પ્રવેશ સ્તર

પિરામિડ. વિઝ્યુઅલ માર્ગદર્શિકા (2019)

પિરામિડ શું છે?

તેણી કેવી દેખાય છે?

તમે જુઓ: પિરામિડના તળિયે (તેઓ કહે છે " આધાર પર") કેટલાક બહુકોણ, અને આ બહુકોણના તમામ શિરોબિંદુઓ અવકાશના અમુક બિંદુ સાથે જોડાયેલા છે (આ બિંદુને "કહે છે. શિરોબિંદુ»).

આ આખું માળખું હજી પણ છે બાજુના ચહેરા, બાજુની પાંસળીઅને આધાર પાંસળી. ફરી એકવાર, ચાલો આ બધા નામો સાથે પિરામિડ દોરીએ:

કેટલાક પિરામિડ ખૂબ જ વિચિત્ર લાગે છે, પરંતુ તે હજુ પણ પિરામિડ છે.

અહીં, ઉદાહરણ તરીકે, સંપૂર્ણપણે "ત્રાંસી" છે પિરામિડ.

અને નામો વિશે થોડું વધુ: જો પિરામિડના પાયા પર ત્રિકોણ હોય, તો પિરામિડને ત્રિકોણાકાર કહેવામાં આવે છે, જો તે ચતુષ્કોણ હોય, તો ચતુષ્કોણ, અને જો તે સેન્ટાગોન હોય, તો પછી... તમારા માટે અનુમાન કરો .

તે જ સમયે, તે બિંદુ જ્યાં તે પડ્યો હતો ઊંચાઈ, કહેવાય છે ઊંચાઈ આધાર. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે "કુટિલ" પિરામિડમાં ઊંચાઈપિરામિડની બહાર પણ સમાપ્ત થઈ શકે છે. આની જેમ:

અને તેમાં કંઈ ખોટું નથી. તે સ્થૂળ ત્રિકોણ જેવું લાગે છે.

યોગ્ય પિરામિડ.

ઘણા જટિલ શબ્દો? ચાલો ડીસાયફર કરીએ: "આધાર પર - સાચો" - આ સમજી શકાય તેવું છે. હવે ચાલો યાદ કરીએ કે નિયમિત બહુકોણનું કેન્દ્ર છે - એક બિંદુ જે અને , અને નું કેન્દ્ર છે.

ઠીક છે, શબ્દો "ટોચ પાયાના મધ્યમાં પ્રક્ષેપિત છે" નો અર્થ એ છે કે ઊંચાઈનો આધાર આધારની મધ્યમાં બરાબર આવે છે. જુઓ કે તે કેટલું સરળ અને સુંદર લાગે છે નિયમિત પિરામિડ.

ષટ્કોણ: આધાર પર એક નિયમિત ષટ્કોણ છે, શિરોબિંદુ પાયાના કેન્દ્રમાં પ્રક્ષેપિત છે.

ચતુષ્કોણીય: આધાર એક ચોરસ છે, ટોચ આ ચોરસના કર્ણના આંતરછેદના બિંદુ સુધી પ્રક્ષેપિત છે.

ત્રિકોણાકાર: પાયા પર એક નિયમિત ત્રિકોણ છે, શિરોબિંદુ આ ત્રિકોણની ઊંચાઈઓ (તેઓ મધ્યક અને દ્વિભાજકો પણ છે) ના આંતરછેદના બિંદુ સુધી પ્રક્ષેપિત છે.

ખૂબ મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો નિયમિત પિરામિડ:

જમણા પિરામિડમાં

• બધી બાજુની કિનારીઓ સમાન છે.
• બધા બાજુના ચહેરા - સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણઅને આ બધા ત્રિકોણ સમાન છે.

પિરામિડનો જથ્થો

પિરામિડના જથ્થા માટેનું મુખ્ય સૂત્ર:

તે બરાબર ક્યાંથી આવ્યું? આ એટલું સરળ નથી, અને શરૂઆતમાં તમારે ફક્ત યાદ રાખવાની જરૂર છે કે પિરામિડ અને શંકુ સૂત્રમાં વોલ્યુમ ધરાવે છે, પરંતુ સિલિન્ડર નથી.

હવે ચાલો સૌથી વધુ લોકપ્રિય પિરામિડના વોલ્યુમની ગણતરી કરીએ.

આધારની બાજુ સમાન અને બાજુની ધાર સમાન થવા દો. આપણે શોધવાની જરૂર છે અને.

આ નિયમિત ત્રિકોણનો વિસ્તાર છે.

ચાલો યાદ કરીએ કે આ વિસ્તાર કેવી રીતે જોવો. અમે વિસ્તાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

અમારા માટે, “” આ છે, અને “” પણ આ છે.

હવે ચાલો તેને શોધીએ.

માટે પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર

શું તફાવત છે? આ પરિક્રમા છે કારણ કે પિરામિડયોગ્યઅને તેથી, કેન્દ્ર.

ત્યારથી - મધ્યના આંતરછેદનું બિંદુ પણ.

(માટે પાયથાગોરિયન પ્રમેય)

ચાલો તેને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ.

અને ચાલો દરેક વસ્તુને વોલ્યુમ ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ:

ધ્યાન:જો તમારી પાસે નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન છે (એટલે ​​​​કે), તો સૂત્ર આના જેવું બહાર આવે છે:

આધારની બાજુ સમાન અને બાજુની ધાર સમાન થવા દો.

અહીં જોવાની જરૂર નથી; છેવટે, આધાર એક ચોરસ છે, અને તેથી.

અમે તેને શોધીશું. માટે પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર

શું આપણે જાણીએ છીએ? સારું, લગભગ. જુઓ:

(આપણે તેને જોઈને જોયું).

ફોર્મ્યુલામાં અવેજી કરો:

અને હવે આપણે અવેજી કરીએ છીએ અને વોલ્યુમ સૂત્રમાં.

આધારની બાજુ સમાન અને બાજુની કિનારી થવા દો.

કેવી રીતે શોધવું? જુઓ, એક ષટ્કોણ બરાબર છ સમાન નિયમિત ત્રિકોણ ધરાવે છે. નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડના જથ્થાની ગણતરી કરતી વખતે આપણે પહેલાથી જ નિયમિત ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધી કાઢ્યું છે;

હવે ચાલો (તે) શોધીએ.

માટે પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર

પણ શું વાંધો છે? તે સરળ છે કારણ કે (અને બીજા બધા પણ) સાચા છે.

ચાલો અવેજી કરીએ:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

પિરામિડ. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

પિરામિડ એ પોલિહેડ્રોન છે જેમાં કોઈપણ સપાટ બહુકોણ હોય છે (), એક બિંદુ જે પાયાના સમતલમાં ન હોય (પિરામિડનો શિરોબિંદુ) અને પિરામિડની ટોચને આધારના બિંદુઓ સાથે જોડતા તમામ ભાગો ( બાજુની પાંસળી ).

પિરામિડની ટોચ પરથી બેઝના પ્લેન સુધી એક લંબરૂપ ડ્રોપ.

યોગ્ય પિરામિડ- એક પિરામિડ જેમાં નિયમિત બહુકોણ પાયા પર આવેલું હોય છે, અને પિરામિડની ટોચ આધારની મધ્યમાં પ્રક્ષેપિત થાય છે.

નિયમિત પિરામિડની મિલકત:

• નિયમિત પિરામિડમાં, બધી બાજુની કિનારીઓ સમાન હોય છે.
• બધા બાજુના ચહેરા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે અને આ બધા ત્રિકોણ સમાન છે.

અહીં તમે પિરામિડ અને સંબંધિત સૂત્રો અને ખ્યાલો વિશે મૂળભૂત માહિતી મેળવી શકો છો. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારીમાં તે બધાનો અભ્યાસ ગણિતના શિક્ષક સાથે કરવામાં આવે છે.

પ્લેન, બહુકોણનો વિચાર કરો , તેમાં સૂવું અને એક બિંદુ S, તેમાં બોલવું નહીં. ચાલો S ને બહુકોણના તમામ શિરોબિંદુઓ સાથે જોડીએ. પરિણામી પોલિહેડ્રોનને પિરામિડ કહેવામાં આવે છે. વિભાગોને બાજુની પાંસળી કહેવામાં આવે છે. બહુકોણને આધાર કહેવામાં આવે છે, અને બિંદુ S એ પિરામિડની ટોચ છે. નંબર n પર આધાર રાખીને, પિરામિડને ત્રિકોણાકાર (n=3), ચતુષ્કોણીય (n=4), પંચકોણીય (n=5) અને તેથી વધુ કહેવામાં આવે છે. ત્રિકોણાકાર પિરામિડ માટે વૈકલ્પિક નામ છે ટેટ્રાહેડ્રોન. પિરામિડની ઊંચાઈ તેના ઉપરથી પાયાના સમતલ સુધી ઉતરતી કાટખૂણે છે.

પિરામિડને નિયમિત જો કહેવામાં આવે છે નિયમિત બહુકોણ, અને પિરામિડની ઊંચાઈનો આધાર (લંબનો આધાર) તેનું કેન્દ્ર છે.

શિક્ષકની ટિપ્પણી:
"નિયમિત પિરામિડ" અને "નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન" ની વિભાવનાઓને ગૂંચવશો નહીં. નિયમિત પિરામિડમાં, બાજુની કિનારીઓ પાયાની કિનારીઓ જેટલી જ જરૂરી નથી, પરંતુ નિયમિત ટેટ્રેહેડ્રોનમાં, બધી 6 કિનારીઓ સમાન હોય છે. આ તેની વ્યાખ્યા છે. તે સાબિત કરવું સરળ છે કે સમાનતા સૂચવે છે કે બહુકોણનું કેન્દ્ર P એકરુપ છે પાયાની ઊંચાઈ સાથે, તેથી નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન એ નિયમિત પિરામિડ છે.

એપોથેમ શું છે?
પિરામિડનું એપોથેમ તેના બાજુના ચહેરાની ઊંચાઈ છે. જો પિરામિડ નિયમિત છે, તો તેના બધા એપોથેમ્સ સમાન છે. વિપરીત સાચું નથી.

તેની પરિભાષા વિશે ગણિતના શિક્ષક: પિરામિડ સાથેનું 80% કામ બે પ્રકારના ત્રિકોણ દ્વારા બનાવવામાં આવે છે:
1) એપોથેમ SK અને ઊંચાઈ SP ધરાવતું
2) બાજુની ધાર SA અને તેના પ્રક્ષેપણ PA સમાવતા

આ ત્રિકોણના સંદર્ભોને સરળ બનાવવા માટે, ગણિતના શિક્ષક માટે તેમાંથી પ્રથમને કૉલ કરવો વધુ અનુકૂળ છે. એપોથેમલ, અને બીજું ખર્ચાળ. કમનસીબે, તમને આ પરિભાષા કોઈપણ પાઠ્યપુસ્તકોમાં જોવા મળશે નહીં, અને શિક્ષકે તેને એકપક્ષીય રીતે રજૂ કરવી પડશે.

પિરામિડના જથ્થા માટેનું સૂત્ર:
1) , પિરામિડના પાયાનો વિસ્તાર ક્યાં છે અને પિરામિડની ઊંચાઈ ક્યાં છે
2) , અંકિત ગોળાની ત્રિજ્યા ક્યાં છે અને વિસ્તાર છે સંપૂર્ણ સપાટીપિરામિડ
3) , જ્યાં MN એ કોઈપણ બે ક્રોસિંગ કિનારીઓ વચ્ચેનું અંતર છે અને બાકીની ચાર કિનારીઓના મધ્યબિંદુઓ દ્વારા રચાયેલ સમાંતરગ્રામનો વિસ્તાર છે.

પિરામિડની ઊંચાઈના આધારની મિલકત:

બિંદુ P (આકૃતિ જુઓ) પિરામિડના પાયા પર અંકિત વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ થાય છે જો નીચેની શરતોમાંથી કોઈ એક પૂરી થાય છે:
1) બધા એપોથેમ્સ સમાન છે
2) બધા બાજુના ચહેરા આધાર તરફ સમાન રીતે વળેલા છે
3) બધા એપોથેમ્સ પિરામિડની ઊંચાઈ માટે સમાન રીતે વળેલા છે
4) પિરામિડની ઊંચાઈ બધી બાજુના ચહેરાઓ માટે સમાન રીતે વળેલી છે

ગણિતના શિક્ષકની ટિપ્પણી: મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે તમામ બિંદુઓમાં એક વસ્તુ સમાન છે સામાન્ય મિલકત: એક રીતે અથવા બીજી રીતે, બાજુના ચહેરા દરેક જગ્યાએ સામેલ છે (એપોથેમ્સ તેમના તત્વો છે). તેથી, શિક્ષક ઓછા સચોટ, પરંતુ શીખવા માટે વધુ અનુકૂળ, ફોર્મ્યુલેશન ઑફર કરી શકે છે: બિંદુ P અંકિત વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે, પિરામિડના પાયા સાથે એકરુપ છે, જો તેના બાજુના ચહેરા વિશે કોઈ સમાન માહિતી હોય. તેને સાબિત કરવા માટે, તે બતાવવા માટે પૂરતું છે કે બધા એપોથેમ ત્રિકોણ સમાન છે.

પોઈન્ટ P પિરામિડના પાયાની નજીકના વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ હોય છે જો ત્રણમાંથી એક સ્થિતિ સાચી હોય તો:
1) બધી બાજુની કિનારીઓ સમાન છે
2) બધી બાજુની પાંસળીઓ આધાર તરફ સમાન રીતે વળેલી છે
3) બધી બાજુની પાંસળીઓ સમાન રીતે ઊંચાઈ તરફ વળેલી હોય છે

વ્યાખ્યા

પિરામિડબહુકોણ \(A_1A_2...A_n\) અને \(n\) એક સામાન્ય શિરોબિંદુ \(P\) (બહુકોણના સમતલમાં આવેલા નથી) અને તેની સામેની બાજુઓ સાથેનો ત્રિકોણ બનેલો બહુકોણ છે. બહુકોણની બાજુઓ.
હોદ્દો: \(PA_1A_2...A_n\) .
ઉદાહરણ: પંચકોણીય પિરામિડ \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

ત્રિકોણ \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), વગેરે. કહેવાય છે બાજુના ચહેરાપિરામિડ, સેગમેન્ટ્સ \(PA_1, PA_2\), વગેરે. - બાજુની પાંસળી, બહુકોણ \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – આધાર, બિંદુ \(P\) - ટોચ.

ઊંચાઈપિરામિડ એ પિરામિડની ટોચ પરથી બેઝના પ્લેન સુધી ઉતરી આવેલ લંબ છે.

તેના આધાર પર ત્રિકોણ ધરાવતો પિરામિડ કહેવાય છે ટેટ્રાહેડ્રોન.

પિરામિડ કહેવાય છે યોગ્ય, જો તેનો આધાર નિયમિત બહુકોણ છે અને નીચેની શરતોમાંથી કોઈ એક પૂર્ણ થયેલ છે:

\((a)\) પિરામિડની બાજુની કિનારીઓ સમાન છે;

\((b)\) પિરામિડની ઊંચાઈ આધારની નજીકના વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે;

\((c)\) બાજુની પાંસળી એ જ ખૂણા પર આધારના સમતલ તરફ વળેલી હોય છે.

\((d)\) બાજુના ચહેરાઓ સમાન ખૂણા પર આધારના સમતલ તરફ વળેલા છે.

નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોનત્રિકોણાકાર પિરામિડ છે, જેના બધા ચહેરા સમાન સમભુજ ત્રિકોણ છે.

પ્રમેય

શરતો \((a), (b), (c), (d)\) સમકક્ષ છે.

પુરાવો

ચાલો પિરામિડ \(PH\) ની ઊંચાઈ શોધીએ. ચાલો \(\alpha\) પિરામિડના પાયાનું સમતલ બનીએ.

1) ચાલો સાબિત કરીએ કે \((a)\) માંથી તે \((b)\) ને અનુસરે છે. ચાલો \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

કારણ કે \(PH\perp \alpha\), પછી \(PH\) આ સમતલમાં પડેલી કોઈપણ રેખાને લંબ છે, જેનો અર્થ છે કે ત્રિકોણ કાટખૂણે છે. આનો અર્થ એ છે કે આ ત્રિકોણ સામાન્ય લેગ \(PH\) અને કર્ણ \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) માં સમાન છે. આનો અર્થ છે \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . આનો અર્થ એ છે કે બિંદુઓ \(A_1, A_2, ..., A_n\) બિંદુ \(H\) થી સમાન અંતરે છે, તેથી, તેઓ ત્રિજ્યા \(A_1H\) સાથે સમાન વર્તુળ પર આવેલા છે. આ વર્તુળ, વ્યાખ્યા દ્વારા, બહુકોણ \(A_1A_2...A_n\) વિશે ઘેરાયેલું છે.

2) ચાલો સાબિત કરીએ કે \((b)\) નો અર્થ \((c)\) છે.

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)લંબચોરસ અને બે પગ પર સમાન. આનો અર્થ એ છે કે તેમના ખૂણા પણ સમાન છે, તેથી, \(\કોણ PA_1H=\કોણ PA_2H=...=\કોણ PA_nH\).

3) ચાલો સાબિત કરીએ કે \((c)\) નો અર્થ \((a)\) થાય છે.

પ્રથમ બિંદુ સમાન, ત્રિકોણ \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)પગ અને તીવ્ર કોણ બંને સાથે લંબચોરસ. આનો અર્થ એ છે કે તેમના કર્ણો પણ સમાન છે, એટલે કે, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) ચાલો સાબિત કરીએ કે \((b)\) નો અર્થ \((d)\) થાય છે.

કારણ કે નિયમિત બહુકોણમાં, પરિપત્ર અને અંકિત વર્તુળોના કેન્દ્રો એકરૂપ થાય છે (સામાન્ય રીતે કહીએ તો, આ બિંદુને નિયમિત બહુકોણનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે), પછી \(H\) એ અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. ચાલો બિંદુ \(H\) થી આધારની બાજુઓ સુધી લંબ દોરીએ: \(HK_1, HK_2\), વગેરે. આ અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા છે (વ્યાખ્યા દ્વારા). પછી TTP અનુસાર (\(PH\) પ્લેન પર લંબ છે, \(HK_1, HK_2\), વગેરે બાજુઓ પર લંબરૂપ અંદાજો છે) વલણ \(PK_1, PK_2\), વગેરે. બાજુઓને લંબરૂપ \(A_1A_2, A_2A_3\), વગેરે. અનુક્રમે તેથી, વ્યાખ્યા દ્વારા \(\ કોણ PK_1H, \ કોણ PK_2H\)બાજુના ચહેરા અને આધાર વચ્ચેના ખૂણાઓ સમાન. કારણ કે ત્રિકોણ \(PK_1H, PK_2H, ...\) સમાન છે (બે બાજુઓ પર લંબચોરસ તરીકે), પછી ખૂણા \(\ કોણ PK_1H, \ કોણ PK_2H, ...\)સમાન છે.

5) ચાલો સાબિત કરીએ કે \((d)\) નો અર્થ \((b)\) થાય છે.

ચોથા બિંદુની જેમ, ત્રિકોણ \(PK_1H, PK_2H, ...\) સમાન છે (પગ અને તીવ્ર કોણ સાથે લંબચોરસ તરીકે), જેનો અર્થ થાય છે વિભાગો \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) છે. સમાન આનો અર્થ છે, વ્યાખ્યા પ્રમાણે, \(H\) એ પાયામાં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. પરંતુ કારણ કે નિયમિત બહુકોણ માટે, અંકિત અને પરિમાણિત વર્તુળોના કેન્દ્રો એકરૂપ થાય છે, પછી \(H\) એ પરિક્રમિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. Chtd.

પરિણામ

નિયમિત પિરામિડના બાજુના ચહેરા સમાન સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

વ્યાખ્યા

તેના શિરોબિંદુમાંથી દોરેલા નિયમિત પિરામિડના બાજુના ચહેરાની ઊંચાઈ કહેવામાં આવે છે એપોથેમ.
નિયમિત પિરામિડના તમામ બાજુના ચહેરાઓના એપોથેમ્સ એકબીજાના સમાન હોય છે અને તે મધ્યક અને દ્વિભાજક પણ હોય છે.

મહત્વપૂર્ણ નોંધો

1. નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડની ઊંચાઈ આધારની ઊંચાઈઓ (અથવા દ્વિભાજક અથવા મધ્યક) ના આંતરછેદના બિંદુ પર પડે છે (આધાર એ નિયમિત ત્રિકોણ છે).

2. ઊંચાઈ સાચી છે ચતુષ્કોણીય પિરામિડઆધારના કર્ણના આંતરછેદના બિંદુ પર પડે છે (આધાર એક ચોરસ છે).

3. ઊંચાઈ સાચી છે ષટ્કોણ પિરામિડઆધારના કર્ણના આંતરછેદ બિંદુ પર પડે છે (આધાર એ નિયમિત ષટ્કોણ છે).

4. પિરામિડની ઊંચાઈ આધાર પર પડેલી કોઈપણ સીધી રેખાને લંબરૂપ છે.

વ્યાખ્યા

પિરામિડ કહેવાય છે લંબચોરસ, જો તેની બાજુની ધારોમાંથી એક આધારના સમતલને લંબરૂપ હોય.

મહત્વપૂર્ણ નોંધો

1. લંબચોરસ પિરામિડમાં, આધારની લંબરૂપ ધાર પિરામિડની ઊંચાઈ છે. એટલે કે, \(SR\) એ ઊંચાઈ છે.

2. કારણ કે \(SR\) એ આધારમાંથી કોઈપણ રેખાને લંબ છે, પછી \(\ત્રિકોણ SRM, \ત્રિકોણ SRP\)- કાટકોણ ત્રિકોણ.

3. ત્રિકોણ \(\ત્રિકોણ SRN, \ત્રિકોણ SRK\)- પણ લંબચોરસ.
એટલે કે, આ ધારથી બનેલો કોઈપણ ત્રિકોણ અને આધાર પર પડેલા આ ધારના શિરોબિંદુમાંથી નીકળતો કર્ણ લંબચોરસ હશે.

\[(\Large(\text(પિરામિડનું વોલ્યુમ અને સપાટીનું ક્ષેત્રફળ))\]

પ્રમેય

પિરામિડનું પ્રમાણ બેઝના ક્ષેત્રફળ અને પિરામિડની ઊંચાઈના ઉત્પાદનના ત્રીજા ભાગ જેટલું છે: \

પરિણામો

ચાલો \(a\) આધારની બાજુ હોઈએ, \(h\) પિરામિડની ઊંચાઈ હોઈએ.

1. નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડનો જથ્થો છે \(V_(\text(જમણો ત્રિકોણ. પીર.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડનું પ્રમાણ છે \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. નિયમિત ષટ્કોણ પિરામિડનું પ્રમાણ છે \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોનનું વોલ્યુમ છે \(V_(\text(જમણે tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

પ્રમેય

નિયમિત પિરામિડની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર આધાર અને એપોથેમની પરિમિતિના અડધા ઉત્પાદન જેટલો છે.

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

વ્યાખ્યા

મનસ્વી પિરામિડનો વિચાર કરો \(PA_1A_2A_3...A_n\) . ચાલો પિરામિડની બાજુની ધાર પર પડેલા ચોક્કસ બિંદુ દ્વારા પિરામિડના પાયાની સમાંતર એક પ્લેન દોરીએ. આ પ્લેન પિરામિડને બે પોલિહેડ્રામાં વિભાજિત કરશે, જેમાંથી એક પિરામિડ છે (\(PB_1B_2...B_n\)), અને બીજાને કહેવામાં આવે છે કાપવામાં આવેલ પિરામિડ(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

કાપેલા પિરામિડમાં બે પાયા છે - બહુકોણ \(A_1A_2...A_n\) અને \(B_1B_2...B_n\) જે એકબીજા સાથે સમાન છે.

કાપેલા પિરામિડની ઊંચાઈ એ ઉપલા પાયાના અમુક બિંદુથી નીચલા પાયાના સમતલ સુધી દોરવામાં આવેલ લંબ છે.

મહત્વપૂર્ણ નોંધો

1. કાપેલા પિરામિડના તમામ બાજુના ચહેરાઓ ટ્રેપેઝોઇડ છે.

2. નિયમિત કાપેલા પિરામિડના પાયાના કેન્દ્રોને જોડતો સેગમેન્ટ (એટલે ​​​​કે, નિયમિત પિરામિડના ક્રોસ-સેક્શન દ્વારા મેળવેલ પિરામિડ) એ ઊંચાઈ છે.

પિરામિડ ખ્યાલ

વ્યાખ્યા 1

બહુકોણ દ્વારા રચાયેલી ભૌમિતિક આકૃતિ અને આ બહુકોણ ધરાવતા સમતલમાં ન હોય તેવા બિંદુ, બહુકોણના તમામ શિરોબિંદુઓ સાથે જોડાયેલા હોય છે, તેને પિરામિડ (ફિગ. 1) કહેવામાં આવે છે.

બહુકોણ જેમાંથી પિરામિડ બનાવવામાં આવે છે તેને પિરામિડનો આધાર કહેવામાં આવે છે; બધા ત્રિકોણ માટે પિરામિડની ટોચ છે.

પિરામિડના પ્રકાર

પિરામિડના પાયા પરના ખૂણાઓની સંખ્યાના આધારે, તેને ત્રિકોણાકાર, ચતુષ્કોણીય અને તેથી વધુ કહી શકાય (ફિગ. 2).

આકૃતિ 2.

પિરામિડનો બીજો પ્રકાર નિયમિત પિરામિડ છે.

ચાલો નિયમિત પિરામિડની મિલકતનો પરિચય અને સાબિત કરીએ.

પ્રમેય 1

નિયમિત પિરામિડના તમામ બાજુના ચહેરાઓ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જે એકબીજાની સમાન હોય છે.

પુરાવો.

$h=SO$ના શિરોબિંદુ $S$ સાથે નિયમિત $n-$ગોનલ પિરામિડનો વિચાર કરો. ચાલો આધારની આસપાસ વર્તુળ દોરીએ (ફિગ. 4).

આકૃતિ 4.

ત્રિકોણ $SOA$ ને ધ્યાનમાં લો. પાયથાગોરિયન પ્રમેય મુજબ, આપણે મેળવીએ છીએ

દેખીતી રીતે, કોઈપણ બાજુની ધાર આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવશે. પરિણામે, બધી બાજુની કિનારીઓ એકબીજાની સમાન છે, એટલે કે, તમામ બાજુના ચહેરા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. ચાલો સાબિત કરીએ કે તેઓ એકબીજાના સમાન છે. આધાર નિયમિત બહુકોણ હોવાથી, તમામ બાજુના ચહેરાના પાયા એકબીજાના સમાન હોય છે. પરિણામે, ત્રિકોણની સમાનતાના III માપદંડ અનુસાર તમામ બાજુના ચહેરા સમાન છે.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ચાલો હવે નિયમિત પિરામિડની વિભાવના સાથે સંબંધિત નીચેની વ્યાખ્યાનો પરિચય આપીએ.

વ્યાખ્યા 3

નિયમિત પિરામિડનું એપોથેમ તેના બાજુના ચહેરાની ઊંચાઈ છે.

દેખીતી રીતે, પ્રમેય વન દ્વારા, બધા એપોથેમ્સ એકબીજાના સમાન છે.

પ્રમેય 2

નિયમિત પિરામિડની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર આધાર અને એપોથેમની અર્ધ-પરિમિતિના ઉત્પાદન તરીકે નક્કી કરવામાં આવે છે.

પુરાવો.

ચાલો આપણે $n-$ગોનલ પિરામિડના પાયાની બાજુને $a$ દ્વારા અને એપોથેમને $d$ દ્વારા દર્શાવીએ. તેથી, બાજુના ચહેરાનો વિસ્તાર બરાબર છે

ત્યારથી, પ્રમેય 1 મુજબ, બધી બાજુઓ સમાન છે, પછી

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પિરામિડનો બીજો પ્રકાર એક કાપવામાં આવેલ પિરામિડ છે.

વ્યાખ્યા 4

જો તેના પાયાની સમાંતર પ્લેન સામાન્ય પિરામિડ દ્વારા દોરવામાં આવે છે, તો આ પ્લેન અને બેઝના પ્લેન વચ્ચે બનેલી આકૃતિને કપાયેલ પિરામિડ (ફિગ. 5) કહેવામાં આવે છે.

આકૃતિ 5. કાપેલા પિરામિડ

કાપેલા પિરામિડના બાજુના ચહેરાઓ ટ્રેપેઝોઇડ્સ છે.

પ્રમેય 3

નિયમિત કાપેલા પિરામિડની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર પાયા અને એપોથેમના અર્ધ-પરિમિતિના સરવાળાના ઉત્પાદન તરીકે નક્કી કરવામાં આવે છે.

પુરાવો.

ચાલો $n-$ગોનલ પિરામિડના પાયાની બાજુઓને અનુક્રમે $a\ અને\b$ દ્વારા અને એપોથેમને $d$ વડે દર્શાવીએ. તેથી, બાજુના ચહેરાનો વિસ્તાર બરાબર છે

બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

નમૂના કાર્ય

ઉદાહરણ 1

કાપેલા ત્રિકોણાકાર પિરામિડની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર શોધો જો તે પાયાની બાજુ 4 અને એપોથેમ 5 સાથેના નિયમિત પિરામિડમાંથી મેળવવામાં આવે તો બાજુના ચહેરાઓની મધ્ય રેખામાંથી પસાર થતા પ્લેનને કાપીને.

ઉકેલ.

મધ્યરેખા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, અમે શોધીએ છીએ કે કાપેલા પિરામિડનો ઉપલા આધાર $4\cdot \frac(1)(2)=2$ જેટલો છે અને એપોથેમ $5\cdot \frac(1)(2) ની બરાબર છે. =2.5$.

પછી, પ્રમેય 3 દ્વારા, આપણને મળે છે