Az iskolában tanult forgástestek a henger, a kúp és a golyó.
Ha a matematika egységes államvizsga problémájában ki kell számítania egy kúp térfogatát vagy egy gömb területét, tekintse magát szerencsésnek.
Alkalmazzon képleteket egy henger, kúp és gömb térfogatára és felületére. Mindegyik megtalálható a táblázatunkban. Kívülről megtanul. Itt kezdődik a sztereometria ismerete.
Néha jó felülről rajzolni a kilátást. Vagy, mint ebben a problémában, alulról.
2. A körül leírt kúp térfogata hányszorosa a helyes négyszögletű piramis, nagyobb, mint az ebbe a piramisba írt kúp térfogata?
Egyszerű – rajzolja meg a képet alulról. Látjuk, hogy a nagyobb kör sugara szor nagyobb, mint a kisebbé. Mindkét kúp magassága azonos. Ezért a nagyobb kúp térfogata kétszer akkora lesz.
Egy másik fontos pont. Ne feledje, hogy a B rész problémáinál Egységes államvizsga lehetőségek a matematikában a választ egész számként vagy véges tizedes törtként írják fel. Ezért a válaszában a B részben ne legyen ilyen vagy ilyen. A szám közelítő értékét sem kell helyettesíteni! Mindenképpen zsugorodnia kell! Ebből a célból bizonyos problémáknál a feladat megfogalmazása, például a következő: „Keresse meg a henger oldalfelületének területét osztva ezzel.”
Hol használják még a forgástestek térfogatára és felületére vonatkozó képleteket? Természetesen a C2 (16) feladatban. Erről is mesélünk.
Ma elmondjuk, hogyan lehet megtalálni a kúp generátorát, amelyre gyakran szükség van az iskolai geometriai feladatokban.
A kúpgeneratrix fogalma
A derékszögű kúp egy olyan alakzat, amelyet úgy kapunk, hogy egy derékszögű háromszöget forgatunk az egyik lába körül. A kúp alapja kört alkot. A kúp függőleges szakasza háromszög, vízszintes szakasza kör. A kúp magassága az a szakasz, amely összeköti a kúp tetejét az alap közepével. A kúp generatrixa egy olyan szakasz, amely a kúp csúcsát az alapkör vonalának bármely pontjával összeköti.
Mivel a kúp derékszögű háromszög elforgatásával jön létre, kiderül, hogy egy ilyen háromszög első szára a magassága, a második az alapon fekvő kör sugara, a hipotenusz pedig a kúp generatrixa. Nem nehéz kitalálni, hogy a Pitagorasz-tétel hasznos a generátor hosszának kiszámításához. És most többet arról, hogyan lehet megtalálni a kúp generatrixának hosszát.
A generátor megtalálása
A generátor megtalálásának legegyszerűbb módja a konkrét példa. Tegyük fel, hogy a feladat alábbi feltételei adottak: a magasság 9 cm, az alapkör átmérője 18 cm Szükséges egy generatrix megtalálása.
Tehát a kúp magassága (9 cm) annak a derékszögű háromszögnek az egyik lába, amellyel ez a kúp létrejött. A második láb az alapkör sugara lesz. A sugár az átmérő fele. Így a nekünk adott átmérőt felezzük, és megkapjuk a sugár hosszát: 18:2 = 9. A sugár 9.
Most nagyon könnyű megtalálni a kúp generatrixát. Mivel ez egy hipotenusz, hosszának négyzete egyenlő lesz a lábak négyzeteinek összegével, azaz a sugár és a magasság négyzeteinek összegével. Tehát a generátor hosszának négyzete = 64 (a sugár hosszának négyzete) + 64 (a magasság hosszának négyzete) = 64x2 = 128. Most vesszük a 128 négyzetgyökét. eredményeként kettőnek nyolc gyökerét kapjuk. Ez lesz a kúp generatrixa.
Amint látja, ebben nincs semmi bonyolult. Például vettük egyszerű feltételek feladatokat azonban iskolai tanfolyam bonyolultabbak lehetnek. Ne feledje, hogy a generatrix hosszának kiszámításához meg kell találnia a kör sugarát és a kúp magasságát. Ezen adatok ismeretében könnyű megtalálni a generatrix hosszát.
A geometria a matematikának egy olyan ága, amely a térbeli struktúrákat és a köztük lévő kapcsolatokat vizsgálja. Viszont szakaszokból is áll, és ezek egyike a sztereometria. Ez magában foglalja a térben elhelyezkedő háromdimenziós figurák tulajdonságainak tanulmányozását: kocka, piramis, golyó, kúp, henger stb.
A kúp egy test az euklideszi térben, amelyet egy kúpos felület és az a sík határol, amelyen generátorainak végei fekszenek. Kialakulása derékszögű háromszög bármely lába körüli forgása során következik be, tehát forgástestekhez tartozik.
A kúp alkotóelemei
A következő típusú kúpok vannak: ferde (vagy ferde) és egyenes. Ferde az, amelynek tengelye nem metszi derékszögben az alapja középpontját. Emiatt az ilyen kúp magassága nem esik egybe a tengellyel, mivel ez egy szegmens, amelyet a test tetejétől az alap síkjához 90 ° -os szögben leengednek.
Azt a kúpot, amelynek tengelye merőleges az alapjára, egyenesnek nevezzük. Egy ilyen geometriai testben a tengely és a magasság egybeesik, mivel a benne lévő csúcs az alap átmérőjének középpontja felett helyezkedik el.
A kúp abból áll a következő elemeket:
- A kör, amely az alapja.
- Oldalsó felület.
- Az alap síkjában nem fekvő pont, amelyet a kúp csúcsának nevezünk.
- Szakaszok, amelyek összekötik a geometriai test alapkörének és csúcsának pontjait.
Mindezek a szegmensek a kúp generátorai. A geometriai test alapjához dőlnek, és derékszögű kúp esetén a vetületük egyenlő, mivel a csúcs egyenlő távolságra van az alap körének pontjaitól. Ebből arra következtethetünk, hogy egy szabályos (egyenes) kúpban a generátorok egyenlőek, azaz azonos hosszúságúak és azonos szöget zárnak be a tengellyel (vagy magassággal) és az alappal.
Mivel egy ferde (vagy ferde) forgástestben a csúcs az alapsík középpontjához képest el van tolva, az ilyen testben lévő generatricák különböző hosszúságúés vetítés, mivel mindegyik különböző távolságra van az alap körének bármely két pontjától. Ezenkívül a köztük lévő szögek és a kúp magassága is eltérő lesz.
A generatricák hossza egyenes kúpban
Amint korábban írtuk, a magasság a jobb geometriai forgástestben merőleges az alap síkjára. Így a kúpban létrejön az alap generatrixa, magassága és sugara derékszögű háromszög.
Vagyis az alap és a magasság sugarának ismeretében, a Pitagorasz-tétel képletével, kiszámíthatja a generatrix hosszát, amely egyenlő lesz az alap és a magasság sugarának négyzeteinek összegével:
l 2 = r 2 + h 2 vagy l = √r 2 + h 2
ahol l a generátor;
r - sugár;
h - magasság.
Generátor ferde kúpban
Annak alapján, hogy egy ferde vagy ferde kúpban a generátorok nem azonos hosszúságúak, további konstrukciók és számítások nélkül nem lehet őket kiszámítani.
Először is tudnia kell a magasságot, a tengelyhosszt és az alap sugarát.
r 1 = √k 2 - h 2
ahol r 1 a sugárnak a tengely és a magasság közötti része;
k - tengelyhossz;
h - magasság.
A sugár (r) és a tengely és a magasság (r 1) között fekvő részének összeadásával megtudhatja a kúp teljes generált generatrixát, magasságát és átmérőjének egy részét:
ahol R egy háromszög szára, amelyet a magasság, a generátor és az alap átmérőjének egy része alkot;
r - az alap sugara;
r 1 - a sugár egy része a tengely és a magasság között.
A Pitagorasz-tétel ugyanazt a képletet használva megtalálhatja a kúp generatrixának hosszát:
l = √h 2 + R 2
vagy az R külön kiszámítása nélkül egyesítse a két képletet:
l = √h 2 + (r + r 1) 2.
Függetlenül attól, hogy a kúp egyenes vagy ferde, és mik a bemeneti adatok, a generatrix hosszának meghatározására szolgáló összes módszer mindig egy eredményhez vezet - a Pitagorasz-tétel használatához.
Kúp szakasz
Az axiális egy sík, amely a tengelye vagy magassága mentén halad át. Egyenes kúpban egy ilyen szakasz az egyenlő szárú háromszög, amelyben a háromszög magassága a test magassága, oldalai a generátorok, az alap pedig az alap átmérője. Egy egyenlő oldalú geometriai testben a tengelymetszet egyenlő oldalú háromszög, mivel ebben a kúpban az alap és a generátorok átmérője egyenlő.
Az egyenes kúp tengelyirányú szakaszának síkja szimmetriasíkja. Ennek az az oka, hogy a teteje az alapja közepe fölött helyezkedik el, vagyis a tengelymetszet síkja a kúpot két egyforma részre osztja.
Mivel a magasság és a tengely nem esik egybe egy ferde térfogatú testben, előfordulhat, hogy a tengelyirányú metszetsík nem tartalmazza a magasságot. Ha egy ilyen kúpban sok tengelymetszet készíthető, mert ehhez csak egy feltételnek kell teljesülnie - csak a tengelyen kell áthaladnia, akkor csak az a tengelymetszet rajzolható meg, amelyhez ennek a kúpnak a magassága fog tartozni. egy, mert a feltételek száma nő, és mint ismeretes, két egyenes (együtt) csak egy síkhoz tartozhat.
Keresztmetszeti terület
A korábban említett kúp tengelyirányú szakasza egy háromszög. Ennek alapján a területe kiszámítható a háromszög területének képletével:
S = 1/2 * d * h vagy S = 1/2 * 2r * h
ahol S a keresztmetszeti terület;
d - alap átmérője;
r - sugár;
h - magasság.
Ferde vagy ferde kúpban a tengely menti keresztmetszet is háromszög, így a benne lévő keresztmetszeti területet is hasonló módon számítjuk ki.
Hangerő
Mivel a kúp háromdimenziós alakzat a háromdimenziós térben, térfogata kiszámítható. A kúp térfogata egy szám, amely ezt a testet térfogategységben, azaz m3-ben jellemzi. A számítás nem attól függ, hogy egyenes vagy ferde (ferde), mivel e két testtípus képlete nem tér el egymástól.
Amint azt korábban említettük, a derékszögű kúp kialakulása egy derékszögű háromszög egyik lába mentén történő elforgatása miatt következik be. A ferde vagy ferde kúp eltérő módon alakul ki, mivel magassága eltolódik a test alapjának síkjának középpontjától. Mindazonáltal az ilyen szerkezeti különbségek nem befolyásolják a térfogat kiszámításának módszerét.
Térfogatszámítás
Bármelyik kúp így néz ki:
V = 1/3 * π * h * r 2
ahol V a kúp térfogata;
h - magasság;
r - sugár;
π 3,14-gyel egyenlő állandó.
Egy test magasságának kiszámításához ismernie kell az alap sugarát és a generatrix hosszát. Mivel a sugár, a magasság és a generátor egy derékszögű háromszögben van egyesítve, a magasság kiszámítható a Pitagorasz-tétel képletével (a 2 + b 2 = c 2 vagy esetünkben h 2 + r 2 = l 2, ahol l a generátor). A magasságot úgy számítjuk ki, hogy a befogó és a másik láb négyzete közötti különbség négyzetgyökét vegyük:
a = √c 2 - b 2
Vagyis a kúp magassága megegyezik azzal az értékkel, amelyet a generatrix hosszának négyzete és az alap sugarának négyzete közötti különbség négyzetgyökének levétele után kapunk:
h = √l 2 - r 2
Ezzel a módszerrel kiszámítva a magasságot és ismerve az alap sugarát, kiszámíthatja a kúp térfogatát. A tanár játszik fontos szerep, mivel a számításoknál segédelemként szolgál.
Hasonlóképpen, ha ismert egy test magassága és generatricájának hossza, megtudhatjuk alapjának sugarát a generatrix négyzete és a magasság négyzete közötti különbség négyzetgyökével:
r = √l 2 - h 2
Ezután a fenti képlet segítségével számítsa ki a kúp térfogatát.
Egy ferde kúp térfogata
Mivel a kúp térfogatának képlete minden forgástestre azonos, számításának különbsége a magasság keresése.
A ferde kúp magasságának meghatározásához a bemeneti adatoknak tartalmazniuk kell a generatrix hosszát, az alap sugarát, valamint az alap középpontja és a test magasságának a síkkal való metszéspontja közötti távolságot. az alapjáról. Ennek ismeretében könnyen kiszámítható az alapátmérő azon része, amely egy derékszögű háromszög alapja lesz (amelyet az alap magassága, generatrixa és síkja alkot). Ezután ismét a Pitagorasz-tétel segítségével számítsuk ki a kúp magasságát, majd a térfogatát.
Itt vannak problémák a kúpokkal, az állapot a felületével kapcsolatos. Különösen bizonyos problémáknál felmerül a terület megváltoztatása, amikor a kúp magasságát vagy alapja sugarát növeljük (csökkentjük). Elmélet a problémák megoldására -ban. Tekintsük a következő feladatokat:
27135. A kúp alapjának kerülete 3, a generátoré 2. Határozza meg a kúp oldalfelületének területét!
A kúp oldalfelülete egyenlő:
Az adatok pótlása:
75697. Hányszorosára nő a kúp oldalfelületének területe, ha a generatrixát 36-szorosára növeljük, és az alap sugara változatlan marad?
Kúp oldalfelülete:
A generatrix 36-szorosára nő. A sugár változatlan marad, ami azt jelenti, hogy az alap kerülete nem változott.
Ez azt jelenti, hogy a módosított kúp oldalsó felülete a következő lesz:
Így 36-szorosára fog növekedni.
*A kapcsolat egyértelmű, így ez a probléma szóban is könnyen megoldható.
27137. Hányszorosára csökken a kúp oldalfelületének területe, ha alapjának sugarát másfélszeresére csökkentjük?
A kúp oldalfelülete egyenlő:
A sugár 1,5-szeresére csökken, azaz:
Azt találtuk, hogy az oldalsó felület 1,5-szeresére csökkent.
27159. A kúp magassága 6, a generatrix 10. Határozza meg a teljes felületének területét osztva Pi-vel.
Teljes kúp felület:
Meg kell találnia a sugarat:
A magasság és a generatrix ismert, a Pitagorasz-tétel segítségével kiszámítjuk a sugarat:
És így:
Ossza el az eredményt Pi-vel, és írja le a választ.
76299. A kúp teljes felülete 108. A kúp alapjával párhuzamos metszetet húzunk, a magasságot kettéosztjuk. Keresse meg a levágott kúp teljes felületét.
A szakasz az alappal párhuzamosan halad át a magasság közepén. Ez azt jelenti, hogy a levágott kúp alapjának sugara és generatrixa 2-szer kisebb lesz, mint az eredeti kúp sugara és generatrixa. Írjuk fel a levágott kúp felületét:
Azt találtuk, hogy négyszer kisebb lesz, mint az eredeti felülete, azaz 108:4 = 27.
*Mivel az eredeti és a levágott kúp hasonló testek, a hasonlóság tulajdonságot is lehetett használni:
27167. A kúp alapjának sugara 3, magassága 4. Határozza meg a kúp teljes felületét osztva Pi-vel!
A kúp teljes felületének képlete:
A sugár ismert, meg kell találni a generatrixot. 
A Pitagorasz-tétel szerint:
És így:
Ossza el az eredményt Pi-vel, és írja le a választ.
Feladat. A kúp oldalfelülete négyszerese több területet okokból. Mekkora a kúp generatrixa és az alap síkja közötti szög koszinusza!
A kúp alapterülete: 
