ઓનલાઈન પાવર સીરીઝમાં ફંક્શનને વિસ્તૃત કરો. મેકલોરિન શ્રેણી અને કેટલાક કાર્યોનું વિસ્તરણ

જો કાર્ય f(x)બિંદુ ધરાવતા કેટલાક અંતરાલ પર છે એ, તમામ ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ, પછી ટેલર ફોર્મ્યુલા તેના પર લાગુ કરી શકાય છે:

જ્યાં આર એન- કહેવાતા શેષ પદ અથવા શ્રેણીના શેષ, તે લેગ્રેન્જ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અંદાજિત કરી શકાય છે:

, જ્યાં સંખ્યા x વચ્ચે છે એક્સઅને એ.

જો અમુક મૂલ્ય માટે x આર એન®0 ખાતે n®¥, પછી મર્યાદામાં ટેલર સૂત્ર આ મૂલ્ય માટે કન્વર્જન્ટ ફોર્મ્યુલામાં ફેરવાય છે ટેલર શ્રેણી:

તેથી કાર્ય f(x)પ્રશ્નના તબક્કે ટેલર શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે એક્સ, જો:

1) તેમાં તમામ ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ છે;

2) બાંધેલી શ્રેણી આ બિંદુએ એકરૂપ થાય છે.

મુ એ=0 આપણને એક શ્રેણી મળે છે મેકલોરિન નજીક:

ઉદાહરણ 1 f(x)= 2x.

ઉકેલ. ચાલો ફંક્શનની કિંમતો અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ એક્સ=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2x ln 2 2, f¢( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

ડેરિવેટિવ્ઝના પ્રાપ્ત મૂલ્યોને ટેલર શ્રેણીના સૂત્રમાં બદલીને, અમે મેળવીએ છીએ:

આ શ્રેણીના કન્વર્જન્સની ત્રિજ્યા અનંતની બરાબર છે, તેથી આ વિસ્તરણ -¥ માટે માન્ય છે<x<+¥.

ઉદાહરણ 2 એક્સ+4) કાર્ય માટે f(x)=ઇ x.

ઉકેલ. ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવું e xઅને બિંદુ પર તેમના મૂલ્યો એક્સ=-4.

f(x)= ઇ x, f(-4) = ઇ -4 ;

f¢(x)= ઇ x, f¢(-4) = ઇ -4 ;

f¢¢(x)= ઇ x, f¢(-4) = ઇ -4 ;

f(n)(x)= ઇ x, f(n)( -4) = ઇ -4 .

તેથી, ફંક્શનની આવશ્યક ટેલર શ્રેણીમાં ફોર્મ છે:

આ વિસ્તરણ -¥ માટે પણ માન્ય છે<x<+¥.

ઉદાહરણ 3 . કાર્યને વિસ્તૃત કરો f(x)=ln xસત્તાઓની શ્રેણીમાં ( X- 1),

(એટલે ​​કે બિંદુની નજીકમાં ટેલર શ્રેણીમાં એક્સ=1).

ઉકેલ. આ કાર્યના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો.

આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં બદલીને, અમે ઇચ્છિત ટેલર શ્રેણી મેળવીએ છીએ:

d'Alembert's test નો ઉપયોગ કરીને, તમે ચકાસી શકો છો કે શ્રેણી ક્યારે કન્વર્જ થાય છે

½ X- 1½<1. Действительно,

શ્રેણી કન્વર્જ થાય છે જો ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При એક્સ=2 અમે એક વૈકલ્પિક શ્રેણી મેળવીએ છીએ જે લીબનીઝ માપદંડની શરતોને સંતોષે છે. મુ એક્સ=0 કાર્ય વ્યાખ્યાયિત નથી. આમ, ટેલર શ્રેણીના કન્વર્જન્સનો પ્રદેશ અર્ધ-ખુલ્લો અંતરાલ છે (0;2].

ચાલો આપણે આ રીતે મેળવેલા વિસ્તરણને મેકલોરિન શ્રેણીમાં રજૂ કરીએ (એટલે ​​કે બિંદુની નજીકમાં એક્સ=0) કેટલાક પ્રાથમિક કાર્યો માટે:

(2) ,

(3) ,

(છેલ્લું વિઘટન કહેવાય છે દ્વિપદી શ્રેણી)

ઉદાહરણ 4 . કાર્યને પાવર શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરો

ઉકેલ. વિસ્તરણમાં (1) અમે બદલીએ છીએ એક્સપર - એક્સ 2, અમને મળે છે:

ઉદાહરણ 5 . Maclaurin શ્રેણીમાં કાર્યને વિસ્તૃત કરો

ઉકેલ. અમારી પાસે છે

ફોર્મ્યુલા (4) નો ઉપયોગ કરીને, આપણે લખી શકીએ છીએ:

તેના બદલે અવેજી એક્સસૂત્રમાં -એક્સ, અમને મળે છે:

અહીંથી આપણે શોધીએ છીએ:

કૌંસ ખોલીને, શ્રેણીની શરતોને ફરીથી ગોઠવીને અને સમાન શરતો લાવવાથી, આપણને મળે છે

આ શ્રેણી અંતરાલમાં એકરૂપ થાય છે

(-1;1), કારણ કે તે બે શ્રેણીમાંથી મેળવવામાં આવે છે, જેમાંથી દરેક આ અંતરાલમાં એકરૂપ થાય છે.

ટિપ્પણી .

ફોર્મ્યુલા (1)-(5) નો ઉપયોગ ટેલર શ્રેણીમાં અનુરૂપ કાર્યોને વિસ્તૃત કરવા માટે પણ થઈ શકે છે, એટલે કે. સકારાત્મક પૂર્ણાંક શક્તિઓમાં કાર્યોના વિસ્તરણ માટે ( હા). આ કરવા માટે, ફંક્શન (1)-(5)માંથી એક મેળવવા માટે આપેલ ફંક્શન પર આવા સમાન રૂપાંતરણો કરવા જરૂરી છે, જેમાં તેના બદલે એક્સખર્ચ k( હા) m , જ્યાં k એ સ્થિર સંખ્યા છે, m એ સકારાત્મક પૂર્ણાંક છે. ચલમાં ફેરફાર કરવો તે ઘણી વખત અનુકૂળ હોય છે t=હાઅને મેકલોરીન શ્રેણીમાં ટીના સંદર્ભમાં પરિણામી કાર્યને વિસ્તૃત કરો.

આ પદ્ધતિ કાર્યની શક્તિ શ્રેણીના વિસ્તરણની વિશિષ્ટતા પર પ્રમેયને સમજાવે છે. આ પ્રમેયનો સાર એ છે કે એક જ બિંદુની પડોશમાં બે અલગ-અલગ પાવર શ્રેણીઓ મેળવી શકાતી નથી જે એક જ કાર્યમાં એકરૂપ થાય, પછી ભલે તેનું વિસ્તરણ કેવી રીતે કરવામાં આવે.

ઉદાહરણ 6 . બિંદુના પડોશમાં કાર્યને ટેલર શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરો એક્સ=3.

ઉકેલ. આ સમસ્યા પહેલાની જેમ ટેલર શ્રેણીની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે, જેના માટે આપણે ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્ઝ અને તેના મૂલ્યો શોધવાની જરૂર છે એક્સ=3. જો કે, હાલના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરવો વધુ સરળ બનશે (5):

પરિણામી શ્રેણી અંતે કન્વર્જ થાય છે અથવા -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

ઉદાહરણ 7 . શક્તિઓમાં ટેલર શ્રેણી લખો ( એક્સ-1) કાર્યો .

ઉકેલ.

શ્રેણી ખાતે કન્વર્જ થાય છે , અથવા -2< x£5.

જો ફંક્શન f(x) પાસે બિંદુ a ધરાવતા ચોક્કસ અંતરાલ પર તમામ ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ હોય, તો ટેલર સૂત્ર તેના પર લાગુ કરી શકાય છે:
,
જ્યાં આર એન- કહેવાતા શેષ પદ અથવા શ્રેણીના શેષ, તે લેગ્રેન્જ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અંદાજિત કરી શકાય છે:
, જ્યાં x સંખ્યા x અને a વચ્ચે છે.

f(x)=

બિંદુ x 0 = પર
પંક્તિ ઘટકોની સંખ્યા 3 4 5 6 7
પ્રાથમિક કાર્યોના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરો e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

કાર્યો દાખલ કરવા માટેના નિયમો:

જો અમુક મૂલ્ય માટે એક્સ આર એન→0 વાગ્યે n→∞, પછી મર્યાદામાં ટેલર સૂત્ર આ મૂલ્ય માટે કન્વર્જન્ટ બને છે ટેલર શ્રેણી:
,
આમ, વિધેય f(x) ને ટેલર શ્રેણીમાં વિસ્તરણ કરી શકાય છે જે બિંદુ x પર વિચારણા હેઠળ છે જો:
1) તેમાં તમામ ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ છે;
2) બાંધેલી શ્રેણી આ બિંદુએ એકરૂપ થાય છે.

જ્યારે a = 0 મળે છે ત્યારે આપણને શ્રેણી કહેવાય છે મેકલોરિન નજીક:
,
મેકલોરિન શ્રેણીમાં સૌથી સરળ (પ્રાથમિક) કાર્યોનું વિસ્તરણ:
ઘાતાંકીય કાર્યો
, R=∞
ત્રિકોણમિતિ કાર્યો
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
કાર્ય actgx x ની શક્તિઓમાં વિસ્તરતું નથી, કારણ કે ctg0=∞
હાયપરબોલિક કાર્યો


લઘુગણક કાર્યો
, -1
દ્વિપદી શ્રેણી
.

ઉદાહરણ નંબર 1. કાર્યને પાવર શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરો f(x)= 2x.
ઉકેલ. ચાલો ફંક્શનની કિંમતો અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ એક્સ=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2x ln 2 2, f""( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
ડેરિવેટિવ્ઝના પ્રાપ્ત મૂલ્યોને ટેલર શ્રેણીના સૂત્રમાં બદલીને, અમે મેળવીએ છીએ:

આ શ્રેણીના કન્વર્જન્સની ત્રિજ્યા અનંતની બરાબર છે, તેથી આ વિસ્તરણ -∞ માટે માન્ય છે<x<+∞.

ઉદાહરણ નંબર 2. શક્તિઓમાં ટેલર શ્રેણી લખો ( એક્સ+4) કાર્ય માટે f(x)=ઇ x.
ઉકેલ. ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવું e xઅને બિંદુ પર તેમના મૂલ્યો એક્સ=-4.
f(x)= ઇ x, f(-4) = ઇ -4 ;
f"(x)= ઇ x, f"(-4) = ઇ -4 ;
f""(x)= ઇ x, f""(-4) = ઇ -4 ;
…
f(n)(x)= ઇ x, f(n)( -4) = ઇ -4 .
તેથી, ફંક્શનની આવશ્યક ટેલર શ્રેણીમાં ફોર્મ છે:

આ વિસ્તરણ -∞ માટે પણ માન્ય છે<x<+∞.

ઉદાહરણ નંબર 3. કાર્યને વિસ્તૃત કરો f(x)=ln xસત્તાઓની શ્રેણીમાં ( X- 1),
(એટલે ​​કે બિંદુની નજીકમાં ટેલર શ્રેણીમાં એક્સ=1).
ઉકેલ. આ કાર્યના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં બદલીને, અમે ઇચ્છિત ટેલર શ્રેણી મેળવીએ છીએ:

ડી'એલેમ્બર્ટના ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીને, તમે ચકાસી શકો છો કે શ્રેણી ½x-1½ પર કન્વર્જ થાય છે<1 . Действительно,

શ્રેણી કન્વર્જ થાય છે જો ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При એક્સ=2 અમે એક વૈકલ્પિક શ્રેણી મેળવીએ છીએ જે લીબનીઝ માપદંડની શરતોને સંતોષે છે. જ્યારે x=0 કાર્ય વ્યાખ્યાયિત નથી. આમ, ટેલર શ્રેણીના કન્વર્જન્સનો પ્રદેશ અર્ધ-ખુલ્લો અંતરાલ છે (0;2].

ઉદાહરણ નંબર 4. કાર્યને પાવર શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરો.
ઉકેલ. વિસ્તરણમાં (1) આપણે x ને -x 2 થી બદલીએ છીએ, આપણને મળે છે:
, -∞

ઉદાહરણ નંબર 5. કાર્યને Maclaurin શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરો.
ઉકેલ. અમારી પાસે છે
ફોર્મ્યુલા (4) નો ઉપયોગ કરીને, આપણે લખી શકીએ છીએ:

ફોર્મ્યુલામાં x ને બદલે –x ને બદલે, આપણને મળે છે:

અહીંથી આપણે શોધીએ છીએ: ln(1+x)-ln(1-x) = -
કૌંસ ખોલીને, શ્રેણીની શરતોને ફરીથી ગોઠવીને અને સમાન શરતો લાવવાથી, આપણને મળે છે
. આ શ્રેણી અંતરાલ (-1;1) માં કન્વર્જ થાય છે, કારણ કે તે બે શ્રેણીમાંથી મેળવવામાં આવે છે, જેમાંથી દરેક આ અંતરાલમાં કન્વર્જ થાય છે.

ટિપ્પણી .
ફોર્મ્યુલા (1)-(5) નો ઉપયોગ ટેલર શ્રેણીમાં અનુરૂપ કાર્યોને વિસ્તૃત કરવા માટે પણ થઈ શકે છે, એટલે કે. સકારાત્મક પૂર્ણાંક શક્તિઓમાં કાર્યોના વિસ્તરણ માટે ( હા). આ કરવા માટે, ફંક્શન (1)-(5)માંથી એક મેળવવા માટે આપેલ ફંક્શન પર આવા સમાન રૂપાંતરણો કરવા જરૂરી છે, જેમાં તેના બદલે એક્સખર્ચ k( હા) m , જ્યાં k એ સ્થિર સંખ્યા છે, m એ સકારાત્મક પૂર્ણાંક છે. ચલમાં ફેરફાર કરવો તે ઘણી વખત અનુકૂળ હોય છે t=હાઅને મેકલોરીન શ્રેણીમાં ટીના સંદર્ભમાં પરિણામી કાર્યને વિસ્તૃત કરો.

આ પદ્ધતિ પાવર શ્રેણીમાં કાર્યના વિસ્તરણની વિશિષ્ટતા પરના પ્રમેય પર આધારિત છે. આ પ્રમેયનો સાર એ છે કે એક જ બિંદુની પડોશમાં બે અલગ-અલગ પાવર શ્રેણીઓ મેળવી શકાતી નથી જે એક જ કાર્યમાં એકરૂપ થાય, પછી ભલે તેનું વિસ્તરણ કેવી રીતે કરવામાં આવે.

ઉદાહરણ નંબર 5a. મેકલોરિન શ્રેણીમાં ફંક્શનને વિસ્તૃત કરો અને કન્વર્જન્સનો પ્રદેશ સૂચવો.
ઉકેલ. પહેલા આપણે 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , શોધીએ છીએ.
પ્રાથમિક માટે:

અપૂર્ણાંક 3/(1-3x) ને 3x ના છેદ સાથે અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિના સરવાળા તરીકે ગણી શકાય, જો |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

કન્વર્જન્સ પ્રદેશ સાથે |x|< 1/3.

ઉદાહરણ નંબર 6. બિંદુ x = 3 ની નજીકમાં ટેલર શ્રેણીમાં કાર્યને વિસ્તૃત કરો.
ઉકેલ. આ સમસ્યા પહેલાની જેમ ટેલર શ્રેણીની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે, જેના માટે આપણે ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્ઝ અને તેના મૂલ્યો શોધવાની જરૂર છે એક્સ=3. જો કે, હાલના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરવો વધુ સરળ બનશે (5):
=
પરિણામી શ્રેણી અથવા -3 પર કન્વર્જ થાય છે

ઉદાહરણ નંબર 7. ln(x+2) ફંક્શનની શક્તિઓ (x -1) માં ટેલર શ્રેણી લખો.
ઉકેલ.


શ્રેણી , અથવા -2 પર કન્વર્જ થાય છે< x < 5.

ઉદાહરણ નંબર 8. બિંદુ x =2 ની નજીકમાં ફંક્શન f(x)=sin(πx/4) ને ટેલર શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરો.
ઉકેલ. ચાલો બદલીએ t=x-2:

વિસ્તરણ (3) નો ઉપયોગ કરીને, જેમાં આપણે x ની જગ્યાએ π/4 t બદલીએ છીએ, આપણે મેળવીએ છીએ:

પરિણામી શ્રેણી -∞ પર આપેલ કાર્યમાં કન્વર્જ થાય છે< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞આમ,
, (-∞

પાવર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને અંદાજિત ગણતરીઓ

અંદાજિત ગણતરીઓમાં પાવર શ્રેણીનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. તેમની મદદથી, તમે આપેલ ચોકસાઈ સાથે મૂળના મૂલ્યો, ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, સંખ્યાઓના લઘુગણક અને ચોક્કસ પૂર્ણાંકોની ગણતરી કરી શકો છો. વિભેદક સમીકરણોને એકીકૃત કરતી વખતે શ્રેણીનો પણ ઉપયોગ થાય છે.
પાવર શ્રેણીમાં ફંક્શનના વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લો:

આપેલ બિંદુ પર ફંક્શનના અંદાજિત મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે એક્સ, દર્શાવેલ શ્રેણીના કન્વર્જન્સના પ્રદેશ સાથે સંબંધિત, પ્રથમ તેના વિસ્તરણમાં બાકી છે nસભ્યો ( n- એક મર્યાદિત સંખ્યા), અને બાકીની શરતો કાઢી નાખવામાં આવે છે:

પ્રાપ્ત અંદાજિત મૂલ્યની ભૂલનો અંદાજ કાઢવા માટે, કાઢી નાખેલ બાકીના rn (x) નો અંદાજ કાઢવો જરૂરી છે. આ કરવા માટે, નીચેની તકનીકોનો ઉપયોગ કરો:

• જો પરિણામી શ્રેણી વૈકલ્પિક હોય, તો નીચેની મિલકતનો ઉપયોગ થાય છે: લીબનીઝની શરતોને સંતોષતી વૈકલ્પિક શ્રેણી માટે, સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં શ્રેણીની બાકીની પ્રથમ કાઢી નાખવામાં આવેલી મુદતથી વધુ નથી..
• જો આપેલ શ્રેણી અચળ સંકેતની હોય, તો છોડવામાં આવેલા પદોથી બનેલી શ્રેણીની તુલના અનંતપણે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ સાથે કરવામાં આવે છે.
• સામાન્ય કિસ્સામાં, ટેલર શ્રેણીની બાકીની ગણતરી કરવા માટે, તમે લેગ્રેન્જ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો: a x ).

ઉદાહરણ નંબર 1. નજીકના 0.01 સુધી ln(3) ની ગણતરી કરો.
ઉકેલ. ચાલો વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીએ જ્યાં x=1/2 (અગાઉના વિષયમાં ઉદાહરણ 5 જુઓ):

ચાલો તપાસ કરીએ કે શું આપણે વિસ્તરણની પ્રથમ ત્રણ શરતો પછી બાકીનાને કાઢી નાખી શકીએ છીએ, અમે તેને અસંખ્ય રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિના સરવાળાનો ઉપયોગ કરીને મૂલ્યાંકન કરીશું:

તેથી આપણે આ શેષને કાઢી નાખી શકીએ અને મેળવી શકીએ

ઉદાહરણ નંબર 2. નજીકના 0.0001 સુધી ગણતરી કરો.
ઉકેલ. ચાલો દ્વિપદી શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીએ. 5 3 એ 130 ની સૌથી નજીકના પૂર્ણાંકનો ઘન હોવાથી, 130 નંબરને 130 = 5 3 +5 તરીકે રજૂ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.



કારણ કે પહેલેથી જ લીબનીઝ માપદંડને સંતોષતી પરિણામી વૈકલ્પિક શ્રેણીની ચોથી મુદત જરૂરી ચોકસાઈ કરતા ઓછી છે:
, તેથી તે અને તેને અનુસરતી શરતો કાઢી નાખી શકાય છે.
ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઘણા વ્યવહારિક રીતે જરૂરી ચોક્કસ અથવા અયોગ્ય ઇન્ટિગ્રલ્સની ગણતરી કરી શકાતી નથી, કારણ કે તેનો ઉપયોગ એન્ટિડેરિવેટિવ શોધવા સાથે સંકળાયેલ છે, જે ઘણીવાર પ્રાથમિક કાર્યોમાં અભિવ્યક્તિ ધરાવતી નથી. એવું પણ બને છે કે એન્ટિડેરિવેટિવ શોધવું શક્ય છે, પરંતુ તે બિનજરૂરી રીતે શ્રમ-સઘન છે. જો કે, જો ઇન્ટિગ્રેંડ ફંક્શનને પાવર શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે, અને એકીકરણની મર્યાદા આ શ્રેણીના કન્વર્જન્સના અંતરાલ સાથે સંબંધિત છે, તો પૂર્વનિર્ધારિત ચોકસાઈ સાથે પૂર્ણાંકની અંદાજિત ગણતરી શક્ય છે.

ઉદાહરણ નંબર 3. અવિભાજ્ય ∫ 0 1 4 sin (x) x ની 10 -5 ની અંદર ગણતરી કરો.
ઉકેલ. અનુરૂપ અનિશ્ચિત પૂર્ણાંક પ્રાથમિક કાર્યોમાં વ્યક્ત કરી શકાતા નથી, એટલે કે. "બિન-કાયમી અભિન્ન" રજૂ કરે છે. ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્ર અહીં લાગુ કરી શકાતું નથી. ચાલો ઇન્ટિગ્રલની અંદાજે ગણતરી કરીએ.
પાપ માટેની શ્રેણીને શબ્દ દ્વારા વિભાજીત કરવી xપર x, અમને મળે છે:

આ શ્રેણીના શબ્દને ટર્મ દ્વારા એકીકૃત કરવાથી (આ શક્ય છે, કારણ કે એકીકરણની મર્યાદા આ શ્રેણીના કન્વર્જન્સના અંતરાલ સાથે સંબંધિત છે), અમે પ્રાપ્ત કરીએ છીએ:

કારણ કે પરિણામી શ્રેણી લીબનીઝની શરતોને સંતોષે છે અને આપેલ ચોકસાઈ સાથે ઇચ્છિત મૂલ્ય મેળવવા માટે પ્રથમ બે શરતોનો સરવાળો લેવા માટે તે પૂરતું છે.
આમ, આપણે શોધીએ છીએ
.

ઉદાહરણ નંબર 4. 0.001 ની ચોકસાઈ સાથે અભિન્ન ∫ 0 1 4 e x 2 ની ગણતરી કરો.
ઉકેલ.
. ચાલો તપાસ કરીએ કે પરિણામી શ્રેણીની બીજી મુદત પછી આપણે બાકીનાને કાઢી નાખી શકીએ.
0.0001<0.001. Следовательно, .

16.1. ટેલર શ્રેણીમાં પ્રાથમિક કાર્યોનું વિસ્તરણ અને

મેકલોરિન

ચાલો બતાવીએ કે જો સેટ પર આર્બિટરી ફંક્શન વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે
, બિંદુની નજીકમાં
ઘણા ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવે છે અને તે પાવર શ્રેણીનો સરવાળો છે:

પછી તમે આ શ્રેણીના ગુણાંક શોધી શકો છો.

ચાલો પાવર શ્રેણીમાં બદલીએ
. પછી
.

ચાલો ફંક્શનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શોધીએ
:

મુ
:
.

બીજા વ્યુત્પન્ન માટે આપણને મળે છે:

મુ
:
.

આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખવી nએકવાર આપણે મેળવીએ:
.

આમ, અમે ફોર્મની પાવર શ્રેણી મેળવી:

,

જે કહેવાય છે ટેલરની બાજુમાંકાર્ય માટે
બિંદુની નજીકમાં
.

ટેલર સિરીઝનો એક ખાસ કિસ્સો છે મેકલોરિન શ્રેણીખાતે
:

ટેલર (મેકલોરિન) શ્રેણીનો બાકીનો ભાગ મુખ્ય શ્રેણીને છોડીને મેળવવામાં આવે છે nપ્રથમ સભ્યો અને તરીકે સૂચવવામાં આવે છે
. પછી કાર્ય
રકમ તરીકે લખી શકાય છે nશ્રેણીના પ્રથમ સભ્યો
અને બાકીના
:,

.

બાકી સામાન્ય રીતે છે
વિવિધ સૂત્રોમાં વ્યક્ત.

તેમાંથી એક લેગ્રેન્જ સ્વરૂપમાં છે:

, ક્યાં
.
.

નોંધ કરો કે વ્યવહારમાં મેક્લોરિન શ્રેણીનો વધુ વખત ઉપયોગ થાય છે. આમ, ફંક્શન લખવા માટે
પાવર સિરીઝ રકમના રૂપમાં તે જરૂરી છે:

1) મેકલોરિન (ટેલર) શ્રેણીના ગુણાંક શોધો;

2) પરિણામી પાવર શ્રેણીના કન્વર્જન્સનો પ્રદેશ શોધો;

3) સાબિત કરો કે આ શ્રેણી ફંક્શનમાં કન્વર્જ થાય છે
.

પ્રમેય1 (મેકલોરીન શ્રેણીના કન્વર્જન્સ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ). શ્રેણીના કન્વર્જન્સની ત્રિજ્યા દો
. આ શ્રેણી અંતરાલમાં એકરૂપ થાય તે માટે
કાર્ય કરવા માટે
, સ્થિતિ સંતોષવા માટે તે જરૂરી અને પૂરતું છે:
ઉલ્લેખિત અંતરાલમાં.

પ્રમેય 2.જો કાર્યના કોઈપણ ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ
અમુક અંતરાલમાં
સમાન સંખ્યા સુધી સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં મર્યાદિત એમ, એટલે કે
, પછી આ અંતરાલમાં ફંક્શન
મેકલોરિન શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ1 . બિંદુની આસપાસ ટેલર શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરો
કાર્ય

ઉકેલ.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

કન્વર્જન્સ પ્રદેશ
.

ઉદાહરણ2 . કાર્યને વિસ્તૃત કરો એક બિંદુ આસપાસ ટેલર શ્રેણીમાં
.

ઉકેલ:

ફંક્શનની કિંમત અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝ પર શોધો
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

ચાલો આ મૂલ્યોને એક પંક્તિમાં મૂકીએ. અમને મળે છે:

અથવા
.

ચાલો આ શ્રેણીના કન્વર્જન્સનો પ્રદેશ શોધીએ. ડી'એલેમ્બર્ટની કસોટી મુજબ, જો શ્રેણી કન્વર્જ થાય છે

.

તેથી, કોઈપણ માટે આ મર્યાદા 1 કરતા ઓછી છે, અને તેથી શ્રેણીના કન્વર્જન્સની શ્રેણી હશે:
.

ચાલો મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના મૅકલોરિન શ્રેણીના વિસ્તરણના કેટલાક ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લઈએ. યાદ કરો કે મેક્લોરિન શ્રેણી:

.

અંતરાલ પર એકરૂપ થાય છે
કાર્ય કરવા માટે
.

નોંધ કરો કે ફંક્શનને શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરવા માટે તે જરૂરી છે:

a) આ કાર્ય માટે મેકલોરિન શ્રેણીના ગુણાંક શોધો;

b) પરિણામી શ્રેણી માટે કન્વર્જન્સની ત્રિજ્યાની ગણતરી કરો;

c) સાબિત કરો કે પરિણામી શ્રેણી ફંક્શનમાં કન્વર્જ થાય છે
.

ઉદાહરણ 3.કાર્યને ધ્યાનમાં લો
.

ઉકેલ.

ચાલો ફંક્શનની કિંમત અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરીએ
.

પછી શ્રેણીના સંખ્યાત્મક ગુણાંકનું સ્વરૂપ છે:

કોઈપણ માટે nચાલો મેકલોરિન શ્રેણીમાં મળેલા ગુણાંકને બદલીએ અને મેળવીએ:

ચાલો પરિણામી શ્રેણીના કન્વર્જન્સની ત્રિજ્યા શોધીએ, એટલે કે:

.

તેથી, શ્રેણી અંતરાલ પર એકરૂપ થાય છે
.

આ શ્રેણી ફંક્શનમાં કન્વર્જ થાય છે કોઈપણ મૂલ્યો માટે , કારણ કે કોઈપણ અંતરાલ પર
કાર્ય અને તેના સંપૂર્ણ મૂલ્યના ડેરિવેટિવ્ઝ સંખ્યામાં મર્યાદિત છે .

ઉદાહરણ4 . કાર્યને ધ્યાનમાં લો
.

ઉકેલ.

:

તે જોવાનું સરળ છે કે સમાન ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ
, અને ડેરિવેટિવ્ઝ વિચિત્ર ક્રમના છે. ચાલો આપણે મળેલા ગુણાંકને મેકલોરીન શ્રેણીમાં બદલીએ અને વિસ્તરણ મેળવીએ:

ચાલો આ શ્રેણીના કન્વર્જન્સનું અંતરાલ શોધીએ. ડી'એલેમ્બર્ટના સંકેત મુજબ:

કોઈપણ માટે . તેથી, શ્રેણી અંતરાલ પર એકરૂપ થાય છે
.

આ શ્રેણી ફંક્શનમાં કન્વર્જ થાય છે
, કારણ કે તેના તમામ ડેરિવેટિવ્સ એકતા સુધી મર્યાદિત છે.

ઉદાહરણ5 .
.

ઉકેલ.

ચાલો ફંક્શનની કિંમત અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝ અહીં શોધીએ
:

આમ, આ શ્રેણીના ગુણાંક:
અને
, તેથી:

પાછલી પંક્તિની જેમ, કન્વર્જન્સનો વિસ્તાર
. શ્રેણી ફંક્શનમાં કન્વર્જ થાય છે
, કારણ કે તેના તમામ ડેરિવેટિવ્સ એકતા સુધી મર્યાદિત છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે કાર્ય
વિષમ શક્તિઓ, કાર્યમાં વિષમ અને શ્રેણી વિસ્તરણ
- સમ અને સમ શક્તિઓમાં શ્રેણીમાં વિસ્તરણ.

ઉદાહરણ6 . દ્વિપદી શ્રેણી:
.

ઉકેલ.

ચાલો ફંક્શનની કિંમત અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝ અહીં શોધીએ
:

આના પરથી તે જોઈ શકાય છે કે:

ચાલો આપણે આ ગુણાંકના મૂલ્યોને મેકલોરિન શ્રેણીમાં બદલીએ અને આ કાર્યને પાવર શ્રેણીમાં વિસ્તરણ મેળવીએ:

ચાલો આ શ્રેણીના કન્વર્જન્સની ત્રિજ્યા શોધીએ:

તેથી, શ્રેણી અંતરાલ પર એકરૂપ થાય છે
. પર મર્યાદિત બિંદુઓ પર
અને
ઘાતાંકના આધારે શ્રેણી કન્વર્જ થઈ શકે છે કે નહીં
.

અભ્યાસ કરેલ શ્રેણી અંતરાલ પર એકરૂપ થાય છે
કાર્ય કરવા માટે
, એટલે કે, શ્રેણીનો સરવાળો
ખાતે
.

ઉદાહરણ7 . ચાલો Maclaurin શ્રેણીમાં ફંક્શનને વિસ્તૃત કરીએ
.

ઉકેલ.

આ કાર્યને શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરવા માટે, અમે દ્વિપદી શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ
. અમને મળે છે:

પાવર સિરીઝના ગુણધર્મના આધારે (પાવર સિરીઝને તેના કન્વર્જન્સના પ્રદેશમાં એકીકૃત કરી શકાય છે), અમે આ શ્રેણીની ડાબી અને જમણી બાજુઓનું અવિભાજ્ય શોધીએ છીએ:

ચાલો આ શ્રેણીના કન્વર્જન્સનો વિસ્તાર શોધીએ:
,

એટલે કે, આ શ્રેણીના કન્વર્જન્સનો વિસ્તાર અંતરાલ છે
.

. આ શ્રેણી એક સુમેળપૂર્ણ શ્રેણી છે, એટલે કે, તે અલગ પડે છે. મુ
આપણને સામાન્ય શબ્દ સાથે સંખ્યા શ્રેણી મળે છે
.

લીબનીઝની કસોટી અનુસાર શ્રેણી કન્વર્જ થાય છે. આમ, આ શ્રેણીના કન્વર્જન્સનો પ્રદેશ અંતરાલ છે
.

16.2. અંદાજિત ગણતરીઓમાં પાવર શ્રેણીનો ઉપયોગ

અંદાજિત ગણતરીઓમાં, પાવર શ્રેણી અત્યંત મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. તેમની મદદથી, ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના કોષ્ટકો, લઘુગણકના કોષ્ટકો, અન્ય કાર્યોના મૂલ્યોના કોષ્ટકોનું સંકલન કરવામાં આવ્યું છે, જેનો ઉપયોગ જ્ઞાનના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડાઓમાં. વધુમાં, પાવર શ્રેણીમાં કાર્યોનું વિસ્તરણ તેમના સૈદ્ધાંતિક અભ્યાસ માટે ઉપયોગી છે. અંદાજિત ગણતરીમાં પાવર સિરીઝનો ઉપયોગ કરતી વખતે મુખ્ય મુદ્દો એ છે કે શ્રેણીના સરવાળાને તેના પ્રથમ સરવાળા સાથે બદલતી વખતે ભૂલનો અંદાજ કાઢવાનો પ્રશ્ન છે. nસભ્યો

ચાલો બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ:

ફંક્શનને સાઇન-વૈકલ્પિક શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે;

કાર્યને સતત સંકેતની શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે.

વૈકલ્પિક શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી

કાર્ય કરવા દો
વૈકલ્પિક શક્તિ શ્રેણીમાં વિસ્તૃત. પછી જ્યારે ચોક્કસ મૂલ્ય માટે આ કાર્યની ગણતરી કરો અમે સંખ્યા શ્રેણી મેળવીએ છીએ જેમાં અમે લીબનીઝ માપદંડ લાગુ કરી શકીએ છીએ. આ માપદંડ અનુસાર, જો શ્રેણીનો સરવાળો તેના પ્રથમના સરવાળા દ્વારા બદલવામાં આવે તો nશરતો, તો પછી સંપૂર્ણ ભૂલ આ શ્રેણીની બાકીની પ્રથમ મુદત કરતાં વધી જતી નથી, એટલે કે:
.

ઉદાહરણ8 . ગણતરી કરો
0.0001 ની ચોકસાઈ સાથે.

ઉકેલ.

અમે Maclaurin શ્રેણી માટે ઉપયોગ કરશે
, કોણ મૂલ્યને રેડિયનમાં બદલીને:

જો આપણે આપેલ ચોકસાઈ સાથે શ્રેણીના પ્રથમ અને બીજા શબ્દોની તુલના કરીએ, તો: .

વિસ્તરણની ત્રીજી મુદત:

ઉલ્લેખિત ગણતરીની ચોકસાઈ કરતાં ઓછી. તેથી, ગણતરી કરવા માટે
શ્રેણીની બે શરતો છોડવા માટે તે પૂરતું છે, એટલે કે

.

આમ
.

ઉદાહરણ9 . ગણતરી કરો
0.001 ની ચોકસાઈ સાથે.

ઉકેલ.

આપણે દ્વિપદી શ્રેણીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું. આ કરવા માટે, ચાલો લખીએ
ફોર્મમાં:
.

આ અભિવ્યક્તિમાં
,

ચાલો શ્રેણીની દરેક શરતોને સ્પષ્ટ કરેલ ચોકસાઈ સાથે સરખાવીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે
. તેથી, ગણતરી કરવા માટે
શ્રેણીની ત્રણ શરતો છોડવા માટે તે પૂરતું છે.

અથવા
.

હકારાત્મક શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી

ઉદાહરણ10 . સંખ્યાની ગણતરી કરો 0.001 ની ચોકસાઈ સાથે.

ઉકેલ.

ફંક્શન માટે એક પંક્તિમાં
ચાલો અવેજી કરીએ
. અમને મળે છે:

ચાલો શ્રેણીના સરવાળાને પ્રથમના સરવાળા સાથે બદલતી વખતે ઉદ્દભવતી ભૂલનો અંદાજ કાઢીએ. સભ્યો ચાલો સ્પષ્ટ અસમાનતા લખીએ:

એટલે કે 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

સમસ્યા અનુસાર, તમારે શોધવાની જરૂર છે nજેમ કે નીચેની અસમાનતા ધરાવે છે:
અથવા
.

જ્યારે તે તપાસવું સરળ છે n= 6:
.

આથી,
.

ઉદાહરણ11 . ગણતરી કરો
0.0001 ની ચોકસાઈ સાથે.

ઉકેલ.

નોંધ કરો કે લઘુગણકની ગણતરી કરવા માટે ફંક્શન માટે શ્રેણીનો ઉપયોગ કરી શકાય છે
, પરંતુ આ શ્રેણી ખૂબ જ ધીરે ધીરે કન્વર્જ થાય છે અને આપેલ ચોકસાઈ હાંસલ કરવા માટે 9999 શરતો લેવી જરૂરી છે! તેથી, લઘુગણકની ગણતરી કરવા માટે, નિયમ તરીકે, કાર્ય માટેની શ્રેણીનો ઉપયોગ થાય છે
, જે અંતરાલ પર કન્વર્જ થાય છે
.

ચાલો ગણતરી કરીએ
આ શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને. દો
, પછી .

આથી,
,

ગણતરી કરવા માટે
આપેલ ચોકસાઈ સાથે, પ્રથમ ચાર શબ્દોનો સરવાળો લો:
.

બાકીની શ્રેણી
ચાલો તેને કાઢી નાખીએ. ચાલો ભૂલનો અંદાજ કાઢીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે

અથવા
.

આમ, ગણતરી માટે ઉપયોગમાં લેવાતી શ્રેણીમાં, કાર્ય માટે શ્રેણીમાં 9999 ને બદલે માત્ર પ્રથમ ચાર પદ લેવા માટે તે પૂરતું હતું.
.

સ્વ-નિદાન પ્રશ્નો

1. ટેલર શ્રેણી શું છે?

2. મેકલોરિન શ્રેણીનું શું સ્વરૂપ છે?

3. ટેલર શ્રેણીમાં કાર્યના વિસ્તરણ પર એક પ્રમેય ઘડવો.

4. મુખ્ય કાર્યોના મેકલોરિન શ્રેણીના વિસ્તરણને લખો.

5. શ્રેણીના કન્વર્જન્સના ક્ષેત્રોને ધ્યાનમાં લો.

6. પાવર સિરીઝનો ઉપયોગ કરીને અંદાજિત ગણતરીમાં ભૂલનો અંદાજ કેવી રીતે કાઢવો?

ઉચ્ચ ગણિતના વિદ્યાર્થીઓએ જાણવું જોઈએ કે અમને આપવામાં આવેલી શ્રેણીના કન્વર્જન્સના અંતરાલ સાથે સંબંધિત ચોક્કસ શક્તિ શ્રેણીનો સરવાળો એક સતત અને અમર્યાદિત સંખ્યામાં ભિન્ન કાર્ય તરીકે બહાર આવે છે. પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું એ કહેવું શક્ય છે કે આપેલ મનસ્વી કાર્ય f(x) એ ચોક્કસ પાવર શ્રેણીનો સરવાળો છે? એટલે કે, કઈ પરિસ્થિતિઓ હેઠળ ફંક્શન f(x) ને પાવર શ્રેણી દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે? આ પ્રશ્નનું મહત્વ એ હકીકતમાં રહેલું છે કે વિધેય f(x) ને પાવર શ્રેણીના પ્રથમ થોડા શબ્દોના સરવાળા સાથે, એટલે કે બહુપદી સાથે બદલવું શક્ય છે. એકદમ સરળ અભિવ્યક્તિ સાથે ફંક્શનનું આ ફેરબદલ - બહુપદી - અમુક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે પણ અનુકૂળ છે, એટલે કે: જ્યારે ઇન્ટિગ્રલ હલ કરતી વખતે, ગણતરી કરતી વખતે, વગેરે.

તે સાબિત થયું છે કે ચોક્કસ ફંક્શન f(x) માટે, જેમાં (α - R; x 0 + R) ની પડોશમાં છેલ્લા સહિત (n+1)મા ક્રમ સુધી ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરવી શક્ય છે. ) અમુક બિંદુ x = α, તે સાચું છે કે સૂત્ર:

આ ફોર્મ્યુલાનું નામ પ્રખ્યાત વૈજ્ઞાનિક બ્રુક ટેલરના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. અગાઉની શ્રેણીમાંથી મેળવેલ શ્રેણીને મેકલોરીન શ્રેણી કહેવામાં આવે છે:

નિયમ કે જે મેકલોરિન શ્રેણીમાં વિસ્તરણ કરવાનું શક્ય બનાવે છે:

1. પ્રથમ, બીજા, ત્રીજા... ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ નક્કી કરો.
2. x=0 પરના ડેરિવેટિવ્સ બરાબર શું છે તેની ગણતરી કરો.
3. આ ફંક્શન માટે મેકલોરિન શ્રેણી લખો અને પછી તેના કન્વર્જન્સનું અંતરાલ નક્કી કરો.
4. અંતરાલ (-R;R) નિર્ધારિત કરો, જ્યાં મેક્લોરિન સૂત્રનો બાકીનો ભાગ છે

R n (x) -> 0 પર n -> અનંત. જો એક અસ્તિત્વમાં હોય, તો તેમાંનું ફંક્શન f(x) મેકલોરિન શ્રેણીના સરવાળા સાથે મેળ ખાતું હોવું જોઈએ.

ચાલો હવે વ્યક્તિગત કાર્યો માટે Maclaurin શ્રેણીનો વિચાર કરીએ.

1. તેથી, પ્રથમ f(x) = e x હશે. અલબત્ત, તેની લાક્ષણિકતાઓ દ્વારા, આવા ફંક્શનમાં ખૂબ જ અલગ-અલગ ઓર્ડર હોય છે, અને f (k) (x) = e x , જ્યાં k અવેજી x = 0 હોય છે. આપણને મળે છે f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... ઉપરના આધારે, શ્રેણી e x આના જેવી દેખાશે:

2. ફંક્શન f(x) = sin x માટે Maclaurin શ્રેણી. ચાલો તરત જ સ્પષ્ટ કરીએ કે તમામ અજાણ્યાઓ માટેના ફંક્શનમાં ડેરિવેટિવ્ઝ હશે, વધુમાં, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), જ્યાં k એ કોઈપણ કુદરતી સંખ્યાની બરાબર છે એટલે કે, સરળ ગણતરી કર્યા પછી, આપણે આવી શકીએ છીએ નિષ્કર્ષ કે f(x) = sin x માટે આના જેવું દેખાશે:

3. હવે ચાલો ફંક્શન f(x) = cos x ધ્યાનમાં લેવાનો પ્રયત્ન કરીએ. તમામ અજ્ઞાત લોકો માટે તે મનસ્વી ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવે છે, અને |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

તેથી, અમે સૌથી મહત્વપૂર્ણ કાર્યોને સૂચિબદ્ધ કર્યા છે જે Maclaurin શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે, પરંતુ તે કેટલાક કાર્યો માટે ટેલર શ્રેણી દ્વારા પૂરક છે. હવે અમે તેમને સૂચિબદ્ધ કરીશું. એ નોંધવું પણ યોગ્ય છે કે ટેલર અને મેકલોરિન શ્રેણી ઉચ્ચ ગણિતમાં શ્રેણી ઉકેલવા પરના વ્યવહારુ કાર્યનો એક મહત્વપૂર્ણ ભાગ છે. તેથી, ટેલર શ્રેણી.

1. પ્રથમ ફંક્શન f(x) = ln(1+x) માટે શ્રેણી હશે. અગાઉના ઉદાહરણોની જેમ, આપેલ f(x) = ln(1+x) માટે આપણે Maclaurin શ્રેણીના સામાન્ય સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીને શ્રેણી ઉમેરી શકીએ છીએ. જો કે, આ કાર્ય માટે Maclaurin શ્રેણી વધુ સરળ રીતે મેળવી શકાય છે. ચોક્કસ ભૌમિતિક શ્રેણીને એકીકૃત કર્યા પછી, અમે આવા નમૂનાની f(x) = ln(1+x) માટે શ્રેણી મેળવીએ છીએ:

2. અને બીજું, જે અમારા લેખમાં અંતિમ હશે, f(x) = arctan x માટે શ્રેણી હશે. અંતરાલ [-1;1] સાથે જોડાયેલા x માટે વિસ્તરણ માન્ય છે:

બસ એટલું જ. આ લેખ ઉચ્ચ ગણિતમાં, ખાસ કરીને અર્થશાસ્ત્ર અને તકનીકી યુનિવર્સિટીઓમાં સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતી ટેલર અને મેકલોરિન શ્રેણીની તપાસ કરે છે.

પ્રાયોગિક કૌશલ્યોને તાલીમ આપવા માટે એક સાઇટ પર ટેલર, મેકલોરિન અને લોરેન્ટ શ્રેણીમાં કાર્યનું વિસ્તરણ. ફંક્શનનું આ શ્રેણી વિસ્તરણ ગણિતશાસ્ત્રીઓને તેની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં અમુક સમયે ફંક્શનના અંદાજિત મૂલ્યનો અંદાજ કાઢવાની મંજૂરી આપે છે. બ્રેડિસ ટેબલના ઉપયોગની તુલનામાં આવા કાર્ય મૂલ્યની ગણતરી કરવી ખૂબ સરળ છે, જે કમ્પ્યુટર તકનીકના યુગમાં ખૂબ અપ્રસ્તુત છે. ટેલર શ્રેણીમાં ફંક્શનને વિસ્તૃત કરવાનો અર્થ એ છે કે આ શ્રેણીના રેખીય કાર્યોના ગુણાંકની ગણતરી કરવી અને તેને યોગ્ય સ્વરૂપમાં લખવું. વિદ્યાર્થીઓ આ બે શ્રેણીને મૂંઝવણમાં મૂકે છે, સામાન્ય કેસ શું છે અને બીજાનો વિશેષ કેસ શું છે તે સમજી શકતા નથી. ચાલો અમે તમને એકવાર અને બધા માટે યાદ અપાવીએ કે મેકલોરિન શ્રેણી ટેલર શ્રેણીનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે, એટલે કે, આ ટેલર શ્રેણી છે, પરંતુ બિંદુ x = 0 પર. જાણીતા કાર્યોના વિસ્તરણ માટે તમામ સંક્ષિપ્ત એન્ટ્રીઓ, જેમ કે e^x, Sin(x), Cos(x) અને અન્ય, આ ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણ છે, પરંતુ દલીલ માટે બિંદુ 0 પર. જટિલ દલીલના કાર્યો માટે, લોરેન્ટ શ્રેણી એ TFCT માં સૌથી સામાન્ય સમસ્યા છે, કારણ કે તે બે બાજુવાળી અનંત શ્રેણીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. તે બે શ્રેણીનો સરવાળો છે. અમે સૂચવીએ છીએ કે તમે સીધા જ વેબસાઇટ પર વિઘટનનું ઉદાહરણ જુઓ; કોઈપણ નંબર સાથે "ઉદાહરણ" અને પછી "સોલ્યુશન" બટન પર ક્લિક કરીને આ કરવું ખૂબ જ સરળ છે. તે ચોક્કસ રીતે શ્રેણીમાં ફંક્શનનું વિસ્તરણ છે જે મુખ્ય શ્રેણી સાથે સંકળાયેલું છે જે ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે ચોક્કસ પ્રદેશમાં મૂળ કાર્યને મર્યાદિત કરે છે જો ચલ એબ્સીસા પ્રદેશનું હોય. વેક્ટર પૃથ્થકરણની સરખામણી ગણિતમાં અન્ય રસપ્રદ શિસ્ત સાથે કરવામાં આવે છે. દરેક ટર્મને તપાસવાની જરૂર હોવાથી, પ્રક્રિયામાં ઘણો સમય લાગે છે. કોઈપણ ટેલર શ્રેણીને x0 ને શૂન્ય સાથે બદલીને મેકલોરીન શ્રેણી સાથે સાંકળી શકાય છે, પરંતુ મેકલોરીન શ્રેણી માટે કેટલીકવાર ટેલર શ્રેણીને વિપરીત રીતે રજૂ કરવી સ્વાભાવિક નથી. જેમ કે આ તેના શુદ્ધ સ્વરૂપમાં કરવાની જરૂર નથી, તે સામાન્ય સ્વ-વિકાસ માટે રસપ્રદ છે. દરેક લોરેન્ટ શ્રેણી z-a ની પૂર્ણાંક શક્તિઓમાં બે બાજુની અનંત શક્તિ શ્રેણીને અનુરૂપ છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમાન ટેલર પ્રકારની શ્રેણી, પરંતુ ગુણાંકની ગણતરીમાં થોડી અલગ છે. અમે ઘણી સૈદ્ધાંતિક ગણતરીઓ પછી, થોડા સમય પછી, લોરેન્ટ શ્રેણીના કન્વર્જન્સના ક્ષેત્ર વિશે વાત કરીશું. છેલ્લી સદીની જેમ, શ્રેણીમાં ફંક્શનનું પગલું-દર-પગલાં વિસ્તરણ ભાગ્યે જ શબ્દોને સામાન્ય છેદમાં લાવીને પ્રાપ્ત કરી શકાય છે, કારણ કે છેદમાંનાં કાર્યો બિનરેખીય છે. સમસ્યાઓના નિર્માણ દ્વારા કાર્યાત્મક મૂલ્યની અંદાજિત ગણતરી જરૂરી છે. એ હકીકત વિશે વિચારો કે જ્યારે ટેલર શ્રેણીની દલીલ રેખીય ચલ હોય છે, ત્યારે વિસ્તરણ ઘણા તબક્કામાં થાય છે, પરંતુ ચિત્ર સંપૂર્ણપણે અલગ છે જ્યારે વિસ્તરણ કરવામાં આવી રહેલી ફંક્શનની દલીલ જટિલ અથવા બિનરેખીય કાર્ય છે, તો પછી તેની પ્રક્રિયા પાવર સિરીઝમાં આવા ફંક્શનનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું એ સ્પષ્ટ છે, કારણ કે આ રીતે, અંદાજિત મૂલ્ય હોવા છતાં, વ્યાખ્યા પ્રદેશમાં કોઈપણ બિંદુએ, લઘુત્તમ ભૂલ સાથે ગણતરી કરવી સરળ છે જેની આગળની ગણતરીઓ પર થોડી અસર થાય છે. આ મેક્લોરિન શ્રેણીને પણ લાગુ પડે છે. જ્યારે શૂન્ય બિંદુ પર કાર્યની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. જો કે, લોરેન્ટ શ્રેણી પોતે અહીં કાલ્પનિક એકમો સાથે પ્લેન પર વિસ્તરણ દ્વારા રજૂ થાય છે. ઉપરાંત, એકંદર પ્રક્રિયા દરમિયાન સમસ્યાનો સાચો ઉકેલ સફળતા વિના રહેશે નહીં. આ અભિગમ ગણિતમાં જાણીતો નથી, પરંતુ તે ઉદ્દેશ્યથી અસ્તિત્વમાં છે. પરિણામે, તમે કહેવાતા પોઇન્ટવાઇઝ સબસેટ્સના નિષ્કર્ષ પર આવી શકો છો, અને શ્રેણીમાં ફંક્શનના વિસ્તરણમાં તમારે આ પ્રક્રિયા માટે જાણીતી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, જેમ કે ડેરિવેટિવ્ઝના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ. ફરી એકવાર અમને ખાતરી થઈ છે કે શિક્ષક પોસ્ટ-કમ્પ્યુટેશનલ ગણતરીઓના પરિણામો વિશે તેમની ધારણાઓ કરવામાં સાચા હતા. ચાલો નોંધ લઈએ કે ગણિતના તમામ સિદ્ધાંતો અનુસાર મેળવેલ ટેલર શ્રેણી અસ્તિત્વમાં છે અને તે સમગ્ર સંખ્યાત્મક ધરી પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, જો કે, સાઇટ સેવાના પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, મૂળ કાર્યના પ્રકારને ભૂલશો નહીં, કારણ કે તે બહાર આવી શકે છે. કે શરૂઆતમાં ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન સ્થાપિત કરવું જરૂરી છે, એટલે કે, વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ડોમેનમાં ફંક્શન વ્યાખ્યાયિત ન હોય તેવા મુદ્દાઓને વધુ વિચારણામાંથી લખો અને બાકાત રાખો. તેથી વાત કરવા માટે, આ સમસ્યા હલ કરવામાં તમારી કાર્યક્ષમતા બતાવશે. શૂન્ય દલીલ મૂલ્ય સાથે મેકલોરિન શ્રેણીનું નિર્માણ જે કહેવામાં આવ્યું છે તે અપવાદ રહેશે નહીં. કોઈએ ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેન શોધવાની પ્રક્રિયાને રદ કરી નથી, અને તમારે આ ગાણિતિક ક્રિયાને તમામ ગંભીરતા સાથે સંપર્ક કરવો જોઈએ. મુખ્ય ભાગ ધરાવતી લોરેન્ટ શ્રેણીના કિસ્સામાં, પરિમાણ "a" ને એક અલગ એકવચન બિંદુ કહેવામાં આવશે, અને લોરેન્ટ શ્રેણીને રિંગમાં વિસ્તૃત કરવામાં આવશે - આ તેના ભાગોના સંપાતના ક્ષેત્રોનું આંતરછેદ છે, તેથી અનુરૂપ પ્રમેય અનુસરશે. પરંતુ બધું એટલું જટિલ નથી જેટલું તે એક બિનઅનુભવી વિદ્યાર્થીને પ્રથમ નજરમાં લાગે છે. ટેલર શ્રેણીનો અભ્યાસ કર્યા પછી, તમે લોરેન્ટ શ્રેણીને સરળતાથી સમજી શકો છો - સંખ્યાઓની જગ્યાને વિસ્તૃત કરવા માટેનો સામાન્ય કેસ. ફંક્શનનું કોઈપણ શ્રેણી વિસ્તરણ ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનના એક બિંદુ પર જ કરી શકાય છે. સામયિકતા અથવા અનંત ભિન્નતા જેવા કાર્યોના ગુણધર્મો ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ. અમે એવું પણ સૂચન કરીએ છીએ કે તમે પ્રાથમિક કાર્યોના તૈયાર ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરો, કારણ કે એક કાર્યને ડઝન જેટલી વિવિધ પાવર શ્રેણીઓ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે, જેમ કે અમારા ઑનલાઇન કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને જોઈ શકાય છે. ઓનલાઈન મેક્લોરીન શ્રેણી નક્કી કરવા માટે પાઈ જેટલી સરળ છે, જો તમે અનન્ય વેબસાઈટ સેવાનો ઉપયોગ કરો છો, તો તમારે માત્ર સાચો લેખિત કાર્ય દાખલ કરવાની જરૂર છે અને તમને પ્રસ્તુત જવાબ થોડી જ સેકન્ડોમાં પ્રાપ્ત થશે, તે ચોક્કસ હોવાની ખાતરી છે. પ્રમાણભૂત લેખિત સ્વરૂપ. તમે શિક્ષકને સબમિટ કરવા માટે સીધા જ ક્લીન કોપીમાં પરિણામની નકલ કરી શકો છો. પ્રથમ રિંગ્સમાં પ્રશ્નમાં ફંક્શનની વિશ્લેષણાત્મકતા નક્કી કરવી યોગ્ય રહેશે, અને પછી અસ્પષ્ટપણે જણાવો કે તે આવા તમામ રિંગ્સમાં લોરેન્ટ શ્રેણીમાં વિસ્તરણ કરી શકાય તેવું છે. નકારાત્મક શક્તિઓ ધરાવતી લોરેન્ટ શ્રેણીની શરતોને ન ગુમાવવી મહત્વપૂર્ણ છે. આના પર શક્ય એટલું ધ્યાન કેન્દ્રિત કરો. પૂર્ણાંક શક્તિઓમાં કાર્યના વિસ્તરણ પર લોરેન્ટના પ્રમેયનો સારો ઉપયોગ કરો.