A Cybercube az első lépés a negyedik dimenzióba. Négydimenziós kocka 4 dimenziós kocka gif

Amint a műtét után előadásokat tarthattam, a hallgatók első kérdése a következő volt:

Mikor rajzolsz nekünk egy 4 dimenziós kockát? Ilyas Abdulkhaevich megígérte nekünk!

Emlékszem, hogy kedves barátaim néha szeretik a matematikai oktatási tevékenységek pillanatait. Ezért a matematikusoknak szóló előadásom egy részét ide írom. És megpróbálom anélkül, hogy unalmas lennék. Néhol persze szigorúbban olvastam az előadást.

Először egyezzünk meg. A 4-dimenziós, még inkább az 5-6-7- és általában a k-dimenziós tér nem adatik meg számunkra az érzékszervi érzetekben.
„Nyomorultak vagyunk, mert csak háromdimenziósak vagyunk” – mondta a vasárnapi iskolai tanárom, aki először mondta el, mi az a 4 dimenziós kocka. A vasárnapi iskola természetesen rendkívül vallásos volt – matematikai. Akkoriban hiperkockákat tanultunk. Egy héttel előtte matematikai indukció, egy héttel utána Hamilton-ciklusok grafikonon - ennek megfelelően ez a 7. osztály.

Egy 4 dimenziós kockát nem tudunk megérinteni, szagolni, hallani vagy látni. Mit tehetünk vele? El tudjuk képzelni! Mert az agyunk sokkal összetettebb, mint a szemünk és a kezünk.

Tehát, hogy megértsük, mi az a 4 dimenziós kocka, először értsük meg, mi áll rendelkezésünkre. Mi az a 3 dimenziós kocka?

Oké, oké! Nem kérek egyértelmű matematikai definíciót. Képzelje csak el a legegyszerűbb és legközönségesebb háromdimenziós kockát. Bemutatták?

Finom.
Ahhoz, hogy megértsük, hogyan lehet egy 3-dimenziós kockát 4-dimenziós térré általánosítani, nézzük meg, mi az a 2-dimenziós kocka. Annyira egyszerű – ez egy négyzet!

Egy négyzetnek 2 koordinátája van. A kockában három van. A négyzetpontok két koordinátájú pontok. Az első 0-tól 1-ig. A második pedig 0-tól 1-ig. A kocka pontjainak három koordinátája van. És mindegyik tetszőleges szám 0-tól 1-ig.

Logikus elképzelni, hogy egy 4 dimenziós kocka olyan dolog, amelynek 4 koordinátája van, és minden 0-tól 1-ig van.

/* Azonnal logikus elképzelni egy 1 dimenziós kockát, ami nem más, mint egy egyszerű szegmens 0-tól 1-ig. */

Szóval, várj, hogyan rajzolhatsz 4 dimenziós kockát? Hiszen nem rajzolhatunk 4 dimenziós teret síkra!
De a 3 dimenziós teret sem síkra rajzoljuk, hanem megrajzoljuk vetítés 2 dimenziós rajzsíkra. A harmadik koordinátát (z) szögben helyezzük el, elképzelve, hogy a rajzsík tengelye „felénk” megy.

Most már teljesen világos, hogyan kell 4-dimenziós kockát rajzolni. Ugyanúgy, ahogy a harmadik tengelyt egy bizonyos szögbe pozícionáltuk, vegyük a negyedik tengelyt, és helyezzük el egy bizonyos szögbe.
És - íme! -- 4 dimenziós kocka síkra vetítése.

Mi? Amúgy mi ez? Mindig hallok suttogást a hátsó asztalok felől. Hadd fejtsem ki részletesebben, mi ez a sorok zűrzavara.
Először nézze meg a háromdimenziós kockát. Mit csináltunk? Felvettük a négyzetet, és a harmadik tengely (z) mentén húztuk. Mintha sok-sok papírnégyzet egy kötegbe van összeragasztva.
Ugyanez a helyzet egy 4 dimenziós kockával. Nevezzük a negyedik tengelyt a kényelem és a sci-fi kedvéért „időtengelynek”. Vegyünk egy közönséges háromdimenziós kockát, és húzzuk át az időben a „most” időponttól az „egy óra múlva” időpontig.

Van egy "most" kockánk. A képen rózsaszín.

És most húzzuk a negyedik tengely mentén - az időtengely mentén (zölddel mutattam). És megkapjuk a jövő kockáját – a kéket.

A „kocka most” minden csúcsa nyomot hagy az időben – egy szakaszt. Összekapcsolja a jelenét a jövőjével.

Röviden, dalszöveg nélkül: rajzoltunk két egyforma 3 dimenziós kockát, és összekapcsoltuk a megfelelő csúcsokat.
Pontosan úgy, mint egy 3-dimenziós kockával (rajzolj 2 egyforma 2-dimenziós kockát, és kösd össze a csúcsokat).

Egy 5 dimenziós kocka rajzolásához meg kell rajzolnia egy 4 dimenziós kocka két másolatát (egy 4 dimenziós kocka ötödik koordinátájával 0 és egy 4 dimenziós kocka ötödik koordinátájával 1), és összekötnie kell a megfelelő csúcsokat élekkel. Igaz, akkora zűrzavar lesz a síkon, hogy szinte lehetetlen lesz bármit is megérteni.

Miután elképzeltünk egy 4 dimenziós kockát, sőt meg is tudtuk rajzolni, többféleképpen is felfedezhetjük. Emlékezzen arra, hogy fejben és a kép alapján is felfedezze.
Például. Egy 2-dimenziós kockát 4 oldalról 1-dimenziós kockák határolnak. Ez logikus: mind a 2 koordinátának van kezdete és vége is.
Egy 3-dimenziós kockát 6 oldalról 2-dimenziós kockák határolnak. Mindhárom koordinátának van eleje és vége.
Ez azt jelenti, hogy egy 4-dimenziós kockát nyolc 3-dimenziós kockával kell korlátozni. Mind a 4 koordinátához - mindkét oldalon. A fenti ábrán jól látható 2 arc, amelyek az „idő” koordináta mentén korlátozzák.

Itt van két kocka (enyhén ferdék, mert 2 dimenziójuk van a síkra vetítve szögben), ami a bal és jobb oldalon korlátozza a hiperkockánkat.

Könnyen észrevehető a „felső” és az „alsó” is.

A legnehezebb vizuálisan megérteni, hol van az „elöl” és a „hátul”. Az elülső a „kocka most” elülső szélétől kezdődik, és a „jövő kocka” elülső éléig - piros. A hátsó rész lila.

Ezeket a legnehezebb észrevenni, mert más kockák összegabalyodnak a lábuk alatt, ami a hiperkockát egy másik vetített koordinátán korlátozza. De vegye figyelembe, hogy a kockák még mindig mások! Ismét itt a kép, ahol a „most kockája” és a „jövő kockája” van kiemelve.

Természetesen lehetőség van 4 dimenziós kockát 3 dimenziós térbe vetíteni.
Az első lehetséges térmodell egyértelmű, hogy hogyan néz ki: ki kell venni 2 kockakeretet, és a hozzájuk tartozó csúcsokat egy új éllel összekötni.
Jelenleg nincs raktáron ez a modell. Az előadáson egy 4 dimenziós kocka kicsit más 3 dimenziós modelljét mutatom be a hallgatóknak.

Tudod, hogyan vetítenek ki egy kockát egy ilyen síkra.
Mintha felülről néznénk egy kockát.

A közeli széle természetesen nagy. És a távoli széle kisebbnek tűnik, a közelien keresztül látjuk.

Így vetíthet ki egy 4 dimenziós kockát. A kocka most nagyobb, a távolban látjuk a jövő kockáját, így kisebbnek tűnik.

A másik oldalon. A felső oldalról.

Közvetlenül a perem felől:

A borda felől:

És az utolsó szög, aszimmetrikus. A „Mondd el, hogy a bordái közé néztem” részben.

Hát akkor bármit kitalálhatsz. Például ahogy van egy 3 dimenziós kocka fejlesztése egy síkra (ez olyan, mintha kivágnánk egy papírlapot úgy, hogy összehajtva egy kockát kapunk), ugyanez történik egy 4 dimenziós kocka fejlesztésével is. tér. Ez olyan, mintha egy fadarabot vágnánk úgy, hogy 4 dimenziós térben összehajtva egy tesseraktet kapunk.

Nem csak egy 4-dimenziós, hanem általában az n-dimenziós kockákat is tanulmányozhat. Például igaz, hogy egy n-dimenziós kocka köré körülírt gömb sugara kisebb, mint ennek a kockának a széle? Vagy itt van egy egyszerűbb kérdés: hány csúcsa van egy n-dimenziós kockának? Hány él (1-dimenziós lapok)?

Hiperkocka és plátói szilárdtestek

Modellezzünk egy csonka ikozaédert („futballlabdát”) a „Vektor” rendszerben
amelyben minden ötszöget hatszögek határolnak

Csonka ikozaéderúgy érhető el, hogy 12 csúcsot levágunk, hogy szabályos ötszög alakú lapokat képezzünk. Ebben az esetben az új poliéder csúcsainak száma 5-szörösére nő (12×5=60), 20 háromszöglap szabályos hatszöggé változik (összesen arcok 20+12=32 lesznek), A az élek száma 30+12×5=90-re nő.

Csonka ikozaéder felépítésének lépései a Vector rendszerben

Ábrák 4 dimenziós térben.

--à

--à ?

Például adott egy kockát és egy hiperkockát. Egy hiperkockának 24 lapja van. Ez azt jelenti, hogy egy 4 dimenziós oktaédernek 24 csúcsa lesz. Bár nem, egy hiperkockának 8 kockája van – mindegyiknek van egy középpontja a csúcsán. Ez azt jelenti, hogy egy 4 dimenziós oktaédernek 8 csúcsa lesz, ami még világosabb.

4 dimenziós oktaéder. Nyolc egyenlő oldalú és egyenlő tetraéderből áll,
minden csúcson négy köti össze.

Rizs. Kísérlet a szimulációra
hiperszféra-hiperszféra a Vector rendszerben

Elülső - hátsó felületek - golyók torzítás nélkül. További hat golyó határozható meg ellipszoidokon vagy négyzetes felületeken (4 kontúrvonalon keresztül generátorként) vagy lapokon keresztül (először generátorokon keresztül).

További technikák a hiperszféra „építésére”.
- ugyanaz a „futballlabda” 4 dimenziós térben

2. függelék

A konvex poliédereknél van egy tulajdonság, amely összefügg a csúcsok, élek és lapok számával, amelyet 1752-ben Leonhard Euler bizonyított, és ezt Euler-tételnek nevezik.

A megfogalmazás előtt vegyük figyelembe az általunk ismert poliédereket, és töltsük ki a következő táblázatot, amelyben B az adott poliéder csúcsainak, P - éleinek és G - lapjainak száma:

Poliéder név
Háromszög alakú piramis
Négyszögletű piramis
Háromszög alakú prizma
Négyszögletű prizma
n-szénpiramis	n+1	2n	n+1
n-szén prizma	2n	3n	n+2
n-szén csonka piramis	2n	3n	n+2

Ebből a táblázatból azonnal kiderül, hogy minden kiválasztott poliéderre érvényes a B - P + G = 2 egyenlőség. Kiderül, hogy ez az egyenlőség nem csak ezekre a poliéderekre érvényes, hanem egy tetszőleges konvex poliéderre is.

Euler-tétel. Bármely konvex poliéderre érvényes az egyenlőség

B - P + G = 2,

ahol B a csúcsok száma, P az élek száma és G az adott poliéder lapjainak száma.

Bizonyíték. Ennek az egyenlőségnek a bizonyítására képzeljük el ennek a poliédernek a rugalmas anyagból készült felületét. Távolítsuk el (vágjuk ki) az egyik lapját, és a maradék felületet nyújtsuk síkra. Kapunk egy sokszöget (amelyet a poliéder eltávolított lapjának élei alkotnak), amelyet kisebb sokszögekre osztanak (amelyeket a poliéder fennmaradó lapjai alkotnak).

Ne feledje, hogy a sokszögek oldalai deformálhatók, nagyíthatók, kicsinyíthetők vagy akár görbíthetők is, mindaddig, amíg nincsenek hézagok az oldalakon. A csúcsok, élek és lapok száma nem változik.

Bizonyítsuk be, hogy a sokszög eredményül kapott felosztása kisebb sokszögekre kielégíti az egyenlőséget

(*)B - P + G " = 1,

ahol B a csúcsok teljes száma, P az élek teljes száma és Г " a partícióban lévő sokszögek száma. Nyilvánvaló, hogy Г " = Г - 1, ahol Г az adott lapok száma poliéder.

Bizonyítsuk be, hogy a (*) egyenlőség nem változik, ha egy adott partíció valamelyik sokszögébe átlót húzunk (5. ábra, a). Valójában egy ilyen átló megrajzolása után az új partíciónak B csúcsa, P+1 éle lesz, és a sokszögek száma eggyel nő. Ezért van

B - (P + 1) + (G "+1) = B - P + G " .

Ezt a tulajdonságot felhasználva olyan átlókat rajzolunk, amelyek a bejövő sokszögeket háromszögekre bontják, és a kapott partícióra megmutatjuk az egyenlőség (*) megvalósíthatóságát (5. ábra, b). Ehhez egymás után eltávolítjuk a külső éleket, csökkentve a háromszögek számát. Ebben az esetben két eset lehetséges:

a) háromszög eltávolítására ABC esetünkben két bordát kell eltávolítani ABÉs i.e.;

b) háromszög eltávolításaMKNesetünkben az egyik élt el kell távolítaniMN.

Az egyenlőség (*) mindkét esetben nem változik. Például az első esetben a háromszög eltávolítása után a gráf B - 1 csúcsokból, P - 2 élekből és G " - 1 sokszögből áll:

(B - 1) - (P + 2) + (G " - 1) = B - P + G".

Tekintse meg a második esetet.

Így egy háromszög eltávolítása nem változtatja meg a (*) egyenlőséget. Folytatva a háromszögek eltávolításának folyamatát, végül eljutunk egy olyan partícióhoz, amely egyetlen háromszögből áll. Egy ilyen partícióra B = 3, P = 3, Г " = 1, és ezért B – Р + Г " = 1. Ez azt jelenti, hogy a (*) egyenlőség az eredeti partícióra is érvényes, amiből végül azt kapjuk, hogy a sokszög egyenlőség (*) erre a partíciójára igaz. Így az eredeti konvex poliéderre igaz a B - P + G = 2 egyenlőség.

Példa egy poliéderre, amelyre az Euler-reláció nem érvényes, Ennek a poliédernek 16 csúcsa, 32 éle és 16 lapja van. Így erre a poliéderre a B – P + G = 0 egyenlőség érvényes.

3. függelék.

A Film Cube 2: Hypercube sci-fi film, a Kocka című film folytatása.

Nyolc idegen ébred fel kocka alakú szobákban. A szobák egy négydimenziós hiperkockában helyezkednek el. A szobák folyamatosan mozognak a „kvantum teleportáción” keresztül, és ha bemászunk a következő szobába, nem valószínű, hogy visszatérünk az előzőhöz. A hiperkockában párhuzamos világok metszik egymást, egyes helyiségekben másképp telik az idő, egyes helyiségek pedig halálcsapdák.

A film cselekménye nagyrészt megismétli az első rész történetét, ami néhány szereplő képében is megmutatkozik. A Nobel-díjas Rosenzweig, aki kiszámolta a hiperkocka pusztulásának pontos idejét, a hiperkocka helyiségeiben hal meg..

Kritika

Ha az első részben egy labirintusban raboskodó emberek próbáltak segíteni egymásnak, akkor ebben a filmben mindenki a magaért. Rengeteg felesleges speciális effektus (más néven csapda) van, amelyek semmilyen logikailag nem kötik össze a filmnek ezt a részét az előzővel. Azaz kiderül, hogy a Kocka 2 című film a jövő 2020-2030 egyfajta labirintusa, de nem 2000. Az első részben elméletileg mindenféle csapdát létrehozhat az ember. A második részben ezek a csapdák valamiféle számítógépes program, az úgynevezett „virtuális valóság”.

A Tesseract (az ógörögül τέσσερες ἀκτῖνες - négy sugár) egy négydimenziós hiperkocka - a négydimenziós térben lévő kocka analógja.

A kép egy négydimenziós kocka vetülete (perspektívája) háromdimenziós térre.

Az Oxford Dictionary szerint a "tesseract" szót Charles Howard Hinton (1853–1907) találta ki és használta 1888-ban A New Age of Thought című könyvében. Később néhányan ugyanazt a figurát "tetracube"-nak nevezték.

Geometria

Az euklideszi négydimenziós tér közönséges tesseraktumát pontok (±1, ±1, ±1, ±1) konvex héjaként határozzuk meg. Más szavakkal, a következő halmazként ábrázolható:

A tesseraktot nyolc hipersík határolja, amelyeknek a tesserakttal való metszéspontja határozza meg a háromdimenziós lapjait (amelyek közönséges kockák). A nem párhuzamos 3D-s lapok mindegyike 2D-s lapokat (négyzeteket) alkot, és így tovább. Végül a tesseraktnak 8 3D lapja, 24 2D lapja, 32 éle és 16 csúcsa van.

Népszerű leírás

Próbáljuk elképzelni, hogyan fog kinézni egy hiperkocka anélkül, hogy elhagyná a háromdimenziós teret.

Egy egydimenziós „térben” - egy egyenesen - kiválasztunk egy L hosszúságú AB szakaszt. Az AB-tól L távolságra lévő kétdimenziós síkon rajzolunk vele párhuzamos DC szakaszt, és összekötjük a végeit. Az eredmény egy ABCD négyzet. Ezt a műveletet a síkkal megismételve egy ABCDHEFG háromdimenziós kockát kapunk. És ha a negyedik dimenzióban (az első háromra merőlegesen) eltoljuk a kockát L távolsággal, megkapjuk az ABCDEFGHIJKLMNOP hiperkockát.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

Az AB egydimenziós szakasz az ABCD kétdimenziós négyzet oldalaként, a négyzet pedig az ABCDHEFG kocka oldalaként szolgál, ami viszont a négydimenziós hiperkocka oldala lesz. Egy egyenes szakasznak két határpontja van, a négyzetnek négy, a kockának nyolc csúcsa van. Egy négydimenziós hiperkockában így 16 csúcs lesz: 8 csúcsa az eredeti kockának és 8 a negyedik dimenzióban eltoltnak. 32 éle van - 12 az eredeti kocka kezdeti és végső helyzetét adja meg, további 8 él pedig „rajzolja” a nyolc csúcsát, amelyek a negyedik dimenzióba kerültek. Ugyanez az érvelés elvégezhető egy hiperkocka arcára is. A kétdimenziós térben csak egy van (maga a négyzet), egy kockának 6 van (az áthelyezett négyzetből két lap és további négy, amelyek az oldalait írják le). Egy négydimenziós hiperkockának 24 négyzetlapja van – az eredeti kocka 12 négyzete két pozícióban és 12 négyzet a tizenkét élétől.

Hasonló módon folytathatjuk okoskodásunkat a nagyobb dimenziójú hiperkockákkal kapcsolatban, de sokkal érdekesebb látni, hogyan fog kinézni nekünk, a háromdimenziós tér lakóinak egy négydimenziós hiperkocka. Ehhez a már ismert analógiás módszert fogjuk használni.

Tesseact kicsomagolás

Vegyük az ABCDHEFG drótkockát, és nézzük meg félszemmel a széle felől. A síkon két négyzetet fogunk látni és rajzolni (közeli és távoli élét), amelyeket négy vonal köt össze - oldalélek. Hasonlóképpen, egy négydimenziós hiperkocka háromdimenziós térben úgy fog kinézni, mint két köbös „doboz”, amelyeket egymásba helyeznek, és nyolc éllel vannak összekötve. Ebben az esetben maguk a „dobozok” - háromdimenziós arcok - kivetülnek a „mi” terünkre, és az őket összekötő vonalak a negyedik dimenzióban nyúlnak ki. Megpróbálhatja azt is, hogy a kockát nem vetítésben, hanem térbeli képben képzelje el.

Ahogy a háromdimenziós kockát egy négyzet alkotja, amelyet a lapja hosszával eltolunk, a negyedik dimenzióba eltolt kocka hiperkockát alkot. Nyolc kocka korlátozza, amelyek távlatilag meglehetősen összetett figurának tűnnek. A „mi” terünkben maradó részt folytonos vonalakkal, a hipertérbe került részt szaggatott vonallal húzzuk meg. Maga a négydimenziós hiperkocka végtelen számú kockából áll, ahogy egy háromdimenziós kockát is végtelen számú lapos négyzetre lehet „vágni”.

Egy háromdimenziós kocka hat lapjának levágásával lapos figurává bonthatja - egy fejlesztés. Az eredeti lap mindkét oldalán lesz egy négyzet, plusz még egy - a vele szemben lévő arc. A négydimenziós hiperkocka háromdimenziós fejlesztése pedig az eredeti kockából fog állni, hat kockából „növekszik” belőle, plusz még egyből - a végső „hiperfelületből”.

A tesserakt tulajdonságai az alacsonyabb dimenziójú geometriai alakzatok tulajdonságainak folytatását jelentik a négydimenziós térben.

Előrejelzések

A kétdimenziós térbe

Ezt a szerkezetet nehéz elképzelni, de lehetséges a tesseraktum kétdimenziós vagy háromdimenziós terekbe vetítése. Ráadásul síkra vetítve könnyen megérthető a hiperkocka csúcsainak elhelyezkedése. Ily módon lehetőség nyílik olyan képek beszerzésére, amelyek már nem tükrözik a tesszelektumon belüli térbeli kapcsolatokat, de a csúcskapcsolati struktúrát illusztrálják, mint az alábbi példákban:


A háromdimenziós térbe

A tesserakt háromdimenziós térre vetítése két egymásba ágyazott háromdimenziós kockából áll, amelyek megfelelő csúcsait szegmensek kötik össze. A belső és külső kockák háromdimenziós térben eltérő méretűek, de négydimenziós térben egyenlő kockák. Az összes tesserakt kocka egyenlőségének megértéséhez egy forgó tesserakt modellt hoztak létre.

A hat csonka piramis a tesserakt szélei mentén egyforma hat kocka képe.
Sztereó pár

A tesserakt sztereó párját két vetületként ábrázolják a háromdimenziós térben. A tesseract képét úgy fejlesztették ki, hogy a mélységet negyedik dimenzióként jelenítse meg. A sztereó párt úgy nézi meg, hogy mindkét szem csak egyet lát e képek közül, sztereoszkópikus kép jelenik meg, amely reprodukálja a tesserakt mélységét.

Tesseact kicsomagolás

A tesserakt felülete nyolc kockára bontható (hasonlóan ahhoz, ahogy egy kocka felülete hat négyzetre bontható). 261 különböző tesseract minta létezik. A tesszekrakt kibontása kiszámítható az összefüggő szögek grafikonon történő ábrázolásával.

Tesseract a művészetben

Edwina A. "New Abbott Plain" című művében a hiperkocka narrátorként működik.
A Jimmy Neutron kalandjai: "Boy Genius" egyik epizódjában Jimmy feltalál egy négydimenziós hiperkockát, amely megegyezik Heinlein 1963-as Glory Road című regényének összehajtható dobozával.
Robert E. Heinlein legalább három tudományos-fantasztikus történetben említette a hiperkockákat. A The House of Four Dimensions (The House That Teal Built) (1940) című művében leírt egy házat, amely úgy épült, mint egy kicsomagolt tesserakt.
Heinlein Glory Road című regénye olyan hiperméretű edényeket ír le, amelyek belül nagyobbak voltak, mint kívül.
Henry Kuttner „Mimsy Were the Borogoves” című története egy oktatójátékot ír le a távoli jövőből származó gyerekeknek, felépítését tekintve egy tesserakthoz hasonló.
Alex Garland (1999) regényében a "tesseract" kifejezést egy négydimenziós hiperkocka háromdimenziós kibontására használják, nem pedig magát a hiperkockát. Ez egy metafora, amely azt hivatott megmutatni, hogy a kognitív rendszernek tágabbnak kell lennie, mint a megismerhetőnek.
A Cube 2 cselekménye: A Hypercube középpontjában nyolc idegen áll, akik egy "hiperkockában" vagy összekapcsolt kockák hálózatában rekedtek.
Az Andromeda című televíziós sorozat tesseract generátorokat használ cselekményeszközként. Elsősorban a tér és az idő manipulálására szolgálnak.
Salvador Dali „A keresztre feszítés” (Corpus Hypercubus) festménye (1954)
A Nextwave képregény egy járművet ábrázol, amely 5 tesseract zónát tartalmaz.
A Voivod Nothingface albumon az egyik szerzemény az „In my hypercube” címet viseli.
Anthony Pearce Route Cube című regényében a Nemzetközi Fejlesztési Szövetség egyik keringő holdját három dimenzióba tömörített tesseraktnak nevezik.
A „Black Hole School” sorozat harmadik évadában van egy „Tesseract” epizód. Lucas megnyom egy titkos gombot, és az iskola matematikai tesseraktumként kezd formát ölteni.
A „tesseract” kifejezés és a származékos „tesserate” kifejezés Madeleine L’Engle „A Wrinkle in Time” című történetében található.

A Tesseract egy négydimenziós hiperkocka – egy kocka négydimenziós térben.
Az Oxford Dictionary szerint a tesseract szót Charles Howard Hinton (1853-1907) találta ki és használta 1888-ban A New Age of Thought című könyvében. Később egyesek ugyanezt az alakot tetrakockának (görögül τετρα - négy) - négydimenziós kockának nevezték.
Az euklideszi négydimenziós tér közönséges tesseraktumát pontok (±1, ±1, ±1, ±1) konvex héjaként határozzuk meg. Más szavakkal, a következő halmazként ábrázolható:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = A tesseraktumot nyolc hipersík korlátozza: x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , amelyek metszéspontja magával a tesserakttal háromdimenziós lapokat határoz meg (amelyek közönséges kockák) A nem párhuzamos háromdimenziós lapok mindegyike metszi egymást, és így kétdimenziós lapokat (négyzeteket) alkot, és így tovább lapok, 24 kétdimenziós lap, 32 él és 16 csúcs.
Népszerű leírás
Próbáljuk elképzelni, hogyan fog kinézni egy hiperkocka anélkül, hogy elhagynánk a háromdimenziós teret.
Egy egydimenziós „térben” - egy egyenesen - kiválasztunk egy L hosszúságú AB szakaszt. Az AB-tól L távolságra lévő kétdimenziós síkon rajzolunk vele párhuzamos DC szakaszt, és összekötjük a végeit. Az eredmény egy négyzet alakú CDBA. Ezt a műveletet a síkkal megismételve egy háromdimenziós CDBAGHFE kockát kapunk. Ha pedig a negyedik dimenzióban (az első háromra merőlegesen) eltoljuk a kockát L távolsággal, megkapjuk a CDBAGHFEKLJIOPNM hiperkockát.
Az AB egydimenziós szegmens a kétdimenziós négyzet CDBA oldalaként, a négyzet pedig a CDBAGHFE kocka oldalaként szolgál, ami viszont a négydimenziós hiperkocka oldala lesz. Egy egyenes szakasznak két határpontja van, a négyzetnek négy csúcsa, a kockának nyolc. Egy négydimenziós hiperkockában így 16 csúcs lesz: 8 csúcsa az eredeti kockának és 8 a negyedik dimenzióban eltoltnak. 32 éle van - 12 az eredeti kocka kezdeti és végső helyzetét adja meg, további 8 él pedig „rajzolja” a nyolc csúcsát, amelyek a negyedik dimenzióba kerültek. Ugyanez az érvelés alkalmazható a hiperkocka arcaira is. A kétdimenziós térben csak egy van (maga a négyzet), egy kockának 6 van (az áthelyezett négyzetből két lap és további négy, amelyek az oldalait írják le). Egy négydimenziós hiperkockának 24 négyzetlapja van – az eredeti kocka 12 négyzete két pozícióban és 12 négyzet a tizenkét élétől.
Ahogy a négyzet oldalai 4 egydimenziós szegmens, a kocka oldalai (lapjai) pedig 6 kétdimenziós négyzet, úgy a „négydimenziós kocka” (tesseract) oldalai 8 háromdimenziós kocka. . A tesserakt kocka ellentétes párjainak terei (vagyis azok a háromdimenziós terek, amelyekhez ezek a kockák tartoznak) párhuzamosak. Az ábrán ezek a kockák: CDBAGHFE és KLJIOPNM, CDBAKLJI és GHFEOPNM, EFBAMNJI és GHDCOPLK, CKIAGOME és DLJBHPNF.
Hasonló módon folytathatjuk okoskodásunkat a nagyobb dimenziójú hiperkockákkal kapcsolatban, de sokkal érdekesebb látni, hogyan fog kinézni nekünk, a háromdimenziós tér lakóinak egy négydimenziós hiperkocka. Ehhez a már ismert analógiás módszert fogjuk használni.
Vegyük az ABCDHEFG drótkockát, és nézzük meg félszemmel a széle felől. A síkon két négyzetet fogunk látni és rajzolni (közeli és távoli élét), amelyeket négy vonal köt össze - oldalélek. Hasonlóképpen, egy négydimenziós hiperkocka háromdimenziós térben úgy fog kinézni, mint két köbös „doboz”, amelyeket egymásba helyeznek, és nyolc éllel vannak összekötve. Ebben az esetben maguk a „dobozok” - háromdimenziós lapok - a „mi” terünkre vetülnek, és az őket összekötő vonalak a negyedik tengely irányába nyúlnak. Megpróbálhatja azt is, hogy a kockát nem vetítésben, hanem térbeli képben képzelje el.
Ahogy a háromdimenziós kockát egy négyzet alkotja, amelyet a lapja hosszával eltolunk, a negyedik dimenzióba eltolt kocka hiperkockát alkot. Nyolc kocka korlátozza, amelyek távlatilag meglehetősen összetett figurának tűnnek. Maga a négydimenziós hiperkocka végtelen számú kockából áll, ahogy egy háromdimenziós kockát is végtelen számú lapos négyzetre lehet „vágni”.
Egy háromdimenziós kocka hat lapjának levágásával lapos figurává bonthatja - egy fejlesztés. Az eredeti lap mindkét oldalán lesz egy négyzet, plusz még egy – a vele szemben lévő arc. A négydimenziós hiperkocka háromdimenziós fejlesztése pedig az eredeti kockából fog állni, hat kockából „növekszik” belőle, plusz még egyből - a végső „hiperfelületből”.
A tesserakt tulajdonságai az alacsonyabb dimenziójú geometriai alakzatok tulajdonságainak folytatását jelentik a négydimenziós térben.

Ha Ön a Bosszúállók filmek rajongója, az első dolog, ami eszébe juthat a „Tesseract” szó hallatán, a Végtelen kő átlátszó kocka alakú edénye, amely határtalan erőt rejt magában.

A Marvel Univerzum rajongói számára a Tesseract egy ragyogó kék kocka, amely nemcsak a Földről, hanem más bolygókról is megbolondítja az embereket. Ezért gyűlt össze az összes Bosszúálló, hogy megvédje a földieket a Tesseract rendkívül pusztító ereje ellen.

A következőket azonban el kell mondani: A Tesseract egy tényleges geometriai fogalom, pontosabban egy alakzat, amely a 4D-ben létezik. Ez nem csak egy kék kocka a Bosszúállóktól... ez egy igazi koncepció.

A Tesseract egy 4 dimenziós tárgy. Mielőtt azonban részletesen elmagyaráznánk, kezdjük elölről.

Mi az a "mérés"?

Mindenki hallotta már a 2D és 3D kifejezéseket, amelyek kétdimenziós vagy háromdimenziós objektumokat jelentenek a térben. De mik ezek?

A dimenzió egyszerűen egy irány, amelyen haladhatsz. Például, ha vonalat rajzol egy papírra, léphet balra/jobbra (x-tengely) vagy fel/le (y-tengely). Tehát azt mondjuk, hogy a papír kétdimenziós, mert csak két irányba lehet menni.

A 3D-ben van egyfajta mélység.

A való világban a fent említett két irányon (balra/jobbra és fel/le) kívül „to/from” is lehet menni. Következésképpen a mélység érzése hozzáadódik a 3D térhez. Ezért mondjuk, hogy a valódi élet háromdimenziós.

Egy pont 0 dimenziót jelenthet (mivel nem mozog semmilyen irányban), egy vonal 1 dimenziót (hosszat), egy négyzet 2 dimenziót (hosszat és szélességet), egy kocka 3 dimenziót (hossz, szélesség és magasság) jelenthet. ).

Vegyünk egy 3D kockát, és cseréljük ki minden lapját (amelyek jelenleg négyzetek) egy kockára. És így! A kapott forma a tesserakt.

Mi az a tesserakt?

Egyszerűen fogalmazva, a tesserakt egy kocka 4 dimenziós térben. Azt is mondhatjuk, hogy egy kocka 4D analógja. Ez egy 4D-s alakzat, ahol minden lap egy kocka.

Két merőleges sík körül kettős elforgatást végrehajtó tesserakt 3D vetülete.
Kép: Jason Hise

Íme egy egyszerű módszer a méretek fogalmi meghatározására: a négyzet kétdimenziós; ezért minden sarkában 2-2 vonal nyúlik ki belőle 90 fokos szöget bezáróan egymással szemben. A kocka 3D-s, így minden sarkából 3-3 vonal jön ki belőle. Hasonlóképpen, a tesserakt 4D-s alakzat, tehát minden sarkon 4 vonal nyúlik ki belőle.

Miért nehéz elképzelni egy tesseraktot?

Mivel mi, emberek úgy fejlődtünk, hogy három dimenzióban vizualizáljuk az objektumokat, bárminek, ami extra dimenziókba kerül, például 4D, 5D, 6D stb., nincs sok értelme számunkra, mert egyáltalán nem tudjuk bemutatni őket. Agyunk nem tudja megérteni a 4. dimenziót a térben. Egyszerűen nem gondolhatunk rá.