Hogyan lehet matematikai képleteket beszúrni egy webhelyre?
Ha valaha egy vagy két matematikai képletet kell hozzáadnia egy weboldalhoz, akkor ezt a cikkben leírtak szerint teheti meg a legegyszerűbben: a matematikai képleteket könnyen beillesztheti az oldalra képek formájában, amelyeket a Wolfram Alpha automatikusan generál. . Az egyszerűség mellett ez az univerzális módszer segít javítani a webhely láthatóságát a keresőmotorokban. Régóta működik (és szerintem örökké működni fog), de erkölcsileg már elavult.
Ha rendszeresen használ matematikai képleteket webhelyén, akkor azt javaslom, hogy használja a MathJax-ot – egy speciális JavaScript-könyvtárat, amely matematikai jelöléseket jelenít meg a webböngészőkben MathML, LaTeX vagy ASCIIMathML jelöléssel.
A MathJax használatának két módja van: (1) egy egyszerű kód segítségével gyorsan csatlakoztathat egy MathJax szkriptet a webhelyéhez, amely a megfelelő időben automatikusan betöltődik egy távoli szerverről (szerverek listája); (2) töltse le a MathJax szkriptet egy távoli szerverről a szerverére, és csatlakoztassa webhelye összes oldalához. A második módszer – bonyolultabb és időigényesebb – felgyorsítja az oldalad oldalainak betöltését, és ha a szülő MathJax szerver valamilyen okból átmenetileg elérhetetlenné válik, az semmilyen módon nem érinti a saját oldaladat. Ezen előnyök ellenére az első módszert választottam, mivel az egyszerűbb, gyorsabb és nem igényel technikai ismereteket. Kövesse a példámat, és mindössze 5 percen belül a MathJax összes funkcióját használhatja webhelyén.
A MathJax könyvtár szkriptjét távoli kiszolgálóról csatlakoztathatja a MathJax fő webhelyéről vagy a dokumentációs oldalon található két kódopció használatával:
Ezen kódopciók egyikét ki kell másolni és be kell illeszteni a weboldal kódjába, lehetőleg a címkék közé és közvetlenül a címke után. Az első opció szerint a MathJax gyorsabban tölt be és kevésbé lassítja az oldalt. De a második lehetőség automatikusan figyeli és betölti a MathJax legújabb verzióit. Ha beírja az első kódot, azt rendszeresen frissíteni kell. Ha beszúrja a második kódot, az oldalak lassabban töltődnek be, de nem kell folyamatosan figyelnie a MathJax frissítéseit.
A MathJax csatlakoztatásának legegyszerűbb módja a Blogger vagy a WordPress: a webhely vezérlőpultján adjon hozzá egy widgetet, amely harmadik fél JavaScript kódjának beillesztésére szolgál, másolja bele a fent bemutatott letöltési kód első vagy második verzióját, és helyezze közelebb a widgetet. a sablon elejére (egyébként ez egyáltalán nem szükséges , mivel a MathJax szkript aszinkron módon töltődik be). Ennyi. Most tanulja meg a MathML, a LaTeX és az ASCIIMathML jelölési szintaxisát, és készen áll arra, hogy matematikai képleteket szúrjon be webhelye weboldalaiba.
Bármely fraktál aszerint van megszerkesztve egy bizonyos szabály, amelyet korlátlan számú alkalommal egymás után alkalmaznak. Minden ilyen időt iterációnak nevezünk.
A Menger-szivacs elkészítésének iteratív algoritmusa meglehetősen egyszerű: az 1-es oldalú eredeti kockát a lapjaival párhuzamos síkok 27 egyenlő kockára osztják. Egy központi kockát és a lapok mentén szomszédos 6 kockát eltávolítanak róla. Az eredmény egy készlet, amely a maradék 20 kisebb kockából áll. Minden egyes kockával ugyanezt megtéve egy 400 kisebb kockából álló készletet kapunk. Ezt a folyamatot a végtelenségig folytatva egy Menger szivacsot kapunk.
Amelyek ilyen vagy olyan mértékben ismerősek voltak számodra. Ott is feljegyezték, hogy a funkciótulajdonságok állománya fokozatosan bővül. Ebben a részben két új ingatlanról lesz szó.
1. definíció.
Az y = f(x), x є X függvényt akkor is meghívjuk, ha az X halmaz bármely x értékére fennáll az f (-x) = f (x) egyenlőség.
2. definíció.
Az y = f(x), x є X függvényt páratlannak nevezzük, ha az X halmaz bármely x értékére teljesül az f (-x) = -f (x) egyenlőség.
Bizonyítsuk be, hogy y = x 4 páros függvény.
Megoldás. Van: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. De (-x) 4 = x 4. Ez azt jelenti, hogy bármely x-re teljesül az f(-x) = f(x) egyenlőség, azaz. a függvény páros.
Hasonlóan igazolható, hogy az y - x 2, y = x 6, y - x 8 függvények párosak.
Bizonyítsuk be, hogy y = x 3 ~ páratlan függvény.
Megoldás. Van: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. De (-x) 3 = -x 3. Ez azt jelenti, hogy bármely x-re teljesül az f (-x) = -f (x) egyenlőség, azaz. a függvény páratlan.
Hasonlóan igazolható, hogy az y = x, y = x 5, y = x 7 függvények páratlanok.
Ön és én már nem egyszer láthattuk, hogy a matematikában az új kifejezések leggyakrabban „földi” eredetűek, pl. valahogy megmagyarázhatók. Ez a helyzet a páros és a páratlan függvényeknél is. Lásd: y - x 3, y = x 5, y = x 7 - páratlan függvények, míg y = x 2, y = x 4, y = x 6 páros függvények. Általánosságban elmondható, hogy bármely y = x" alakú függvényre (az alábbiakban ezeket a függvényeket vizsgáljuk meg), ahol n egy természetes szám, arra a következtetésre juthatunk: ha n nem páros szám, akkor az y = x" függvény páratlan; ha n páros szám, akkor az y = xn függvény páros.
Vannak olyan függvények is, amelyek se nem párosak, se nem páratlanok. Ilyen például az y = 2x + 3 függvény. Valóban, f(1) = 5 és f (-1) = 1. Amint látható, itt tehát nem az f(-x) = azonosság f (x), sem az f(-x) = -f(x) azonosság.
Tehát egy függvény lehet páros, páratlan vagy egyik sem.
Annak a kérdésnek a tanulmányozása, hogy vajon adott funkciót páros vagy páratlan általában a paritás függvényének vizsgálata.
Az 1. és 2. definíció a függvény x és -x pontokban lévő értékeire vonatkozik. Ez feltételezi, hogy a függvény az x és a -x pontban is definiálva van. Ez azt jelenti, hogy az -x pont az x ponttal egyidejűleg a függvény definíciós tartományába tartozik. Ha egy X numerikus halmaz minden x elemével együtt az ellentétes -x elemet is tartalmazza, akkor X-et szimmetrikus halmaznak nevezzük. Tegyük fel, hogy (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) szimmetrikus halmazok, míg mivel y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 bármely x \ a [-1;1]-ben.
Az y=f(x), x \in X függvényt általában korlátosnak nevezzük, ha van olyan K > 0 szám, amelyre az egyenlőtlenség \left | f(x)\jobbra | \neq K bármely x \az X-ben.
Példa korlátos függvényre: y=\sin x a teljes számegyenesen korlátos, mivel \left | \sin x \jobbra | \neq 1 .
Növekvő és csökkentő funkcióEgy olyan függvényről szokás beszélni, amely a vizsgált intervallumon át növekszik, mint növekvő függvényként, ha nagyobb x érték felel meg az y=f(x) függvény nagyobb értékének. Ebből következik, hogy az x_(1) és x_(2) argumentum két tetszőleges értékét figyelembe véve a vizsgált intervallumból, ahol x_(1) > x_(2) az eredmény y(x_(1)) > y(x_(2)).
A vizsgált intervallumon csökkenő függvényt csökkenő függvénynek nevezzük, ha az x nagyobb értéke az y(x) függvény kisebb értékének felel meg. Ebből következik, hogy az x_(1) és x_(2) argumentum két tetszőleges értékét figyelembe véve a vizsgált intervallumból, ahol x_(1) > x_(2) az eredmény y(x_(1))< y(x_{2}) .
Egy függvény gyökének szokták nevezni azokat a pontokat, ahol az F=y(x) függvény metszi az abszcissza tengelyt (ezeket az y(x)=0 egyenlet megoldásával kapjuk meg).
a) Ha x > 0 esetén egy páros függvény nő, akkor x esetén csökken< 0
b) Ha egy páros függvény x > 0-nál csökken, akkor x-nél növekszik< 0
.png)
c) Ha egy páratlan függvény növekszik x > 0-nál, akkor x-nél is növekszik< 0
d) Ha egy páratlan függvény x > 0 esetén csökken, akkor x esetén is csökken< 0
.png)
Az y=f(x) függvény minimumpontját általában olyan x=x_(0) pontnak nevezzük, amelynek szomszédságában más pontok is lesznek (kivéve az x=x_(0) pontot), és ezekre az f() egyenlőtlenség. x ) > f(x_(0)) . y_(min) - a függvény kijelölése a min pontban.
Az y=f(x) függvény maximális pontját általában x=x_(0) pontnak nevezzük, amelyben a szomszédságában más pontok lesznek (kivéve az x=x_(0) pontot), és ezekre az egyenlőtlenség f(x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
ElőfeltételFermat tétele szerint: f"(x)=0, amikor az x_(0) pontban differenciálható f(x) függvénynek ebben a pontban szélsőértéke lesz.
Elegendő állapotA számítás lépései:
Egy függvény páratlansága és páratlansága az egyik fő tulajdonsága, és a paritás lenyűgöző szerepet tölt be iskolai tanfolyam a matematikában. Nagymértékben meghatározza a függvény viselkedését, és nagyban megkönnyíti a megfelelő gráf felépítését.
Határozzuk meg a függvény paritását. Általánosságban elmondható, hogy a vizsgált függvényt akkor is figyelembe kell venni, ha a definíciós tartományában található független változó (x) ellentétes értékei esetén megfelelő értékeket y (függvények) egyenlő lesz.
Adjunk egy szigorúbb definíciót. Tekintsünk néhány f (x) függvényt, amely a D tartományban van definiálva. Ez akkor is így lesz, ha bármely, a definíciós tartományban található x pontra:
- -x (ellenpont) is ebbe a körbe tartozik,
- f(-x) = f(x).
A fenti definícióból következik az ilyen függvény definíciós tartományához szükséges feltétel, nevezetesen a szimmetria az O ponthoz képest, amely a koordináták origója, hiszen ha valamelyik b pont benne van egy páros definíciós tartományában. függvényt, akkor a megfelelő b pont is ebben a tartományban található. A fentiekből tehát az következik: a páros függvénynek az ordináta tengelyére (Oy) szimmetrikus alakja van.
Hogyan határozzuk meg egy függvény paritását a gyakorlatban?
Adjuk meg a h(x)=11^x+11^(-x) képlettel. A definícióból közvetlenül következő algoritmust követve először annak definíciós tartományát vizsgáljuk. Nyilvánvalóan az argumentum összes értékére definiálva van, vagyis az első feltétel teljesül.
A következő lépés az (x) argumentum ellentétes értékének (-x) helyettesítése.
Kapunk:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Mivel az összeadás teljesíti a kommutatív (kommutatív) törvényt, nyilvánvaló, hogy h(-x) = h(x) és az adott funkcionális függés páros.
Ellenőrizzük a h(x)=11^x-11^(-x) függvény paritását. Ugyanezt az algoritmust követve azt kapjuk, hogy h(-x) = 11^(-x) -11^x. Kivéve a mínuszt, a végén megvan
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Ezért h(x) páratlan.
Emlékeztetni kell egyébként arra, hogy vannak olyan funkciók, amelyeket nem lehet e kritériumok szerint besorolni, sem párosnak, sem páratlannak.
Még a függvényeknek is van számos érdekes tulajdonsága:
- hasonló függvények hozzáadása eredményeként egy párost kapnak;
- az ilyen függvények kivonása eredményeképpen egy párost kapunk;
- páros, szintén páros;
- két ilyen függvény szorzásának eredményeképpen egy párost kapunk;
- a páratlan és páros függvények szorzása eredményeként egy páratlant kapunk;
- a páratlan és páros függvények felosztása eredményeként egy páratlant kapunk;
- egy ilyen függvény deriváltja páratlan;
- ha nem épít páros funkció négyzetre kiegyenlítjük.
Egy függvény paritása felhasználható egyenletek megoldására.
Egy olyan egyenlet megoldásához, mint a g(x) = 0, ahol az egyenlet bal oldala páros függvény, elég lesz megoldást találni a változó nemnegatív értékeire. Az egyenlet eredő gyökeit az ellenkező számokkal kell kombinálni. Egyikük ellenőrzés alatt áll.
Ezt sikeresen alkalmazzák egy paraméterrel kapcsolatos nem szabványos problémák megoldására is.
Például van-e olyan értéke az a paraméternek, amelyre a 2x^6-x^4-ax^2=1 egyenletnek három gyöke lesz?
Ha figyelembe vesszük, hogy a változó páros hatványokban lép be az egyenletbe, akkor egyértelmű, hogy az x - x -re cserélése nem változtatja meg az adott egyenletet. Ebből következik, hogy ha egy bizonyos szám a gyöke, akkor az ellenkező szám egyben gyöke is. A következtetés nyilvánvaló: egy egyenlet nullától eltérő gyökerei „párban” szerepelnek a megoldások halmazában.
Nyilvánvaló, hogy maga a szám nem 0, vagyis egy ilyen egyenlet gyökeinek száma csak páros lehet, és természetesen a paraméter egyetlen értékére sem lehet három gyöke.
De a 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 egyenlet gyökeinek száma páratlan lehet, és a paraméter tetszőleges értékéhez. Valójában könnyű ellenőrizni, hogy ennek az egyenletnek a gyökkészlete „párban” tartalmaz-e megoldásokat. Ellenőrizzük, hogy a 0 gyökér-e. Ha behelyettesítjük az egyenletbe, 2=2-t kapunk. Így a „páros” mellett a 0 is gyök, ami a páratlan számukat bizonyítja.
