Как сравнить отрезки?
Что означает - сравнить два отрезка? Это значит сравнить их длины, определить, который из них длиннее (или короче). Если под рукой есть линейка, нет ничего проще: измерить с её помощью длины обоих отрезков, и сразу станет ясно, какой длиннее. Ниже мы расскажем, что делать, если линейки рядом с вами не оказалось.
Как сравнить два отрезка без линейки
Если отрезки нарисованы по клеткам, можно посчитать клетки. Однако так везет далеко не всегда. При отсутствии клеток можно воспользоваться циркулем. Сначала нужно установить раствор циркуля по концам одного отрезка, а потом, не сдвигая его ножек, установить иглу в конец другого отрезка и посмотреть, шире раствор циркуля, чем второй отрезок, или уже.
Если нет и циркуля, можно изготовить подобие линейки из полоски бумаги. Деления на ней рисовать не обязательно, достаточно обозначить начало и конец одного отрезка, затем совместить одну метку с началом второго отрезка и сравнить.
Так можно сравнить даже отрезки, нарисованные на земле, например, для того, чтобы обозначить места для столбиков под скамейку на равных расстояниях от стены дома. Только в этом случае нужно будет воспользоваться уже не полоской бумаги, а доской или верёвкой.
Как сравнить два отрезка в координатной сетке
Чтобы сравнить отрезки, надо знать их длины. В статье мы объяснили, как найти длину отрезка, если указаны его координаты на плоскости или в пространстве. Возьмём отрезки на плоскости с координатами: отрезок а = {x 1,y 1;x 2,y 2} и отрезок b = {x 3,y 3;x 4,y 4}.
Конечно, и так видно, что второй отрезок короче первого, но в математике «видно» не считается, надо доказать. Поэтому напишем формулу для вычисления длин отрезков и придадим координатам численные значения. После этого вы легко объясните, как сравнить два отрезка.
- Длина отрезка а d1 = √((х 1 - х 2)² + (у 1 - у 2)²)
- Длина отрезка b d2 = √((х 3 - х 4)² + (у 3 - у 4)²)
Пусть х 1 = -6, у 1 = 5; х 2 = 4, у 2 = -3; х 3 = -2, у 3 = -4; х 4 = 1, у 4 = -2. Значит:
- d1 = √((х 1 - х 2)² + (у 1 - у 2)²) = d1 = √(((-6) - 4)² + (5 - (-3))²) = √((-10)² + 8²) = √164
- d2 = √((х 3 - х 4)² + (у 3 - у 4)²) = √(((-2) - 1)² + ((-4) - (-2))²) = √((-3)² + 2²) = √13
- √164 > √13, значит, d1 > d2.
Аналогично можно сравнивать отрезки в трёхмерных координатах, только тогда нужно будет учесть ещё и третьи координаты: отрезок а = {x 1,y 1,z 1;x 2,y 2,z 2} и отрезок b = {x 3,y 3,z 3;x 4,y 4,z 4}.
Формулы аналогичны тем, что мы писали для координатной сетки на плоскости:
- Длина отрезка а d1 = √((х 1 - х 2)² + (у 1 - у 2)² + (z 1 - z 2)²)
- Длина отрезка b d2 = √((х 3 - х 4)² + (у 3 - у 4)² + (z 3 - z 4)²)
Пусть х 1 = -6, у 1 = 5, z 1 = 1; х 2 = 4, у 2 = -3, z 2 = 2; х 3 = -2, у 3 = -4, z 3 = 3; х 4 = 1, у 4 = -2, z 4 = -11.
- d1 = √((х 1 - х 2)² + (у 1 - у 2)² + (z 1 - z 2)² = √(((-6) - 4)² + (5 - (-3))² + (1 - 2)²) = √((-10)² + 8² + (-1)²) = √165
- d2 = √((х 3 - х 4)² + (у 3 - у 4)² + (z 3 - z 4)²) = √(((-2) - 1)² + ((-4) - (-2))² + (3 - (-11))²) = √((-3)² + 2² + 14²) = √(9 + 4 + 196) = √209
- √209 > √165
Значит, в этом случае второй отрезок получился больше первого.
Отрезок - часть прямой, ограниченная двумя точками, кратчайшее расстояние между этими точками. Существует несколько способов сравнения геометрических фигур, выбор такого способа зачастую зависит не только от условия задачи, но и от возможностей. Как же сравнивать отрезки, расскажем в этой статье.
Способы сравнения двух отрезков
В геометрии две фигуры, имеющие одинаковый размер и форму, называются равными. Сравнение фигур дает возможность сказать, одинаковы ли они. Одним из способов является наложение. Если фигуры удается совместить наложением, они считаются равными.
Сравнить фигуры - значит, определить, которая из них длиннее или короче. Ответ должен быть определенным, нельзя сказать, что один отрезок длиннее или равен второму. В математике такой ответ неправилен, его можно приравнять к отсутствию ответа.
Записывают результат сравнения с помощью знаков больше, меньше и знака равенство (>; <; =). Например, длина отрезка АБ - 2 см, а ВГ - 8 см, записываем результат сравнения так: АБ < ВГ или ВГ > АБ.
Сравнивать фигуры можно разными способами , выбор которых зависит от возможностей или условий:
- визуальный способ;
- измерительный;
- сравнение наложением;
- сравнение в координатной сетке.
Лучше всего, если они различаются по длине визуально, и, просто посмотрев на них, вы можете сказать, который длиннее. Но так бывает не всегда.
Измерение длины
Самый простой способ - измерение. Для этого можно использовать линейку, просто измерив длину отрезка, мы поймем, который из них длиннее. Если нет линейки, но они начерчены на листе в клетку, для измерения их длин можно посчитать клетки. В одном сантиметре две клетки . Это метод сравнения измерением длин, но есть еще метод сравнения наложением.
Наложение друг на друга
Как происходит совмещение АБ и ВГ:
- Нужно конец, А одного из них совместить с концом В другого, если совпадают и другие концы этих отрезков - Б и Г, значит, они равны, что записывается с помощью знака равно.
- Если нет, значит, один из них длиннее другого, и записывается это также с помощью математических знаков больше или меньше (> или <).
Бывает так, что при наложении одного отрезка на другой ровно половина одного из них будет совмещена с другим. Точку, которая делит его на две равные части, называют серединной точкой. И если у нас есть серединная точка В, то АВ=ВБ.
Примерно так же наложением сравнивают не только прямые, но и другие геометрические фигуры, а также углы.
Можно сделать «линейку» из полоски бумаги, при этом такую линейку не нужно линовать, достаточно отметить на ней начало и конец одного из отрезков. Затем вы прикладываете импровизированную линейку ко второму, совмещая его начало с первой отметкой и, сравниваете расположение второй отметки по отношению к его концу. Таким способом можно сравнивать и довольно большие фигуры, например, расстояние между столбиками забора, но использовать при этом лучше не бумажную полоску, а веревку.
Два отрезка называются равными , если их можно совместить методом наложения. Если есть возможность приложить их друг к другу, просто посмотрите, какой из них длиннее. Но так можно сделать не всегда.
Если под рукой имеется циркуль, поставьте одну ножку циркуля в начало, а другую в конец первого отрезка. Затем не сдвигая ножки циркуля, установите одну из них в начало второго и посмотрите, если вторая ножка циркуля в точке, обозначающей конец - они равны. Если вторая ножка на самой прямой - первый отрезок меньше, если за ним - первый больше.
Сравнение в координатной сетке
Допустим, что у нас есть два отрезка, координаты которых мы знаем - а (Х1, Y1; Х2, Y2) и b (Х3, Y3; X4, Y4).
Первое, что нужно сделать - придать координатам числовые значения:
- Длина, а - Da = √((X1 - X2) ² + (Y1 - Y2) ²);
- Длина b - Db = √((X3 - X4) ² + (Y3 - Y4) ²).
Пусть X1 = -7, Y1 = 4, X2 = 3, Y2 = -4, X3 = -3, Y3 = -5, X4 = 0, Y4 = -3. Получаем:
Da = √ ((-7 - 3) ² + (4 - (-4)) ²) = √ (-10 ² + 8 ²) = √ 100 + 64 = √ 164
Db = √ ((-3 - 0) ² + (-5 - (-3)) ²) = √ (-3 ² + (-8) ²) = √ (9+ 64) = √ 73
√ 164 > √ 73, значит, Da > Db.
Также можно сравнить отрезки, находящиеся в трехмерной системе координат, надо учитывать не две, а три координаты каждого из них.
Примеры
Рассмотрим сравнение методом наложения. У нас имеется два отрезка - АБ и ВГ.
Чтобы узнать, равны они или нет, просто приложим их друг к другу так, чтобы их «начала» были в одной точке, то есть совместим точки, А и В.
Если мы видим, что АБ получается частью ВГ, значит, он меньше, то есть АБ< ВГ, а если при наложении оба конца отрезков совмещаются - значит, они равны.
Теперь рассмотрим сравнение отрезков путем измерения. При помощи линейки вычисляем длину каждого отрезка. Например, длина AB = 2 см, а CD = 8 см. 8>2, значит, CD>AB, то есть отрезок CD длиннее AB.
Сравнить два отрезка - это значит определить длина которого из них является большей или меньшей относительно другого. В реальном мире такие операции производят многие из нас, сами того не замечая. Мы сравниваем длины дорог на карте, чтобы выбрать более короткий путь, определяем более высокого из братьев, меряя и сравнивая их рост, а на строке или заводе сравнение длин схожих величин применяется сплошь и рядом. Наша же задача - уметь строить математическую модель для любой задачи, уметь правильно её решить. Также можно на глаз или подручными инструментами сравнить два отрезка. Допустим, что имеет большую длину: спичка или колпачок шариковой ручки? Замерив циркулем длину спички и приложив его к колпачку мы можем сразу получить ответ на вопрос.
Но как сравнить два отрезка, если их длина неразличима на глаз? Если нет возможности использовать подручные средства, а нам даны лишь только координаты отрезка? В случае одномерного пространства сравнить два отрезка можно путём нахождения их длин. На прямой длина отрезка - это разность значений координат его концов, взятая со знаком плюс. Например: дан отрезок АВ с координатами А(2) , В(3) и отрезок CD с координатами С(5,1) и D(6) . Определить, какой из отрезков имеет большую длину. Длина АВ будет равна 3-2 = 1, а длина CD будет равна 6-5,1 = 0,9. з этого следует, что Отрезок АВ больше чем CD. Рассмотрим другую задачу. Даны координаты отрезка KL: 0 и 4 соответственно. Также даны координаты начала отрезка MN M(-3) и координата середины этого отрезка (-1) . Сравнить длины отрезков KL и MN.
Для решения подобной задачи надо знать как найти координаты середины отрезка. Координатой середины отрезка является среднее арифметическое координат его концов. Для нашей задачи выходит, что координата M(-3) плюс неизвестная координата N(x) при делении пополам дадут -1. Составим и решим уравнение. (-3+x) /2 = -1. Умножим обе части на -2: -3+х= -2. Перенесём -3 в правую часть уравнения, поменяв при этом знак: х=1. Получаем, что координата N равна 1. Находим длину отрезка MN: 1-(-3) =1+3=4. Аналогичным образом длина KL = 4-0 = 4. Как видно, длины отрезков совпадают, следовательно отрезки равны.
Для геометрических задач часто важно знать как называется отрезок, соединяющий те или иные две точки. Иногда это поможет избежать решения задачи в общем виде и применить теорему и упрощённый метод решения задачи. Однако, решим задачу где применяется общая формула нахождения длины отрезка через координаты его концов. Для плоскости длина отрезка равна корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат его концов. Эта формула является обобщением для одномерного пространства, которая. в свою очередь, является частным случаем формулы для трёхмерного и так далее. Умея пользоваться такими формулами, можно как найти длину отрезка на плоскости, так и в пространстве. Перейдём непосредственно к задаче.
Задача. Точка С с координатами (-3;2) является общим началом отрезков СВ и СА. Точка А имеет координаты (0;0) , а точка В - (1;4) . Сравнить отрезки СВ и СА. Решение. Вычислим длину отрезка СА по вышеописанной формуле: корень из -3-0 = -3 в квадрате эта величина равна 9,2-0 = 2, возведя двойку в квадрат получим 4. Сумма этих квадратов разностей равна 13, следовательно длина СА равна корню из 13. Применив аналогичные арифметические операции для нахождения длины СВ получим, что длина этого отрезка равна -3-1 = -4. -4*-4=6.2-4 = -2. -2*-2 = 4.6+4 = 20, отсюда длина отрезка СВ равна корню из 20. Корень из 20 больше, чем корень из 13, следовательно отрезок СВ больше отрезка СА. Задача решена.
