Egy függvény páratlansága és páratlansága az egyik fő tulajdonsága, és a paritás lenyűgöző szerepet tölt be iskolai tanfolyam a matematikában. Nagymértékben meghatározza a függvény viselkedését, és nagyban megkönnyíti a megfelelő gráf felépítését.
Határozzuk meg a függvény paritását. Általánosságban elmondható, hogy a vizsgált függvényt akkor is figyelembe kell venni, ha a definíciós tartományában található független változó (x) ellentétes értékei esetén megfelelő értékeket y (függvények) egyenlő lesz.
Adjunk egy szigorúbb definíciót. Tekintsünk néhány f (x) függvényt, amely a D tartományban van definiálva. Ez akkor is így lesz, ha bármely, a definíciós tartományban található x pontra:
- -x (ellentétes pont) is ebbe a körbe tartozik,
- f(-x) = f(x).
A fenti definícióból következik az ilyen függvény definíciós tartományához szükséges feltétel, nevezetesen a szimmetria az O ponthoz képest, amely a koordináták origója, hiszen ha valamelyik b pont benne van egy páros definíciós tartományában. függvényt, akkor a megfelelő b pont is ebben a tartományban található. A fentiekből tehát az következik: a páros függvénynek az ordináta tengelyére (Oy) szimmetrikus alakja van.
Hogyan határozzuk meg egy függvény paritását a gyakorlatban?
Adjuk meg a h(x)=11^x+11^(-x) képlettel. A definícióból közvetlenül következő algoritmust követve először annak definíciós tartományát vizsgáljuk. Nyilvánvalóan az argumentum összes értékére definiálva van, vagyis az első feltétel teljesül.
A következő lépés az (x) argumentum ellentétes értékének (-x) helyettesítése.
Kapunk:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Mivel az összeadás teljesíti a kommutatív (kommutatív) törvényt, nyilvánvaló, hogy h(-x) = h(x) és az adott funkcionális függés páros.
Ellenőrizzük a h(x)=11^x-11^(-x) függvény paritását. Ugyanezt az algoritmust követve azt kapjuk, hogy h(-x) = 11^(-x) -11^x. Kivéve a mínuszt, a végén megvan
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Ezért h(x) páratlan.
Emlékeztetni kell egyébként arra, hogy vannak olyan funkciók, amelyeket nem lehet e kritériumok szerint besorolni, sem párosnak, sem páratlannak.
Még a függvényeknek is van számos érdekes tulajdonsága:
- hasonló függvények hozzáadása eredményeként egy párost kapnak;
- az ilyen függvények kivonása eredményeképpen egy párost kapunk;
- páros, szintén páros;
- két ilyen függvény szorzásának eredményeképpen egy párost kapunk;
- a páratlan és páros függvények szorzása eredményeként egy páratlant kapunk;
- a páratlan és páros függvények felosztása eredményeként egy páratlant kapunk;
- egy ilyen függvény deriváltja páratlan;
- Ha négyzetre tesz egy páratlan függvényt, akkor párost kap.
Egy függvény paritása felhasználható egyenletek megoldására.
Egy olyan egyenlet megoldásához, mint a g(x) = 0, ahol az egyenlet bal oldala páros függvény, elég lesz megoldást találni a változó nemnegatív értékeire. Az egyenlet eredő gyökeit az ellenkező számokkal kell kombinálni. Egyikük ellenőrzés alá tartozik.
Ezt sikeresen alkalmazzák egy paraméterrel kapcsolatos nem szabványos problémák megoldására is.
Például van-e olyan értéke az a paraméternek, amelyre a 2x^6-x^4-ax^2=1 egyenletnek három gyöke lesz?
Ha figyelembe vesszük, hogy a változó páros hatványokban lép be az egyenletbe, akkor egyértelmű, hogy az x - x -re cserélése nem változtatja meg az adott egyenletet. Ebből következik, hogy ha egy bizonyos szám a gyöke, akkor az ellenkező szám egyben gyöke is. A következtetés nyilvánvaló: egy egyenlet nullától eltérő gyökerei „párban” szerepelnek a megoldások halmazában.
Nyilvánvaló, hogy maga a szám nem 0, vagyis egy ilyen egyenlet gyökeinek száma csak páros lehet, és természetesen a paraméter egyetlen értékére sem lehet három gyöke.
De a 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 egyenlet gyökeinek száma páratlan lehet, és a paraméter tetszőleges értékéhez. Valójában könnyű ellenőrizni, hogy ennek az egyenletnek a gyökkészlete „párban” tartalmaz-e megoldásokat. Ellenőrizzük, hogy a 0 gyökér-e. Ha behelyettesítjük az egyenletbe, 2=2-t kapunk. Így a „páros” mellett a 0 is gyök, ami a páratlan számukat bizonyítja.
Funkció nullák
Egy függvény nullája az érték X, amelynél a függvény 0-ra fordul, azaz f(x)=0.
A nullák a függvénygráf és a tengely metszéspontjai Ó.
Funkcióparitás
Egy függvény akkor is meghívódik, ha bármelyikre X a definíciós tartományból az f(-x) = f(x) egyenlőség teljesül 
A páros függvény szimmetrikus a tengelyre Ó
Páratlan paritásfüggvény
Egy függvényt páratlannak nevezünk, ha van X a definíciós tartományból az f(-x) = -f(x) egyenlőség teljesül. 
A páratlan függvény szimmetrikus az origóra.
Azt a függvényt, amely se nem páros, se nem páratlan, függvénynek nevezzük általános nézet.
Funkció növelése
Egy f(x) függvényt növekvőnek mondjuk, ha az argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg, azaz. 
Csökkenő funkció
Egy f(x) függvényt csökkenőnek nevezünk, ha az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg, pl. 
Meghívjuk azokat az intervallumokat, amelyek alatt a függvény vagy csak csökken, vagy csak nő a monotónia intervallumai. Az f(x) függvénynek 3 monotonitása van: 
Keresse meg a monotonitás intervallumait a Növekvő és csökkenő függvény intervallumai szolgáltatással
Helyi maximum
Pont x 0 helyi maximumpontnak nevezzük, ha van ilyen X pont közeléből x 0 az egyenlőtlenség teljesül: f(x 0) > f(x) 
Helyi minimum
Pont x 0 helyi minimumpontnak nevezzük, ha van ilyen X pont közeléből x 0 egyenlőtlenség teljesül: f(x 0)< f(x).
A lokális maximumpontokat és a helyi minimumpontokat lokális szélsőpontoknak nevezzük. 
helyi szélsőséges pontok.
Működési frekvencia
Az f(x) függvényt periodikusnak nevezzük, periódusos T, ha van ilyen X az f(x+T) = f(x) egyenlőség teljesül. 
Az előjelállandóság intervallumai
Azokat az intervallumokat, amelyeken a függvény vagy csak pozitív, vagy csak negatív, konstans előjelű intervallumoknak nevezzük. 
A funkció folytonossága
Egy f(x) függvényt folytonosnak nevezünk egy x 0 pontban, ha a függvény határértéke x → x 0 egyenlő a függvény értékével ebben a pontban, azaz. 
.
Törési pontok
Azokat a pontokat, ahol a folytonossági feltétel megsérül, függvénytörési pontoknak nevezzük. 
x 0- töréspont.
A függvények ábrázolásának általános sémája
1. Keresse meg a D(y) függvény definíciós tartományát!
2. Keresse meg a függvénygrafikon és a koordinátatengelyek metszéspontjait!
3. Vizsgálja meg a páros vagy páratlan függvényt.
4. Vizsgálja meg a függvény periodicitását.
5. Keresse meg a függvény monotonitási intervallumait és szélsőpontjait!
6. Határozza meg a függvény konvexitási intervallumait és inflexiós pontjait!
7. Keresse meg a függvény aszimptotáit!
8. A kutatási eredmények alapján készítsen grafikont!
Példa: Fedezze fel a függvényt, és ábrázolja: y = x 3 – 3x
1) A függvény a teljes numerikus tengelyen van definiálva, azaz definíciós tartománya D(y) = (-∞; +∞).
2) Keresse meg a koordinátatengelyekkel való metszéspontokat:
az OX tengellyel: oldja meg az x 3 – 3x = 0 egyenletet
OY tengellyel: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0
3) Állapítsa meg, hogy a függvény páros vagy páratlan:
y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)
Ebből következik, hogy a függvény páratlan.
4) A függvény nem periodikus.
5) Keressük meg a függvény monotonitási intervallumait és szélsőpontjait: y’ = 3x 2 - 3.
Kritikus pontok: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.
y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2
y(1) = 1 3 – 3*1 = -2
6) Határozza meg a függvény konvexitási intervallumait és inflexiós pontjait: y’’ = 6x
Kritikus pontok: 6x = 0, x = 0.
y(0) = 0 3 – 3*0 = 0
7) A függvény folytonos, nincsenek aszimptotái.
8) A vizsgálat eredményei alapján elkészítjük a függvény grafikonját.
még, ha a definíciós tartományából származó összes \(x\)-re igaz: \(f(-x)=f(x)\) .
Egy páros függvény grafikonja szimmetrikus az \(y\) tengelyre:
Példa: a \(f(x)=x^2+\cos x\) függvény páros, mert \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) A \(f(x)\) függvény meghívásra kerül páratlan, ha minden \(x\)-re a definíciós tartományából igaz: \(f(-x)=-f(x)\) .
Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra:
Példa: az \(f(x)=x^3+x\) függvény páratlan, mert \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Azokat a függvényeket, amelyek se nem párosak, se nem páratlanok, általános alakú függvényeknek nevezzük. Egy ilyen függvény mindig egyedileg ábrázolható egy páros és egy páratlan függvény összegeként.
Például az \(f(x)=x^2-x\) függvény a páros \(f_1=x^2\) és a páratlan \(f_2=-x\) függvény összege.
\(\fekete háromszögjobb\) Néhány tulajdonság:
1) Azonos paritású két függvény szorzata és hányadosa páros függvény.
2) Két különböző paritású függvény szorzata és hányadosa - páratlan függvény.
3) A páros függvények összege és különbsége páros függvény.
4) Páratlan függvények összege és különbsége – páratlan függvény.
5) Ha \(f(x)\) páros függvény, akkor az \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) egyenletnek akkor és csak akkor van egyedi gyöke, ha \( x =0\) .
6) Ha \(f(x)\) páros vagy páratlan függvény, és az \(f(x)=0\) egyenletnek van egy gyöke \(x=b\), akkor ennek az egyenletnek biztosan lesz egy második gyökér \(x =-b\) .
\(\blacktriangleright\) Egy \(f(x)\) függvényt periodikusnak nevezünk \(X\)-en, ha valamilyen \(T\ne 0\) számra a következő teljesül: \(f(x)=f( x+T) \) , ahol \(x, x+T\in X\) . A legkisebb \(T\), amelyre ez az egyenlőség teljesül, a függvény fő (fő) periódusának nevezzük.
Egy periodikus függvény tetszőleges számú \(nT\) alakú, ahol a \(n\in \mathbb(Z)\) is pont lesz.
Példa: bármilyen trigonometrikus függvény időszakos;
a \(f(x)=\sin x\) és \(f(x)=\cos x\) függvényekhez fő időszak egyenlő \(2\pi\), a \(f(x)=\mathrm(tg)\,x\) és \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) függvényeknek van egy főperiódus egyenlő \ (\pi\) .
Egy periodikus függvény grafikonjának elkészítéséhez a grafikonját bármely \(T\) (főperiódus) hosszúságú szegmensre ábrázolhatja; akkor a teljes függvény grafikonját úgy fejezzük be, hogy a megszerkesztett részt egész számú periódussal eltolja jobbra és balra:
\(\blacktriangleright\) Az \(f(x)\) függvény \(D(f)\) tartománya az \(x\) argumentum összes értékéből álló halmaz, amelyre a függvénynek értelme van (meg van határozva).
Példa: az \(f(x)=\sqrt x+1\) függvény definíciós tartománya: \(x\in
1. feladat #6364
Feladatszint: Egységes államvizsgával egyenlő
Az \(a\) paraméter mely értékeinél érvényesül az egyenlet
van egyetlen megoldás?
Vegye figyelembe, hogy mivel \(x^2\) és \(\cos x\) páros függvények, ha az egyenletnek \(x_0\) gyöke van, akkor \(-x_0\) gyöke is lesz.
Valóban, legyen \(x_0\) gyök, vagyis az egyenlőség \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) jobbra. Cseréljük be a \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).
Így ha \(x_0\ne 0\) , akkor az egyenletnek már legalább két gyöke lesz. Ezért \(x_0=0\) . Majd:
A \(a\) paraméterhez két értéket kaptunk. Vegye figyelembe, hogy azt a tényt használtuk, hogy \(x=0\) pontosan az eredeti egyenlet gyöke. De soha nem használtuk fel, hogy ő az egyetlen. Ezért be kell cserélnie az \(a\) paraméter eredő értékeit az eredeti egyenletbe, és ellenőriznie kell, hogy melyik konkrét \(a\) esetében lesz valóban egyedi a \(x=0\) gyökér.
1) Ha \(a=0\) , akkor az egyenlet a következő formában lesz: \(2x^2=0\) . Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek csak egy gyöke van \(x=0\) . Ezért a \(a=0\) érték megfelel nekünk.
2) Ha \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , akkor az egyenlet a következőt veszi fel \ Írjuk át az egyenletet a formába \ Mert \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Azt \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Következésképpen a (*) egyenlet jobb oldalának értékei a szegmenshez tartoznak \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
Mivel \(x^2\geqslant 0\) , akkor a (*) egyenlet bal oldala nagyobb vagy egyenlő, mint \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
Így a (*) egyenlőség csak akkor teljesül, ha az egyenlet mindkét oldala egyenlő \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Ez pedig azt jelenti \[\begin(esetek) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Ezért a \(a=-\mathrm(tg)\,1\) érték megfelel nekünk.
Válasz:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
2. feladat #3923
Feladatszint: Egységes államvizsgával egyenlő
Keresse meg az \(a\) paraméter összes értékét, amelyek mindegyikéhez a függvény grafikonját \
szimmetrikus az eredetre.
Ha egy függvény gráfja szimmetrikus az origóra, akkor az ilyen függvény páratlan, azaz \(f(-x)=-f(x)\) teljesül a definíciós tartomány bármely \(x\)-ére a funkcióról. Így meg kell találni azokat a paraméterértékeket, amelyekre \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(igazított) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(igazított)\]
Az utolsó egyenletnek teljesülnie kell az \(f(x)\ tartományból származó összes \(x\)-re, ezért \(\sin(2\pi a)=0 \Jobbra a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
Válasz:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
3. feladat #3069
Feladatszint: Egységes államvizsgával egyenlő
Keresse meg az \(a\) paraméter összes értékét, amelyek mindegyikére a \ egyenletnek 4 megoldása van, ahol \(f\) egy páros periodikus függvény \(T=\dfrac(16)3\ periódussal) definiálva a teljes számegyenesen , és \(f(x)=ax^2\) for \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Feladat az előfizetőktől)
Mivel \(f(x)\) páros függvény, a grafikonja szimmetrikus az ordinátatengelyhez képest, ezért ha \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Így mikor \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), és ez egy \(\dfrac(16)3\) hosszúságú szegmens, \(f(x)=ax^2\) függvény.
1) Legyen \(a>0\) . Ekkor az \(f(x)\) függvény grafikonja így fog kinézni: 
Ekkor ahhoz, hogy az egyenletnek 4 megoldása legyen, szükséges, hogy a \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) gráf átmenjen a \(A\) ponton: 
Ezért, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(összegyűjtött)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(igazított)\end(összegyűjtött)\jobbra. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(összegyűjtött)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(igazított) \end( összegyűjtve)\jobbra.\] Mivel \(a>0\) , akkor \(a=\dfrac(18)(23)\) megfelelő.
2) Legyen \(a<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
Szükséges, hogy a \(g(x)\) gráf átmenjen a \(B\) ponton: \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(összegyűjtött)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(igazított) \end(összegyűjtött)\jobbra.\] Mivel \(a<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) Az az eset, amikor \(a=0\) nem megfelelő, mivel ekkor \(f(x)=0\) minden \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) és az egyenletnek csak 1 gyöke lesz.
Válasz:
\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)
4. feladat #3072
Feladatszint: Egységes államvizsgával egyenlő
Keresse meg \(a\) összes értékét, amelyek mindegyikére az egyenlet \
legalább egy gyökere van.
(Feladat az előfizetőktől)
Írjuk át az egyenletet a formába \
és vegyünk két függvényt: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) és \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
A \(g(x)\) függvény páros, és minimumpontja \(x=0\) (és \(g(0)=49\) ).
Az \(f(x)\) függvény \(x>0\) esetén csökken, \(x) esetén<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Valójában, amikor \(x>0\) a második modul pozitívan fog megnyílni (\(|x|=x\) ), ezért függetlenül attól, hogy az első modul hogyan nyílik meg, \(f(x)\) egyenlő lesz \(kx+A\)-ra, ahol \(A\) a \(a\) kifejezése, a \(k\) pedig egyenlő a \(-9\) vagy \(-3\) értékkel. Amikor \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Keressük meg a \(f\) értékét a maximális pontban: \ 
Ahhoz, hogy az egyenletnek legalább egy megoldása legyen, szükséges, hogy a \(f\) és \(g\) függvények grafikonjainak legyen legalább egy metszéspontja. Ezért szüksége van: \ \\]
Válasz:
\(a\in \(-7\)\pohár\)
5. feladat #3912
Feladatszint: Egységes államvizsgával egyenlő
Keresse meg az \(a\) paraméter összes értékét, amelyek mindegyikére az egyenlet \
hat különböző megoldással rendelkezik.
Tegyük a \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) cserét. Ekkor az egyenlet alakját veszi fel \
Fokozatosan írjuk fel azokat a feltételeket, amelyek mellett az eredeti egyenletnek hat megoldása lesz.
Vegye figyelembe, hogy a \((*)\) másodfokú egyenletnek legfeljebb két megoldása lehet. Egy \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) köbös egyenletnek legfeljebb három megoldása lehet. Ezért, ha a \((*)\) egyenletnek két különböző megoldása van (pozitív!, mivel \(t\) nagyobbnak kell lennie nullánál) \(t_1\) és \(t_2\) , akkor fordítva helyettesítéssel kapjuk: \[\left[\begin(összegyűjtve)\begin(igazított) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(igazított)\end(összegyűjtött)\jobbra.\] Mivel bármely pozitív szám bizonyos mértékig \(\sqrt2\)-ként ábrázolható, pl. \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), akkor a halmaz első egyenlete átíródik a formába \
Ahogy már mondtuk, egy köbegyenletnek legfeljebb három megoldása van, ezért a halmazban minden egyenletnek legfeljebb három megoldása lesz. Ez azt jelenti, hogy a teljes készlet legfeljebb hat megoldást tartalmaz.
Ez azt jelenti, hogy ahhoz, hogy az eredeti egyenletnek hat megoldása legyen, a \((*)\) másodfokú egyenletnek két különböző megoldást kell tartalmaznia, és minden kapott (a halmazból származó) köbegyenletnek három különböző megoldást kell tartalmaznia (és nem az egyik egyenletnek egybe kell esnie bármely -a második döntése alapján!)
Nyilvánvaló, hogy ha a \((*)\) másodfokú egyenletnek egy megoldása van, akkor nem kapunk hat megoldást az eredeti egyenletre.
Így világossá válik a megoldási terv. Írjuk fel pontról pontra, hogy milyen feltételeknek kell megfelelni.
1) Ahhoz, hogy a \((*)\) egyenletnek két különböző megoldása legyen, a diszkriminánsának pozitívnak kell lennie: \
2) Az is szükséges, hogy mindkét gyök pozitív legyen (mivel \(t>0\) ). Ha két gyök szorzata pozitív és összegük pozitív, akkor maguk a gyökök is pozitívak lesznek. Ezért szüksége van: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
Így már biztosítottunk magunknak két különböző pozitív gyöket \(t_1\) és \(t_2\) .
3)
Nézzük meg ezt az egyenletet \
Mire \(t\) lesz három különböző megoldása? Így megállapítottuk, hogy a \((*)\) egyenlet mindkét gyökének a \((1;4)\) intervallumban kell lennie. Hogyan kell írni ezt a feltételt? négy különböző, nullától eltérő gyöke volt, és \(x=0\) együtt egy aritmetikai progressziót jelent. Vegye figyelembe, hogy az \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) függvény páros, ami azt jelenti, hogy ha \(x_0\) a \() egyenlet gyöke (*)\ ) , akkor \(-x_0\) is a gyöke lesz. Ekkor szükséges, hogy ennek az egyenletnek a gyökei növekvő sorrendben lévő számok legyenek: \(-2d, -d, d, 2d\) (akkor \(d>0\)). Ekkor ez az öt szám egy aritmetikai sorozatot alkot (\(d\) különbséggel). Ahhoz, hogy ezek a gyökök a \(-2d, -d, d, 2d\) számok legyenek, szükséges, hogy a \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) számok legyenek a \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) egyenlet. Ezután Vieta tétele szerint: Írjuk át az egyenletet a formába \
és vegyünk két függvényt: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) és \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . Ahhoz, hogy az egyenletnek legalább egy megoldása legyen, szükséges, hogy a \(f\) és \(g\) függvények grafikonjainak legyen legalább egy metszéspontja. Ezért szüksége van: \
Ezt a rendszerkészletet megoldva a választ kapjuk: \\]
Válasz: \(a\in \(-2\)\pohár\) Ehhez használjon milliméterpapírt vagy grafikus számológépet. Válasszon ki tetszőleges számú független változó értéket x (\displaystyle x)és csatlakoztassa őket a függvényhez a függő változó értékeinek kiszámításához y (\displaystyle y). Ábrázolja a pontok talált koordinátáit a koordinátasíkon, majd kösse össze ezeket a pontokat a függvény grafikonjának elkészítéséhez. Ellenőrizze, hogy a függvény grafikonja szimmetrikus-e az Y tengelyre. A szimmetria a gráf ordinátához viszonyított tükörképe. Ha a grafikonnak az Y tengelytől jobbra eső része (a független változó pozitív értékei) megegyezik a grafikonnak az Y tengelytől balra eső részével (a független változó negatív értékei ), a grafikon szimmetrikus az Y tengelyre. Ha a függvény szimmetrikus az y tengelyre, akkor a függvény páros. Ellenőrizze, hogy a függvény grafikonja szimmetrikus-e az origóra. Az origó a (0,0) koordinátákkal rendelkező pont. Az eredet szimmetriája azt jelenti, hogy pozitív érték y (\displaystyle y)(pozitív értékkel x (\displaystyle x)) negatív értéknek felel meg y (\displaystyle y)(negatív értékkel x (\displaystyle x)), és fordítva. A páratlan függvényeknek szimmetriája van az origóval kapcsolatban. Ellenőrizze, hogy a függvény grafikonja rendelkezik-e szimmetriával. Az utolsó típusú függvény olyan függvény, amelynek gráfjában nincs szimmetria, vagyis nincs tükörkép sem az ordinátatengelyhez, sem az origóhoz viszonyítva. Például a függvény adott.
Tekintsük a \(f(x)=x^3-3x^2+4\) függvényt.
Tényezhető: \
Ezért a nullái: \(x=-1;2\) .
Ha megtaláljuk a \(f"(x)=3x^2-6x\) deriváltot, akkor két szélsőpontot kapunk: \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Ezért a grafikon így néz ki: 
Látjuk, hogy bármely vízszintes vonal \(y=k\) , ahol \(0
Tehát szüksége van: \[\begin(esetek) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Azt is azonnal jegyezzük meg, hogy ha a \(t_1\) és \(t_2\) számok különböznek, akkor a \(\log_(\sqrt2)t_1\) és \(\log_(\sqrt2)t_2\) eltérő, ami az egyenleteket jelenti \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)És \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) különböző gyökerei lesznek.
A \((**)\) rendszer a következőképpen írható át: \[\begin(esetek) 1
A gyökereket nem írjuk le kifejezetten.
Tekintsük a \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) függvényt. Grafikája egy felfelé ágazó parabola, amelynek két metszéspontja van az x tengellyel (ezt a feltételt az 1. bekezdésben írtuk le). Hogyan nézzen ki a grafikonja, hogy az x tengellyel való metszéspontok a \((1;4)\) intervallumban legyenek? Így: 
Először is a függvény \(g(1)\) és \(g(4)\) értékeinek az \(1\) és \(4\) pontokban pozitívnak kell lenniük, másodszor pedig a függvény csúcsának kell lennie. a \(t_0\ ) parabolának szintén a \((1;4)\) intervallumban kell lennie. Ezért felírhatjuk a rendszert: \[\begin(esetek) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
A \(g(x)\) függvény maximális pontja \(x=0\) (és \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Nulla derivált: \(x=0\) . Amikor \(x<0\)
имеем: \(g">0\) , \(x>0\) esetén: \(g"<0\)
.
Az \(f(x)\) függvény \(x>0\) esetén növekszik, \(x<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
Valójában, amikor \(x>0\) az első modul pozitívan fog megnyílni (\(|x|=x\)), ezért függetlenül attól, hogy a második modul hogyan nyílik meg, \(f(x)\) egyenlő lesz \(kx+A\)-ra, ahol \(A\) az \(a\) kifejezése, és \(k\) egyenlő vagy \(13-10=3\) vagy \(13+10) =23\) . Amikor \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
Keressük meg a \(f\) értékét a minimum pontban: \
