મૂળ સાથે અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓ ઉકેલવી. વ્યવહારુ કાર્ય: "બીજગણિત, તર્કસંગત, અતાર્કિક, શક્તિ અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન"

આમૂલ ચિહ્ન (મૂળ) ધરાવતા અભિવ્યક્તિઓ અતાર્કિક કહેવાય છે.

બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા a ની કુદરતી શક્તિ $n$નું અંકગણિત મૂળ એ કેટલીક બિન-નકારાત્મક સંખ્યા છે જેમ કે જ્યારે $n$ સુધી વધારવામાં આવે ત્યારે $a$ પ્રાપ્ત થાય છે.

$(√^n(a))^n=a$

નોટેશનમાં $√^n(a)$, "a" ને રેડિકલ નંબર કહેવામાં આવે છે, $n$ એ મૂળ અથવા આમૂલનું ઘાતાંક છે.

$a≥0$ અને $b≥0$ માટે $n$th મૂળના ગુણધર્મો:

1. ઉત્પાદનનું મૂળ મૂળના ઉત્પાદન જેટલું છે

$√^n(a∙b)=√^n(a)∙√^n(b)$

$√^5(5)∙√^5(625)$ની ગણતરી કરો

ઉત્પાદનનું મૂળ મૂળના ઉત્પાદન જેટલું છે અને તેનાથી ઊલટું: સમાન મૂળ ઘાતાંકવાળા મૂળનું ઉત્પાદન આમૂલ અભિવ્યક્તિઓના ઉત્પાદનના મૂળ જેટલું છે

$√^n(a)∙√^n(b)=√^n(a∙b)$

$√^5{5}∙√^5{625}=√^5{5∙625}=√^5{5∙5^4}=√^5{5^5}=5$

2. અપૂર્ણાંકનું મૂળ અંશથી અલગ મૂળ છે અને છેદથી અલગ મૂળ છે

$√^n((a)/(b))=(√^n(a))/(√^n(b))$, $b≠0$ માટે

3. જ્યારે રુટને એક શક્તિમાં ઉછેરવામાં આવે છે, ત્યારે આમૂલ અભિવ્યક્તિ આ શક્તિમાં ઉભી થાય છે

$(√^n(a))^k=√^n(a^k)$

4. જો $a≥0$ અને $n,k$ એ $1$ કરતાં મોટી કુદરતી સંખ્યાઓ છે, તો સમાનતા સાચી છે.

$√^n(√^k(a))=√^(n∙k)a$

5. જો મૂળ અને આમૂલ અભિવ્યક્તિના સૂચકાંકોને સમાન વડે ગુણાકાર અથવા વિભાજિત કરવામાં આવે તો કુદરતી સંખ્યા, તો રુટની કિંમત બદલાશે નહીં.

$√^(n∙m)a^(k∙m)=√^n(a^k)$

6. એક વિષમ ડિગ્રીનું મૂળ ધન અને નકારાત્મક સંખ્યાઓમાંથી લઈ શકાય છે, અને એક સમાન ડિગ્રીનું મૂળ માત્ર હકારાત્મક સંખ્યાઓમાંથી લઈ શકાય છે.

7. કોઈપણ મૂળને અપૂર્ણાંક (તર્કસંગત) ઘાતાંક સાથે શક્તિ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

$s>0$ માટે $(√(9∙√^11(s)))/(√^11(2048∙√s))$ નું મૂલ્ય શોધો

ઉત્પાદનનું મૂળ મૂળના ઉત્પાદન જેટલું છે

$(√(9∙√^11(s)))/(√^11(2048∙√s))=(√9∙√(√^11(s)))/(√^11(2048)∙ √^11(√с))$

આપણે સંખ્યાઓમાંથી તરત જ મૂળ કાઢી શકીએ છીએ

$(√9∙√(√^11(s))/(√^11(2048)∙√^11(√s))=(3∙√(√^11(s)))/(2∙ √^11(√с))$

$√^n(√^k(a))=√^(n∙k)a$

$(3∙√(√^11(s))/(2∙√^11(√s))=(3∙√^22(s))/(2∙√^22(s))$

અમે $с$ ના $22$ મૂળને ઘટાડીએ છીએ અને $(3)/(2)=1.5$ મેળવીએ છીએ

જવાબ: $1.5$

જો એક સમાન ઘાતાંક સાથેના આમૂલ માટે આપણે આમૂલ અભિવ્યક્તિની નિશાની જાણતા નથી, તો મૂળને બહાર કાઢતી વખતે, રેડિકલ અભિવ્યક્તિનું મોડ્યુલ બહાર આવે છે.

અભિવ્યક્તિની કિંમત $√((с-7)^2)+√((с-9)^2)$ $7 પર શોધો< c < 9$

જો મૂળની ઉપર કોઈ ઘાતાંક ન હોય, તો તેનો અર્થ એ થાય કે આપણે વર્ગમૂળ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. તેના સૂચક બે છે, એટલે કે. પ્રમાણિક જો એક સમાન ઘાતાંક સાથેના આમૂલ માટે આપણે આમૂલ અભિવ્યક્તિની નિશાની જાણતા નથી, તો મૂળને બહાર કાઢતી વખતે, રેડિકલ અભિવ્યક્તિનું મોડ્યુલ બહાર આવે છે.

$√((с-7)^2)+√((с-9)^2)=|c-7|+|c-9|$

ચાલો $7 શરતના આધારે મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિનું ચિહ્ન નક્કી કરીએ< c < 9$

તપાસવા માટે, આપેલ શ્રેણીમાંથી કોઈપણ નંબર લો, ઉદાહરણ તરીકે, $8$

ચાલો દરેક મોડ્યુલની નિશાની તપાસીએ

$8-9<0$, при раскрытии модуля пользуемся правилом: модуль положительного числа равен самому себе, отрицательного числа - равен противоположному значению. Так как у второго модуля знак отрицательный, при раскрытии меняем знак перед модулем на противоположный.

$|c-7|+|c-9|=(с-7)-(с-9)=с-7-с+9=2$

તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે સત્તાના ગુણધર્મો:

1. જ્યારે સમાન આધારો સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે આધાર સમાન રહે છે, અને ઘાતાંક ઉમેરવામાં આવે છે.

$a^n∙a^m=a^(n+m)$

2. ઘાતની ડિગ્રી વધારતી વખતે, આધાર સમાન રહે છે, પરંતુ ઘાતાંકનો ગુણાકાર થાય છે

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

3. જ્યારે કોઈ ઉત્પાદનને પાવરમાં વધારતા હોય, ત્યારે દરેક પરિબળને આ શક્તિ સુધી વધારવામાં આવે છે

$(a∙b)^n=a^n∙b^n$

4. જ્યારે અપૂર્ણાંકને ઘાતમાં વધારતા હોય, ત્યારે અંશ અને છેદને આ ઘાત સુધી વધારવામાં આવે છે.

વ્યવહારિક કાર્ય નંબર 1

વિષય: "બીજગણિત, તર્કસંગત, અતાર્કિક, શક્તિ અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન."

કાર્યનું લક્ષ્ય: સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો, મૂળ અને શક્તિઓના મૂળભૂત ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને બીજગણિત, તર્કસંગત, અતાર્કિક, શક્તિ અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર કરવાનું શીખો.

સૈદ્ધાંતિક માહિતી.

એક નંબરમાંથી કુદરતી ડિગ્રીના મૂળ, તેમની મિલકતો.

રુટ n - ડિગ્રી : , n - મૂળ ઘાતાંક, એ - આમૂલ અભિવ્યક્તિ

જો n - એકી સંખ્યા, પછી અભિવ્યક્તિ જ્યારે અર્થ થાય છે એ

જો n - બેકી સંખ્યા, ત્યારે અભિવ્યક્તિનો અર્થ થાય છે જ્યારે

અંકગણિત મૂળ:

નકારાત્મક સંખ્યાનું વિષમ મૂળ:

મૂળના મૂળભૂત ગુણધર્મો

ઉત્પાદનમાંથી રુટ કાઢવાનો નિયમ:

મૂળમાંથી મૂળ કાઢવાનો નિયમ:

રુટ ચિહ્નની નીચેથી ગુણકને દૂર કરવાનો નિયમ:

રુટની નિશાની હેઠળ ગુણક દાખલ કરવું:

,

મૂળની અનુક્રમણિકા અને આમૂલ અભિવ્યક્તિની અનુક્રમણિકા સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે.

મૂળને શક્તિ સુધી વધારવાનો નિયમ.

પ્રાકૃતિક સૂચક સાથે ડિગ્રી

= , a - ડિગ્રીનો આધાર,n - ઘાતાંક

ગુણધર્મો:

જ્યારે સમાન આધારો સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઘાતાંક ઉમેરવામાં આવે છે, પરંતુ આધાર યથાવત રહે છે.

સમાન પાયા સાથે ડિગ્રીને વિભાજિત કરતી વખતે, ઘાતાંક બાદ કરવામાં આવે છે, પરંતુ આધાર યથાવત રહે છે.

જ્યારે ઘાતને ઘાતમાં વધારતા હોય, ત્યારે ઘાતનો ગુણાકાર થાય છે.

જ્યારે બે સંખ્યાઓના ગુણાંકને ઘાતમાં વધારતા, દરેક સંખ્યાને તે ઘાત સુધી વધારવામાં આવે છે અને પરિણામોનો ગુણાકાર થાય છે.

જો બે સંખ્યાઓના ભાગને એક ઘાત સુધી વધારવામાં આવે છે, તો અંશ અને છેદ આ ઘાત સુધી વધારવામાં આવે છે, અને પરિણામ એકબીજા દ્વારા વિભાજિત થાય છે.

પૂર્ણાંક સૂચક સાથે ડિગ્રી

ગુણધર્મો:

ખાતે આર >0 > ખાતે આર <0

7 . કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટેઆર અનેs અસમાનતા થી > જોઈએ

> ખાતે a >1 ખાતે

સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો.

ઉદાહરણ 1.અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ચાલો શક્તિઓના ગુણધર્મો લાગુ કરીએ (સમાન આધાર સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર અને સમાન આધાર સાથે શક્તિઓનું વિભાજન): .

જવાબ: 9 મી 7 .

ઉદાહરણ 2.અપૂર્ણાંક ઘટાડો:

તેથી અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર x ≠ 1 અને x ≠ -2 સિવાયની બધી સંખ્યાઓ છે. .અપૂર્ણાંક ઘટાડીને, આપણે મેળવીએ છીએ .પરિણામી અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યાનું ડોમેન: x ≠ -2, એટલે કે. મૂળ અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યાની શ્રેણી કરતાં વિશાળ. તેથી, x ≠ 1 અને x ≠ -2 માટે અપૂર્ણાંક અને સમાન છે.

ઉદાહરણ 3.અપૂર્ણાંક ઘટાડો:

ઉદાહરણ 4.સરળ બનાવો:

ઉદાહરણ 5.સરળ કરો:

ઉદાહરણ 6.સરળ બનાવો:

ઉદાહરણ 7.સરળ બનાવો:

ઉદાહરણ 8.સરળ બનાવો:

ઉદાહરણ 9.ગણત્રી: .

ઉકેલ.

ઉદાહરણ 10.અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

ઉકેલ.

ઉદાહરણ 11.જો અપૂર્ણાંક ઘટાડો

ઉકેલ. .

ઉદાહરણ 12.અપૂર્ણાંકના છેદમાં અતાર્કિકતાથી તમારી જાતને મુક્ત કરો

ઉકેલ. છેદમાં આપણી પાસે 2જી ડિગ્રીની અતાર્કિકતા છે, તેથી આપણે અંશ અને અપૂર્ણાંકના છેદ બંનેને સંયોજક અભિવ્યક્તિ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ, એટલે કે, સંખ્યાઓનો સરવાળો અને , પછી છેદમાં આપણી પાસે ચોરસનો તફાવત છે, જે અતાર્કિકતા દૂર કરે છે.

વિકલ્પ - આઈ

1. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

, જ્યાં a એક તર્કસંગત સંખ્યા છે, b - કુદરતી સંખ્યા

,

5. સરળ બનાવો:

;

,
,

10. આ ક્રિયા અનુસરો:

8. અપૂર્ણાંક ઘટાડો

9. પગલાં લો

વિકલ્પ - II

1. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

2. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

3. રુટ તરીકે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે શક્તિનું પ્રતિનિધિત્વ કરો

4. સ્પષ્ટ કરેલ અભિવ્યક્તિને ફોર્મમાં ઘટાડો
, જ્યાં a એક તર્કસંગત સંખ્યા છે, b - કુદરતી સંખ્યા

,

5. સરળ બનાવો:

;

6. અંકગણિત મૂળને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક વડે સત્તાઓથી બદલો

,
,

7. અભિવ્યક્તિને અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરો જેના છેદમાં મૂળ ચિહ્ન નથી

10. આ ક્રિયા અનુસરો:

8. અપૂર્ણાંક ઘટાડો

9. પગલાં લો

વિકલ્પ - III

1. આ ક્રિયા અનુસરો:

2. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

3. રુટ તરીકે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે શક્તિનું પ્રતિનિધિત્વ કરો

4. સ્પષ્ટ કરેલ અભિવ્યક્તિને ફોર્મમાં ઘટાડો
, જ્યાં a એક તર્કસંગત સંખ્યા છે, b - કુદરતી સંખ્યા

,

5. સરળ બનાવો:

;

6. અંકગણિત મૂળને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક વડે સત્તાઓથી બદલો

,
,

7. અભિવ્યક્તિને અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરો જેના છેદમાં મૂળ ચિહ્ન નથી

10. આ ક્રિયા અનુસરો:

8. અપૂર્ણાંક ઘટાડો

9. પગલાં લો

વિકલ્પ - IV

1. આ ક્રિયા અનુસરો:

2. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

3. રુટ તરીકે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે શક્તિનું પ્રતિનિધિત્વ કરો

,

4. સ્પષ્ટ કરેલ અભિવ્યક્તિને ફોર્મમાં ઘટાડો
, જ્યાં a એક તર્કસંગત સંખ્યા છે, b - કુદરતી સંખ્યા

,

5. સરળ બનાવો:

મૂળના ગુણધર્મો પછીના બે રૂપાંતરણોને અંતર્ગત કરે છે, જેને મૂળ ચિન્હ હેઠળ લાવવું અને મૂળ ચિન્હની નીચેથી બહાર કાઢવું ​​કહેવાય છે, જેના તરફ હવે આપણે વળીએ છીએ.

રુટની નિશાની હેઠળ ગુણક દાખલ કરવું

ચિહ્ન હેઠળ પરિબળનો પરિચય એ અભિવ્યક્તિને બદલવાનો અર્થ થાય છે, જ્યાં B અને C કેટલીક સંખ્યાઓ અથવા અભિવ્યક્તિઓ છે, અને n એ એક કરતાં મોટી કુદરતી સંખ્યા છે, જે સ્વરૂપની સમાન સમાન અભિવ્યક્તિ સાથે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, રુટ ચિહ્ન હેઠળ 2 નું પરિબળ રજૂ કર્યા પછી, અતાર્કિક અભિવ્યક્તિ સ્વરૂપ લે છે.

સૈદ્ધાંતિક આધારઆ પરિવર્તન, તેના અમલીકરણ માટેના નિયમો તેમજ વિવિધ ઉકેલો લાક્ષણિક ઉદાહરણોરુટની નિશાની હેઠળ ગુણક રજૂ કરતા લેખમાં આપેલ છે.

રુટ ચિહ્નની નીચેથી ગુણકને દૂર કરવું

રૂપાંતરણ, ચોક્કસ અર્થમાં મૂળ ચિન્હ હેઠળ પરિબળની રજૂઆતની વિરુદ્ધ, મૂળ ચિન્હ હેઠળના પરિબળને દૂર કરે છે. તે રુટને વિષમ n માટે ઉત્પાદન તરીકે અથવા સમ n માટે ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરે છે, જ્યાં B અને C કેટલીક સંખ્યાઓ અથવા સમીકરણો છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો પાછલા ફકરા પર પાછા જઈએ: અતાર્કિક અભિવ્યક્તિ, મૂળ ચિહ્નની નીચેથી પરિબળને દૂર કર્યા પછી, સ્વરૂપ લે છે. બીજું ઉદાહરણ: અભિવ્યક્તિમાં મૂળ ચિહ્નની નીચેથી પરિબળને દૂર કરવાથી ઉત્પાદન મળે છે, જેને ફરીથી લખી શકાય છે.

આ પરિવર્તન શેના પર આધારિત છે, અને તે કયા નિયમો દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે, અમે એક અલગ લેખમાં રુટની નિશાની હેઠળના ગુણકને દૂર કરવાની તપાસ કરીશું. ત્યાં આપણે ઉદાહરણોના ઉકેલો પણ આપીશું અને આમૂલ અભિવ્યક્તિને ગુણાકાર માટે અનુકૂળ સ્વરૂપમાં ઘટાડવા માટેની રીતોની સૂચિ પણ આપીશું.

મૂળ ધરાવતાં અપૂર્ણાંકોનું રૂપાંતર

અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓમાં એવા અપૂર્ણાંકો હોઈ શકે છે જે અંશ અને છેદમાં મૂળ ધરાવે છે. આવા અપૂર્ણાંક સાથે તમે મૂળભૂત કોઈપણ હાથ ધરી શકો છો અપૂર્ણાંકની ઓળખ પરિવર્તન.

સૌપ્રથમ, અંશ અને છેદમાં અભિવ્યક્તિઓ સાથે કામ કરવાથી તમને કંઈપણ અટકાવતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંકને ધ્યાનમાં લો. અંશમાં અતાર્કિક અભિવ્યક્તિ દેખીતી રીતે સમાન સમાન છે, અને મૂળના ગુણધર્મો તરફ વળવાથી, છેદમાં અભિવ્યક્તિને મૂળ દ્વારા બદલી શકાય છે. પરિણામે, મૂળ અપૂર્ણાંક ફોર્મમાં રૂપાંતરિત થાય છે.

બીજું, તમે અંશ અથવા છેદનું ચિહ્ન બદલીને અપૂર્ણાંકની સામેની ચિહ્ન બદલી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, અતાર્કિક અભિવ્યક્તિના નીચેના રૂપાંતરણો થાય છે: .

ત્રીજે સ્થાને, કેટલીકવાર અપૂર્ણાંક ઘટાડવાનું શક્ય અને સલાહભર્યું છે. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક ઘટાડવાના આનંદને કેવી રીતે નકારી શકાય અતાર્કિક અભિવ્યક્તિ માટે, પરિણામે આપણને મળે છે .

તે સ્પષ્ટ છે કે ઘણા કિસ્સાઓમાં, અપૂર્ણાંકને ઘટાડતા પહેલા, તેના અંશ અને છેદમાં અભિવ્યક્તિઓનું પરિબળ હોવું જરૂરી છે, જે સરળ કિસ્સાઓમાં સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો દ્વારા પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. અને કેટલીકવાર તે ચલને બદલીને અપૂર્ણાંકને ઘટાડવામાં મદદ કરે છે, જે તમને અતાર્કિકતા સાથે મૂળ અપૂર્ણાંકમાંથી તર્કસંગત અપૂર્ણાંક તરફ જવા દે છે, જે કામ કરવા માટે વધુ આરામદાયક અને પરિચિત છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો અભિવ્યક્તિ લઈએ. ચાલો નવા ચલોનો પરિચય કરીએ અને આ ચલોમાં મૂળ અભિવ્યક્તિનું સ્વરૂપ છે. અંશમાં પ્રદર્શન કર્યા

ટ્રેનર નંબર 1

વિષય: રૂપાંતરિત શક્તિ અને અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓ

1. 10મા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિતમાં વૈકલ્પિક અભ્યાસક્રમ કાર્યક્રમ

   કાર્યક્રમ

   અરજી. માટે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોનો ઉપયોગ પરિવર્તન અભિવ્યક્તિઓ. વિષય 4. ત્રિકોણમિતિ કાર્યોઅને તેમના સમયપત્રક. સારાંશ... . 16.01-20.01 18 રૂપાંતર શામકઅને અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓ. 23.01-27.01 19 ...

2. શૈક્ષણિક સામગ્રી બીજગણિતનું કેલેન્ડર અને વિષયોનું આયોજન અને વિશ્લેષણની શરૂઆત, 11મો ધોરણ

   કેલેન્ડર અને વિષયોનું આયોજન

   અને તર્કસંગત સૂચક. રૂપાંતર શામકઅને અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓ. 2 2 2 સપ્ટેમ્બર લોગરીધમના ગુણધર્મો. રૂપાંતરલઘુગણક અભિવ્યક્તિઓ. 1 1 1 ... થી સંપૂર્ણ ગણવામાં આવે છે તેજે વિદ્યાર્થીઓ ઉચ્ચ બનવાની ઈચ્છા ધરાવે છે...

3. પાઠનો વિષય પાઠનો પ્રકાર (4)

   પાઠ

   ... પરિવર્તનઆંકડાકીય અને આલ્ફાબેટીક અભિવ્યક્તિઓ, ધરાવે છે ડિગ્રી ... ડિગ્રીજાણો: ખ્યાલ ડિગ્રીઅતાર્કિક સૂચક સાથે; મૂળભૂત ગુણધર્મો ડિગ્રી. સક્ષમ બનો: અર્થ શોધો ડિગ્રીસાથે અતાર્કિક... 3 થી વિષય « ડીગ્રીસકારાત્મક સંખ્યા...

4. વિષય: કાર્યમાં મનોવૈજ્ઞાનિક જ્ઞાનના વિકાસ માટે સાંસ્કૃતિક અને ઐતિહાસિક પાયા વિષય: સામાજિક-માનસિક વાસ્તવિકતા તરીકે શ્રમ

   દસ્તાવેજ

   અને વગેરે) વિષયશ્રમ સામાજિક-આર્થિક સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે પરિવર્તનો. ઉદાહરણ તરીકે, ... ચેતનાનું પુનર્ગઠન, વૃત્તિ, અતાર્કિકવલણો, એટલે કે આંતરિક તકરાર... હાજરીની સ્પષ્ટતા અને ડિગ્રી ગંભીરતાવ્યક્તિ પાસે ચોક્કસ છે ...

5. વર્ગમૂળ ધરાવતા અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર (1)

   પાઠ

   S.A દ્વારા સંપાદિત ટેલિયાકોવ્સ્કી. વિષયપાઠ: રૂપાંતર અભિવ્યક્તિઓ, ચોરસ ધરાવતો...) પરિવર્તનઉત્પાદનના મૂળ, અપૂર્ણાંક અને ડિગ્રી, ગુણાકાર... (સમાન કૌશલ્યની રચના પરિવર્તનો અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓ). નંબર 421. (બ્લેકબોર્ડ પર...

અભિવ્યક્તિના સમાન પરિવર્તન એ અર્થપૂર્ણ રેખાઓમાંની એક છે શાળા અભ્યાસક્રમગણિત. સમીકરણો, અસમાનતાઓ, સમીકરણોની પ્રણાલીઓ અને અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે સમાન પરિવર્તનનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. વધુમાં, અભિવ્યક્તિઓના સમાન પરિવર્તનો બુદ્ધિ, સુગમતા અને વિચારની તર્કસંગતતાના વિકાસમાં ફાળો આપે છે.

સૂચિત સામગ્રીઓ 8મા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ માટે બનાવાયેલ છે અને તેમાં તર્કસંગત અને અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓના સમાન રૂપાંતરણના સૈદ્ધાંતિક પાયા, આવા અભિવ્યક્તિઓને રૂપાંતરિત કરવા માટેના કાર્યોના પ્રકારો અને પરીક્ષણના ટેક્સ્ટનો સમાવેશ થાય છે.

1. ઓળખ પરિવર્તનના સૈદ્ધાંતિક પાયા

બીજગણિતમાં અભિવ્યક્તિઓ એ ક્રિયા ચિહ્નો દ્વારા જોડાયેલા સંખ્યાઓ અને અક્ષરોનો સમાવેશ કરે છે.

https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif" width="77" height="21 src=">.gif" width="20" height="21 src="> – બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિઓ.

કામગીરીના આધારે, તર્કસંગત અને અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓને અલગ પાડવામાં આવે છે.

બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિઓ જો તેમાં સમાવિષ્ટ અક્ષરો સાથે સંબંધિત હોય તો તેને તર્કસંગત કહેવામાં આવે છે એ, b, સાથે, ... સરવાળો, ગુણાકાર, બાદબાકી, ભાગાકાર અને ઘાત સિવાય અન્ય કોઈ કામગીરી કરવામાં આવતી નથી.

બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિઓ જેમાં ચલના મૂળને કાઢવાની ક્રિયાઓ હોય છે અથવા ચલને પૂર્ણાંક ન હોય તેવા તર્કસંગત શક્તિ સુધી વધારવાની ક્રિયાઓને આ ચલના સંદર્ભમાં અતાર્કિક કહેવામાં આવે છે.

આપેલ અભિવ્યક્તિનું ઓળખ રૂપાંતરણ એ એક અભિવ્યક્તિને બીજી અભિવ્યક્તિ સાથે બદલવું છે જે ચોક્કસ સમૂહ પર તેની સમાન હોય છે.

નીચેના સૈદ્ધાંતિક તથ્યો તર્કસંગત અને અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓના સમાન રૂપાંતરણોને નીચે આપે છે.

1. પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના ગુણધર્મો:

, nચાલુ; એ 1=એ;

, nચાલુ, એ¹0; એ 0=1, એ¹0;

, એ¹0;

, એ¹0;

, એ¹0;

, એ¹0, b¹0;

, એ¹0, b¹0.

2. સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો:

જ્યાં એ, b, સાથે- કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ;

જ્યાં એ¹0, એક્સ 1 અને એક્સ 2 - સમીકરણના મૂળ .

3. અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત અને અપૂર્ણાંક પરની ક્રિયાઓ:

, ક્યાં b¹0, સાથે¹0;

; ;

4. અંકગણિત મૂળ અને તેના ગુણધર્મોની વ્યાખ્યા:

; , b#0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif" width="84" height="32">;; ,

જ્યાં એ, b- બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ, nચાલુ, n³2, mચાલુ, m³2.

1. અભિવ્યક્તિ રૂપાંતરણ કસરતોના પ્રકાર

અસ્તિત્વમાં છે વિવિધ પ્રકારોઅભિવ્યક્તિઓના સમાન રૂપાંતરણ પર કસરતો. પ્રથમ પ્રકાર: જે રૂપાંતરણ કરવાની જરૂર છે તે સ્પષ્ટપણે ઉલ્લેખિત છે.

દાખ્લા તરીકે.

1. તેને બહુપદી તરીકે રજૂ કરો.

આ રૂપાંતરણ કરતી વખતે, અમે બહુપદીના ગુણાકાર અને બાદબાકીના નિયમો, સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટેના સૂત્ર અને સમાન પદોના ઘટાડાનો ઉપયોગ કર્યો.

2. આમાં પરિબળ કરો: .

રૂપાંતરણ કરતી વખતે, અમે સામાન્ય પરિબળને કૌંસની બહાર મૂકવાના નિયમ અને 2 સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કર્યો.

3. અપૂર્ણાંક ઘટાડો:

.

રૂપાંતર કરતી વખતે, અમે કૌંસ, વિનિમયાત્મક અને સંકોચનીય કાયદાઓ, 2 સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો અને સત્તાઓ પરની કામગીરીમાંથી સામાન્ય પરિબળને દૂર કરવાનો ઉપયોગ કર્યો.

4. જો રૂટ ચિહ્નની નીચેથી પરિબળ દૂર કરો એ³0, b³0, સાથે³0: https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif" width="432" height="27">

અમે મૂળ પરની ક્રિયાઓ અને સંખ્યાના મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા માટેના નિયમોનો ઉપયોગ કર્યો.

5. અપૂર્ણાંકના છેદમાં અતાર્કિકતાને દૂર કરો. .

બીજો પ્રકારકસરતો એવી કસરતો છે જેમાં મુખ્ય પરિવર્તન જે કરવાની જરૂર છે તે સ્પષ્ટપણે સૂચવવામાં આવે છે. આવી કસરતોમાં, જરૂરિયાત સામાન્ય રીતે નીચેનામાંથી એક સ્વરૂપમાં ઘડવામાં આવે છે: અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો, ગણતરી કરો. આવી કસરતો કરતી વખતે, સૌ પ્રથમ તે ઓળખવું જરૂરી છે કે કયા અને કયા ક્રમમાં પરિવર્તન કરવાની જરૂર છે જેથી અભિવ્યક્તિ આપેલ કરતાં વધુ કોમ્પેક્ટ સ્વરૂપ લે, અથવા સંખ્યાત્મક પરિણામ પ્રાપ્ત થાય.

દાખ્લા તરીકે

6. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

ઉકેલ:

.

બીજગણિત અપૂર્ણાંક અને સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોના સંચાલન માટે વપરાયેલ નિયમો.

7. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

.

જો એ³0, b³0, એ¹ b.

અમે સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો, અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓના ગુણાકાર માટેના નિયમો, ઓળખ https://pandia.ru/text/80/197/images/image049_15.gif" width="203" height="29">નો ઉપયોગ કર્યો.

અમે એક સંપૂર્ણ ચોરસ, ઓળખ https://pandia.ru/text/80/197/images/image053_11.gif" width="132 height=21" height="21"> પસંદ કરવાની કામગીરીનો ઉપયોગ કર્યો, જો .

પુરાવો:

ત્યારથી, પછી અને અથવા અથવા અથવા, એટલે કે.

અમે ક્યુબ્સના સરવાળા માટે સ્થિતિ અને સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યો.

તે ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ કે ચલોને જોડતી શરતો પણ પ્રથમ બે પ્રકારની કસરતોમાં સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

દાખ્લા તરીકે.

10. જો શોધો.