કાર્ય y = x ^ 2 ને ચતુર્ભુજ કાર્ય કહેવાય છે. ચતુર્ભુજ કાર્યનો આલેખ એ પેરાબોલા છે. પેરાબોલાનું સામાન્ય દૃશ્ય નીચેની આકૃતિમાં બતાવવામાં આવ્યું છે.
ચતુર્ભુજ કાર્ય
ફિગ 1. પેરાબોલાના સામાન્ય દૃશ્ય
જેમ તમે ગ્રાફ પરથી જોઈ શકો છો, તે ઓય અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે. અક્ષ ઓયને પેરાબોલાની સમપ્રમાણતાની ધરી કહેવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે જો તમે આ અક્ષની ઉપર ઓક્સ અક્ષની સમાંતર સીધી રેખા દોરો છો. પછી તે બે બિંદુઓ પર પેરાબોલાને પાર કરશે. આ બિંદુઓથી ઓય ધરી સુધીનું અંતર સમાન હશે.
સમપ્રમાણતાની અક્ષ પેરાબોલાના ગ્રાફને બે ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે, જેમ કે તે હતા. આ ભાગોને પેરાબોલાની શાખાઓ કહેવામાં આવે છે. અને સમપ્રમાણતાની ધરી પર સ્થિત પેરાબોલાના બિંદુને પેરાબોલાના શિખર કહેવામાં આવે છે. એટલે કે, સમપ્રમાણતાની અક્ષ પેરાબોલાના શિખરમાંથી પસાર થાય છે. આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ (0; 0).
ચતુર્ભુજ કાર્યના મૂળભૂત ગુણધર્મો
1. x = 0 માટે, y = 0 અને x0 માટે y> 0
2. ચતુર્ભુજ કાર્ય તેના શિરોબિંદુ પર તેના લઘુત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે. x = 0 પર Ymin; એ પણ નોંધવું જોઈએ કે ફંક્શનમાં મહત્તમ મૂલ્ય નથી.
3. અંતરાલ (-∞; 0] પર કાર્ય ઘટે છે અને અંતરાલ પર વધે છે, કારણ કે સીધી રેખા y = kx આ વિભાગમાં ગ્રાફ y = | x-3 | - | x + 3 | સાથે એકરુપ થશે. આ વિકલ્પ અમને અનુકૂળ નથી. 
જો k એ -2 કરતા ઓછું હોય, તો રેખા y = kx સાથે ગ્રાફ y = |x-3 | - | x + 3 | એક આંતરછેદ હશે. આ વિકલ્પ અમને અનુકૂળ છે. 
જો k = 0, તો ગ્રાફ y = |x-3 | - | x + 3 | સાથે રેખા y = kx ના આંતરછેદ ત્યાં પણ એક હશે આ વિકલ્પ અમને અનુકૂળ છે. 
જવાબ: અંતરાલ સાથે સંબંધિત k માટે (-∞; -2) U સમીકરણ ઉકેલવા \ (x "\ left (t \ right) = 0, \) આપણે કાર્યના સ્થિર બિંદુઓ નક્કી કરીએ છીએ \ (x \ left (t) \ right): \) \ [(x "\ left (t \ right) = 0,) \; \; (\ Rightarrow 3 (t ^ 2) + 2t - 1 = 0,) \; \; (\ Rightarrow (t_ (1,2)) = \ frac (- 2 \ pm \ sqrt (16))) (6) = - 1; \; \ frac (1) (3).) \] \] માટે (t = 1 \) ફંક્શન \ (x \ ડાબે (t \ જમણે) \) મહત્તમ \ ની બરાબરી સુધી પહોંચે છે અને \ (t = \ મોટા \ frac (1) (3) \ નોર્મલસાઈઝ \) પર તેની પાસે છે ન્યૂનતમ સમાન \ [(x \ ડાબે ((\ frac (1) (3)) \ right)) = ((\ ડાબે ((\ frac (1) (3)) \ જમણે) ^ 3) + (\ ડાબે ((\ frac (1) (3)) \ જમણે) ^ 2) - \ ડાબે ((\ frac (1) (3)) \ જમણે)) = (\ frac (1) ((27)) + \ frac (1) (9) - \ frac (1) (3) = - \ frac (5) ((27)).) \] વ્યુત્પન્નને ધ્યાનમાં લો \ (y "\ left (t \ right): \) \ [(y" \ left (t \ right) = (\ left (((t ^ 3) + 2 (t ^ 2) - 4t) \ right) ^ \ prime)) = (3 (t ^ 2) + 4t - 4.) \ ] વિધેયના સ્થિર બિંદુઓ શોધો \ (y \ left (t \ right): \) \ [(y "\ left (t \ right) = 0,) \; \; (\ Rightarrow 3 (t^2) + 4t - 4 = 0,) \; \; (\ Rightarrow (t_ (1,2)) = \ frac ((- 4 \ pm \ sqrt (64))) (6) = - 2 ; \; \ frac (2) (3).) \] અહીં, એ જ રીતે, કાર્ય \ (y \ left (t \ right) \) બિંદુ \ (t = -2: \) \ પર તેની મહત્તમ પહોંચે છે અને બિંદુ પર ન્યૂનતમ \ (t = \ મોટા \ frac (2) (3) \ સામાન્ય કદ: \) \ [(y \ left ((\ frac (2) (3)) \ જમણે)) = ((\ ડાબે ( (\ frac (2) (3)) \ righ t) ^ 3) + 2 (\ ડાબે ((\ frac (2) (3)) \ જમણે) ^ 2) - 4 \ cdot \ frac (2) (3)) = (\ frac (8) ((27 )) + \ frac (8) (9) - \ frac (8) (3)) = (- \ frac ((40)) ((27)).) \] કાર્ય આલેખ \ (x \ left (t \) જમણે) \), \ (y \ ડાબે (t \ જમણે) \) આકૃતિ \ (15a. \) માં યોજનાકીય રીતે બતાવવામાં આવે છે.
ફિગ. 15a |
ફિગ. 15b |
ફિગ. 15c |
નોંધ કરો કે ત્યારથી \ [(\ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) x \ left (t \ right) = \ pm \ infty,) \; \; \; (\ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) y \ left (t \ right) = \ pm \ infty,) \] પછી વળાંક \ (y \ left (x \ right) \) પાસે કોઈ વર્ટિકલ નથી, કોઈ આડા એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી. વધુમાં, ત્યારથી \ [(k = \ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) \ frac ((y \ left (t \ right))) ((x \ left (t \ right))) = ( \ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) \ frac (((t ^ 3) + 2 (t ^ 2) - 4t)) (((t ^ 3) + (t ^ 2) - t) ) ) = (\ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) \ frac (1 + \ frac (2) (t) - \ frac (4) (((t ^ 2)))) (1 + \ frac (1) (t) - \ frac (1) (((t ^ 2))))) = 1,) \] \ [(b = \ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty ) \ left [(y \ left (t \ right) - kx \ left (t \ right)) \ right]) = (\ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) \ left ((\ cancel (\ color) (વાદળી) (t^3)) + \ રંગ (લાલ) (2 (t^2)) - \ રંગ (લીલો) (4t) - \ રદ કરો (\ રંગ (વાદળી) (t ^ 3)) - \ રંગ (લાલ) (t^2) + \ રંગ (લીલો) (t)) \ અધિકાર)) = (\ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) \ ડાબે ((\ રંગ (લાલ) (t ^ 2 ) - \ રંગ (લીલો) (3t)) \ right) = + \ infty,) \] પછી વળાંક \ (y \ left (x \ right) \) માં પણ કોઈ ત્રાંસી એસિમ્પટોટ્સ નથી.
ચાલો સંકલન અક્ષો સાથે ગ્રાફ \ (y \ ડાબે (x \ જમણે) \) ના આંતરછેદના બિંદુઓને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. એબ્સીસા અક્ષ સાથે આંતરછેદ નીચેના બિંદુઓ પર થાય છે: \ [(y \ left (t \ right) = (t ^ 3) + 2 (t ^ 2) - 4t = 0,) \; \; (\ Rightarrow t \ left (((t ^ 2) + 2t - 4) \ right) = 0;) \]
\ (((t ^ 2) + 2t - 4 = 0,) \; \; (\ Rightarrow D = 4 - 4 \ cdot \ left ((- 4) \ right) = 20,) \; \; (\ રાઈટરો (t_ (2,3)) = \મોટું \ frac ((- 2 \ pm \ sqrt (20))) (2) \ normalsize = - 1 \ pm \ sqrt 5.) \)
\ (((t ^ 2) + t - 1 = 0,) \; \; (\ Rightarrow D = 1 - 4 \ cdot \ left ((- 1) \ right) = 5,) \; \; (\ રાઈટરો (t_ (2,3)) = \મોટું \ frac (- 1 \ pm \ sqrt (5))) (2) \ સામાન્ય કદ.) \)
બીજા અંતરાલમાં \ (\ ડાબે ((- 2, - 1) \ જમણે) \) ચલ \ (x \) \ (x \ ડાબે ((- 2) \ જમણે) = - 2 \) થી \ સુધી વધે છે. (x \ left ((- 1) \ right) = 1, \) અને ચલ \ (y \) \ (y \ left ((- 2) \ right) = 8 \) થી \ (y \ left) સુધી ઘટે છે. ((- 1) \ જમણે) = 5. \) અહીં આપણી પાસે ઘટતા વળાંકનો એક સેગમેન્ટ છે \ (y \ ડાબે (x \ જમણે). \) તે બિંદુ \ (\ ડાબે ((0,) પર ઓર્ડિનેટને છેદે છે. 3 + 2 \ sqrt 5) \ અધિકાર). \)
ત્રીજા અંતરાલમાં \ (\ left ((- 1, \ large \ frac (1) (3) \ normalsize) \ right) \), બંને ચલ ઘટે છે. \ (x \) મૂલ્ય \ (x \ ડાબે ((- 1) \ જમણે) = 1 \) થી \ (x \ left (\ large \ frac (1) (3) \ normalsize) \ right) સુધીની શ્રેણી છે. = - \ large \ frac (5) ((27)) \ normalsize. \) તદનુસાર, \ (y \) મૂલ્ય \ (y \ ડાબે ((- 1) \ જમણે) = 5 \) થી ઘટીને \ ( y \ left ((\ large \ frac (1) (3) \ normalsize) \ right) = - \ large \ frac (29) ((27)) \ normalsize. \) વળાંક \ (y \ left (x \ right) ) \ ) આ કિસ્સામાં મૂળને છેદે છે.
ચોથા અંતરાલ પર \ (\ ડાબે ((\ મોટા \ frac (1) (3) \ સામાન્ય કદ, \ મોટા \ frac (2) (3) \ સામાન્ય કદ) \ જમણે) \) ચલ \ (x \) \ થી વધે છે. ( x \ ડાબે ((\ large \ frac (1) (3) \ normalsize) \ right) = - \ large \ frac (5) ((27)) \ normalsize \) to \ (x \ left ((\ large) \ frac (2) (3) \ normalsize) \ right) = \ large \ frac (2) ((27)) \ normalsize, \) અને ચલ \ (y \) \ (y \ left ((\) થી ઘટે છે. large \ frac (1) (3) \ normalsize) \ right) = - \ large \ frac (29) ((27)) \ normalsize \) to \ (y \ left ((\ large \ frac (2)) (3 ) \ normalsize) \ right) = - \ large \ frac (40) ((27)) \ normalsize. \) આ સેગમેન્ટમાં, વળાંક \ (y \ left (x \ right) \) બિંદુ પર ઓર્ડિનેટને છેદે છે \ (\ ડાબે ( (0,3 - 2 \ sqrt 5) \ જમણે). \)
છેલ્લે, છેલ્લા અંતરાલ પર \ (\ left ((\ large \ frac (2) (3) \ normalsize, + \ infty) \ right) \) બંને કાર્યો \ (x \ left (t \ right) \), \ ( y \ ડાબે (t \ જમણે) \) વધી રહ્યા છે. વળાંક \ (y \ ડાબે (x \ જમણે) \) બિંદુ \ (x = - 9 + 5 \ sqrt 5 \ લગભગ 2.18. \) પર એબ્સીસાને છેદે છે.
વળાંકના આકારને રિફાઇન કરવા માટે \ (y \ ડાબે (x \ જમણે) \), મહત્તમ અને ન્યૂનતમ બિંદુઓની ગણતરી કરો. વ્યુત્પન્ન \ (y "\ left (x \ right) \) એ \ [(y" \ left (x \ right) = (y "_x)) = (\ frac (((y" _t))) તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. ( ((x "_t)))) = (\ frac ((((\ left (((t ^ 3) + 2 (t ^ 2) - 4t) \ જમણે)) ^ \ પ્રાઇમ))) ((( (\ ડાબે (((t ^ 3) + (t ^ 2) - t) \ જમણે)) ^ \ પ્રાઇમ))))) = (\ frac ((3 (t ^ 2) + 4t - 4)) (( 3 (t^2) + 2t - 1))) = (\ frac ((\ cancel (3) \ left ((t + 2) \ right) \ left ((t - \ frac (2) (3)) \ right))) (\ cancel (3) \ left ((t + 1) \ right) \ left ((t - \ frac (1) (3)) \ right))))) = (\ frac (( \ ડાબે ((t + 2) \ જમણે) \ ડાબે ((t - \ frac (2) (3)) \ જમણે))) ((\ ડાબે ((t + 1) \ જમણે) \ ડાબે ((t - \ frac (1) (3)) \ જમણે))).) \] વ્યુત્પન્નના ચિહ્નમાં ફેરફાર \ (y "\ left (x \ right) \) આકૃતિ \ (15c. \) માં બતાવેલ છે. જુઓ કે બિંદુ \ (t = - 2, \) પર એટલે કે. \ (I \) - મી અને \ (II \) - મી અંતરાલોની સરહદ પર વળાંક મહત્તમ હોય છે, અને \ (t = \ મોટા \ frac (2) (3) \ નોર્મલસાઈઝ \) માટે ( સરહદ \ (IV \) -th અને \ (V \) -th અંતરાલ) ત્યાં ન્યૂનતમ છે. જ્યારે બિંદુ \ (t = \ મોટા \ frac (1) (3) \ normalsize \ માંથી પસાર થાય છે, ત્યારે વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન વત્તાથી બાદબાકીમાં પણ બદલાય છે, પરંતુ આ વિસ્તારમાં વળાંક \ (y \ ડાબે (x \ જમણે) \) અસંદિગ્ધ કાર્ય નથી. તેથી, ઉલ્લેખિત બિંદુ એ એક્સ્ટ્રીમમ નથી.
અમે આ વળાંકની બહિર્મુખતાની પણ તપાસ કરીએ છીએ. બીજું વ્યુત્પન્ન\ (y "" \ left (x \ right) \) ફોર્મ ધરાવે છે: \ [y "" \ left (x \ right) = (y "" _ (xx)) = \ frac ((((\ left) ((y "_x)) \ જમણે)" _ t))) ((x "_t))) = \ frac ((((\ left ((\ frac ((3 (t ^ 2) + 4t - 4) ) ((3 (t^2) + 2t - 1))) \ જમણે)) ^ \ પ્રાઇમ))) (((\ ડાબે (((t ^ 3) + (t ^ 2) - t) \ જમણે )) ^ \ પ્રાઇમ))) = \ frac ((\ ડાબે ((6t + 4) \ જમણે) \ ડાબે ((3 (t ^ 2) + 2t - 1) \ જમણે) - \ ડાબે ((3) (t ^ 2) + 4t - 4) \ જમણે) \ ડાબે ((6t + 2) \ જમણે))) ((((\ ડાબે ((3 (t ^ 2) + 2t - 1) \ જમણે)) ^ 3) )) = \ frac ((18 (t ^ 3) + 12 (t ^ 2) + 12 (t ^ 2) + 8t - 6t - 4 - \ બાકી ((18 (t ^ 3) + 24 (t ^ 2 ) - 24t + 6 (t ^ 2) + 8t - 8) \ જમણે))) ((((\ ડાબે ((3 (t ^ 2) + 2t - 1) \ જમણે)) ^ 3))) = \ frac ((\ રદ કરો (\ રંગ (વાદળી) (18 (t ^ 3))) + \ રંગ (લાલ) (24 (t ^ 2)) + \ રંગ (લીલો) (2t) - \ રંગ (મરૂન) ) ( 4) - \ રદ કરો (\ રંગ (વાદળી) (18 (t ^ 3))) - \ રંગ (લાલ) (30 (t ^ 2)) + \ રંગ (લીલો) (16t) + \ રંગ (મરૂન) ) ( 8))) ((((\ ડાબે ((3 (t ^ 2) + 2t - 1) \ જમણે)) ^ 3))) = \ frac ((- \ રંગ (લાલ)) (6 (t ^ 2) ) + \ રંગ (લીલો) (18t) + \ રંગ (મરૂન) (4))) (((\ ડાબે ((3 (t ^ 2) + 2t - 1) \ જમણે)) ^ 3)) ) = \ frac ((- 6 \ ડાબે ((t - \ frac ((9 - \ sqrt (105))) (6)) \ જમણે) \ ડાબે ((t - \ frac ((9 + \ sqrt (105))) (6)) \ જમણે))) ((((\ left ((t + 1) \ right)) ^ 3) ((\ left ((3t - 1) \ અધિકાર)) ^ 3))). \] તેથી, બીજું વ્યુત્પન્ન જ્યારે નીચેના બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે તેની વિરુદ્ધ નિશાની બદલે છે (ફિગ. \ (15с \)): \ [((t_1) = - 1: \; \; x \ left ((- 1) ) \ અધિકાર ) = 1,) \; \; (y \ ડાબે ((- 1) \ જમણે) = 5;) \] \ [((t_2) = \ frac ((9 - \ sqrt (105))) (6):) \; \; (x \ ડાબે ((\ frac ((9 - \ sqrt (105))) (6)) \ જમણે) \ આશરે 0.24;) \; \; (y \ left ((\ frac ((9 - \ sqrt (105))) (6)) \ right) \ લગભગ 0.91;) \] \ [((t_3) = \ frac (1) (3) :) \; \; (x \ left ((\ frac (1) (3)) \ right) = - \ frac (5) ((27)),) \; \; (y \ left ((\ frac (1) (3)) \ right) = - \ frac ((29)) ((27));) \] \ [((t_4) = \ frac ((9 + \ sqrt (105))) (6):) \; \; (x \ ડાબે ((\ frac ((9 + \ sqrt (105))) (6)) \ જમણે) \ આશરે 40,1;) \; \; (y \ ડાબે ((\ frac ((9 + \ sqrt (105))) (6)) \ જમણે) \ લગભગ 40.8.) \] તેથી, ઉલ્લેખિત બિંદુઓ વળાંકના વળાંક બિંદુઓ છે \ (y \ left ( x \ અધિકાર). \)
વળાંકનો યોજનાકીય આલેખ \ (y \ ડાબે (x \ જમણે) \) ઉપર આકૃતિ \ (15b. \) માં બતાવેલ છે.
પેરાબોલા કેવી રીતે બનાવવું? ક્વાડ્રેટિક ફંક્શનને પ્લોટ કરવાની ઘણી રીતો છે. તેમાંના દરેકના પોતાના ફાયદા અને ગેરફાયદા છે. ચાલો બે રીતો પર વિચાર કરીએ.
આપણે y = x² + bx + c અને y = -x² + bx + c ફોર્મના ચતુર્ભુજ ફંક્શનને પ્લોટ કરીને શરૂઆત કરીએ છીએ.
ઉદાહરણ.
ફંક્શન y = x² + 2x-3 પ્લોટ કરો.
ઉકેલ:
y = x² + 2x-3 એ એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે. આલેખ ઉપર શાખાઓ સાથેનો પેરાબોલા છે. પેરાબોલા શિરોબિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ
શિરોબિંદુ (-1; -4) પરથી આપણે પેરાબોલા y = x² (મૂળમાંથી. (0; 0) ને બદલે - શિરોબિંદુ (-1; -4) નો ગ્રાફ બનાવીએ છીએ. (-1; -4) થી ) 1 એકમ દ્વારા જમણી તરફ અને 1 એકમ દ્વારા ઉપર જાઓ, પછી 1 દ્વારા ડાબે અને 1 દ્વારા ઉપર જાઓ; પછી: 2 - જમણે, 4 - ઉપર, 2 - ડાબે, 4 - ઉપર; 3 - જમણે, 9 - ઉપર, 3 - ડાબે, 9 - ઉપર. આ 7 પોઈન્ટ પૂરતા નથી, પછી - 4 થી જમણે, 16 - ઉપર, વગેરે).
ચતુર્ભુજ કાર્યનો ગ્રાફ y = -x² + bx + c એ એક પેરાબોલા છે જેની શાખાઓ નીચે તરફ નિર્દેશિત છે. ગ્રાફ બનાવવા માટે, આપણે શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી રહ્યા છીએ અને તેમાંથી આપણે પેરાબોલા y = -x² બનાવીએ છીએ.
ઉદાહરણ.
ફંક્શન y = -x² + 2x + 8 પ્લોટ કરો.
ઉકેલ:
y = -x² + 2x + 8 એ એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે. આલેખ નીચે શાખાઓ સાથે પેરાબોલા છે. પેરાબોલા શિરોબિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ
ઉપરથી આપણે પેરાબોલા y = -x² (1 - જમણે, 1 - નીચે; 1 - ડાબે, 1 - નીચે; 2 - જમણે, 4 - નીચે; 2 - ડાબે, 4 - નીચે, વગેરે) બનાવીએ છીએ:
આ પદ્ધતિ તમને ઝડપથી પેરાબોલા બનાવવાની મંજૂરી આપે છે અને જો તમે y = x² અને y = -x² ફંક્શન કેવી રીતે બનાવવું તે જાણતા હોવ તો તે મુશ્કેલ નથી. ગેરલાભ: જો શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ હોય, તો આલેખને કાવતરું કરવું ખૂબ અનુકૂળ નથી. જો તમારે ઓક્સ અક્ષ સાથેના ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓના ચોક્કસ મૂલ્યો જાણવાની જરૂર હોય, તો તમારે વધુમાં સમીકરણ x² + bx + c = 0 (અથવા —x² + bx + c = 0) ઉકેલવું પડશે, જો આ બિંદુઓ સીધા ચિત્ર પરથી નક્કી કરી શકાય.
પેરાબોલા બનાવવાની બીજી રીત બિંદુઓ દ્વારા છે, એટલે કે, તમે ગ્રાફ પર ઘણા બધા બિંદુઓ શોધી શકો છો અને તેમના દ્વારા પેરાબોલા દોરી શકો છો (એ ધ્યાનમાં લેતા કે રેખા x = xₒ તેની સમપ્રમાણતાની ધરી છે). સામાન્ય રીતે આ માટે તેઓ પેરાબોલાના શિરોબિંદુ, સંકલન અક્ષો સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ અને 1-2 વધારાના બિંદુઓ લે છે.
ફંક્શન y = x² + 5x + 4 પ્લોટ કરો.
ઉકેલ:
y = x² + 5x + 4 એ એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે. આલેખ ઉપર શાખાઓ સાથેનો પેરાબોલા છે. પેરાબોલા શિરોબિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ
એટલે કે, પેરાબોલાના શિરોબિંદુ એ બિંદુ છે (-2.5; -2.25).
શોધી રહ્યા છે. Ox અક્ષ y = 0 સાથે આંતરછેદના બિંદુ પર: x² + 5x + 4 = 0. ચતુર્ભુજ સમીકરણ x1 = -1, x2 = -4 ના મૂળ, એટલે કે, આપણને આલેખમાં બે બિંદુઓ (-1; 0) અને (-4; 0) મળ્યા છે.
અક્ષ સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુએ Oy x = 0: y = 0² + 5 ∙ 0 + 4 = 4. પોઈન્ટ (0; 4) મળ્યો.
ગ્રાફને રિફાઇન કરવા માટે એક વધારાનો મુદ્દો મળી શકે છે. x = 1 લો, પછી y = 1² + 5 ∙ 1 + 4 = 10, એટલે કે ગ્રાફ પર વધુ એક બિંદુ - (1; 10). અમે આ બિંદુઓને કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર ચિહ્નિત કરીએ છીએ. તેના શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના સંદર્ભમાં પેરાબોલાની સપ્રમાણતાને ધ્યાનમાં લેતા, અમે વધુ બે બિંદુઓને ચિહ્નિત કરીએ છીએ: (-5; 6) અને (-6; 10) અને તેમના દ્વારા પેરાબોલા દોરો:
ફંક્શન y = -x²-3x પ્લોટ કરો.
ઉકેલ:
y = -x²-3x એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે. આલેખ નીચે શાખાઓ સાથે પેરાબોલા છે. પેરાબોલા શિરોબિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ
શિરોબિંદુ (-1.5; 2.25) - પેરાબોલાના પ્રથમ બિંદુ.
એબ્સીસા અક્ષ y = 0 સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ પર, એટલે કે, આપણે સમીકરણ -x²-3x = 0 હલ કરીએ છીએ. તેના મૂળ x = 0 અને x = -3 છે, એટલે કે, (0; 0) અને (-3; 0) ગ્રાફ પર વધુ બે બિંદુઓ છે. બિંદુ (o; 0) એ y-અક્ષ સાથે પેરાબોલાના આંતરછેદનું બિંદુ પણ છે.
જ્યારે x = 1 y = -1²-3 ∙ 1 = -4, એટલે કે (1; -4) - પ્લોટિંગ માટે વધારાનો બિંદુ.
પ્રથમ પદ્ધતિની તુલનામાં પોઈન્ટ દ્વારા પેરાબોલાના નિર્માણમાં વધુ સમય લાગે છે. જો પેરાબોલા ઓક્સ અક્ષને છેદતું નથી, તો વધુ વધારાના બિંદુઓ જરૂરી છે.
y = ax² + bx + c ફોર્મના ચતુર્ભુજ કાર્યોના આલેખના નિર્માણ સાથે આગળ વધતા પહેલા, ભૌમિતિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને કાર્યોના આલેખના નિર્માણને ધ્યાનમાં લો. y = x² + c ફોર્મના ફંક્શનના આલેખ બનાવવા માટે પણ આવા રૂપાંતરણોમાંથી એકનો ઉપયોગ કરીને સૌથી અનુકૂળ છે - સમાંતર ટ્રાન્સફર.
શ્રેણી: |
