માલોયાઝોવસ્કાયા બશ્કીર વ્યાયામશાળા
ભૂમિતિ અમૂર્ત
"આકાર પરિવર્તન"
આના દ્વારા પૂર્ણ: ધોરણ 10 B ના વિદ્યાર્થી
ખલીયુલિન એ.એન.
દ્વારા ચકાસાયેલ: Israfilova R.Kh.
મલોયાઝ 2003
I. પરિવર્તન.
II. પરિવર્તનના પ્રકારો
1. હોમોથેટી
2. સમાનતા
3. ચળવળ
III. ચળવળના પ્રકારો
1. બિંદુ વિશે સમપ્રમાણતા
2. સીધી રેખા વિશે સમપ્રમાણતા
3. પ્લેનની તુલનામાં સમપ્રમાણતા
4. ફેરવો
5. અવકાશમાં સમાંતર પરિવહન
I. ટ્રાન્સફોર્મેશન - આપેલ આકૃતિના દરેક બિંદુને અમુક રીતે સ્થાનાંતરિત કરવું, અને નવી આકૃતિ મેળવવી.
II. અવકાશમાં પરિવર્તનના પ્રકારો: સમાનતા, સમાનતા, ચળવળ.
સમાનતા એક આકૃતિ F ના રૂપાંતરને સમાનતા રૂપાંતર કહેવામાં આવે છે જો આ રૂપાંતર દરમિયાન બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન સંખ્યા દ્વારા બદલાય છે, એટલે કે. આકૃતિ F ના કોઈપણ પોઈન્ટ X અને Y અને પોઈન્ટ X', આકૃતિ F' ના Y' જ્યાં તે જાય છે, X'Y' = k * XY.
સમાનતાના ગુણધર્મો: 1. સમાનતા રેખાઓને રેખાઓમાં, અર્ધ-રેખાને અર્ધ-લાઇનમાં, વિભાગોને ભાગોમાં પરિવર્તિત કરે છે.
2. સમાનતા અર્ધ-રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાઓને સાચવે છે
3. સમાનતા વિમાનોને વિમાનોમાં પરિવર્તિત કરે છે.
બે આકૃતિઓ સમાનતા રૂપાંતર દ્વારા એકબીજામાં પરિવર્તિત થાય તો તેને સમાન કહેવામાં આવે છે.
હોમોથેટી
હોમોથેટી એ હોમોથેટી ગુણાંક k સાથે કેન્દ્ર O ના સંદર્ભમાં સૌથી સરળ પરિવર્તન છે. આ એક રૂપાંતર છે જે કિરણ OX ના મનસ્વી બિંદુ X'ને રૂપાંતરિત કરે છે જેમ કે OX' = k*OX.
હોમોથેટી પ્રોપર્ટી: 1. હોમોથેટી ટ્રાન્સફોર્મેશન દ્વારા, તે હોમોથેટી સેન્ટરમાંથી પસાર ન થતા કોઈપણ પ્લેનને સમાંતર પ્લેનમાં (અથવા k=1 માટે પોતે) રૂપાંતરિત કરે છે.
પુરાવો. ખરેખર, O ને હોમોથેટી સેન્ટર બનવા દો અને કોઈ પણ પ્લેન હોઈએ જે O બિંદુમાંથી પસાર ન થાય. પ્લેન a માં કોઈપણ સીધી રેખા AB લો. હોમોથેટી ટ્રાન્સફોર્મેશન રે OA પર પોઈન્ટ A થી પોઈન્ટ A' લે છે અને OA'/OA = k, OB'/OB = k સાથે રે OB પર પોઈન્ટ B થી પોઈન્ટ B લે છે, જ્યાં k એ હોમોથેટી ગુણાંક છે. આ AOB અને A'OB' ત્રિકોણની સમાનતા સૂચવે છે. ત્રિકોણની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે અનુરૂપ ખૂણા OAB અને OA'B' સમાન છે, અને તેથી રેખાઓ AB અને A'B' સમાંતર છે. ચાલો હવે પ્લેન a માં બીજી સીધી રેખા AC લઈએ. હોમોથેટી હેઠળ, તે સમાંતર રેખા A'C' પર જશે. વિચારણા હેઠળની સમાનતા સાથે, પ્લેન a એ પ્લેનમાં જશે, A'B', A'C' રેખાઓમાંથી પસાર થશે. ત્યારથી A'B'||AB અને A'C'||AC, પછી પ્રમેય દ્વારા એક વિમાનની બે છેદતી રેખાઓ અનુક્રમે બીજા સમતલની છેદતી રેખાઓ સાથે સમાંતર હોવાથી, સમતલ a અને a' સમાંતર છે, જે શું છે સાબિત કરવાની જરૂર છે.
ચળવળ
ચળવળ એ એક આકૃતિનું બીજામાં રૂપાંતર છે જો તે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર જાળવી રાખે છે, એટલે કે. એક આકૃતિના કોઈપણ બે પોઈન્ટ X અને Y ને બીજી આકૃતિના X, Y પોઈન્ટમાં રૂપાંતરિત કરે છે જેથી XY = X Y
ગતિના ગુણધર્મો: 1. જ્યારે ખસેડી રહ્યા હોય, ત્યારે સીધી રેખા પર પડેલા બિંદુઓ સીધી રેખા પર પડેલા બિંદુઓમાં પરિવર્તિત થાય છે, અને તેમની સંબંધિત સ્થિતિનો ક્રમ જાળવવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે જો A, B, C, રેખા પર પડેલા હોય, તો A 1, B 1, C 1 બિંદુઓ પર જાઓ. પછી આ બિંદુઓ પણ એક સીધી રેખા પર આવેલા છે; જો બિંદુ B બિંદુ A અને C વચ્ચે આવેલું છે, તો બિંદુ B 1 બિંદુ A 1 અને C 1 વચ્ચે આવેલું છે.
પુરાવો. રેખા AC ના બિંદુ B એ બિંદુ A અને C વચ્ચે આવેલા છે. ચાલો સાબિત કરીએ કે બિંદુ A 1 , B 1 , C 1 એ જ રેખા પર આવેલા છે.
જો બિંદુઓ A 1 , B 1 , C 1 રેખા પર આવેલા નથી, તો તે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે. તેથી A 1 C 1< A 1 B 1 + B 1 C 1 . По определению движения отсюда следует, что AC અમે એક વિરોધાભાસ પર પહોંચ્યા છીએ. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ B 1 એ રેખા A 1 C 1 પર આવેલો છે. પ્રમેયનું પ્રથમ વિધાન સાબિત થાય છે. ચાલો હવે બતાવીએ કે બિંદુ B 1 A 1 અને C 1 ની વચ્ચે આવેલો છે. ચાલો ધારીએ કે બિંદુ A 1 બિંદુ B 1 અને C 1 વચ્ચે આવેલું છે. પછી A 1 B 1 + A 1 C 1 = B 1 C 1, અને તેથી AB+AC=BC. પરંતુ આ અસમાનતા AB+BC=AC નો વિરોધાભાસ કરે છે. આમ, બિંદુ A 1 બિંદુ B 1 અને C 1 વચ્ચે રહેતું નથી. આપણે એ જ રીતે સાબિત કરીએ છીએ કે બિંદુ C 1 એ બિંદુ A 1 અને B 1 વચ્ચે રહેતું નથી. ત્રણ બિંદુઓમાંથી A 1 , B 1 , C 1 એક બીજા બે વચ્ચે આવેલો હોવાથી, આ બિંદુ માત્ર B 1 હોઈ શકે છે. પ્રમેય સંપૂર્ણપણે સાબિત થાય છે. 2. ખસેડતી વખતે, સીધી રેખાઓ સીધી રેખાઓમાં ફેરવાય છે, અર્ધ-સીધી રેખાઓ અડધી સીધી રેખામાં, ભાગોને ભાગોમાં ફેરવે છે 3. ખસેડતી વખતે, અર્ધ-રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાઓ સાચવવામાં આવે છે. પુરાવો. AB અને AC એ બિંદુ A માંથી નીકળતી બે અર્ધ-રેખા હોવા દો, પરંતુ આ રેખા પર આવેલા નથી. ખસેડતી વખતે, આ અર્ધ-રેખાઓ કેટલીક અર્ધ-રેખા A 1 B 1 અને A 1 C 1 માં પરિવર્તિત થાય છે. ગતિ અંતરને સાચવતી હોવાથી, ત્રિકોણ ABC અને A 1 B 1 C 1 ત્રિકોણની સમાનતાના ત્રીજા માપદંડ મુજબ સમાન છે. ત્રિકોણની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે કોણ BAC અને B 1 A 1 C 1 સમાન છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે. C2. ત્રિકોણ A2BC2 અને A1B1C1 ત્રીજા માપદંડ મુજબ સમાન છે. ત્રિકોણની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે ખૂણા A2BC2 અને A1B1C1 સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે ABC અને A1B1C1 ખૂણા સમાન છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે. 3. આકૃતિઓની સમાનતા જો બે આકૃતિઓ સમાનતાના રૂપાંતર દ્વારા એકબીજામાં રૂપાંતરિત થાય તો તેને સમાન કહેવામાં આવે છે. આકૃતિઓની સમાનતા દર્શાવવા માટે, એક વિશિષ્ટ ચિહ્નનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: ∞. પ્રવેશ F∞F" વાંચે છે... ત્રિકોણની મધ્ય; 4. , જ્યાં BH અને B1H1 ત્રિકોણની ઊંચાઈ છે. §5. પ્રાયોગિક કાર્ય પ્રાયોગિક કાર્યનો હેતુ: ઉચ્ચ શાળામાં "સમાન ત્રિકોણ" વિષયના અભ્યાસની પદ્ધતિસરની લાક્ષણિકતાઓને ઓળખવા. વિચાર: પદ્ધતિસરની લાક્ષણિકતાઓને ઓળખવા માટે, પરીક્ષણ હાથ ધરવા માટે તાલીમના અંતે, વિકસિત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઘણા પાઠ લેવા જરૂરી છે, જેના વિશ્લેષણ પર કોઈ નિર્ણય કરી શકે છે... નિયંત્રણના વિષયો અને પ્રાયોગિક જૂથો વચ્ચેના તફાવતોએ વસ્તુઓના આકાર વિશે પ્રાયોગિક જૂથમાં બાળકોના વિચારો વિકસાવવા માટે લક્ષિત શિક્ષણશાસ્ત્રીય કાર્ય હાથ ધરવા માટેના આધાર તરીકે સેવા આપી હતી. 2.2 પ્રાયોગિક જૂથના બાળકોમાં વસ્તુઓના આકાર વિશે વિચારો વિકસાવવા માટે પઝલ કાર્યોનો ઉપયોગ કરવો જ્યારે વસ્તુઓના આકાર વિશે બાળકોના વિચારો ખૂબ મહત્વના હોય છે જ્યારે... પ્લેનનું મોશન ટ્રાન્સફોર્મેશન જેમાં કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર જાળવવામાં આવે છે તેને ગતિ કહેવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે જ્યારે કોઈપણ આકૃતિ પ્લેન પર ફરે છે, ત્યારે પરિણામ આપેલ એક સમાન આકૃતિ છે. O A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B p ચાલો ચળવળના પ્રકારોને વધુ વિગતવાર ધ્યાનમાં લઈએ.
જો, કેન્દ્રીય સપ્રમાણતા સાથે, એક આકૃતિ તેના પર નકશા કરે છે, તો તે કેન્દ્રિય સપ્રમાણ આકૃતિ છે. A B C D O ABCDSDAB O કાર્ય. કેન્દ્રિય સપ્રમાણ આકૃતિઓના વધુ ઉદાહરણો આપો. તેમના સમપ્રમાણતાના કેન્દ્રને નામ આપો. શું ત્યાં કોઈ ભૌમિતિક આકૃતિ છે જેમાં એક કરતા વધુ કેન્દ્રો સમપ્રમાણતા ધરાવે છે? જવાબ (અંદાજે): એક બિંદુ (બિંદુ પોતે), એક સેગમેન્ટ (સેગમેન્ટનો મધ્ય ભાગ), બાજુઓની સમાન સંખ્યા સાથેનો કોઈપણ નિયમિત બહુકોણ (મોટા કર્ણનો મધ્ય ભાગ), એક સમચતુર્ભુજ (કર્ણનો આંતરછેદ), એક વર્તુળ (તેનું કેન્દ્ર), એક વર્તુળ... હા, એક સીધી રેખા.
જો, સીધી રેખાની તુલનામાં સમપ્રમાણતા સાથે, એક આકૃતિ તેના પર નકશા કરે છે, તો તેની પાસે સમપ્રમાણતાની અક્ષ છે. A B C D O ABCDDСBA m કાર્ય. સપ્રમાણતાની ધરી ધરાવતી આકૃતિઓના વધુ ઉદાહરણો આપો. તેમની સમપ્રમાણતાની ધરીને નામ આપો. શું એવી કોઈ ભૌમિતિક આકૃતિ છે કે જેની સપ્રમાણતાની એક કરતાં વધુ ધરી હોય? જવાબ (અંદાજે): બિંદુ (આ બિંદુમાંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખા), સેગમેન્ટ (બે અક્ષ), બાજુઓની વિષમ સંખ્યા સાથેનો કોઈપણ નિયમિત બહુકોણ (કેટલી બાજુઓ - આટલી અક્ષો), સમચતુર્ભુજ (કર્ણ ધરાવતી બે રેખાઓ), વર્તુળ ( કોઈપણ રેખા , તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી), વર્તુળ... m n ABCDBADС n
સમાંતર અનુવાદ X X આ પ્લેન ટ્રાન્સફોર્મેશન સાથે, આકૃતિના તમામ બિંદુઓ સમાન અંતર દ્વારા સમાન દિશામાં ખસેડવામાં આવે છે. વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને તેને વ્યાખ્યાયિત કરવું સ્વાભાવિક છે. પોઈન્ટ X એ પોઈન્ટ X ની ઈમેજ છે જ્યારે તેની સમાંતરમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે, જો: દેખીતી રીતે, જ્યારે (શૂન્ય વેક્ટર) ની સમાંતરમાં સ્થાનાંતરિત થાય ત્યારે આકૃતિ પોતાનામાં જ મેપ કરવામાં આવશે.
પરિભ્રમણ X X O આકૃતિને ફેરવવા માટે, તમારે સ્પષ્ટ કરવું આવશ્યક છે: 1) પરિભ્રમણનું કેન્દ્ર, 2) પરિભ્રમણની દિશા અને 3) પરિભ્રમણ કોણની તીવ્રતા. બીજી અને ત્રીજી સ્થિતિઓને એ નિર્ધારિત કરીને જોડી શકાય છે કે નકારાત્મક ખૂણા ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં અને હકારાત્મક ખૂણા ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં નાખવામાં આવે છે. O – પરિભ્રમણનું કેન્દ્ર બિંદુ X એ બિંદુ X ની છબી છે જ્યારે બિંદુ O આસપાસ ખૂણા દ્વારા ફેરવવામાં આવે છે, જો: 1) XO=XO; 2) XOX=.
A BC D EF ABCDEF D C B A F E 90 0 નિયમિત ષટ્કોણ ABCDEF ને બિંદુ Dની આસપાસ ઘડિયાળની દિશામાં જમણા ખૂણા પર ફેરવવાનું ઉદાહરણ. ભૂમિતિમાં, ગતિ એ એક મેપિંગ છે જે અંતરને સાચવે છે. "ડિસ્પ્લે" શબ્દનો અર્થ શું છે તે સ્પષ્ટ કરવું જરૂરી છે. 1. મેપિંગ્સ, છબીઓ, મેપિંગ્સની રચનાઓ. સમૂહ M થી સમૂહ N સુધીનું મેપિંગ એ M થી N ના અનન્ય તત્વ સાથેના દરેક તત્વનો પત્રવ્યવહાર છે. અમે ફક્ત અવકાશમાં આકૃતિઓના પ્રદર્શનને ધ્યાનમાં લઈશું. અન્ય કોઈ મેપિંગને ધ્યાનમાં લેવામાં આવતું નથી, અને તેથી "મેપિંગ" શબ્દનો અર્થ થાય છે પોઈન્ટથી પોઈન્ટ મેચિંગ. આપેલ મેપિંગ f હેઠળ બિંદુ X ને અનુરૂપ બિંદુ X" વિશે, અમે કહીએ છીએ કે તે બિંદુ X ની છબી છે, અને X" = f(X) લખો. આકૃતિ M ના બિંદુઓને અનુરૂપ બિંદુ X" નો સમૂહ, f મેપિંગ હેઠળ, આકૃતિ M ની છબી કહેવામાં આવે છે અને તેને M" = f(M) સૂચવવામાં આવે છે. જો M ની છબી સંપૂર્ણ આકૃતિ N છે, એટલે કે. f(M) = N, પછી આપણે આકૃતિ M થી આકૃતિ N સુધીના મેપિંગની વાત કરીએ છીએ. ચાલો આપણે સમૂહ M નું N પર એક-થી-એક મેપિંગ કરીએ. પછી સમૂહ N ના દરેક બિંદુ X" એ સમૂહ M ના ફક્ત એક (સિંગલ) બિંદુ Xની છબી છે. તેથી, દરેક બિંદુ X" ( N તે વિશિષ્ટ બિંદુ X (M, જેની છબી f મેપિંગ હેઠળ બિંદુ X છે) સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે. આમ, અમે સમૂહ N ના મેપિંગને સમૂહ M પર વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, તેને મેપિંગ f નું વ્યસ્ત કહેવામાં આવે છે. અને f દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે જો મેપિંગ f માં વ્યસ્ત હોય, તો તેને ઉલટાવી શકાય તેવું કહેવાય છે. મેપિંગનો એક નિશ્ચિત બિંદુ એ બિંદુ A છે જેમ કે ((A) = A. આ વ્યાખ્યાઓ પરથી તે તરત જ અનુસરે છે કે જો મેપિંગ f ઉલટાવી શકાય તેવું છે, તો તેનું વ્યસ્ત મેપિંગ f પણ ઉલટાવી શકાય તેવું છે અને (f) = f. તેથી, એફ અને એફ મેપિંગ્સને પરસ્પર વ્યસ્ત પણ કહેવામાં આવે છે. બે મેપિંગ આપવા દો: સેટ M નું મેપિંગ F સેટ N માં અને સેટ N નું મેપિંગ g સેટ P માં. જો, f મેપિંગ કરતી વખતે, બિંદુ X (N બિંદુ X પર ગયો" = f( X) (N, અને પછી X" જ્યારે મેપિંગ g પોઇન્ટ X પર જાય છે"" (P, પછી પરિણામે X X" માં ખસેડવામાં આવ્યો હતો. પરિણામ એ સમૂહ P માં સમૂહ M નું ચોક્કસ મેપિંગ h છે. મેપિંગ h ને મેપિંગ g દ્વારા અનુસરવામાં આવતા f મેપિંગની રચના કહેવામાં આવે છે. જો આપેલ મેપિંગ f ઉલટાવી શકાય તેવું છે, તો પછી તેને લાગુ કરીને અને પછી તેનું વ્યસ્ત મેપિંગ f, અમે દેખીતી રીતે તમામ બિંદુઓને તેમની મૂળ સ્થિતિ પર પાછા આપીશું, એટલે કે. અમે એક સમાન મેપિંગ મેળવીએ છીએ, જે દરેક બિંદુને સમાન બિંદુ સાથે સાંકળે છે. 2. ગતિ શોધ. આકૃતિની હિલચાલ (અથવા વિસ્થાપન) એ તેનું મેપિંગ છે જેમાં તેના દરેક બે પોઈન્ટ A અને B પોઈન્ટ A" અને B" ને અનુરૂપ છે જેમ કે |A"B"| = |AB|. આઈડેન્ટિટી મેપિંગ એ ગતિના વિશેષ કેસોમાંનું એક છે. એક આકૃતિ F" એ આકૃતિ F ની બરાબર હોવાનું કહેવાય છે જો તે F માંથી હલનચલન દ્વારા મેળવી શકાય. 3. ગતિના સામાન્ય ગુણધર્મો. મિલકત 1 (સીધીતાનું જતન). ખસેડતી વખતે, એક સીધી રેખા પર પડેલા ત્રણ બિંદુઓ સીધી રેખા પર પડેલા ત્રણ બિંદુઓમાં જાય છે, અને અન્ય બે બિંદુઓ વચ્ચે પડેલા બિંદુ અન્ય બે બિંદુઓની છબીઓ વચ્ચે પડેલા બિંદુમાં જાય છે (તેમની સંબંધિત સ્થિતિનો ક્રમ સચવાય છે). પુરાવો. પ્લાનિમેટ્રી પરથી તે જાણીતું છે કે ત્રણ બિંદુઓ A, B, C એક સીધી રેખા પર સ્થિત છે જો અને માત્ર જો તેમાંથી એક, ઉદાહરણ તરીકે B બિંદુ, અન્ય બે વચ્ચે આવેલું હોય - બિંદુ A અને C, એટલે કે. જ્યારે સમાનતા |AB| + |BC| = |AC|. ખસેડતી વખતે, અંતર સાચવવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે અનુરૂપ સમાનતા પોઈન્ટ A", B", C": |A"B"| + |B"C"| = |A"C"| માટે પણ સાચી છે. આમ, બિંદુઓ A", B", C" સમાન સીધી રેખા પર આવેલા છે, અને તે બિંદુ B" છે જે A" અને C" ની વચ્ચે આવેલું છે. આ મિલકતમાંથી અન્ય કેટલીક મિલકતો પણ અનુસરે છે: પ્રોપર્ટી 2. ગતિ દરમિયાન સેગમેન્ટની ઇમેજ એ સેગમેન્ટ છે. મિલકત 3. ગતિ દરમિયાન સીધી રેખાની છબી સીધી રેખા છે, અને કિરણની છબી એક કિરણ છે. ગુણધર્મ 4. જ્યારે ખસેડતી વખતે, ત્રિકોણની છબી તેના સમાન ત્રિકોણ છે, વિમાનની છબી એક વિમાન છે, અને સમાંતર વિમાનો સમાંતર વિમાનો પર મેપ કરવામાં આવે છે, અને અર્ધ-વિમાનની છબી અર્ધ-વિમાન છે. મિલકત 5. જ્યારે ખસેડવામાં આવે છે, ત્યારે ટેટ્રાહેડ્રોનની છબી એક ટેટ્રાહેડ્રોન છે, અવકાશની છબી એ બધી જગ્યા છે, અર્ધ-અવકાશની છબી અડધી જગ્યા છે. મિલકત 6. જ્યારે ખસેડવામાં આવે છે, ત્યારે ખૂણાઓ સાચવવામાં આવે છે, એટલે કે. દરેક ખૂણાને સમાન પ્રકારના અને સમાન તીવ્રતાના ખૂણા પર મેપ કરવામાં આવે છે. આ જ ડાયહેડ્રલ એંગલ માટે સાચું છે. પ્રથમ, હું તમામ મુખ્ય પ્રકારની હિલચાલને ધ્યાનમાં લઈશ, અને પછી હું તેમને એક સિસ્ટમમાં જોડીશ. 4. સમાંતર ટ્રાન્સફર. વ્યાખ્યા. સમાંતર અનુવાદ, અથવા, ટૂંકમાં, આકૃતિનું ભાષાંતર, તેનું પ્રદર્શન છે જેમાં તેના તમામ બિંદુઓ સમાન અંતર દ્વારા સમાન દિશામાં ખસેડવામાં આવે છે, એટલે કે. જ્યારે આકૃતિના દરેક બે પોઈન્ટ X અને Yને સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે આવા પોઈન્ટ X" અને Y" સાથે સંકળાયેલા હોય છે જેમ કે XX" = YY". ટ્રાન્સફરની મુખ્ય મિલકત: સમાંતર ટ્રાન્સફર અંતર અને દિશાઓ સાચવે છે, એટલે કે. X"Y" = XY. આના પરથી તે અનુસરે છે કે સમાંતર ટ્રાન્સફર એ એક ચળવળ છે જે દિશાને સાચવે છે અને તેનાથી વિપરીત, ચળવળ જે દિશાને સાચવે છે તે સમાંતર ટ્રાન્સફર છે. તે આ નિવેદનો પરથી પણ અનુસરે છે કે સમાંતર સ્થાનાંતરણની રચના સમાંતર સ્થાનાંતરણ છે. આકૃતિના સમાંતર અનુવાદને અનુરૂપ બિંદુઓની એક જોડીનો ઉલ્લેખ કરીને સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તે નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે કે આપેલ બિંદુ A કયા બિંદુ A પર જાય છે, તો આ સ્થાનાંતરણ વેક્ટર AA દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, અને આનો અર્થ એ થાય છે કે બધા બિંદુઓ સમાન વેક્ટર દ્વારા સ્થાનાંતરિત થાય છે, એટલે કે. XX" = AA" બધા X પોઈન્ટ માટે. 5. કેન્દ્રીય સમપ્રમાણતા. વ્યાખ્યા 1. બિંદુઓ A અને A"ને બિંદુ O ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ કહેવામાં આવે છે જો બિંદુ A, A", O સમાન સીધી રેખા પર હોય અને OX = OX. બિંદુ O પોતાના માટે સપ્રમાણ માનવામાં આવે છે (O ની સાપેક્ષ). બિંદુ O ના સંદર્ભમાં બે આકૃતિઓને સપ્રમાણ કહેવામાં આવે છે જો એક આકૃતિના દરેક બિંદુ માટે બીજી આકૃતિમાં O બિંદુના સંદર્ભમાં એક બિંદુ સપ્રમાણ હોય અને તેનાથી ઊલટું. એક ખાસ કેસ તરીકે, આકૃતિ ચોક્કસ બિંદુ Oની સાપેક્ષે પોતાની જાતમાં સપ્રમાણ હોઈ શકે છે. પછી આ બિંદુ O ને આકૃતિની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે, અને આકૃતિ કેન્દ્રિય રીતે સપ્રમાણ છે. વ્યાખ્યા 2. O ના સંદર્ભમાં આકૃતિની કેન્દ્રિય સપ્રમાણતા એ આ આકૃતિનું મેપિંગ છે જે તેના દરેક બિંદુઓને O ના સંદર્ભમાં બિંદુ સપ્રમાણ સાથે સાંકળે છે. મુખ્ય ગુણધર્મ: કેન્દ્રીય સમપ્રમાણતા અંતરને સાચવે છે, પરંતુ દિશાને ઉલટાવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આકૃતિ F ના કોઈપણ બે બિંદુ X અને Y પોઈન્ટ X" અને Y" ને અનુરૂપ છે જેમ કે X"Y" = -XY. પુરાવો. ચાલો, બિંદુ O પર કેન્દ્ર સાથે કેન્દ્રિય સમપ્રમાણતા સાથે, X અને Y બિંદુઓને X" અને Y" પર મેપ કરીએ. પછી, કેન્દ્રીય સમપ્રમાણતાની વ્યાખ્યામાંથી સ્પષ્ટ છે તેમ, OX" = -OX, OY" = -OY. તે જ સમયે, XY = OY - OX, X"Y" = OY" - OX". તેથી આપણી પાસે છે: X"Y" = -OY + OX = -XY. તે અનુસરે છે કે કેન્દ્રીય સપ્રમાણતા એ એક ચળવળ છે જે વિરુદ્ધ દિશામાં અને તેનાથી વિપરીત દિશામાં ફેરફાર કરે છે, એક ચળવળ કે જે વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરફાર કરે છે તે કેન્દ્રીય સમપ્રમાણતા છે. આકૃતિની કેન્દ્રિય સમપ્રમાણતા હાલના બિંદુઓની એક જોડીને સ્પષ્ટ કરીને સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે: જો બિંદુ A ને A સાથે મેપ કરવામાં આવે છે", તો સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર એ સેગમેન્ટ AAનું મધ્યબિંદુ છે". 6. મિરર સમપ્રમાણતા (પ્લેનમાં પ્રતિબિંબ). વ્યાખ્યા 1. પોઈન્ટ A અને A" ને પ્લેનની સાપેક્ષ સપ્રમાણતા કહેવામાં આવે છે (જો સેગમેન્ટ AA" આ પ્લેન પર લંબ હોય અને તેના દ્વારા અડધા ભાગમાં વિભાજિત કરવામાં આવે. પ્લેન પરનો કોઈપણ બિંદુ (આ પ્લેનની તુલનામાં તેને સપ્રમાણ ગણવામાં આવે છે. બે આકૃતિઓ F અને F" આપેલ સમતલની સાપેક્ષ સપ્રમાણ કહેવાય છે જો તેમાં એવા બિંદુઓ હોય કે જે આ સમતલની તુલનામાં જોડીમાં સપ્રમાણ હોય, એટલે કે, જો એક આકૃતિના દરેક બિંદુ માટે બીજી આકૃતિમાં સપ્રમાણતા હોય તો. જો સમતલના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણતાનું રૂપાંતર કોઈ આકૃતિને પોતાનામાં પરિવર્તિત કરે છે, તો આકૃતિને પ્લેન (, અને પ્લેન (સપ્રમાણતાનું પ્લેન) ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ કહેવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા 2. આકૃતિનું પ્રતિબિંબ, જેમાં તેના દરેક બિંદુઓ આપેલ સમતલની તુલનામાં સપ્રમાણતા ધરાવતા બિંદુને અનુરૂપ હોય છે, તેને આ સમતલ (અથવા અરીસાની સમપ્રમાણતા) માં આકૃતિનું પ્રતિબિંબ કહેવામાં આવે છે. પ્રમેય 1. સમતલમાં પ્રતિબિંબ અંતરને સાચવે છે અને તેથી, ગતિ છે. પ્રદર્શન 1 જુઓ. પ્રમેય 2. એક ગતિ જેમાં ચોક્કસ સમતલના તમામ બિંદુઓ ગતિહીન હોય છે તે આ સમતલમાં પ્રતિબિંબ અથવા ઓળખ મેપિંગ છે. અરીસાની સમપ્રમાણતા એ અનુરૂપ બિંદુઓની એક જોડીનો ઉલ્લેખ કરીને નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે જે સમપ્રમાણતાના સમતલમાં આવેલા નથી: સમપ્રમાણતાનું પ્લેન આ બિંદુઓને જોડતા સેગમેન્ટની મધ્યમાંથી પસાર થાય છે, તેની સાથે લંબરૂપ છે. 7. સીધી રેખાની આસપાસ વળો. સીધી રેખાની આસપાસ પરિભ્રમણના સ્પષ્ટ વિચાર માટે, આપેલ બિંદુની નજીકના પ્લેન પરના પરિભ્રમણને યાદ કરવું જોઈએ. આપેલ બિંદુની આસપાસ પ્લેન પરનું પરિભ્રમણ એ એક ચળવળ છે જેમાં આપેલ બિંદુમાંથી નીકળતી દરેક કિરણ એક જ દિશામાં સમાન ખૂણા દ્વારા ફરે છે. ચાલો હવે અવકાશમાં પરિભ્રમણ તરફ આગળ વધીએ. વ્યાખ્યા. એંગલ દ્વારા રેખા aની ફરતે આકૃતિનું પરિભ્રમણ (મેપિંગને એવી રીતે કહેવામાં આવે છે કે દરેક પ્લેનમાં રેખા aને લંબરૂપ હોય, તેના આંતરછેદના બિંદુની આસપાસ એક જ ખૂણા પર રેખા a સાથે પરિભ્રમણ થાય છે (એ જ દિશામાં. રેખા a છે. પરિભ્રમણની ધરી કહેવાય છે, અને કોણ ( પરિભ્રમણનો કોણ છે. આમાંથી આપણે જોઈએ છીએ કે પરિભ્રમણ હંમેશા પરિભ્રમણની ધરી, કોણ અને દિશા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. પ્રમેય 1. સીધી રેખાની આસપાસ પરિભ્રમણ અંતરને સાચવે છે, એટલે કે. એક ચળવળ છે. પ્રદર્શન 2 જુઓ. પ્રમેય 2. જો અવકાશની ગતિ તેના નિશ્ચિત બિંદુઓના સમૂહ સાથે સીધી રેખા ધરાવે છે, તો તે આ સીધી રેખાની આસપાસનું પરિભ્રમણ છે. 7.1. પરિભ્રમણના આંકડા. આકૃતિને પરિભ્રમણની આકૃતિ કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં એવી રેખા હોય કે જેની આસપાસ કોઈપણ પરિભ્રમણ આકૃતિને પોતાની સાથે જોડે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તેને પોતાના પર નકશા કરે છે. આ રેખાને આકૃતિના પરિભ્રમણની અક્ષ કહેવામાં આવે છે. પરિભ્રમણની સૌથી સરળ સંસ્થાઓ: એક બોલ, એક જમણો ગોળાકાર સિલિન્ડર, જમણો ગોળાકાર શંકુ. 7.2. અક્ષીય સમપ્રમાણતા. રેખાની ફરતે પરિભ્રમણનો એક વિશિષ્ટ કેસ એ 180( દ્વારા પરિભ્રમણ છે. જ્યારે રેખા a ની આસપાસ 180 દ્વારા ફેરવવામાં આવે છે ત્યારે દરેક બિંદુ A બિંદુ A પર જાય છે" જેમ કે રેખા a એ સેગમેન્ટ AA ને લંબરૂપ હોય છે" અને તેને છેદે છે આવા બિંદુઓ A અને A" ને કહેવામાં આવે છે કે તેઓ a-અક્ષ વિશે સપ્રમાણતા ધરાવે છે. તેથી, 180 નું પરિભ્રમણ (એક સીધી રેખાની આસપાસ અવકાશમાં અક્ષીય સમપ્રમાણતા કહેવાય છે. 8.1. અવકાશની હિલચાલના નિશ્ચિત બિંદુઓ. અવકાશની હિલચાલની એક મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતા એ તેના નિશ્ચિત બિંદુઓની સંખ્યા છે. અહીં ફક્ત નીચેના પાંચ કિસ્સાઓ રજૂ કરી શકાય છે: ગતિમાં કોઈ નિશ્ચિત બિંદુઓ નથી (બિન-સમાન સમાંતર અનુવાદ). ચળવળમાં માત્ર એક નિશ્ચિત બિંદુ (કેન્દ્રીય સમપ્રમાણતા) હોય છે. અવકાશ ગતિના નિશ્ચિત બિંદુઓનો સમૂહ એક સીધી રેખા છે (સીધી રેખાની આસપાસ પરિભ્રમણ). અવકાશ ગતિના નિશ્ચિત બિંદુઓનો સમૂહ એ પ્લેન (મિરર સપ્રમાણતા) છે. અવકાશ ગતિના નિશ્ચિત બિંદુઓનો સમૂહ એ સમગ્ર અવકાશ (સમાન ગતિ) છે. આ વર્ગીકરણ ખૂબ અનુકૂળ છે, કારણ કે તે એક જ સિસ્ટમ તરીકે તમામ પ્રકારની ચળવળને રજૂ કરે છે. 8.2. અવકાશની ગતિને સ્પષ્ટ કરવા પરના મૂળભૂત પ્રમેય. પ્રમેય 1. અવકાશમાં બે સમાન ત્રિકોણ ABC અને A"B"C આપવામાં આવે તો અવકાશની એવી બે અને માત્ર બે ગતિ છે જે A થી A", B થી B", C થી C". આમાંની દરેક હિલચાલ એ પ્લેન A"B"C" માં તેના પ્રતિબિંબ સાથે તેને જોડીને અન્યમાંથી મેળવવામાં આવે છે. પ્રમેય 2. અવકાશમાં બે સમાન ટેટ્રાહેડ્રોન ABCD અને A"B"C"D આપવા દો. પછી અવકાશની એક અનન્ય ગતિ છે (જેમ કે ((A) = A", ((B) = B", ((C) = C", ((D) = D"). 9. બે પ્રકારની હલનચલન. તમારે એ પણ જાણવું જોઈએ કે બધી હિલચાલ સતત છે કે નહીં તેના આધારે બે પ્રકારમાં વહેંચાયેલી છે. આ વિભાગના સારને વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, હું આધાર અને તેના અભિગમની વિભાવના રજૂ કરીશ. 9.1. પાયા અને તેમની દિશા. અવકાશમાં આધાર એ કોઈપણ ત્રણ વેક્ટર છે જે એક જ સમયે કોઈપણ પ્લેન સાથે સમાંતર નથી. બેઝિસ વેક્ટરના ત્રણ ગણાને જમણે (ડાબે) કહેવામાં આવે છે જો આ વેક્ટર, એક બિંદુથી રચાયેલા, અનુક્રમે જમણા (ડાબા) હાથના અંગૂઠા, તર્જની અને મધ્યમ આંગળીઓ સ્થિત હોય તેવી જ રીતે સ્થિત છે. જો વેક્ટરના બે જમણા (ડાબે) ત્રિપુટીઓ હોય, તો આ ત્રિપુટીઓ સમાન અભિગમ ધરાવતા હોવાનું કહેવાય છે. જો એક ટ્રિપલ જમણા હાથે છે અને બીજો ડાબો હાથ છે, તો તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં લક્ષી છે. 9.2. બે પ્રકારની ચળવળ. પ્રથમ પ્રકારની હલનચલન તે હલનચલન છે જે ચોક્કસ આકૃતિના પાયાના અભિગમને જાળવી રાખે છે. તેઓ સતત હલનચલન દ્વારા અનુભવી શકાય છે. બીજા પ્રકારની હલનચલન એ તે હલનચલન છે જે પાયાની દિશાને વિરુદ્ધમાં બદલી દે છે. તેઓ સતત હલનચલન દ્વારા અનુભવી શકાતા નથી. પ્રથમ પ્રકારની હલનચલનનાં ઉદાહરણો અનુવાદ અને સીધી રેખાની આસપાસ પરિભ્રમણ છે, અને બીજા પ્રકારની હલનચલન કેન્દ્રિય અને અરીસાની સમપ્રમાણતા છે. પ્રથમ પ્રકારની કોઈપણ હિલચાલની રચના એ પ્રથમ પ્રકારની હિલચાલ છે. બીજા પ્રકારની હિલચાલની સમાન સંખ્યાની રચના એ 1લી પ્રકારની હિલચાલ છે, અને 2 જી પ્રકારની હલનચલનની બેકી સંખ્યાની રચના એ 2 જી પ્રકારની હિલચાલ છે. 10. કેટલીક સામાન્ય રચનાઓ. ચાલો હવે હલનચલનના કેટલાક સંયોજનોને ધ્યાનમાં લઈએ જેનો ઉપયોગ ઘણી વાર થાય છે, પરંતુ તેમના પર વિશેષ ધ્યાન આપ્યા વિના. 10.1. પ્લેનમાં પ્રતિબિંબની રચનાઓ. પ્રમેય 1. પ્રથમ પ્રકારની અવકાશની ગતિને સમતલમાં બે અથવા ચાર પ્રતિબિંબોની રચના તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. બીજા પ્રકારની અવકાશની હિલચાલ કાં તો પ્લેનમાં પ્રતિબિંબ હોય છે, અથવા પ્લેનમાં ત્રણ પ્રતિબિંબોની રચના તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. અહીંથી આપણે પહેલાથી જાણીતી હિલચાલને નીચે પ્રમાણે સમજાવી શકીએ છીએ: 2 સમાંતર વિમાનોમાં પ્રતિબિંબની રચના સમાંતર અનુવાદ છે. 2 છેદતા વિમાનોમાં પ્રતિબિંબની રચના એ આ વિમાનોના આંતરછેદની સીધી રેખાની આસપાસ એક પરિભ્રમણ છે. આપેલ બિંદુ વિશેની કેન્દ્રીય સપ્રમાણતા એ તે બિંદુ પર છેદતા કોઈપણ 3 પરસ્પર લંબરૂપ વિમાનો વિશે 3 પ્રતિબિંબોની રચના છે. 10.2. સ્ક્રૂ હલનચલન. વ્યાખ્યા. હેલિકલ ગતિ એ પરિભ્રમણની અક્ષની સમાંતર વેક્ટરના પરિભ્રમણ અને અનુવાદની રચના છે. આવી ચળવળનો ખ્યાલ અંદર અથવા બહાર સ્ક્રૂ કરવામાં આવતા સ્ક્રૂ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રમેય 2. પ્રથમ પ્રકારની અવકાશની કોઈપણ ગતિ એ સ્ક્રુ ગતિ છે (ખાસ કરીને, રેખા અથવા અનુવાદની આસપાસ પરિભ્રમણ). 10.3. મિરર ટર્ન. વ્યાખ્યા. ખૂણા દ્વારા a-અક્ષની ફરતે અરીસાનું પરિભ્રમણ (એ-અક્ષની ફરતે કોણ દ્વારા પરિભ્રમણની રચના કહેવામાં આવે છે (અને પરિભ્રમણ અક્ષને લંબરૂપ સમતલમાં પ્રતિબિંબ. પ્રમેય 3. બીજા પ્રકારની અવકાશની કોઈપણ ગતિ કે જેમાં નિશ્ચિત બિંદુ હોય તે અરીસાનું પરિભ્રમણ છે, જે ખાસ કરીને કેન્દ્રીય અથવા અરીસાની સમપ્રમાણતા હોઈ શકે છે. 10.4. સ્લાઇડિંગ પ્રતિબિંબ. વ્યાખ્યા. સ્લાઇડિંગ પ્રતિબિંબ એ ચોક્કસ પ્લેનમાં પ્રતિબિંબની રચના છે અને આ પ્લેનની સમાંતર વેક્ટરમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે. પ્રમેય 4. બીજા પ્રકારની અવકાશની ગતિ, જેમાં કોઈ નિશ્ચિત બિંદુઓ નથી, તે એક સરકતું પ્રતિબિંબ છે. ચાલનું પ્રમેય. પ્રથમ પ્રકારના વિમાનની હિલચાલ કાં તો પરિભ્રમણ અથવા સમાંતર અનુવાદ છે. બીજા પ્રકારના વિમાનની ગતિ એ સ્લાઇડિંગ પ્રતિબિંબ છે. અમૂર્ત બનાવવા માટે નીચેના પુસ્તકોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો: 1. "ગ્રેડ 9-10 માટે ભૂમિતિ." એ.ડી. એલેક્ઝાન્ડ્રોવ, એ.એલ. વર્નર, વી.આઈ. રાયઝિક. 2. "ભૂમિતિ". L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev અને અન્ય. 3. "ગણિત". વી. એ. ગુસેવ, એ. જી. મોર્ડકોવિચ. 785
ઘસવું માર્ગદર્શિકા રેખીય બીજગણિત અભ્યાસક્રમના તમામ વિભાગોને આવરી લે છે અને સામગ્રીના સક્રિય અને અનૌપચારિક શિક્ષણમાં મદદ કરવી જોઈએ. દરેક વિષય માટે, મૂળભૂત સૈદ્ધાંતિક માહિતી સંક્ષિપ્તમાં દર્શાવેલ છે અને પરીક્ષણ પ્રશ્નો પ્રસ્તાવિત છે; પ્રમાણભૂત અને બિન-માનક સમસ્યાઓના ઉકેલો પ્રદાન કરવામાં આવે છે; જવાબો અને સૂચનાઓ સાથે સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કાર્યો અને કસરતો આપવામાં આવે છે. ઉચ્ચ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે. 395
ઘસવું "મેન્યુઅલ" વિષયો પર સમસ્યાઓ ધરાવે છે: ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન અને વિભેદક, કાર્યોનો અભ્યાસ અને તેમના આલેખનું નિર્માણ, અનિશ્ચિત અભિન્ન, ચોક્કસ અભિન્ન, ઘણા ચલોના કાર્યો, બહુવિધ, વક્રીકૃત અને સપાટીના પૂર્ણાંકો, ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતના ઘટકો, શ્રેણી. , વિભેદક સમીકરણો લાક્ષણિક સમસ્યાઓના ઉકેલો, તેમજ જરૂરી સૈદ્ધાંતિક માહિતી પ્રદાન કરે છે. આ સમસ્યા પુસ્તકની વિશિષ્ટતા એ સામગ્રીની રજૂઆત છે, જે તમને સ્વતંત્ર કાર્ય માટે તેનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે. પાઠયપુસ્તક યુનિવર્સિટીઓમાં ટેકનિકલ અને ટેકનોલોજીકલ વિશેષતા ધરાવતા વિદ્યાર્થીઓ માટે બનાવાયેલ છે. 1234
ઘસવું આ પુસ્તક જોખમી પરિસ્થિતિઓના વિશ્લેષણમાં વપરાતી ગાણિતિક પદ્ધતિઓના સૈદ્ધાંતિક પાયાને વ્યવસ્થિત રીતે દર્શાવે છે. વીમા જોખમોના વિશ્લેષણની પદ્ધતિઓ પર મુખ્ય ધ્યાન આપવામાં આવે છે. જોખમ સિદ્ધાંત અને વીમા ગણિત પર વ્યાખ્યાન અભ્યાસક્રમોમાં પરંપરાગત રીતે પ્રસ્તુત સામગ્રીની સાથે, પુસ્તકમાં નવીનતમ પરિણામો ધરાવતા કેટલાક વિભાગોનો સમાવેશ થાય છે. ગાણિતિક અને આર્થિક-ગાણિતિક વિશેષતાઓમાં અભ્યાસ કરતા અંડરગ્રેજ્યુએટ અને સ્નાતક વિદ્યાર્થીઓ માટે (ગણિત, લાગુ ગણિત, એક્ચ્યુરિયલ ગણિત, નાણાકીય ગણિત, વીમો). આ પુસ્તકનો ઉપયોગ વીમા અને નાણાકીય કંપનીઓમાં કામ કરતા એક્ચ્યુઅરી અને વિશ્લેષકો, તેમજ વિશ્વસનીયતા સિદ્ધાંતના ક્ષેત્રના નિષ્ણાતો અને અન્ય સંશોધકો દ્વારા કરી શકાય છે જેમની પ્રવૃત્તિઓ જોખમ આકારણી અને વિવિધ જોખમ પરિસ્થિતિઓના વિશ્લેષણ સાથે સંબંધિત છે. 1279
ઘસવું આ પુસ્તક લેક્ચર કોર્સ માટે પદ્ધતિસરની માર્ગદર્શિકા તરીકે ઉભરી આવ્યું છે જે લેખકે મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટીના બાયોએન્જિનિયરિંગ અને બાયોઇન્ફોર્મેટિક્સ ફેકલ્ટીમાં, મોસ્કો ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઑફ ફિઝિક્સ એન્ડ ટેક્નોલોજીની ફેકલ્ટી ઑફ ઇનોવેશન એન્ડ હાઇ ટેક્નૉલૉજીમાં વર્ષોથી આપેલા અને હજુ પણ વાંચે છે. રશિયન સ્કૂલ ઑફ ઇકોનોમિક્સ અને હાયર સ્કૂલ ઑફ ઇકોનોમિક્સના સંયુક્ત અંડરગ્રેજ્યુએટ કોર્સ, સ્કૂલ ઑફ એનાલિસિસ યાન્ડેક્સ ડેટા ખાતે. આ તમામ અભ્યાસક્રમો સંયોજનશાસ્ત્ર અને સંભાવના સિદ્ધાંતમાં મૂળભૂત ઘટકની હાજરી દ્વારા એક થાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તેમાંથી દરેક આ શાખાઓમાં ઉદ્ભવતા ચોક્કસ સંખ્યાના સરળ ખ્યાલો અને તથ્યો પર આધારિત છે અને જેના વિના વધુ ચોક્કસ સમજવું અશક્ય છે - તેથી બોલવા માટે, "અદ્યતન" - પરિણામો. પ્લેનમાં અને અવકાશમાં ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં આકૃતિઓના પરિવર્તનનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. જો પ્લેન અથવા અવકાશમાં આપેલ આકૃતિના દરેક બિંદુને કોઈ રીતે ખસેડવામાં આવે છે, તો આપણને એક નવી આકૃતિ મળે છે. તેઓ કહે છે કે આ આંકડો આમાંથી પરિવર્તન દ્વારા મેળવવામાં આવ્યો છે. અહીં આકાર પરિવર્તનના કેટલાક ઉદાહરણો છે. 1. બિંદુ વિશે સમપ્રમાણતા (કેન્દ્રીય સમપ્રમાણતા). બિંદુ વિશે સમપ્રમાણતા નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. O ને એક નિશ્ચિત બિંદુ અને X ને મનસ્વી બિંદુ થવા દો. જો બિંદુઓ સમાન સીધી રેખા પર હોય અને બિંદુ O ની સપ્રમાણતા હોય તો બિંદુને બિંદુ O સાથે સપ્રમાણતા કહેવામાં આવે છે. F એ આપેલ આકૃતિ અને O એ પ્લેનનું નિશ્ચિત બિંદુ છે. આકૃતિ F નું એક આકૃતિમાં રૂપાંતર જેમાં તેના દરેક બિંદુ X આપેલ બિંદુ O ની સાપેક્ષ X ની સપ્રમાણતાવાળા બિંદુ પર જાય છે તેને બિંદુ O ની સાપેક્ષ સમપ્રમાણતાનું રૂપાંતર કહેવાય છે. આકૃતિ 204 કેન્દ્રની સાપેક્ષ સપ્રમાણતા દર્શાવે છે ઓ. આકૃતિ 205 બિંદુ O વિશે સપ્રમાણતા ધરાવતા બે સમઘન દર્શાવે છે. જો બિંદુ O વિશે સમપ્રમાણતા રૂપાંતરણ થાય છે આકૃતિને પોતાનામાં ફેરવો, પછી આકૃતિને કેન્દ્રિય સપ્રમાણ કહેવામાં આવે છે, અને બિંદુ O એ તેની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમાંતરગ્રામ એ કેન્દ્રિય સપ્રમાણ આકૃતિ છે. તેની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ છે (ફિગ. 206, એ). કેન્દ્ર O ધરાવતું વર્તુળ એ પણ કેન્દ્રીય સપ્રમાણ આકૃતિ છે જેમાં કેન્દ્રીય સમપ્રમાણતા O (ફિગ. 206, b) સૂચિબદ્ધ તમામ આકૃતિઓ સપાટ છે. અવકાશમાં, તેમજ પ્લેન પર, કેન્દ્રિય સપ્રમાણ આકૃતિઓના ઘણા ઉદાહરણો છે. ઉદાહરણ તરીકે, આકૃતિ 207 નીચેના આંકડાઓ બતાવે છે: એક ક્યુબ, એક ગોળા, એક સમાંતર. 2. સીધી રેખા (અક્ષીય સમપ્રમાણતા) ને સંબંધિત સમપ્રમાણતા. ચાલો હું એક નિશ્ચિત સીધી રેખા બનીએ (ફિગ. 208). જો સીધી રેખા I ની સીધી રેખાને લંબરૂપ હોય અને જ્યાં O એ સીધી રેખાઓ અને Iના આંતરછેદનું બિંદુ હોય તો સીધી રેખા Iની સાપેક્ષમાં બિંદુ X બિંદુને સપ્રમાણ કહેવામાં આવે છે. જો બિંદુ X સીધી રેખા પર આવેલું હોય I, પછી તે બિંદુનો સપ્રમાણતા એ બિંદુ X છે. આકૃતિ 208 પર બિંદુ X છે, અને બિંદુઓ સીધી રેખા I વિશે સપ્રમાણ છે. આકૃતિ F નું રૂપાંતરણ જેમાં દરેક બિંદુ X રેખા I ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણતાવાળા બિંદુ પર જાય છે તેને રેખા I ના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણતાનું રૂપાંતર કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, રેખા I ના સંદર્ભમાં આકૃતિઓને સપ્રમાણ કહેવામાં આવે છે. સીધી રેખા I. આકૃતિ 208, b સીધી રેખા I ના સંદર્ભમાં વર્તુળોને સપ્રમાણતા બતાવે છે. આકૃતિ 209 સીધી રેખા I વિશે સપ્રમાણતા ધરાવતા બે ગોળાઓ દર્શાવે છે. જો રેખા I ના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણતાનું રૂપાંતર આકૃતિ F ને પોતાનામાં રૂપાંતરિત કરે છે, તો આકૃતિને રેખા 19ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ કહેવામાં આવે છે અને રેખા I આકૃતિની સમપ્રમાણતાની ધરી કહેવાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેની બાજુઓના સમાંતર લંબચોરસના કર્ણના આંતરછેદ બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાઓ એ લંબચોરસની સમપ્રમાણતાની અક્ષો છે (ફિગ. 210, a). સીધી રેખાઓ કે જેના પર સમચતુર્ભુજના કર્ણ આવેલા છે તે તેની સમપ્રમાણતાની અક્ષો છે (ફિગ. 210, b). વર્તુળ તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી કોઈપણ સીધી રેખાની તુલનામાં સપ્રમાણ છે (ફિગ. 210, c). આ તમામ આંકડા સપાટ છે. અવકાશમાં, તેમજ પ્લેનમાં, સપ્રમાણતાની અક્ષો ધરાવતા આકૃતિઓના ઘણા ઉદાહરણો છે. આકૃતિ 211 નીચેના આંકડાઓ દર્શાવે છે: એક લંબચોરસ સમાંતર, શંકુ, નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડ. 3. પ્લેનની તુલનામાં સમપ્રમાણતા. એક મનસ્વી નિશ્ચિત પ્લેન બનવા દો. બિંદુ X થી કાટખૂણે પ્લેન a પર નીચે આવે છે (O એ પ્લેન a સાથે તેના આંતરછેદનું બિંદુ છે) અને બિંદુ O ની બહાર તેના વિસ્તરણ પર પોઈન્ટ X ની બરાબર એક સેગમેન્ટ મૂકો અને તેને પ્લેન a (ફિગ. 212) ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ કહો. આકૃતિ F નું રૂપાંતરણ જેમાં આકૃતિ F ના દરેક બિંદુ X સમતલ a ની તુલનામાં સમપ્રમાણતાના બિંદુ પર જાય છે તેને સમતલની સાપેક્ષમાં સમપ્રમાણતાનું રૂપાંતર કહેવામાં આવે છે આકૃતિ 213 પ્લેન a ની તુલનામાં બે ગોળાઓ સપ્રમાણતા દર્શાવે છે. જો વિમાનની તુલનામાં સમપ્રમાણતાનું રૂપાંતર કોઈ આકૃતિને પોતાનામાં પરિવર્તિત કરે છે, તો આકૃતિને સમતલની તુલનામાં સમપ્રમાણતા કહેવામાં આવે છે. આકૃતિ 214 ગોળાની સમપ્રમાણતાના બે વિમાનો બતાવે છે. નોંધ કરો કે ગોળામાં સપ્રમાણતાના આવા વિમાનોની અસંખ્ય સંખ્યા છે. ક્યુબમાં સમપ્રમાણતાના વિમાનો પણ છે. આકૃતિ 215 તેમાંથી બે બતાવે છે. 4. હોમોથેટી. F એ આપેલ આકૃતિ અને O એક નિશ્ચિત બિંદુ (ફિગ. 216) હોવા દો. ચાલો આકૃતિ F ના મનસ્વી બિંદુ X દ્વારા એક કિરણ દોરીએ અને તેના પર જ્યાં ધન સંખ્યા છે તેના સમાન સેગમેન્ટ લખીએ. આકૃતિનું રૂપાંતર જેમાં તેના દરેક બિંદુ X નિર્દેશિત રીતે બાંધવામાં આવેલા બિંદુ સુધી જાય છે તેને સંદર્ભમાં હોમોથેટી કહેવામાં આવે છે. પૃષ્ઠ 1 પ્લેનમાં અને અવકાશમાં ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં આકૃતિઓના પરિવર્તનનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. જો પ્લેન અથવા અવકાશમાં આપેલ આકૃતિના દરેક બિંદુને કોઈ રીતે ખસેડવામાં આવે છે, તો આપણને એક નવી આકૃતિ મળે છે. તેઓ કહે છે કે આ આંકડો આમાંથી પરિવર્તન દ્વારા મેળવવામાં આવ્યો છે. આકૃતિ F નું F2 માં રૂપાંતર એ એક સમાનતા રૂપાંતર છે, કારણ કે તે અનુરૂપ બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરના સંબંધોને સાચવે છે, પરંતુ આ રૂપાંતર એક સમાનતા નથી. આકૃતિ F નું આકૃતિ F માં રૂપાંતરણને કેન્દ્રીય રૂપાંતર અથવા હોમોથેટી કહેવામાં આવે છે. આકૃતિ F નું આકૃતિ P માં રૂપાંતરણને સમાનતા રૂપાંતર કહેવામાં આવે છે જો આ રૂપાંતર દરમિયાન બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન સંખ્યામાં બદલાય (વધારો અથવા ઘટાડો). આકૃતિ F નું આકૃતિ FI માં રૂપાંતર થવા દો આકૃતિ F ના વિવિધ બિંદુઓને આકૃતિ F ના વિવિધ ફાયરબોક્સમાં સ્થાનાંતરિત કરો. આ રૂપાંતર સાથે આકૃતિ F ના મનસ્વી બિંદુ X ને આકૃતિ F ના બિંદુ X પર જવા દો. નું પરિવર્તન આકૃતિ F માં આકૃતિ FI, જેમાં બિંદુ X બિંદુ X પર જશે, તેને આપેલ એકનું વ્યસ્ત રૂપાંતર કહેવામાં આવે છે. ગતિમાં વિપરિત પરિવર્તન એ પણ ગતિ છે. ભૂમિતિમાં, આ પ્રકૃતિની આકૃતિઓના રૂપાંતરને સમાનતા રૂપાંતર કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, આકૃતિનું પરિવર્તન તેના વિસ્થાપન તરીકે સમજવામાં આવે છે. પરિવર્તનોમાં, હલનચલન અને સમાનતા રૂપાંતર અલગ પડે છે. ચોક્કસ પ્રકારની હલનચલન ગણવામાં આવે છે: અક્ષીય સમપ્રમાણતા, કેન્દ્રીય સપ્રમાણતા, પરિભ્રમણ, સમાંતર અનુવાદ. સમાનતા પરિવર્તનનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર હોમોથેટી છે. આ રૂપાંતરણને અનુરૂપ આંકડા કહેવામાં આવે છે. એક આકૃતિ કે જે તેના પરસ્પર ધ્રુવીય સાથે સુસંગત હોય તેને કહેવામાં આવે છે. ભૂમિતિમાં, આકૃતિઓના આ પ્રકારના પરિવર્તનને સમાન કહેવામાં આવે છે. ચળવળ દ્વારા અમારો અર્થ આકૃતિઓના આવા રૂપાંતરનો થાય છે જ્યારે તેમના તમામ બિંદુઓ, તેમની સંબંધિત સ્થિતિને બદલ્યા વિના, અંદાજોના નિશ્ચિત વિમાનોની તુલનામાં તેને બદલી નાખે છે. પ્લેન-સમાંતર ચળવળ સાથે, આકૃતિના તમામ બિંદુઓ સમાંતર વિમાનોમાં આગળ વધે છે. આ સામાન્ય રીતે લેવલ પ્લેન અથવા પ્રોજેક્શન પ્લેન હોય છે. જે રેખાઓ સાથે બિંદુઓ ફરે છે તેને તેમની ગતિ કહેવામાં આવે છે. જો કે, ઘણા કિસ્સાઓમાં તે સમાન આકારમાં આકારના રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરવા માટે ઉપયોગી છે. આ સમાનતા ખૂણાઓને સાચવે છે, પરંતુ અંતર બદલી શકે છે. આ કિસ્સામાં, સમાન ગુણોત્તરમાં તમામ અંતર વધે છે (અથવા ઘટે છે), જેને સમાનતા ગુણાંક કહેવાય છે. આકૃતિઓ બદલવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાના ઉકેલ પર પહોંચવું ઘણીવાર શક્ય છે, અને ઘણા કિસ્સાઓમાં પણ આ પદ્ધતિની સફળતા પ્રથમ નજરમાં જોઈ શકાય છે. આ પદ્ધતિમાં આપેલ અથવા ઇચ્છિત આકૃતિ અથવા તેના અમુક ભાગને મૂળ ચોક્કસ બાંધકામ સાથે સંકળાયેલ નવી આકૃતિ સાથે બદલવાનો અને સમસ્યાને ઉકેલવા અથવા તેના ઉકેલની નજીક જવાની મંજૂરી આપવાનો સમાવેશ થાય છે. હમણાં માટે, અમે ફક્ત તે જ રૂપાંતરણોને ધ્યાનમાં લઈશું જેમાં નવો આંકડો જૂના સમાન છે અને તે ફક્ત સ્થિતિમાં જ તેનાથી અલગ છે. Desarguesian રૂપરેખાંકનનું નિર્માણ આકૃતિઓના રૂપાંતરણ અને પરિપ્રેક્ષ્ય અંદાજોના નિર્માણથી સંબંધિત એક રસપ્રદ પરિણામ તરફ દોરી જાય છે. પાછલી સમસ્યાને હલ કરતી વખતે, પાંચ બિંદુઓ આપવામાં આવ્યા હતા - એક Desarguesian સીધી રેખા જે બે બિંદુઓ M અને P દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી હતી, એક Desarguesian બિંદુ S અને બે બિંદુઓ A અને A, તેના વિવિધ વિભાગોમાં પિરામિડની સમાન ધાર પર સ્થિત છે. પિરામિડના એક વિભાગના અન્ય બે બિંદુઓ (તેનો આધાર), B અને C, અનુરૂપ બિંદુઓ B અને C બીજા વિભાગમાં જોવા મળ્યા હતા. અનુરૂપ બિંદુઓ સમાન ધાર પર સ્થિત બિંદુઓ છે.
પ્રશ્નો અને સમસ્યાઓમાં રેખીય બીજગણિત 
ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની માર્ગદર્શિકા 
જોખમ સિદ્ધાંતના ગાણિતિક પાયા
વિશેષતા 010200 "એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સ એન્ડ કોમ્પ્યુટર સાયન્સ" અને 510200 "એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સ એન્ડ કોમ્પ્યુટર સાયન્સ" માં અભ્યાસ કરતા યુનિવર્સિટીના વિદ્યાર્થીઓ માટે શિક્ષણ સહાય તરીકે ક્લાસિકલ યુનિવર્સિટી એજ્યુકેશન માટે UMOની એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સ અને કોમ્પ્યુટર સાયન્સ પરની શૈક્ષણિક અને પદ્ધતિસરની કાઉન્સિલ દ્વારા મંજૂર "
સંયોજનશાસ્ત્ર અને સંભાવના સિદ્ધાંત
આમાંના ઘણા તથ્યો અને ખ્યાલો શાસ્ત્રીય પાઠ્યપુસ્તકો અને મોનોગ્રાફ્સમાં છે. જો કે, પ્રથમ, તેઓ વિવિધ પુસ્તકોમાં પથરાયેલા છે, અને બીજું, તેમના ઉપરાંત, આ પુસ્તકોમાં ઘણી બધી અન્ય માહિતી છે. પરિણામે, તે તારણ આપે છે કે ત્યાં કોઈ અનુકૂળ સ્ત્રોત નથી કે જ્યાં આ અને માત્ર આ જ તથ્યો અને વિભાવનાઓને એકત્રિત કરવામાં આવશે અને યોગ્ય રીતે સ્થાન આપવામાં આવશે. સારમાં, આ પુસ્તક આ અંતરને ભરે છે.
પુસ્તક સંક્ષિપ્તમાં, સંક્ષિપ્તમાં અને તેના બદલે અનૌપચારિક રીતે તમામ જરૂરી વસ્તુઓનો પરિચય આપે છે અને તેમના વિશેના તમામ જરૂરી નિવેદનો આપે છે. જો પ્રમેયનો પુરાવો પ્રમાણભૂત પાઠ્યપુસ્તકમાં છે, તો પછી, નિયમ તરીકે, તે પુનઃઉત્પાદિત થતું નથી; એક અનુકૂળ લિંક ફક્ત તેના પર મૂકવામાં આવે છે. પરંતુ જો સાબિતી નબળી રીતે સુલભ હોય અથવા ક્યાંય લોકપ્રિય રીતે રજૂ કરવામાં ન આવે, તો તેના પર નોંધપાત્ર ધ્યાન આપવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, આ Möbius વ્યુત્ક્રમ સૂત્રના સંબંધમાં કરવામાં આવ્યું હતું, જેની ભાગ્યે જ વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવે છે, અથવા સંયોજક જથ્થાના અંદાજ વિશે સમસ્યાઓના સંબંધમાં, જે અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે કેવળ વ્યાવસાયિક સાહિત્યમાં "પોતાના દ્વારા" ઉદ્ભવે છે, અને વાચકને અનુમાન કરવાની ફરજ પડે છે કે આની પાછળ કયા વિચારો ઉભા છે.
પુસ્તકમાં તદ્દન બિન-તુચ્છ વસ્તુઓ પણ છે જે લેખકના અભ્યાસક્રમો માટે લાક્ષણિક છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંભાવનાના સિદ્ધાંતને સમર્પિત ભાગમાં, વ્યુત્ક્રમ સૂત્રોની ચર્ચા કરવામાં આવે છે જે તેમની ક્ષણોના સંદર્ભમાં અલગ જથ્થાના વિતરણને વ્યક્ત કરવાનું શક્ય બનાવે છે (આ એપ્લિકેશનમાં ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે: ઉદાહરણ તરીકે, રેન્ડમ ગ્રાફ માટે), તેમજ માર્ટિન્ગેલ્સ. (સ્વચ્છ કિસ્સામાં) અને એકાગ્રતાના પગલાંની કેટલીક સંબંધિત અસમાનતાઓ. આ વસ્તુઓને અનૌપચારિક રીતે વર્ણવવામાં આવી છે અને અન્ય તમામ બાબતોની જેમ વધુ પડતી વિગતમાં ગયા વિના. જો કે, સામગ્રીના જંગલમાં ખોવાઈ ન જવું સરળ છે.
દરેક વિષયના અંતે ઓફર કરેલા કાર્યો સમાન સિદ્ધાંતને અનુસરે છે.
આમ, પુસ્તક વિવિધ પાઠ્યપુસ્તકો અને સમસ્યા પુસ્તકોમાં ફેલાયેલી માહિતીને સ્પષ્ટ રીતે વ્યવસ્થિત બનાવવાનું શક્ય બનાવશે (અને ઘણીવાર ફક્ત અપ્રાપ્ય), અને કોમ્બીનેટરિક્સ, કોમ્પ્યુટર સાયન્સ, ગ્રાફ થિયરી, થિયરીના અભ્યાસક્રમોની પર્યાપ્ત સમજ માટે જરૂરી ન્યૂનતમ પ્રદાન કરશે. અલ્ગોરિધમ્સ, સંભાવના સિદ્ધાંત, વગેરે.75. આકાર પરિવર્તનના ઉદાહરણો.
