas raízes. Deixar x 1 e x 2 - raízes da equação. Pelo teorema de Vieta x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = — 4. Porque x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2 então x 1²+ x 2² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.
Vamos encontrar a soma e o produto das raízes da equação 3 x² + 4 x- 5 = 0. Esta equação tem duas raízes diferentes, pois o discriminante D= 16 + 4*3*5 > 0. Para resolver a equação, usamos o teorema de Vieta. Este teorema foi provado para a equação quadrática dada. Então vamos dividir essa equação por 3.
Portanto, a soma das raízes é igual a -4/3 e seu produto é igual a -5/3.
Em geral, as raízes da equação machado² +b x + c= 0 conectado as seguintes igualdades: x 1 + x 2 = — b/uma, x 1 * x 2 = c/uma, Para obter essas fórmulas, basta dividir ambos os lados desta equação quadrática por A ≠ 0 e aplique o teorema de Vieta à equação quadrática reduzida resultante. Vejamos um exemplo: você precisa criar uma equação quadrática reduzida cujas raízes x 1 = 3, x 2 = 4. Porque x 1 = 3, x 2 = 4 - raízes da equação quadrática x² + pixels + q= 0, então pelo teorema de Vieta R = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. Escrevemos a resposta como x²-7 x+ 12 = 0. Ao resolver alguns problemas, o seguinte teorema é usado.
Teorema inverso ao teorema de Vieta
Se os números R, q, x 1 , x 2 são tais que x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 = q, Que x 1 E x 2- raízes da equação x² + pixels + q= 0. Substitua no lado esquerdo x² + pixels + q em vez de R expressão - ( x 1 + x 2), e em vez disso q- trabalhar x 1 * x 2 . Nós temos: x² + pixels + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2). Assim, se os números R, q, x 1 e x 2 estão conectados por essas relações, então para todos X igualdade vale x² + pixels + q = (x - x 1) (x - x 2), do que se segue que x 1 e x 2 - raízes da equação x² + pixels + q= 0. Usando o teorema inverso ao teorema de Vieta, às vezes você pode encontrar as raízes de uma equação quadrática por seleção. Vejamos um exemplo, x²-5 x+ 6 = 0. Aqui R = — 5, q= 6. Vamos escolher dois números x 1 e x 2 então que x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Observando que 6 = 2 * 3, e 2 + 3 = 5, pelo teorema inverso ao teorema de Vieta, obtemos que x 1 = 2, x 2 = 3 - raízes da equação x²-5 x + 6 = 0.
O teorema de Vieta é frequentemente usado para verificar raízes que já foram encontradas. Se você encontrou as raízes, você pode usar as fórmulas \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) para calcular os valores de \(p \) e \(q\ ). E se forem iguais aos da equação original, então as raízes serão encontradas corretamente.
Por exemplo, vamos, usando , resolver a equação \(x^2+x-56=0\) e obter as raízes: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Vamos verificar se cometemos algum erro no processo de solução. No nosso caso, \(p=1\) e \(q=-56\). Pelo teorema de Vieta temos:
\(\begin(casos)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(casos)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(casos)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(casos)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(casos)-1=-1\\-56=-56\end(casos)\ )
Ambas as afirmações convergiram, o que significa que resolvemos a equação corretamente.
Essa verificação pode ser feita oralmente. Levará 5 segundos e evitará erros estúpidos.
Teorema inverso de Vieta
Se \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), então \(x_1\) e \(x_2\) são as raízes da equação quadrática \ (x^2+px+q=0\).
Ou de uma forma simples: se você tem uma equação da forma \(x^2+px+q=0\), então resolvendo o sistema \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) você encontrará suas raízes.
Graças a este teorema, você pode encontrar rapidamente as raízes de uma equação quadrática, especialmente se essas raízes forem . Essa habilidade é importante porque economiza muito tempo.
Exemplo . Resolva a equação \(x^2-5x+6=0\).
Solução
: Usando o teorema inverso de Vieta, descobrimos que as raízes satisfazem as condições: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Observe a segunda equação do sistema \(x_1 \cdot x_2=6\). Em quais dois o número \(6\) pode ser decomposto? Em \(2\) e \(3\), \(6\) e \(1\) ou \(-2\) e \(-3\), e \(-6\) e \(- 1\). A primeira equação do sistema lhe dirá qual par escolher: \(x_1+x_2=5\). \(2\) e \(3\) são semelhantes, pois \(2+3=5\).
Responder
: \(x_1=2\), \(x_2=3\).
Exemplos
. Usando o inverso do teorema de Vieta, encontre as raízes da equação quadrática:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c)\(x^2+9x+20=0\); d)\(x^2-88x+780=0\).
Solução
:
a) \(x^2-15x+14=0\) – em quais fatores \(14\) se decompõe? \(2\) e \(7\), \(-2\) e \(-7\), \(-1\) e \(-14\), \(1\) e \(14\ ). Quais pares de números somam \(15\)? Resposta: \(1\) e \(14\).
b) \(x^2+3x-4=0\) – em quais fatores \(-4\) se decompõe? \(-2\) e \(2\), \(4\) e \(-1\), \(1\) e \(-4\). Quais pares de números somam \(-3\)? Resposta: \(1\) e \(-4\).
c) \(x^2+9x+20=0\) – em quais fatores \(20\) se decompõe? \(4\) e \(5\), \(-4\) e \(-5\), \(2\) e \(10\), \(-2\) e \(-10\ ), \(-20\) e \(-1\), \(20\) e \(1\). Quais pares de números somam \(-9\)? Resposta: \(-4\) e \(-5\).
d) \(x^2-88x+780=0\) – em quais fatores \(780\) se decompõe? \(390\) e \(2\). Eles somarão \(88\)? Não. Que outros multiplicadores \(780\) possui? \(78\) e \(10\). Eles somarão \(88\)? Sim. Resposta: \(78\) e \(10\).
Não é necessário expandir o último termo para todos os fatores possíveis (como no último exemplo). Você pode verificar imediatamente se a soma deles dá \(-p\).
Importante! O teorema de Vieta e o teorema inverso só funcionam com , ou seja, aquele para o qual o coeficiente de \(x^2\) é igual a um. Se inicialmente recebemos uma equação não reduzida, então podemos reduzi-la simplesmente dividindo pelo coeficiente na frente de \(x^2\).
Por exemplo, seja dada a equação \(2x^2-4x-6=0\) e queremos usar um dos teoremas de Vieta. Mas não podemos, pois o coeficiente de \(x^2\) é igual a \(2\). Vamos nos livrar disso dividindo a equação inteira por \(2\).
\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)
Preparar. Agora você pode usar os dois teoremas.
Respostas para perguntas frequentes
Pergunta:
Usando o teorema de Vieta, você pode resolver qualquer?
Responder:
Infelizmente não. Se a equação não contiver números inteiros ou se a equação não tiver nenhuma raiz, o teorema de Vieta não ajudará. Neste caso você precisa usar discriminante
. Felizmente, 80% das equações em curso escolar matemática tem soluções inteiras.
Ao estudar métodos para resolver equações de segunda ordem em um curso escolar de álgebra, as propriedades das raízes resultantes são consideradas. Eles são atualmente conhecidos como teorema de Vieta. Exemplos de seu uso são fornecidos neste artigo.
Equação quadrática
A equação de segunda ordem é a igualdade mostrada na foto abaixo.
Aqui, os símbolos a, b, c são alguns números chamados coeficientes da equação em consideração. Para resolver uma igualdade, você precisa encontrar valores de x que a tornem verdadeira.
Observe que, como a potência máxima à qual x pode ser elevado é dois, o número de raízes no caso geral também é dois.
Existem várias maneiras de resolver este tipo de igualdade. Neste artigo consideraremos um deles, que envolve a utilização do chamado teorema de Vieta.
Formulação do teorema de Vieta
No final do século XVI matemático famoso François Viet (francês) percebeu, analisando as propriedades das raízes de várias equações quadráticas, que certas combinações delas satisfazem relações específicas. Em particular, estas combinações são o seu produto e soma.
O teorema de Vieta estabelece o seguinte: as raízes de uma equação quadrática, quando somadas, dão a razão entre os coeficientes lineares e quadráticos tomados com sinal oposto e, quando multiplicadas, levam à razão entre o termo livre e o coeficiente quadrático .
Se Forma geral a equação é escrita como mostrado na foto da seção anterior do artigo, então matematicamente este teorema pode ser escrito na forma de duas igualdades:
- r 2 + r 1 = -b/a;
- r 1 x r 2 = c / a.
Onde r 1, r 2 é o valor das raízes da equação em questão.
As duas igualdades acima podem ser usadas para resolver vários problemas matemáticos diferentes. O uso do teorema de Vieta em exemplos com soluções é dado nas seções seguintes do artigo.
