Выражения, содержащие знак радикала (корень), называются иррациональными.
Арифметическим корнем натуральной степени $n$ из неотрицательного числа а называется некоторое неотрицательное число, при возведении которого в степень $n$ получается число $а$.
$(√^n{a})^n=a$
В записи $√^n{a}$, «а» называется подкоренным числом, $n$ - показателем корня или радикала.
Свойства корней $n$-ой степени при $а≥0$ и $b≥0$:
1. Корень произведения равен произведению корней
$√^n{a∙b}=√^n{a}∙√^n{b}$
Вычислить $√^5{5}∙√^5{625}$
Корень произведения равен произведению корней и наоборот: произведение корней с одинаковым показателем корня равно корню из произведения подкоренных выражений
$√^n{a}∙√^n{b}=√^n{a∙b}$
$√^5{5}∙√^5{625}=√^5{5∙625}=√^5{5∙5^4}=√^5{5^5}=5$
2. Корень из дроби – это отдельно корень из числителя, отдельно из знаменателя
$√^n{{a}/{b}}={√^n{a}}/{√^n{b}}$, при $b≠0$
3. При возведении корня в степень, в эту степень возводится подкоренное выражение
$(√^n{a})^k=√^n{a^k}$
4. Если $а≥0$ и $n,k$ - натуральные числа, больше $1$, то справедливо равенство.
$√^n{√^k{a}}=√^{n∙k}a$
5. Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.
$√^{n∙m}a^{k∙m}=√^n{a^k}$
6. Корень нечетной степени можно извлекать из положительных и отрицательных чисел, а корень четной степени – только из положительных.
7. Любой корень можно представить в виде степени с дробным (рациональным) показателем.
$√^n{a^k}=a^{{k}/{n}}$
Найдите значение выражения ${√{9∙√^11{с}}}/{√^11{2048∙√с}}$ при $с>0$
Корень произведения равен произведению корней
${√{9∙√^11{с}}}/{√^11{2048∙√с}}={√9∙√{√^11{с}}}/{√^11{2048}∙√^11{√с}}$
Корни из чисел мы можем извлечь сразу
${√9∙√{√^11{с}}}/{√^11{2048}∙√^11{√с}}={3∙√{√^11{с}}}/{2∙√^11{√с}}$
$√^n{√^k{a}}=√^{n∙k}a$
${3∙√{√^11{с}}}/{2∙√^11{√с}}={3∙√^22{с}}/{2∙√^22{с}}$
Корни $22$ степени из $с$ мы сокращаем и получаем ${3}/{2}=1,5$
Ответ: $1,5$
Если у радикала с четным показателем степени мы не знаем знак подкоренного выражения, то при извлечении корня выходит модуль подкоренного выражения.
Найдите значение выражения $√{(с-7)^2}+√{(с-9)^2}$ при $7 < c < 9$
Если над корнем не стоит показатель, то это означает, что мы работаем с квадратным корнем. Его показатель равен двум, т.е. четный. Если у радикала с четным показателем степени мы не знаем знак подкоренного выражения, то при извлечении корня выходит модуль подкоренного выражения.
$√{(с-7)^2}+√{(с-9)^2}=|c-7|+|c-9|$
Определим знак выражения, стоящего под знаком модуля, исходя из условия $7 < c < 9$
Для проверки возьмем любое число из заданного промежутка, например, $8$
Проверим знак каждого модуля
$8-9<0$, при раскрытии модуля пользуемся правилом: модуль положительного числа равен самому себе, отрицательного числа - равен противоположному значению. Так как у второго модуля знак отрицательный, при раскрытии меняем знак перед модулем на противоположный.
$|c-7|+|c-9|=(с-7)-(с-9)=с-7-с+9=2$
Свойства степеней с рациональным показателем:
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.
$a^n∙a^m=a^{n+m}$
2. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются
$(a^n)^m=a^{n∙m}$
3. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
$(a∙b)^n=a^n∙b^n$
4. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1
Тема: « Преобразование алгебраических, рациональных, иррациональных, степенных выражений».
Цель работы: научиться выполнять преобразование алгебраических, рациональных, иррациональных, степенных выражений с использованием формул сокращенного умножения, основных свойств корней и степеней.
Теоретические сведения.
КОРНИ НАТУРАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ ИЗ ЧИСЛА, ИХ СВОЙСТВА.
Корень n – степени : , n - показатель корня , а – подкоренное выражение
Если n – нечетное число, то выражение имеет смысл при а
Если n – четное число, то выражение имеет смысл при
Арифметический корень:
Корень нечетной степени из отрицательного числа:
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА КОРНЕЙ
Правило извлечения корня из произведения:
Правило извлечения корня из корня:
Правило вынесения множителя из под знака корня:
Внесение множителя под знак корня:
,
Показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и тоже число.
Правило возведения корня в степень.
СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
= , a – основание степени, n – показатель степени
Свойства:
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается неизменным.
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются, а основание остается неизменным.
При возведении степени в степень показатели перемножаются.
При возведении в степень произведения двух чисел, каждое число возводят в эту степень, а результаты перемножают.
Если в степень возводят частное двух чисел, то в эту степень возводят числитель и знаменатель, а результат делят друг на друга.
СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Свойства:
при r >0 > при r <0
7 . Для любого рациональных чисел r и s из неравенства > следует
> при a >1 при
Формулы сокращённого умножения.
Пример 1. Упростите выражение .
Применим свойства степеней (умножение степеней с одинаковым основанием и деление степеней с одинаковым основанием): .
Ответ: 9m 7 .
Пример 2. Сократить дробь:
Решение.Так область определения дроби все числа, кроме х ≠ 1 и х ≠ -2.Вместе с тем .Сократив дробь, получим .Область определения полученной дроби: х ≠ -2, т.е. шире, чем область определения первоначальной дроби. Поэтому дроби и равны при х ≠ 1 и х ≠ -2.
Пример 3. Сократить дробь:
Пример 4. Упростить:
Пример 5 .Упростить:
Пример 6. Упростить:
Пример 7. Упростить:
Пример 8. Упростить:
Пример 9. Вычислить: .
Решение.
Пример 10. Упростить выражение:
Решение.
Пример 11 .Сократить дробь , если
Решение..
Пример 12. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби
Решение. В знаменателе имеем иррациональность 2-й степени, поэтому помножим и числитель, и знаменатель дроби на сопряженное выражение, то есть сумму чисел и , тогда в знаменателе будем иметь разность квадратов, которая и ликвидирует иррациональность.
ВАРИАНТ - I1. Упростите выражение:
, где а -рациональное число,
b
– натуральное число
,
5. Упростить:
;
,
,
10. Выполните действие:
8. Сократите дробь
9. Выполните действие
ВАРИАНТ - II
1. Упростите выражение:
2. Найдите значение выражения:
3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня
4. Привести указанное выражение к виду
, где а- рациональное число,
b
– натуральное число
,
5. Упростить:
;
6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем
,
,
7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня
10. Выполните действие:
8. Сократите дробь
9. Выполните действие
1. Выполните действие:
2. Найдите значение выражения:
3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня
4. Привести указанное выражение к виду
, где а -рациональное число,
b
– натуральное число
,
5. Упростить:
;
6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем
,
,
7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня
10. Выполните действие:
8. Сократите дробь
9. Выполните действие
ВАРИАНТ - IV
1. Выполните действие:
2. Найдите значение выражения:
3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня
,
4. Привести указанное выражение к виду
, где а- рациональное число,
b
– натуральное число
,
5. Упростить:
Свойства корней лежат в основе двух следующих преобразований, называемых внесением под знак корня и вынесением из-под знака корня, к рассмотрению которых мы и переходим.
Внесение множителя под знак корня
Внесение множителя под знак подразумевает замену выражения , где B и C – некоторые числа или выражения, а n – натуральное число, большее единицы, тождественно равным выражением, имеющим вид или .
Например, иррациональное выражение после внесения множителя 2 под знак корня принимает вид .
Теоретические основы этого преобразования, правила его проведения, а также решения всевозможных характерных примеров даны в статье внесение множителя под знак корня .
Вынесение множителя из-под знака корня
Преобразованием, в известном смысле обратным внесению множителя под знак корня, является вынесение множителя из-под знака корня. Оно состоит в представлении корня в виде произведения при нечетных n или в виде произведения при четных n , где B и C – некоторые числа или выражения.
За примером вернемся в предыдущий пункт: иррациональное выражение после вынесения множителя из-под знака корня принимает вид . Другой пример: вынесение множителя из-под знака корня в выражении дает произведение , которое можно переписать в виде .
На чем базируется это преобразование, и по каким правилам оно проводится, разберем в отдельной статье вынесение множителя из-под знака корня . Там же приведем решения примеров и перечислим способы приведения подкоренного выражения к виду, удобному для вынесения множителя.
Преобразование дробей, содержащих корни
Иррациональные выражения могут содержать дроби, в числителе и знаменателе которых присутствуют корни. С такими дробями можно проводить любые из основных тождественных преобразований дробей .
Во-первых, ничто не мешает работать с выражениями в числителе и знаменателе. В качестве примера рассмотрим дробь . Иррациональное выражение в числителе, очевидно, тождественно равно , а, обратившись к свойствам корней, выражение в знаменателе можно заменить корнем . В результате исходная дробь преобразуется к виду .
Во-вторых, можно изменить знак перед дробью, изменив знак числителя или знаменателя. Например, имеют место такие преобразования иррационального выражения: .
В-третьих, иногда возможно и целесообразно провести сокращение дроби. К примеру, как отказать себе в удовольствии сократить дробь на иррациональное выражение , в результате получаем .
Понятно, что во многих случаях, прежде чем выполнить сокращение дроби, выражения в ее числителе и знаменателе приходится раскладывать на множители, чего в простых случаях позволяют добиться формулы сокращенного умножения. А иногда сократить дробь помогает замена переменной, позволяющая от исходной дроби с иррациональностью перейти к рациональной дроби, работать с которой комфортнее и привычнее.
Для примера возьмем выражение . Введем новые переменные и , в этих переменных исходное выражение имеет вид . Выполнив в числителе
Тренажёр № 1
Тема: Преобразование степенных и иррациональных выражений
Программа элективного курса по математике для учащихся 10-го класса
ПрограммаПрименение. Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражений . Тема 4. Тригонометрические функции и их графики. Обобщить... . 16.01-20.01 18 Преобразование степенных и иррациональных выражений . 23.01-27.01 19 ...
Календарно-тематическое планирование учебного материала алгебра и начала анализа, 11класс
Календарно-тематическое планированиеИ рациональным показателем. Преобразование степенных и иррациональных выражений . 2 2 2 сентябрь Свойства логарифмов. Преобразование логарифмических выражений . 1 1 1 ... в полном объеме рассматриваются с теми учащимися, которые претендуют на высокие...
Тема урока Тип урока (4)
Урок... преобразования числовых и буквенных выражений , содержа щих степени ... степеней Знать: понятие степень с иррацио нальным показателем; основные свойства степеней . Уметь: находить значение степени с иррациональным ... 3 по теме «Степень положительного числа» ...
Тема Культурно-исторческие основы развития психологического знания в труде Тема Труд как социально-психологическая реальность
ДокументИ др.) тема труда тесно связана с социально-экономическими преобразованиями . Например, ... перестройка сознания, инстинкты, иррациональные тенденции, т.е. внутренние конфликты... выяснения наличия и степени выраженности у человека определенных...
Преобразование выражений, содержащих квадратные корни (1)
УрокРедакцией С.А. Теляковского. Тема урока: Преобразование выражений , содержащих квадратные...) преобразования корней из произведения, дроби и степени , умножение... (формирование навыка тождественных преобразований иррациональных выражений ). №421. (у доски...
Тождественные преобразования выражений – это одна из содержательных линий школьного курса математики. Тождественные преобразования широко используются при решении уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств. Кроме того тождественные преобразования выражений способствуют развитию сообразительности, гибкости и рациональности мышления.
Предлагаемые материалы предназначены для учащихся 8 класса и включают в себя теоретические основы тождественных преобразований рациональных и иррациональных выражений, типы задач на преобразование таких выражений и текст контрольной работы .
1. Теоретические основы тождественных преобразований
Выражениями в алгебре называют записи, состоящие из чисел и букв, соединенных знаками действий.
https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif" width="77" height="21 src=">.gif" width="20" height="21 src="> – алгебраические выражения.
В зависимости от операций различают рациональные и иррациональные выражения.
Алгебраические выражения называют рациональными, если относительно входящих в него букв а , b , с , … не выполняется никаких других операций, кроме операций сложения, умножения, вычитания, деления и возведения в целую степень.
Алгебраические выражения, содержащие операции извлечения корня из переменной или возведения переменной в рациональную степень, не являющуюся целым числом, называются иррациональными относительно этой переменной.
Тождественным преобразованием данного выражения называется замена одного выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве.
В основе тождественных преобразований рациональных и иррациональных выражений лежат следующие теоретические факты.
1. Свойства степеней с целым показателем:
, n ÎN; а 1=а ;
, n ÎN, а ¹0; а 0=1, а ¹0;
, а ¹0;
, а ¹0;
, а ¹0;
, а ¹0, b ¹0;
, а ¹0, b ¹0.
2. Формулы сокращенного умножения:
где а , b , с – любые действительные числа;
Где а ¹0, х 1 и х 2 – корни уравнения .
3. Основное свойство дроби и действия над дробями:
, где b ¹0, с ¹0;
; ;
4. Определение арифметического корня и его свойства:
; , b ¹0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif" width="84" height="32">; ; ,
где а , b – неотрицательные числа, n ÎN, n ³2, m ÎN, m ³2.
1. Типы упражнений на преобразование выражений
Существуют различные типы упражнений на тождественные преобразования выражений. Первый тип : явно указано то преобразование, которое необходимо выполнить.
Например.
1. Представьте в виде многочлена .
При выполнении указанного преобразования использовали правила умножения и вычитания многочленов, формулу сокращенного умножения и приведение подобных слагаемых.
2. Разложите на множители: .
При выполнении преобразования использовали правило вынесения общего множителя за скобку и 2 формулы сокращенного умножения.
3. Сократите дробь:
.
При выполнении преобразования использовали вынесение общего множителя за скобку, переместительный и сократительный законы, 2 формулы сокращенного умножения, действия над степенями.
4. Вынесите множитель из-под знака корня, если а ³0, b ³0, с ³0: https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif" width="432" height="27">
Использовали правила действий над корнями и определение модуля числа.
5. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби .
Второй тип упражнений – это упражнения, в которых явно указано то главное преобразование, которое необходимо выполнить. В таких упражнениях требование обычно сформулировано в одном из видов: упростить выражение, вычислить. При выполнении таких упражнений необходимо прежде всего выявить, какие и в каком порядке необходимо выполнить преобразования, чтобы выражение приняло более компактный вид, чем данное, или получился числовой результат.
Например
6. Упростите выражение:
Решение:
.
Использовали правила действий над алгебраическими дробями и формулы сокращенного умножения.
7. Упростить выражение:
.
Если а ³0, b ³0, а ¹b .
Использовали формулы сокращенного умножения, правила сложения дробей и умножения иррациональных выражений, тождество https://pandia.ru/text/80/197/images/image049_15.gif" width="203" height="29">.
Использовали операцию выделения полного квадрата, тождество https://pandia.ru/text/80/197/images/image053_11.gif" width="132 height=21" height="21">, если .
Доказательство:
Так как , то и или или или , т. е. .
Использовали условие и формулу суммы кубов.
Надо иметь в виду, что условия, связывающие переменные, могут быть заданы и в упражнениях первых двух типов.
Например.
10. Найдите , если .