Ginásio Maloyazovskaya Bashkir
Resumo de geometria
“Transformações de forma”
Concluído por: aluno do 10º ano B
Khaliullin A.N.
Verificado por: Israfilova R.Kh.
Maloyaz 2003
I. Transformação.
II. Tipos de transformações
1. Homotetia
2. Semelhança
3. Movimento
III. Tipos de movimento
1. Simetria sobre um ponto
2. Simetria em relação a uma linha reta
3. Simetria em relação ao plano
4. Girar
5. Transporte paralelo no espaço
I. Transformação - deslocar de alguma forma cada ponto de uma determinada figura e obter uma nova figura.
II. Tipos de transformação no espaço: semelhança, homotetia, movimento.
Similaridade Uma transformação de uma figura F é chamada de transformação de similaridade se durante esta transformação as distâncias entre os pontos mudam no mesmo número de vezes, ou seja, para quaisquer pontos X e Y da figura F e pontos X’, Y’ da figura F’ para os quais vai, X’Y’ = k * XY.
Propriedades de similaridade: 1. A similaridade transforma linhas em linhas, meias linhas em meias linhas, segmentos em segmentos.
2. A similaridade preserva os ângulos entre as meias-linhas
3. A similaridade transforma planos em planos.
Duas figuras são chamadas de semelhantes se forem transformadas uma na outra por uma transformação de similaridade.
Homotetia
Homotetia é a transformação mais simples em relação ao centro O com coeficiente de homoteidade k. Esta é uma transformação que transforma um ponto arbitrário X' do raio OX tal que OX' = k*OX.
Propriedade de homoteidade: 1. Por uma transformação de homoteidade, transforma qualquer plano que não passe pelo centro de homoteidade em um plano paralelo (ou em si mesmo para k = 1).
Prova. Na verdade, seja O o centro de homoteidade e a seja qualquer plano que não passe pelo ponto O. Tome qualquer linha reta AB no plano a. A transformação de homotetia leva o ponto A ao ponto A’ no raio OA, e o ponto B ao ponto B’ no raio OB, com OA’/OA = k, OB’/OB = k, onde k é o coeficiente de homotetia. Isto implica a semelhança dos triângulos AOB e A’OB’. Da semelhança dos triângulos segue-se que os ângulos correspondentes OAB e OA’B’ são iguais e, portanto, as retas AB e A’B’ são paralelas. Tomemos agora outra reta AC no plano a. Na homotetia, irá para a reta paralela A’C’. Com a homotetia em consideração, o plano a entrará no plano a’, passando pelas retas A’B’, A’C’. Como A'B'||AB e A'C'||AC, então pelo teorema sobre duas linhas que se cruzam de um plano sendo respectivamente paralelas às linhas que se cruzam de outro plano, os planos a e a' são paralelos, que é o que precisava ser provado.
Movimento
Movimento é a transformação de uma figura em outra se mantiver a distância entre os pontos, ou seja, transforma quaisquer dois pontos X e Y de uma figura em pontos X, Y de outra figura, de modo que XY = X Y
Propriedades do movimento: 1. Ao se mover, os pontos situados em uma linha reta se transformam em pontos situados em uma linha reta e a ordem de suas posições relativas é mantida. Isso significa que se A, B, C, alinhados, vão para os pontos A 1, B 1, C 1. Então esses pontos também estão em linha reta; se o ponto B estiver entre os pontos A e C, então o ponto B 1 estará entre os pontos A 1 e C 1.
Prova. Deixe o ponto B da linha AC estar entre os pontos A e C. Vamos provar que os pontos A 1 , B 1 , C 1 estão na mesma linha.
Se os pontos A 1 , B 1 , C 1 não estão em uma linha, então eles são os vértices de um triângulo. Portanto A 1 C 1< A 1 B 1 + B 1 C 1 . По определению движения отсюда следует, что AC Chegamos a uma contradição. Isso significa que o ponto B 1 está na linha A 1 C 1. A primeira afirmação do teorema está provada. Vamos agora mostrar que o ponto B 1 está entre A 1 e C 1. Suponhamos que o ponto A 1 esteja entre os pontos B 1 e C 1. Então A 1 B 1 + A 1 C 1 = B 1 C 1 e, portanto, AB+AC=BC. Mas isto contradiz a desigualdade AB+BC=AC. Assim, o ponto A 1 não pode estar entre os pontos B 1 e C 1. Provamos da mesma forma que o ponto C 1 não pode estar entre os pontos A 1 e B 1 . Como dos três pontos A 1 , B 1 , C 1 um está entre os outros dois, este ponto só pode ser B 1 . O teorema está completamente provado. 2. Ao se mover, as linhas retas se transformam em linhas retas, as meias retas em meias retas, os segmentos em segmentos 3. Ao mover, os ângulos entre as meias-linhas são preservados. Prova. Sejam AB e AC duas meias-retas que partem do ponto A, mas não ficam nesta reta. Ao se mover, essas meias linhas se transformam em algumas meias linhas A 1 B 1 e A 1 C 1. Como o movimento preserva a distância, os triângulos ABC e A 1 B 1 C 1 são iguais de acordo com o terceiro critério para a igualdade dos triângulos. Da igualdade dos triângulos segue-se que os ângulos BAC e B 1 A 1 C 1 são iguais, o que precisava ser provado. C2. Os triângulos A2BC2 e A1B1C1 são iguais de acordo com o terceiro critério. Da igualdade dos triângulos segue-se que os ângulos A2BC2 e A1B1C1 são iguais. Isso significa que os ângulos ABC e A1B1C1 são iguais, o que precisava ser provado. 3. SEMELHANÇA DAS FIGURAS Duas figuras são chamadas semelhantes se forem convertidas uma na outra por uma transformação de semelhança. Para indicar a semelhança das figuras, é utilizado um ícone especial: ∞. A entrada F∞F" diz... Medianas de triângulos; 4. , onde BH e B1H1 são as alturas dos triângulos. §5. Trabalho experimental Objetivo do trabalho experimental: identificar características metodológicas do estudo do tema “Triângulos semelhantes” no ensino médio. Idéia: para identificar características metodológicas, é necessário realizar várias aulas utilizando a metodologia desenvolvida, ao final do treinamento realizar um teste, após análise do qual se pode julgar... As diferenças entre os sujeitos dos grupos controle e experimental serviram de base para a realização de um trabalho pedagógico direcionado para desenvolver as ideias das crianças do grupo experimental sobre a forma dos objetos. 2.2 Usando tarefas de quebra-cabeça para desenvolver ideias sobre a forma dos objetos nas crianças do grupo experimental As ideias das crianças sobre a forma dos objetos são de grande importância quando... Movimento A transformação de um plano no qual a distância entre dois pontos quaisquer é mantida é chamada de movimento. Da definição segue-se que quando qualquer figura se move em um plano, o resultado é uma figura igual à dada. O A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B p Vamos considerar os tipos de movimento com mais detalhes.
Se, com simetria central, uma figura mapeia sobre si mesma, então é uma figura com simetria central. A B C D O ABCDСDAB O Tarefa. Dê mais exemplos de figuras com simetria central. Nomeie seu centro de simetria. Existe uma figura geométrica que possui mais de um centro de simetria? Resposta (aproximada): um ponto (o próprio ponto), um segmento (o meio do segmento), qualquer polígono regular com um número par de lados (o meio da diagonal maior), um losango (a intersecção das diagonais), um círculo (seu centro), um círculo... Sim, uma linha reta.
Se, com simetria relativa a uma linha reta, uma figura mapeia sobre si mesma, então ela tem um eixo de simetria. A B C D O ABCDDСBA m Tarefa. Dê mais exemplos de figuras que possuem eixo de simetria. Nomeie seu eixo de simetria. Existe uma figura geométrica que possui mais de um eixo de simetria? Resposta (aproximada): ponto (qualquer linha que passa por este ponto), segmento (dois eixos), qualquer polígono regular com número ímpar de lados (quantos lados - tantos eixos), losango (duas linhas contendo diagonais), círculo ( qualquer linha , passando por seu centro), círculo... m n ABCDBADС n
Translação paralela X X Com esta transformação plana, todos os pontos da figura são movidos na mesma direção e pela mesma distância. É natural defini-lo usando um vetor. O ponto X é a imagem do ponto X quando transferido em paralelo a, se: Obviamente, a figura será mapeada em si mesma quando transferida em paralelo a (vetor zero).
Rotação X X O Para girar uma figura, você deve especificar: 1) o centro de rotação, 2) a direção de rotação e 3) a magnitude do ângulo de rotação. A segunda e terceira condições podem ser combinadas estipulando que os ângulos negativos são colocados no sentido horário e os ângulos positivos no sentido anti-horário. O – centro de rotação O ponto X é a imagem do ponto X quando girado em torno do ponto O por um ângulo, se: 1) XO=XO; 2) XOX=.
A BC D EF ABCDEF D C B A F E 90 0 Um exemplo de rotação de um hexágono regular ABCDEF em torno do ponto D em um ângulo reto no sentido horário. Na geometria, o movimento é um mapeamento que preserva a distância. É necessário esclarecer o que se entende pela palavra “exibição”. 1. Mapeamentos, imagens, composições de mapeamentos. Um mapeamento de um conjunto M para um conjunto N é a correspondência de cada elemento de M a um elemento único de N. Consideraremos apenas a exibição de figuras no espaço. Nenhum outro mapeamento é considerado e, portanto, a palavra "mapeamento" significa correspondência de pontos com pontos. Sobre o ponto X" correspondente a um ponto X sob uma dada aplicação f, dizemos que é a imagem do ponto X, e escrevemos X" = f(X). O conjunto de pontos X" correspondentes aos pontos da figura M, sob o mapeamento f, é denominado imagem da figura M e é denotado M" = f(M). Se a imagem de M for toda a figura N, ou seja, f(M) = N, então falamos de um mapeamento da figura M para a figura N. Vamos ter um mapeamento biunívoco f de um conjunto M em N. Então cada ponto X" do conjunto N é a imagem de apenas um (único) ponto X do conjunto M. Portanto, cada ponto X" ( N pode ser associado àquele ponto único X (M, cuja imagem sob o mapeamento f é o ponto X". Assim, definimos um mapeamento do conjunto N no conjunto M, é chamado de inverso do mapeamento f e é denotado por f. Se o mapeamento f tiver um inverso, então ele é chamado de invertível. Um ponto fixo do mapeamento é um ponto A tal que ((A) = A. Destas definições segue-se imediatamente que se uma aplicação f é invertível, então a sua aplicação inversa f também é invertível e (f) = f. Portanto, os mapeamentos f e f também são chamados de mutuamente inversos. Sejam dados dois mapeamentos: um mapeamento f de um conjunto M em um conjunto N e um mapeamento g de um conjunto N em um conjunto P. Se, ao mapear f, o ponto X (N foi para o ponto X" = f( X) (N, e depois X" ao mapear g foi para o ponto X"" (P, então como resultado X mudou para X"". O resultado é um certo mapeamento h do conjunto M no conjunto P. O mapeamento h é chamado de composição do mapeamento f seguido pelo mapeamento g. Se um determinado mapeamento f for invertível, então, aplicando-o e depois seu mapeamento inverso f, obviamente retornaremos todos os pontos à sua posição original, ou seja, obtemos um mapeamento idêntico, que associa cada ponto ao mesmo ponto. 2. Detecção de movimento. O movimento (ou deslocamento) de uma figura é o seu mapeamento no qual cada dois de seus pontos A e B correspondem aos pontos A" e B" tais que |A"B"| = |AB|. O mapeamento de identidade é um dos casos especiais de movimento. Diz-se que uma figura F" é igual a uma figura F se puder ser obtida de F por movimento. 3. Propriedades gerais do movimento. Propriedade 1 (preservação da retidão). Ao se mover, três pontos situados em uma linha reta se transformam em três pontos situados em uma linha reta, e um ponto situado entre dois outros entra em um ponto situado entre as imagens de dois outros pontos (a ordem de suas posições relativas é preservada). Prova. Da planimetria sabe-se que três pontos A, B, C estão em linha reta se e somente se um deles, por exemplo o ponto B, estiver entre dois outros - pontos A e C, ou seja, quando a igualdade |AB| + |BC| = |AC|. Ao se mover, as distâncias são preservadas, o que significa que a igualdade correspondente também é verdadeira para os pontos A", B", C": |A"B"| + |B"C"| = |A"C"|. Assim, os pontos A", B", C" estão na mesma linha reta, e é o ponto B" que está entre A" e C". Várias outras propriedades também decorrem desta propriedade: Propriedade 2. A imagem de um segmento durante o movimento é um segmento. Propriedade 3. A imagem de uma linha reta durante o movimento é uma linha reta e a imagem de um raio é um raio. Propriedade 4. Ao mover-se, a imagem de um triângulo é um triângulo igual a ele, a imagem de um plano é um plano e os planos paralelos são mapeados em planos paralelos, e a imagem de um semiplano é um semiplano. Propriedade 5. Ao mover-se, a imagem de um tetraedro é um tetraedro, a imagem do espaço é todo espaço, a imagem do meio espaço é meio espaço. Propriedade 6. Ao mover, os ângulos são preservados, ou seja, Cada ângulo é mapeado em um ângulo do mesmo tipo e da mesma magnitude. O mesmo se aplica aos ângulos diédricos. Primeiro, considerarei todos os principais tipos de movimentos e depois os combinarei em um único sistema. 4. Transferência paralela. Definição. A translação paralela, ou, em suma, a translação de uma figura, é a sua exibição na qual todos os seus pontos são deslocados na mesma direção por distâncias iguais, ou seja, ao transferir cada dois pontos X e Y da figura, tais pontos X" e Y" são associados de modo que XX" = YY". A principal propriedade da transferência: A transferência paralela preserva distâncias e direções, ou seja, X"Y" = XY. Disto segue-se que a transferência paralela é um movimento que preserva a direção e, inversamente, o movimento que preserva a direção é uma transferência paralela. Resulta também destas afirmações que a composição das transferências paralelas é uma transferência paralela. A translação paralela de uma figura é especificada especificando um par de pontos correspondentes. Por exemplo, se for especificado para qual ponto A" um determinado ponto A vai, então esta transferência é especificada pelo vetor AA", e isso significa que todos os pontos são deslocados pelo mesmo vetor, ou seja, XX" = AA" para todos os pontos X. 5. Simetria central. Definição 1. Os pontos A e A" são chamados de simétricos em relação ao ponto O se os pontos A, A", O estiverem na mesma linha reta e OX = OX". O ponto O é considerado simétrico a si mesmo (em relação a O). Duas figuras são chamadas simétricas em relação ao ponto O se para cada ponto de uma figura existe um ponto simétrico em relação ao ponto O na outra figura e vice-versa. Como um caso especial, uma figura pode ser simétrica a si mesma em relação a um certo ponto O. Então este ponto O é chamado de centro de simetria da figura, e a figura é centralmente simétrica. Definição 2. A simetria central de uma figura em relação a O é um mapeamento desta figura que associa cada um dos seus pontos a um ponto simétrico em relação a O. Propriedade principal: A simetria central preserva a distância, mas inverte a direção. Em outras palavras, quaisquer dois pontos X e Y da figura F correspondem aos pontos X" e Y" tais que X"Y" = -XY. Prova. Sejam, com simetria central com centro no ponto O, os pontos X e Y mapeados em X" e Y". Então, como fica claro na definição de simetria central, OX" = -OX, OY" = -OY. Ao mesmo tempo, XY = OY - OX, X"Y" = OY" - OX". Portanto temos: X"Y" = -OY + OX = -XY. Segue-se que a simetria central é um movimento que muda de direção para o oposto e vice-versa, um movimento que muda de direção para o oposto é a simetria central. A simetria central de uma figura é especificada especificando um par de pontos existentes: se o ponto A for mapeado para A", então o centro de simetria é o ponto médio do segmento AA". 6. Simetria espelhada (reflexão em um plano). Definição 1. Os pontos A e A" são chamados de simétricos em relação ao plano (se o segmento AA" for perpendicular a este plano e for dividido ao meio por ele. Qualquer ponto no plano (é considerado simétrico a si mesmo em relação a este plano. Duas figuras F e F" são chamadas de simétricas em relação a um determinado plano se consistirem em pontos que são simétricos aos pares em relação a este plano, isto é, se para cada ponto de uma figura houver um ponto simétrico a ele em outra figura. Se uma transformação de simetria em relação a um plano transforma uma figura em si mesma, então a figura é chamada de simétrica em relação ao plano (, e ao plano (o plano de simetria). Definição 2. A reflexão de uma figura, em que cada um dos seus pontos corresponde a um ponto que lhe é simétrico em relação a um determinado plano, denomina-se reflexão da figura neste plano (ou simetria espelhada). Teorema 1. A reflexão em um plano preserva distâncias e, portanto, é movimento. Veja o Anexo 1. Teorema 2. Um movimento no qual todos os pontos de um determinado plano estão imóveis é uma reflexão neste plano ou um mapeamento de identidade. A simetria do espelho é especificada especificando um par de pontos correspondentes que não estão no plano de simetria: o plano de simetria passa pelo meio do segmento que conecta esses pontos, perpendicular a ele. 7. Vire em linha reta. Para uma ideia mais clara da rotação em torno de uma linha reta, deve-se lembrar a rotação em um plano próximo a um determinado ponto. Uma rotação em um plano em torno de um determinado ponto é um movimento no qual cada raio que emana de um determinado ponto gira no mesmo ângulo e na mesma direção. Passemos agora à rotação no espaço. Definição. Rotação de uma figura em torno da linha a por um ângulo (um mapeamento é chamado tal que em cada plano perpendicular à linha a, ocorre uma rotação em torno do ponto de sua intersecção com a linha a no mesmo ângulo (na mesma direção. A linha a é chamado de eixo de rotação e ângulo (é o ângulo de rotação. A partir disso vemos que a rotação é sempre especificada pelo eixo, ângulo e direção de rotação. Teorema 1. A rotação em torno de uma linha reta preserva distâncias, ou seja, é um movimento. Veja o Anexo 2. Teorema 2. Se o movimento do espaço tem uma linha reta com seu conjunto de pontos fixos, então é uma rotação em torno dessa linha reta. 7.1. Figuras de rotação. Uma figura é chamada de figura de rotação se existe uma linha tal que qualquer rotação em torno da qual combina a figura consigo mesma, em outras palavras, a mapeia sobre si mesma. Esta linha é chamada de eixo de rotação da figura. Os corpos de rotação mais simples: uma bola, um cilindro circular reto, um cone circular reto. 7.2. Simetria axial. Um caso especial de rotação em torno de uma linha é uma rotação de 180(. Ao girar em torno de uma linha a em 180(cada ponto A vai para um ponto A" tal que a linha a é perpendicular ao segmento AA" e o cruza no meio. Diz-se que tais pontos A e A "são simétricos em relação ao eixo a. Portanto, uma rotação de 180 (em torno de uma linha reta é chamada de simetria axial no espaço. 8.1. Pontos fixos de movimentos espaciais. Uma característica importante do movimento do espaço é a multiplicidade de seus pontos fixos. Aqui apenas os cinco casos seguintes podem ser apresentados: O movimento não tem pontos fixos (translação paralela não idêntica). O movimento possui apenas um ponto fixo (simetria central). O conjunto de pontos fixos do movimento espacial é uma linha reta (rotação em torno de uma linha reta). O conjunto de pontos fixos do movimento espacial é um plano (simetria do espelho). O conjunto de pontos fixos do movimento espacial é todo o espaço (movimento idêntico). Esta classificação é muito conveniente, pois representa todos os tipos de movimento como um único sistema. 8.2. Teoremas básicos sobre a especificação dos movimentos do espaço. Teorema 1. Sejam dois triângulos iguais ABC e A"B"C dados no espaço Então existem dois e apenas dois movimentos no espaço que transferem A para A", B para B", C para C". Cada um desses movimentos é obtido do outro combinando-o com sua reflexão no plano A"B"C". Teorema 2. Sejam dois tetraedros iguais ABCD e A"B"C"D dados no espaço. Então há um movimento único do espaço (tal que ((A) = A", ((B) = B", ((C) = C", ((D) = D"). 9. Dois tipos de movimentos. Você também deve saber que todos os movimentos são divididos em dois tipos dependendo de serem contínuos ou não. Para compreender melhor a essência desta divisão, apresentarei o conceito de base e sua orientação. 9.1. Bases e sua orientação. Uma base no espaço são quaisquer três vetores que não são paralelos a nenhum plano ao mesmo tempo. Um triplo de vetores de base é chamado de direito (esquerdo) se esses vetores, plotados a partir de um ponto, estiverem localizados da mesma forma que os dedos polegar, indicador e médio da mão direita (esquerda), respectivamente. Se houver dois triplos de vetores à direita (esquerda), dizemos que esses triplos têm a mesma orientação. Se um triplo for destro e o segundo for canhoto, eles serão orientados de forma oposta. 9.2. Dois tipos de movimento. Os movimentos do primeiro tipo são aqueles que preservam a orientação das bases de uma determinada figura. Eles podem ser realizados por movimentos contínuos. Os movimentos do segundo tipo são aqueles que mudam a orientação das bases para o oposto. Eles não podem ser realizados por movimentos contínuos. Exemplos de movimentos do primeiro tipo são translação e rotação em torno de uma linha reta, e movimentos do segundo tipo são simetrias centrais e espelhadas. A composição de qualquer número de movimentos do primeiro tipo é um movimento do primeiro tipo. A composição de um número par de movimentos do segundo tipo é um movimento do 1º tipo, e a composição de um número ímpar de movimentos do 2º tipo é um movimento do 2º tipo. 10. Algumas composições comuns. Consideremos agora algumas combinações de movimentos que são utilizados com bastante frequência, mas sem prestar atenção especial a eles. 10.1. Composições de reflexões em um plano. Teorema 1. O movimento do espaço de primeiro tipo pode ser representado como uma composição de duas ou quatro reflexões em um plano. O movimento do espaço do segundo tipo é uma reflexão em um plano ou pode ser representado como uma composição de três reflexões em um plano. A partir daqui podemos explicar os movimentos que já conhecemos da seguinte forma: A composição da reflexão em 2 planos paralelos é uma translação paralela. A composição da reflexão em 2 planos que se cruzam é uma rotação em torno da linha reta de intersecção desses planos. Simetria central em torno de um determinado ponto é a composição de 3 reflexões em torno de quaisquer 3 planos perpendiculares entre si que se cruzam naquele ponto. 10.2. Movimentos de parafuso. Definição. O movimento helicoidal é uma composição de rotação e translação em um vetor paralelo ao eixo de rotação. Uma ideia de tal movimento é dada por um parafuso sendo aparafusado ou desenroscado. Teorema 2. Qualquer movimento do espaço do primeiro tipo é um movimento helicoidal (em particular, uma rotação em torno de uma linha ou uma translação). 10.3. Volta do espelho. Definição. Uma rotação do espelho em torno do eixo a por um ângulo (a composição de uma rotação em torno do eixo a por um ângulo é chamada (e reflexão em um plano perpendicular ao eixo de rotação). Teorema 3. Qualquer movimento do espaço do segundo tipo que tenha um ponto fixo é uma rotação espelhada, que, em particular, pode ser uma simetria central ou espelhada. 10.4. Reflexões deslizantes. Definição. Uma reflexão deslizante é uma composição de reflexão em um determinado plano e transferência para um vetor paralelo a este plano. Teorema 4. O movimento de um espaço de segundo tipo, que não possui pontos fixos, é uma reflexão deslizante. Teorema de Chall. O movimento de um plano do primeiro tipo é uma rotação ou uma translação paralela. O movimento de um plano do segundo tipo é uma reflexão deslizante. Os seguintes livros foram usados para criar o resumo: 1. "Geometria para as séries 9 a 10." A. D. Alexandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik. 2. "Geometria". L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev e outros. 3. "Matemática". V. A. Gusev, A. G. Mordkovich. 785
esfregar O manual cobre todas as seções do curso de álgebra linear e deve ajudar na aprendizagem ativa e informal do material. Para cada tópico, são brevemente descritas informações teóricas básicas e propostas questões de teste; são fornecidas soluções para problemas padrão e não padrão; Tarefas e exercícios são dados para trabalho independente com respostas e instruções. Para estudantes de instituições de ensino superior. 395
esfregar O "Manual" contém problemas sobre os temas: derivada e diferencial de uma função, estudo de funções e construção de seus gráficos, integral indefinida, integral definida, funções de muitas variáveis, integrais múltiplas, curvilíneas e de superfície, elementos de teoria de campo, séries , equações diferenciais são fornecidas soluções para problemas típicos, bem como as informações teóricas necessárias. A peculiaridade deste livro de problemas é a apresentação do material, o que permite utilizá-lo para trabalhos independentes. O livro didático é destinado a estudantes de especialidades técnicas e tecnológicas de universidades. 1234
esfregar O livro descreve sistematicamente os fundamentos teóricos dos métodos matemáticos utilizados na análise de situações de risco. A principal atenção é dada aos métodos de análise de riscos de seguros. Juntamente com o material tradicionalmente apresentado em cursos teóricos sobre teoria de risco e matemática de seguros, o livro inclui algumas seções contendo os resultados mais recentes. Para alunos de graduação e pós-graduação que cursam especialidades matemáticas e econômico-matemáticas (matemática, matemática aplicada, matemática atuarial, matemática financeira, seguros). O livro pode ser utilizado por atuários e analistas que atuam em seguradoras e financeiras, bem como por especialistas na área de teoria da confiabilidade e outros pesquisadores cujas atividades estejam relacionadas à avaliação de riscos e análise de diversas situações de risco. 1279
esfregar Este livro surgiu como um guia metodológico para palestras que o autor ministrou e ainda lê ao longo dos anos na Faculdade de Bioengenharia e Bioinformática da Universidade Estadual de Moscou, na Faculdade de Inovação e Altas Tecnologias do Instituto de Física e Tecnologia de Moscou, no curso conjunto de graduação da Escola Russa de Economia e da Escola Superior de Economia, na Escola de Análise de dados Yandex. Todos estes cursos estão unidos pela presença de uma componente básica de combinatória e teoria das probabilidades. Ou seja, cada um deles se baseia em um certo número de conceitos e fatos simples que surgem nessas disciplinas e sem os quais é impossível compreender resultados mais específicos - por assim dizer, “avançados”. As transformações de figuras são estudadas no curso de geometria no plano e no espaço. Se cada ponto de uma determinada figura em um plano ou no espaço for deslocado de alguma forma, obteremos uma nova figura. Dizem que este valor é obtido pela transformação deste. Aqui estão alguns exemplos de transformações de forma. 1. Simetria em torno de um ponto (simetria central). A simetria em torno de um ponto é definida como segue. Seja O um ponto fixo e X um ponto arbitrário. Um ponto é chamado de simétrico ao ponto X em relação ao ponto O se os pontos estiverem na mesma linha reta e o ponto simétrico ao ponto O for o próprio ponto O. Na Figura 203, os pontos X e são simétricos entre si em relação ao ponto O. Seja F uma figura dada e O um ponto fixo do plano. A transformação de uma figura F em uma figura em que cada um de seus pontos X vai para um ponto simétrico a X em relação a um determinado ponto O é chamada de transformação de simetria em relação ao ponto O. A Figura 204 mostra uma simétrica em relação ao centro Ó. A Figura 205 mostra dois cubos simétricos em relação ao ponto O. Se uma transformação de simetria em torno do ponto O se traduz figura em si mesma, então a figura é chamada de simetria central e o ponto O é seu centro de simetria. Por exemplo, um paralelogramo é uma figura com simetria central. O centro de sua simetria é o ponto de intersecção das diagonais (Fig. 206, a). Um círculo com centro O também é uma figura centralmente simétrica com centro de simetria O (Fig. 206, b). Todas as figuras listadas são planas. No espaço, assim como no plano, existem muitos exemplos de figuras com simetria central. Por exemplo, a Figura 207 mostra as seguintes figuras: um cubo, uma esfera, um paralelepípedo. 2. Simetria relativa a uma reta (simetria axial). Seja I uma linha reta fixa (Fig. 208). Um ponto é chamado simétrico a um ponto X em relação a uma reta I se a reta for perpendicular à reta I e onde O é o ponto de intersecção das retas e I. Se o ponto X estiver na reta I, então o ponto simétrico a ele é o próprio ponto X. O ponto simétrico ao ponto é o ponto X. Na Figura 208, e os pontos são simétricos em relação à linha reta I. A transformação de uma figura F em que cada ponto X vai para um ponto simétrico em relação à reta I é chamada de transformação de simetria em relação à reta I. Neste caso, as figuras são chamadas de simétricas em relação à reta I. linha reta I. A Figura 208, b mostra círculos simétricos em relação à linha reta I. A Figura 209 mostra duas esferas simétricas em relação à linha reta I. Se a transformação da simetria em relação à linha I transforma a figura F em si mesma, então a figura é chamada de simétrica em relação à linha 19 e a linha I é chamada de eixo de simetria da figura. Por exemplo, as linhas retas que passam pelo ponto de intersecção das diagonais de um retângulo paralelo aos seus lados são os eixos de simetria do retângulo (Fig. 210, a). As linhas retas sobre as quais repousam as diagonais de um losango são seus eixos de simetria (Fig. 210, b). O círculo é simétrico em relação a qualquer linha reta que passa por seu centro (Fig. 210, c). Todos esses números são planos. No espaço, assim como no plano, existem muitos exemplos de figuras que possuem eixos de simetria. A Figura 211 mostra as seguintes figuras: um paralelepípedo retangular, um cone, uma pirâmide quadrangular regular. 3. Simetria em relação ao plano. Seja a um plano fixo arbitrário. Do ponto X, uma perpendicular é baixada até o plano a (O é o ponto de intersecção dela com o plano a) e em sua extensão além do ponto O coloque um segmento igual ao ponto X e chame-o de simétrico em relação ao plano a (Fig. 212). A transformação da figura F em que cada ponto X da figura F vai para um ponto simétrico X em relação ao plano a é chamada de transformação de simetria em relação ao plano. Neste caso, as figuras são chamadas de simétricas em relação ao plano. A Figura 213 mostra duas esferas simétricas em relação ao plano a. Se uma transformação de simetria em relação a um plano transforma uma figura em si mesma, então a figura é considerada simétrica em relação ao plano; o plano é chamado de plano de simetria; A Figura 214 mostra dois planos de simetria de uma esfera. Observe que a esfera possui um número infinito desses planos de simetria. O cubo também possui planos de simetria. A Figura 215 mostra dois deles. 4. Homotetia. Seja F uma figura dada e O um ponto fixo (Fig. 216). Vamos desenhar um raio através de um ponto arbitrário X da figura F e traçar nele um segmento igual a onde está um número positivo. A transformação de uma figura em que cada um de seus pontos X vai para um ponto construído da forma indicada é chamada de homotetia em relação a Página 1 As transformações de figuras são estudadas no curso de geometria no plano e no espaço. Se cada ponto de uma determinada figura em um plano ou no espaço for deslocado de alguma forma, obteremos uma nova figura. Dizem que este valor é obtido pela transformação deste. A transformação da figura F em F2 é uma transformação de similaridade, pois preserva as relações de distâncias entre os pontos correspondentes, mas esta transformação não é uma homotetia. A transformação de uma figura F em uma figura F é chamada de transformação central ou homotetia. A transformação de uma figura F em uma figura P é chamada de transformação de similaridade se durante esta transformação as distâncias entre os pontos mudam (aumentam ou diminuem) no mesmo número de vezes. Deixe a transformação da figura F na figura FI transferir vários pontos da figura F para várias fornalhas da figura F. Deixe um ponto arbitrário X da figura F com esta transformação ir para o ponto X da figura F. Transformação de a figura FI na figura F, na qual o ponto X irá para o ponto X, é chamada de transformação inversa de uma dada. Uma transformação inversa ao movimento também é movimento. Em geometria, uma transformação de figuras desta natureza é chamada de transformação de similaridade. Neste caso, a transformação de uma figura é entendida como o seu deslocamento. Dentre as transformações destacam-se os movimentos e a transformação por similaridade. São considerados tipos particulares de movimentos: simetria axial, simetria central, rotação, translação paralela. Um tipo especial de transformação de similaridade é a homotetia. As figuras correspondentes a esta transformação são chamadas. Uma figura que coincide com sua figura mutuamente polar é chamada. Na geometria, esse tipo de transformação de figuras é chamado de semelhante. Por movimento entendemos tal transformação das figuras quando todos os seus pontos, sem alterar sua posição relativa, a mudam em relação aos planos fixos de projeções. Com movimento plano paralelo, todos os pontos da figura se movem em planos paralelos. Geralmente são planos de nível ou planos de projeção. As linhas ao longo das quais os pontos se movem são chamadas de trajetórias; No entanto, em muitos casos é útil utilizar a transformação de uma forma numa forma semelhante. Essa semelhança preserva ângulos, mas pode alterar distâncias. Nesse caso, todas as distâncias aumentam (ou diminuem) na mesma proporção, chamada de coeficiente de similaridade. Muitas vezes é possível chegar à solução de um problema utilizando o método de transformação de figuras, e mesmo em muitos casos o sucesso deste método pode ser previsto à primeira vista. Este método consiste em substituir uma figura dada ou desejada, ou alguma parte dela, por uma nova figura associada à construção específica original e que permita resolver o problema ou aproximar-se da sua solução. Por enquanto, consideraremos apenas aquelas transformações em que a nova figura é igual à antiga e difere dela apenas na posição. A construção de uma configuração desarguesiana leva a uma consequência interessante relacionada às transformações de figuras e à construção de projeções em perspectiva. Na resolução do problema anterior foram dados cinco pontos - uma reta Desarguesiana definida por dois pontos M e P, um ponto Desarguesiano S e dois pontos A e A, localizados no mesmo bordo da pirâmide nas suas diferentes secções. Para outros dois pontos de uma seção da pirâmide (sua base), B e C, os pontos correspondentes B e C foram encontrados em outra seção. Os pontos correspondentes são pontos localizados na mesma aresta.
Álgebra linear em questões e problemas 
Guia para resolver problemas em análise matemática 
Fundamentos matemáticos da teoria do risco
Aprovado pelo conselho pedagógico e metodológico de matemática aplicada e informática da UMO para o ensino universitário clássico como auxílio didático para estudantes universitários da especialidade 010200 "Matemática aplicada e informática" e na direção 510200 "Matemática aplicada e informática ."
Combinatória e teoria das probabilidades
Muitos desses fatos e conceitos estão em livros e monografias clássicas. Porém, em primeiro lugar, estão espalhados por diferentes livros e, em segundo lugar, além deles, estes livros contêm muitas outras informações. Como consequência, verifica-se que não existe uma fonte conveniente onde estes e apenas estes factos e conceitos possam ser recolhidos e devidamente posicionados. Em essência, este livro preenche essa lacuna.
O livro apresenta de forma concisa, concisa e bastante informal todos os objetos necessários e fornece todas as declarações necessárias sobre eles. Se a prova de um teorema estiver em um livro padrão, então, via de regra, ela não será reproduzida; um link conveniente é colocado apenas nele. Mas se a prova for pouco acessível ou não for apresentada popularmente em nenhum lugar, então será dada considerável atenção a ela. Por exemplo, isso foi feito em relação à fórmula de inversão de Möbius, que raramente é discutida em detalhes, ou em relação a problemas sobre estimativa de quantidades combinatórias, que são extremamente importantes, mas geralmente surgem “por si mesmos” na literatura puramente profissional, e o o leitor é forçado a adivinhar quais ideias estão por trás disso.
Há também coisas não triviais no livro, típicas dos cursos do autor. Por exemplo, na parte dedicada à teoria das probabilidades, são discutidas fórmulas de inversão que permitem expressar distribuições de quantidades discretas em termos de seus momentos (isto é muito importante em aplicações: por exemplo, para gráficos aleatórios), bem como martingales (no caso discreto) e algumas desigualdades relacionadas de medidas de concentração. Essas coisas são descritas de maneira tão informal e sem entrar em muitos detalhes quanto todo o resto. Porém, é mais fácil não se perder na selva de materiais.
As tarefas oferecidas ao final de cada tópico seguem um princípio semelhante.
Assim, o livro permitirá sistematizar com clareza informações espalhadas por diversos livros didáticos e livros de problemas (e muitas vezes simplesmente inacessíveis), e fornecerá o mínimo necessário para uma percepção adequada dos cursos de combinatória, informática, teoria dos grafos, teoria de algoritmos, teoria das probabilidades, etc.75. Exemplos de transformações de forma.
