Az f (x) függvény deriváltja az x0 pontban a határa (ha létezik) az x0 pontban lévő függvény növekményének az Δx argumentum növekményéhez viszonyított arányának, ha az argumentum növekménye nulla, és f '(x0) jelöli. A függvény deriváltjának megtalálását differenciálásnak nevezzük.
A függvény deriváltjának a következő fizikai jelentése van: a függvény deriváltja in adott pont- a függvény változási sebessége egy adott pontban.
A származék geometriai jelentése. A derivált az x0 pontban egyenlő az y=f(x) függvény grafikonjának érintőjének meredekségével ebben a pontban.
A származék fizikai jelentése. Ha egy pont az x tengely mentén mozog és a koordinátája az x(t) törvény szerint változik, akkor a pont pillanatnyi sebessége:
A differenciál fogalma, tulajdonságai. A megkülönböztetés szabályai. Példák.
Meghatározás. Egy függvény differenciálja egy adott x pontban a függvény növekményének fő, lineáris része. Az y = f(x) függvény differenciája egyenlő a deriváltjának és az x független változó növekményének szorzatával. (érv).
Így van írva:
vagy 
Vagy 
Differenciál tulajdonságok
A differenciál a deriválthoz hasonló tulajdonságokkal rendelkezik: 
TO a megkülönböztetés alapvető szabályai tartalmazza:
1) egy állandó tényezőt a derivált előjelén kívülre helyezni
2) összeg származéka, különbség származéka
3) a függvények szorzatának deriváltja
4) két függvény hányadosának deriváltja (tört deriváltja) 
Példák.
Bizonyítsuk be a képletet: A derivált definíciója szerint: 
A határértékre való áthaladás előjelén túl tetszőleges tényező is elvihető (ez a határ tulajdonságaiból ismert), ezért
Például: Keresse meg egy függvény deriváltját
Megoldás: Használjuk azt a szabályt, hogy a szorzót a derivált előjelén kívül helyezzük :
Gyakran először a differenciálható függvény formáját kell egyszerűsíteni ahhoz, hogy a deriválttáblázatot és a derivált keresési szabályokat használhassuk. A következő példák egyértelműen megerősítik ezt.
Differenciálási képletek. Differenciál alkalmazása közelítő számításokban. Példák.
A differenciál használata a közelítő számításokban lehetővé teszi, hogy különbséget használjon egy függvény értékeinek közelítésére.
Példák.
A differenciál segítségével számítson ki hozzávetőlegesen
Kiszámolni adott értéket alkalmazzuk a képletet az elméletből
Vezessünk be egy függvényt, és ábrázoljuk az adott értéket a formában
akkor számoljunk 
Ha mindent behelyettesítünk a képletbe, végül megkapjuk
Válasz: 
16. L'Hopital szabálya a 0/0 vagy ∞/∞ formájú bizonytalanságok közzétételére. Példák.
Két végtelenül kicsi vagy két végtelenül nagy mennyiség arányának határa megegyezik származékaik arányának határával. 
1) 
17. Növekvő és csökkentő funkció. A függvény szélsőértéke. Algoritmus egy függvény vizsgálatára monotonitásra és szélsőségre. Példák.
Funkció növeli egy intervallumon, ha ennek az intervallumnak a relációval összekötött bármely két pontjára az egyenlőtlenség igaz. Vagyis az argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg, és a grafikonja alulról felfelé halad. A bemutató funkció az időközönként növekszik
Ugyanígy a funkció csökken egy intervallumon, ha egy adott intervallum bármely két pontjára úgy, hogy az egyenlőtlenség igaz. Vagyis az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg, és a grafikonja „felülről lefelé” halad. A miénk időközönként csökken időközönként csökken 
.
Extrémek Egy pontot az y=f(x) függvény maximális pontjának nevezünk, ha az egyenlőtlenség igaz a közelében lévő összes x-re. A függvény értékét a maximum pontban hívjuk a funkció maximumaés jelölje.
Egy pontot az y=f(x) függvény minimumpontjának nevezünk, ha az egyenlőtlenség igaz a közelében lévő összes x-re. A függvény értékét a minimumpontban hívjuk minimális funkcióés jelölje.
Egy pont környékét intervallumnak kell tekinteni 
, ahol egy kellően kis pozitív szám.
A minimum és maximum pontokat szélsőpontoknak, a szélsőpontoknak megfelelő függvényértékeket pedig ún. a funkció szélsősége.
A funkció felfedezéséhez az egyhangúságra, használja a következő sémát:
- Keresse meg a függvény definíciós tartományát;
- Keresse meg a függvény deriváltját és a derivált definíciós tartományát;
- Keresse meg a derivált nulláit, pl. annak az argumentumnak az értéke, amelynél a derivált nullával egyenlő;
- Jelölje meg a számsugarakon közös rész egy függvény definíciós tartománya és származékának definíciós tartománya, és rajta - a derivált nullái;
- Határozza meg a derivált előjeleit az egyes kapott intervallumokon;
- A derivált előjeleivel határozza meg, hogy a függvény mely intervallumokon növekszik és melyiken csökken;
- Írja pontosvesszővel elválasztva a megfelelő intervallumokat!
Algoritmus az y = f(x) folytonos függvény vizsgálatára monotonitásra és szélsőségekre:
1) Határozzuk meg az f ′(x) deriváltot!
2) Keresse meg az y = f(x) függvény stacionárius (f ′(x) = 0) és kritikus (f ′(x) nem létezik) pontjait!
3) Állandó jelölés és kritikus pontok a számegyenesen, és határozzuk meg a derivált előjeleit a kapott intervallumokon.
4) vonjon le következtetéseket a függvény monotonitásáról és szélsőpontjairól!
18. A függvény konvexitása. Inflexiós pontok. Algoritmus egy függvény tanulmányozására konvexitásra (konkavitásra) Példák.
lefelé domború az X intervallumon, ha a gráfja az X intervallum bármely pontjában nem helyezkedik el alacsonyabban, mint a hozzá tartozó érintő.
A differenciálandó függvényt ún domború felfelé az X intervallumon, ha grafikonja nem helyezkedik el magasabban, mint az érintője az X intervallum bármely pontján.
A pontképletet ún a gráf inflexiós pontja függvény y=f(x), ha egy adott pontban van egy érintője a függvény grafikonjának (lehet párhuzamos az Oy tengellyel) és van olyan szomszédsága a képletpontnak, amelyen belül balra és jobbra az M pontból a függvény grafikonja különböző konvexitási irányú.
A konvexitás intervallumainak keresése:
Ha az y=f(x) függvénynek véges második deriváltja van az X intervallumon és ha fennáll az egyenlőtlenség 
(), akkor a függvény grafikonjának lefelé (felfelé) konvexitása van X-ben.
Ez a tétel lehetővé teszi, hogy megtalálja a függvény konkávsági és konvexitási intervallumát, csak az egyenlőtlenségeket kell megoldania, illetve az eredeti függvény definíciós tartományában.
Példa: Keresse meg az intervallumokat, amelyeken a függvény grafikonja. Találja ki azokat az intervallumokat, amelyeken a függvény grafikonja 
felfelé és lefelé irányuló konvexitása van. felfelé és lefelé irányuló konvexitása van.
Megoldás: Ennek a függvénynek a definíciós tartománya a valós számok teljes halmaza.
Keressük a második származékot.
A második derivált definíciós tartománya egybeesik az eredeti függvény definíciós tartományával, ezért a homorúság és a konvexitás intervallumainak megismeréséhez elegendő és ennek megfelelően megoldani. 
Következésképpen a függvény lefelé konvex az intervallumképletben és konvex felfelé az intervallumképletben.
19) A függvény aszimptotái. Példák.
Az egyenest ún függőleges aszimptota a függvény grafikonját, ha legalább az egyik határérték egyenlő vagy .
Megjegyzés. Egy egyenes nem lehet függőleges aszimptota, ha a függvény a pontban folytonos. Ezért függőleges aszimptotákat kell keresni a függvény szakadási pontjain.
Az egyenest ún vízszintes aszimptota a függvény grafikonja, ha a határértékek vagy legalább egyike egyenlő a .
Megjegyzés. Egy függvény grafikonjának csak jobb oldali vízszintes aszimptotája vagy csak bal oldala lehet.
Az egyenest ún ferde aszimptota függvénygrafikon ha
PÉLDA:
Gyakorlat. Keresse meg egy függvény gráfjának aszimptotáit 
Megoldás. Funkció hatóköre:
a) függőleges aszimptoták: egyenes vonal - függőleges aszimptota, mivel
b) vízszintes aszimptoták: a függvény határát a végtelenben találjuk:
vagyis nincsenek horizontális aszimptoták.
c) ferde aszimptoták:
Így a ferde aszimptota: .
Válasz. A függőleges aszimptota egyenes.
A ferde aszimptota egyenes.
20) Általános séma a függvény kutatása és a grafikon ábrázolása. Példa.
a.
Keresse meg a függvény ODZ és folytonossági pontjait.
b. Keresse meg a függvény grafikonjának a koordinátatengelyekkel való metszéspontjait!
2. Végezze el a függvény tanulmányozását az első derivált segítségével, azaz keresse meg a függvény szélsőpontjait és a növekedési és csökkenési intervallumokat!
3. Vizsgálja meg a függvényt a másodrendű derivált segítségével, azaz keresse meg a függvénygráf inflexiós pontjait, valamint konvexitása és konkávságának intervallumait!
4. Keresse meg a függvény grafikonjának aszimptotáit: a) függőleges, b) ferde!
5. A kutatás alapján készítse el a függvény grafikonját!
Ne feledje, hogy a grafikon ábrázolása előtt célszerű meghatározni, hogy egy adott függvény páros vagy páratlan.
Emlékezzünk vissza, hogy a függvény akkor is meghívásra kerül, ha az argumentum előjelének megváltoztatása nem változtatja meg a függvény értékét: f(-x) = f(x)és egy függvényt páratlannak nevezünk, ha f(-x) = -f(x).
Ebben az esetben elegendő a függvényt megvizsgálni, és a grafikonját at ábrázolni pozitív értékeket az ODZ-hez tartozó érvek. at negatív értékeket argumentum, a grafikon az alapján készül el, hogy for páros funkció a tengelyre szimmetrikus Oy, és az eredethez képest páratlan.
Példák. Fedezze fel a függvényeket, és készítse el grafikonjaikat.
Funkció Domain D(y)= (–∞; +∞). Nincsenek töréspontok.
Metszéspont a tengellyel Ökör: x = 0,y= 0.
A függvény páratlan, ezért csak az intervallumon vizsgálható
\[(x)"\left(t \right)=-((t)^(4))+4(t)^(3))-3((t)^(2))+5\]
Meg kell találnunk a deriváltot a 2. pontban. Helyettesítsük be:
\[(x)"\left(2 \right)=-((2)^(4))+4\cdot ((2)^(3))-3\cdot ((2)^(2)) +5=\]
\[=-16+32-12+5=9\]
Ennyi, megtaláltuk a végső választ. Összességében anyagi pontunk sebessége $t=2c$ időpontban 9 m/s lesz.
2. példa
Egy anyagi pont a törvény szerint mozog:
ahol $x$ a referenciaponttól mért távolság méterben, $t$ pedig az idő másodpercben, a mozgás kezdetétől mérve. Melyik időpontban volt a sebessége 3 m/s?
Nézze, legutóbb $v$-t kellett keresnünk 2 s-os időpontban, ezúttal pedig azt a pillanatot, amikor ez a sebesség 3 m/s. Azt mondhatjuk, hogy ismerjük a végső értéket, és ebből a végső értékből kell megtalálnunk a kezdeti értéket.
Először is keressük újra a származékot:
\[(x)"\left(t \right)=\frac(1)(3)\cdot 3((t)^(2))-4\cdot 2t+19\]
\[(x)"\left(t \right)=((t)^(2))-8t+19\]
Meg kell keresnünk, hogy mikor lesz a sebesség 3 m/s. Összeállítunk és megoldunk egy egyenletet, hogy megtaláljuk a derivált fizikai jelentését:
\[((t)^(2))-8t+19=3\]
\[((t)^(2))-8t+16=0\]
\[((\left(t-4 \right))^(2))=0\]
A kapott szám azt jelenti, hogy a fent leírt törvény szerint mozgó anyagi pont 4 s $v$ időpontjában pontosan 3 m/s lesz.
Kulcspontok
Befejezésül még egyszer térjünk át a mai feladat legfontosabb pontjára, nevezetesen a távolság sebességre és gyorsulásra való átváltásának szabályára. Tehát, ha a probléma közvetlenül leír nekünk egy törvényt, amely közvetlenül jelzi az anyagi pont és a referenciapont közötti távolságot, akkor ezen a képleten keresztül bármilyen pillanatnyi sebességet megtalálhatunk (ez csak egy derivált). És mi több, gyorsulást is találhatunk. A gyorsulás viszont egyenlő a sebesség deriváltjával, azaz. távolság második deriváltja. Az ilyen problémák meglehetősen ritkák, ezért ma nem foglalkoztunk velük. De ha a „gyorsulás” szót látja a feltételben, ne hagyja, hogy megijesszen, csak keressen egy másik származékot.
Remélem, hogy ez a lecke segít felkészülni a matematika egységes államvizsgára.
A matematikai problémák számos tudományban alkalmazhatók. Ide tartozik nemcsak a fizika, a kémia, a technológia és a közgazdaságtan, hanem az orvostudomány, az ökológia és más tudományok is. Az egyik fontos fogalom, amelyet el kell sajátítani a fontos dilemmák megoldásához, a függvény deriváltja. Fizikai jelentését egyáltalán nem olyan nehéz megmagyarázni, mint amilyennek tűnhet azoknak, akik nem ismerik a kérdés lényegét. Elég, ha erre megfelelő példákat találunk igazi életetés hétköznapi helyzetekben. Valójában minden autós hasonló feladattal birkózik meg minden nap, amikor ránéz a sebességmérőre, és meghatározza autója sebességét egy adott pillanatban. Hiszen éppen ez a paraméter tartalmazza a származék fizikai jelentésének lényegét.
Hogyan lehet megtalálni a sebességet
Bármely ötödik osztályos tanuló könnyen meg tudja határozni az úton haladó személy sebességét, ismerve a megtett távolságot és az utazási időt. Ehhez el kell osztani a megadott értékek közül az elsőt a másodikkal. De ezt nem minden fiatal matematikus tudja pillanatnyilag megkeresi egy függvény és argumentuma növekményeinek arányát. Valóban, ha a mozgást grafikon formájában képzeli el, az utat az ordináta tengelye és az időt az abszcissza mentén ábrázolva, akkor pontosan így lesz.
A gyalogos vagy bármely más objektum sebessége azonban, amelyet az út nagy szakaszán, a mozgást egyenletesnek tekintve határozunk meg, változhat. A fizikában számos mozgásforma ismert. Nemcsak állandó gyorsulással fordulhat elő, hanem tetszőleges módon lassulhat és nőhet is. Megjegyzendő, hogy ben ebben az esetben a mozgást leíró vonal többé nem lesz egyenes. Grafikailag a legbonyolultabb konfigurációkat is fel tudja venni. De a grafikon bármelyik pontjához mindig rajzolhatunk egy érintőt, amelyet lineáris függvénnyel ábrázolunk.
Az elmozdulás időtől függő változásának paraméterének tisztázásához szükséges a mért szakaszok lerövidítése. Amikor végtelenül kicsivé válnak, a számított sebesség pillanatnyi lesz. Ez a tapasztalat segít meghatározni a származékot. Fizikai jelentése is logikusan következik az ilyen érvelésből.
Geometriai szempontból
Ismeretes, hogy minél nagyobb a test sebessége, annál meredekebb az elmozdulás időtől való függésének grafikonja, és ezáltal a grafikon érintőjének dőlésszöge egy bizonyos ponton. Az ilyen változások mutatója lehet az abszcissza tengelye és az érintővonal közötti szög érintője. Pontosan ez határozza meg a derivált értékét, és az ellentét és a szomszédos oldal hosszának arányából számítják ki. derékszögű háromszög, amelyet egy bizonyos pontból az abszcissza tengelyére ejtett merőleges alkot.
Ez van geometriai jelentése első származéka. A fizikai abban mutatkozik meg, hogy a szemközti oldal értéke esetünkben a megtett távolságot, a szomszédos pedig az időt jelenti. Ebben az esetben arányuk a sebesség. És ismét arra a következtetésre jutunk, hogy a pillanatnyi sebesség, amelyet akkor határoznak meg, amikor mindkét intervallum végtelenül kicsire hajlamos, a lényeg, jelzi annak fizikai jelentését. Második derivált in ebben a példában a test gyorsulása lesz, ami viszont a sebesség változásának mértékét mutatja.
Példák származékok megtalálására a fizikában
A derivált bármely függvény változási sebességének mutatója, még akkor is, ha nem a szó szó szerinti értelmében vett mozgásról beszélünk. Ennek egyértelmű bemutatása érdekében álljon itt néhány konkrét példák. Tegyük fel, hogy az áramerősség időtől függően változik a következő törvény szerint: én= 0,4t 2 . Meg kell találni annak a sebességnek az értékét, amellyel ez a paraméter változik a folyamat 8. másodpercének végén. Figyeljük meg, hogy maga a kívánt érték, amint az egyenletből megítélhető, folyamatosan növekszik.
A megoldáshoz meg kell találni az első származékot, amelynek fizikai jelentését korábban tárgyaltuk. Itt dI/ dt = 0,8 t. Legközelebb a címen találjuk meg t=8 , azt találjuk, hogy az aktuális változások sebessége egyenlő 6,4 A/ c. Itt úgy tekintjük, hogy az áramerősséget amperben mérik, és ennek megfelelően az időt másodpercben.
Minden változtatható
Látható a minket körülvevő világot, amely anyagból áll, folyamatosan változásokon megy keresztül, lévén a benne lezajló különféle folyamatok mozgásában. Ezek leírására többféle paraméter használható. Ha függőség egyesíti őket, akkor matematikailag olyan függvény formájában vannak felírva, amely egyértelműen mutatja a változásaikat. És ahol mozgás van (bármilyen formában fejezzük is ki), ott van egy származék is, aminek a fizikai jelentését jelen pillanatban vizsgáljuk.
Erről következő példa. Tegyük fel, hogy a testhőmérséklet a törvény szerint változik T=0,2 t 2 . A felmelegedés mértékét a 10. másodperc végén kell megtalálnia. A probléma megoldása az előző esetben leírthoz hasonló módon történik. Vagyis megkeressük a deriváltot és behelyettesítjük az értékkel t= 10 , megkapjuk T= 0,4 t= 4. Ez azt jelenti, hogy a végső válasz 4 fok/másodperc, vagyis pontosan ilyen sebességgel megy végbe a fűtési folyamat és a fokban mért hőmérsékletváltozás.
Gyakorlati problémák megoldása
Természetesen a való életben minden sokkal bonyolultabb lehet, mint az elméleti problémákban. A gyakorlatban a mennyiségek értékét általában egy kísérlet során határozzák meg. Ebben az esetben olyan műszereket használnak, amelyek bizonyos hibával adnak leolvasást a mérések során. Ezért a számítás során foglalkoznia kell a paraméterek hozzávetőleges értékeivel, és a kényelmetlen számok kerekítéséhez, valamint egyéb egyszerűsítésekhez kell folyamodnia. Ezt figyelembe véve térjünk át ismét a származék fizikai jelentésével kapcsolatos problémákra, figyelembe véve, hogy ezek csak néhány matematikai modell a természetben előforduló összetett folyamatok.
Vulkánkitörés
Képzeljük el, hogy egy vulkán kitör. Mennyire lehet veszélyes? Ennek a kérdésnek a tisztázásához számos tényezőt kell figyelembe venni. Igyekszünk ezek közül egyet figyelembe venni.
A „tűzszörny” szájából a köveket függőlegesen felfelé dobják, kezdeti sebességgel a kilépés pillanatától kezdve ki kell számítani, hogy mekkora maximális magasságot érhetnek el.
A kívánt érték meghatározásához felállítjuk a H magasság méterben mért függésének egyenletét más értékektől. Ide tartozik a kezdeti sebesség és az idő. A gyorsulási értéket ismertnek tekintjük, és megközelítőleg 10 m/s 2 -nek tekintjük.
Részleges derivált
Nézzük most egy függvény deriváltjának fizikai jelentését egy kicsit más szögből, mert maga az egyenlet nem is egy, hanem több változót is tartalmazhat. Például az előző feladatban a vulkán kráteréből kilökődő kövek emelkedési magasságának függését nemcsak az időbeli jellemzők változása, hanem az érték is meghatározta. kezdeti sebesség. Ez utóbbit állandó, fix értéknek tekintették. De más problémáknál, amelyek teljesen más feltételekkel járnak, minden más lehet. Ha a mennyiségek, amelyektől függ összetett funkció, több, a számításokat az alábbi képletek szerint végezzük.
A gyakori származék fizikai jelentését a szokásos esetben kell meghatározni. Ez egy függvény változásának sebessége egy bizonyos ponton, ahogy a változó paramétere nő. Kiszámítása úgy történik, hogy az összes többi komponenst állandónak vesszük, csak az egyiket tekintjük változónak. Ezután minden a szokásos szabályok szerint történik.
A származék fizikai jelentését megértve nem nehéz olyan bonyolult és összetett problémák megoldására példákat hozni, amelyekre ilyen ismeretek birtokában meg lehet találni a választ. Ha van egy függvényünk, amely az autó sebességétől függően írja le az üzemanyag-fogyasztást, akkor kiszámolhatjuk, hogy ez utóbbinak mely paramétereinél lesz a legkisebb a benzinfogyasztás.
Az orvostudományban megjósolható, hogyan reagál az ember emberi test orvos által felírt gyógyszeren. A gyógyszer bevétele számos fiziológiai mutatót befolyásol. Ezek közé tartoznak a változások vérnyomás, pulzus, testhőmérséklet és még sok más. Mindegyik a bevett adagtól függ gyógyszer. Ezek a számítások segítenek megjósolni a kezelés lefolyását, mind a kedvező megnyilvánulások, mind a nemkívánatos események esetében, amelyek végzetesen befolyásolhatják a páciens testében bekövetkező változásokat.
Kétségtelenül fontos megérteni a származék fizikai jelentését műszaki kérdésekben, különösen az elektrotechnikában, az elektronikában, a tervezésben és a kivitelezésben.
Féktávolság
Nézzük a következő problémát. Az állandó sebességgel haladó autó a hídhoz közeledve 10 másodperccel a bejárat előtt fékezni kényszerült, mivel a sofőr észrevette útjelzés, amely megtiltja a 36 km/h-nál nagyobb sebességgel történő mozgást. Megszegte-e a szabályokat a sofőr, ha a fékútja az S = 26t - t 2 képlettel írható le?
Az első derivált kiszámítása után a sebesség képletét kapjuk, v = 28 - 2t. Ezután a t=10 értéket behelyettesítjük a jelzett kifejezésbe.
Mivel ez az érték másodpercben volt kifejezve, a sebesség 8 m/s, ami 28,8 km/h-t jelent. Ez lehetővé teszi annak megértését, hogy a sofőr időben kezdett el fékezni, és nem szegte meg a KRESZ-t, így a táblán feltüntetett sebességkorlátozást.
Ez bizonyítja a származék fizikai jelentésének fontosságát. A probléma megoldásának egy példája jól mutatja ennek a fogalomnak az élet különböző területein való széles körű használatát. A mindennapi helyzetekben is.
Származék a közgazdaságtanban
A 19. századig a közgazdászok főként átlagokkal operáltak, legyen szó munkatermelékenységről vagy az előállított termékek áráról. Egy ponton azonban a határértékek egyre inkább szükségessé váltak a hatékony előrejelzések készítéséhez ezen a területen. Ezek magukban foglalhatják a határhasznot, a bevételt vagy a költségeket. Ennek megértése lendületet adott a gazdaságkutatás egy teljesen új, több mint száz éve létező és fejlődő eszközének megalkotásához.
Az ilyen számítások elkészítéséhez, ahol a minimum és maximum fogalmak dominálnak, egyszerűen meg kell érteni a származék geometriai és fizikai jelentését. Az alkotók között elméleti alapja E tudományágak közé tartoznak olyan kiemelkedő angol és osztrák közgazdászok, mint W. S. Jevons, K. Menger és mások. Természetesen nem mindig kényelmes a határértékek használata a gazdasági számításokban. És például a negyedéves jelentések nem feltétlenül illeszkednek a meglévő rendszerbe, de ennek ellenére sok esetben hasznos és hatékony egy ilyen elmélet alkalmazása.
