ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા એ મુખ્ય શિસ્ત છે જે તમામ સ્નાતકો દ્વારા લેવામાં આવે છે. પરીક્ષાની કસોટી બે સ્તરોમાં વહેંચાયેલી છે - મૂળભૂત અને પ્રોફાઇલ. બીજું ફક્ત તે લોકો માટે જરૂરી છે જેઓ ઉચ્ચ શિક્ષણમાં ગણિતને અભ્યાસનો મુખ્ય વિષય બનાવવાની યોજના ધરાવે છે. શૈક્ષણિક સંસ્થા. બાકીના દરેક વ્યક્તિ મૂળભૂત સ્તર લે છે. આ કસોટીનો હેતુ ધોરણો અને ધોરણોનું પાલન કરવા માટે સ્નાતક વિદ્યાર્થીઓના કૌશલ્ય અને જ્ઞાનના સ્તરને તપાસવાનો છે. વિશિષ્ટ અને મૂળભૂત સ્તરોમાં વિભાજનનો ઉપયોગ સૌપ્રથમ 2017 માં કરવામાં આવ્યો હતો જેથી જે વિદ્યાર્થીઓને યુનિવર્સિટીમાં પ્રવેશવા માટે અદ્યતન ગણિતની જરૂર ન હોય તેઓ જટિલ કાર્યોની તૈયારીમાં સમય બગાડે નહીં.

પ્રમાણપત્ર મેળવવા અને યુનિવર્સિટીમાં દસ્તાવેજો સબમિટ કરવા માટે, તમારે મૂળભૂત સ્તરના કાર્યો સંતોષકારક રીતે પૂર્ણ કરવા આવશ્યક છે. તૈયારીમાં બીજગણિત અને ભૂમિતિમાં શાળાના અભ્યાસક્રમનું પુનરાવર્તન શામેલ છે. જ્ઞાનના વિવિધ સ્તરો ધરાવતા શાળાના બાળકો માટે મૂળભૂત-સ્તરના USE કાર્યો ઉપલબ્ધ છે. મૂળભૂત સ્તર એવા વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા પાસ કરી શકાય છે જેઓ વર્ગમાં ફક્ત સચેત હતા.
તૈયારી માટેની મુખ્ય ભલામણો છે:

• તે અગાઉથી વ્યવસ્થિત તૈયારી શરૂ કરવા યોગ્ય છે જેથી તમારે પરીક્ષાના 1-2 મહિના પહેલા તમામ કાર્યોમાં નિપુણતા, નર્વસ ન થવું પડે. ગુણવત્તાયુક્ત તૈયારી માટે જરૂરી સમયગાળો જ્ઞાનના પ્રારંભિક સ્તર પર આધાર રાખે છે.
• જો તમને વિશ્વાસ ન હોય કે તમે તમારા પોતાના પર કાર્યો પૂર્ણ કરશો, તો શિક્ષકની મદદ લો - તે તમને તમારા જ્ઞાનને વ્યવસ્થિત કરવામાં મદદ કરશે.
• પ્રોગ્રામ મુજબ સમસ્યાઓ, ઉદાહરણો, સોંપણીઓ ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરો.
• માં સમસ્યાઓ ઉકેલો ઑનલાઇન મોડ– “હું યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા હલ કરીશ” નિયમિત તાલીમ અને પરીક્ષાની તૈયારીમાં મદદ કરશે. શિક્ષક સાથે, તમે ભૂલોનું વિશ્લેષણ કરી શકશો અને ચોક્કસ મુશ્કેલીઓનું કારણ બને તેવા કાર્યોનું વિશ્લેષણ કરી શકશો.

સફળતાપૂર્વક પરીક્ષા પાસ કરવા માટે, તમારે નીચેના વિષયોની સમીક્ષા કરવાની જરૂર છે: સમીકરણો અને અસમાનતાઓ, સંકલન પ્રણાલીઓ, ભૌમિતિક આકૃતિઓ, ઓળખ પરિવર્તન, કાર્યો અને વેક્ટર.
તૈયારીની પ્રક્રિયામાં, શક્ય હોય તેટલા વિવિધ મુશ્કેલીના કાર્યોને હલ કરો, ધીમે ધીમે સમયની સામે કાર્યો પૂર્ણ કરવા તરફ આગળ વધો. જાણવા મળી .
તૈયારી પદ્ધતિઓ

• શાળામાં વિષયનો અભ્યાસ કરવો;
• સ્વ-શિક્ષણ - ઉદાહરણ દ્વારા સમસ્યાઓનું નિરાકરણ;
• શિક્ષક સાથે પાઠ;
• તાલીમ અભ્યાસક્રમો;
• ઓનલાઈન તૈયારી.

છેલ્લો વિકલ્પ સમય અને નાણાં બચાવવાનો છે, તમારી શક્તિઓ ચકાસવાની તક અને સમસ્યારૂપ કાર્યોની શ્રેણીની રૂપરેખા.

ત્યાં 20 કાર્યો છે (સંખ્યા દર વર્ષે બદલાઈ શકે છે), જેના માટે તમારે ટૂંકા જવાબો આપવા પડશે. આ તે વિદ્યાર્થી માટે પૂરતું છે કે જેઓ ઉચ્ચ શિક્ષણ સંસ્થાઓમાં માનવતામાં મુખ્યમાં પ્રવેશવાની યોજના ધરાવે છે.
વિષયને કાર્યો પૂર્ણ કરવા માટે 3 કલાક આપવામાં આવે છે. કામ શરૂ કરતા પહેલા, તમારે સૂચનાઓને કાળજીપૂર્વક વાંચવી જોઈએ અને તેમની જોગવાઈઓ અનુસાર કાર્ય કરવું જોઈએ. પરીક્ષાની નોટબુક સંદર્ભ સામગ્રી સાથે છે જે પરીક્ષા પરીક્ષા પાસ કરવા માટે જરૂરી છે. તમામ કાર્યોને સફળતાપૂર્વક પૂર્ણ કરવા માટે, 5 પોઈન્ટ આપવામાં આવે છે, ન્યૂનતમ થ્રેશોલ્ડ સ્કોર 3 છે.

આ વિભાગમાં અમે મૂળભૂત, પ્રોફાઇલ સ્તરે ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી કરી રહ્યા છીએ - અમે સમસ્યાઓ, પરીક્ષણો, પરીક્ષાનું વર્ણન અને વિશ્લેષણ રજૂ કરીએ છીએ. ઉપયોગી ભલામણો. અમારા સંસાધનનો ઉપયોગ કરીને, તમે ઓછામાં ઓછું સમજી શકશો કે સમસ્યાઓ કેવી રીતે હલ કરવી અને 2019 માં ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સફળતાપૂર્વક પાસ કરવામાં સમર્થ હશો. શરૂઆત!

ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા એ 11મા ધોરણના કોઈપણ વિદ્યાર્થી માટે ફરજિયાત પરીક્ષા છે, તેથી આ વિભાગમાં પ્રસ્તુત માહિતી દરેક માટે સુસંગત છે. ગણિતની પરીક્ષા બે પ્રકારમાં વહેંચાયેલી છે - મૂળભૂત અને વિશિષ્ટ. આ વિભાગમાં હું બે વિકલ્પો માટે વિગતવાર સમજૂતી સાથે દરેક પ્રકારના કાર્યનું વિશ્લેષણ પ્રદાન કરું છું. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના કાર્યો સખત વિષયોનું હોય છે, તેથી દરેક મુદ્દા માટે તમે ચોક્કસ ભલામણો આપી શકો છો અને આ પ્રકારના કાર્યને ઉકેલવા માટે ખાસ જરૂરી સિદ્ધાંત પ્રદાન કરી શકો છો. નીચે તમને સોંપણીઓની લિંક્સ મળશે, જેના પર ક્લિક કરીને તમે સિદ્ધાંતનો અભ્યાસ કરી શકો છો અને ઉદાહરણોનું વિશ્લેષણ કરી શકો છો. ઉદાહરણો સતત ફરી ભરવામાં આવે છે અને અપડેટ કરવામાં આવે છે.

ગણિતમાં એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષાના મૂળભૂત સ્તરનું માળખું

પરીક્ષા પેપરમૂળભૂત સ્તરના ગણિતમાં સમાવે છે એક ટુકડો , 20 ટૂંકા-જવાબ કાર્યો સહિત. તમામ કાર્યોનો ઉદ્દેશ રોજિંદા પરિસ્થિતિઓમાં ગાણિતિક જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરવા માટે મૂળભૂત કૌશલ્યો અને વ્યવહારુ કુશળતાના વિકાસની ચકાસણી કરવાનો છે.

દરેક કાર્યનો જવાબ 1-20 છે પૂર્ણાંક, પાછળનો દશાંશ , અથવા સંખ્યાઓનો ક્રમ .

જો કાર્ય પૂર્ણ કરવા માટેની સૂચનાઓમાં આપેલા ફોર્મમાં જવાબ નં. 1 માં સાચો જવાબ લખાયેલ હોય તો ટૂંકા જવાબ સાથેનું કાર્ય પૂર્ણ માનવામાં આવે છે.

ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા એ પ્રમાણપત્ર મેળવતા અને ઉચ્ચ શિક્ષણ સંસ્થામાં પ્રવેશતા પહેલા શાળાના સ્નાતકો માટે મુખ્ય પરીક્ષાઓમાંની એક છે. આ પ્રકારના જ્ઞાન નિયંત્રણનો ઉપયોગ શાળાકીય અભ્યાસ દરમિયાન મેળવેલા વિદ્યાશાખાઓમાં જ્ઞાનનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે થાય છે. એકલુ રાજ્ય પરીક્ષાપરીક્ષણના સ્વરૂપમાં થાય છે, અંતિમ પરીક્ષણ માટેના કાર્યોની તૈયારી રોસોબ્રનાડઝોર અને શિક્ષણના ક્ષેત્રમાં અન્ય અધિકૃત સંસ્થાઓ દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે. ગણિતમાં પાસિંગ ગ્રેડ યુનિવર્સિટીની વ્યક્તિગત આવશ્યકતાઓ પર આધાર રાખે છે કે જેમાં વ્યક્તિ અરજી કરી રહી છે.સ્નાતક. સફળતાપૂર્વક પાસ થયાઉચ્ચ સ્કોર માટે પરીક્ષા - મહત્વપૂર્ણ પરિબળપ્રવેશ પર સફળતા.

તકનીકી અને આર્થિક યુનિવર્સિટીઓમાં પ્રવેશ માટે પ્રોફાઇલ-સ્તરનું ગણિત આવશ્યક છે. આધાર પરીક્ષા કાર્યોએ મૂળભૂત સ્તર છે, જેમાં વધુ જટિલ સમસ્યાઓ અને ઉદાહરણો ઉમેરવામાં આવે છે. ટૂંકા અને વિગતવાર જવાબો અપેક્ષિત છે:

• પ્રથમ કાર્યોમાં ગહન જ્ઞાનની જરૂર હોતી નથી - આ મૂળભૂત સ્તરના જ્ઞાનની કસોટી છે;
• આગામી 5 વધુ મુશ્કેલ છે, જેમાં વિષયમાં સરેરાશથી ઉચ્ચ સ્તરની નિપુણતાની જરૂર છે. આ કાર્યો કમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ કરીને તપાસવામાં આવે છે કારણ કે જવાબ ટૂંકો છે.

છેલ્લા સાત કાર્યો માટે લાંબા જવાબો જરૂરી છે. નિષ્ણાતોનું એક જૂથ ચકાસણી માટે એસેમ્બલ કરવામાં આવે છે. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે, સમાવિષ્ટ કાર્યોની જટિલતા હોવા છતાં પ્રોફાઇલ સ્તર, તેઓ સંપૂર્ણપણે અનુરૂપ છે શાળા અભ્યાસક્રમ. શા માટે તેઓ મુશ્કેલ હોઈ શકે છે? આ ઉદાહરણો અને સમસ્યાઓને સફળતાપૂર્વક ઉકેલવા માટે, માત્ર શુષ્ક જ્ઞાન જ જરૂરી નથી, પરંતુ બિન-માનક પરિસ્થિતિમાં સર્જનાત્મક રીતે ઉકેલ સુધી પહોંચવાની અને જ્ઞાનને લાગુ કરવાની ક્ષમતા પણ જરૂરી છે. તે શબ્દપ્રયોગ છે જે મુશ્કેલીનું કારણ બને છે.

જો કોઈ વિદ્યાર્થી આ સ્તર પસંદ કરે છે, તો આ ઉચ્ચ શૈક્ષણિક સંસ્થામાં ચોક્કસ વિજ્ઞાનનો અભ્યાસ ચાલુ રાખવાની તેની ઇચ્છા સૂચવે છે. વિશિષ્ટ પરીક્ષાની તરફેણમાં પસંદગી એ પણ સૂચવે છે કે વિદ્યાર્થીનું જ્ઞાનનું સ્તર ઘણું ઊંચું છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મૂળભૂત તૈયારીની જરૂર નથી.
તૈયારીની પ્રક્રિયામાં મુખ્ય વિભાગોનું પુનરાવર્તન, સમસ્યાઓ હલ કરવાનો સમાવેશ થાય છે વધેલી જટિલતાજેને બિન-માનક, સર્જનાત્મક અભિગમની જરૂર છે.

તૈયારી પદ્ધતિઓ

• મૂળભૂત તાલીમ શાળામાં હાથ ધરવામાં આવે છે, જ્યાં વિદ્યાર્થી મૂળભૂત બાબતોમાં નિપુણતા મેળવે છે, કેટલીકવાર શિક્ષક સ્નાતકો માટે વધારાના વૈકલ્પિક સંચાલન કરે છે. મુખ્ય ભલામણ એ છે કે તમામ વિષયો, ખાસ કરીને ગ્રેજ્યુએટ સ્કૂલમાં કાળજીપૂર્વક અને સંપૂર્ણ રીતે માસ્ટર થવું.
• સ્વતંત્ર કાર્ય: આ માટે વિશેષ સ્વ-શિસ્ત, ઇચ્છા અને સ્વ-નિયંત્રણની જરૂર છે. તમારે કાળજીપૂર્વક વાંચવાની જરૂર છે . સમસ્યા દિશામાં છે - માત્ર એક નિષ્ણાત ભવિષ્યના અરજદારને તે વિષયો પર યોગ્ય રીતે માર્ગદર્શન આપી શકે છે કે જેના પર ધ્યાન આપવાની જરૂર છે.
• ટ્યુટરિંગ: એક વ્યાવસાયિક નિષ્ણાત તમને જટિલ કાર્યોને અસરકારક રીતે અને ઝડપથી ઉકેલવામાં મદદ કરશે.
• અભ્યાસક્રમો અને ઑનલાઇન શિક્ષણ: એક આધુનિક અને સાબિત પદ્ધતિ જે સમય અને નાણાં બચાવે છે. એક મહત્વપૂર્ણ ફાયદો: તમે ઓનલાઈન ટેસ્ટ આપી શકો છો, ઝડપથી જવાબો મેળવી શકો છો અને વિવિધ કાર્યો પર પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો.

“હું ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાને વિશિષ્ટ સ્તરે હલ કરીશ” એ પરીક્ષાની તૈયારી કરવાની અને સફળતાપૂર્વક પાસ કરવાની તક છે.

આકારણી

બે ભાગો, સહિત 19 કાર્યો. ભાગ 1 ભાગ 2

3 કલાક 55 મિનિટ(235 મિનિટ).

જવાબો

પરંતુ તમે કરી શકો છો હોકાયંત્ર બનાવો કેલ્ક્યુલેટરપરીક્ષા પર વપરાયેલ નથી.

પાસપોર્ટ), પાસઅને રુધિરકેશિકા અથવા! લેવાની છૂટ આપીમારી સાથે પાણી(પારદર્શક બોટલમાં) અને હું જાવું છું

પરીક્ષા પેપર સમાવે છે બે ભાગો, સહિત 19 કાર્યો. ભાગ 1ટૂંકા જવાબ સાથે મૂળભૂત મુશ્કેલી સ્તરના 8 કાર્યો સમાવે છે. ભાગ 2ટૂંકા જવાબ સાથે વધેલી જટિલતાના 4 કાર્યો અને 7 કાર્યો સમાવે છે ઉચ્ચ સ્તરવિગતવાર જવાબ સાથે મુશ્કેલી.

ગણિતમાં પરીક્ષાનું કાર્ય પૂર્ણ કરવા માટે ફાળવેલ સમય છે 3 કલાક 55 મિનિટ(235 મિનિટ).

જવાબોકાર્યો માટે 1-12 લખેલા છે સંપૂર્ણ સંખ્યા અથવા મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે. કાર્યના લખાણમાં જવાબના ક્ષેત્રોમાં નંબરો લખો, અને પછી તેમને પરીક્ષા દરમિયાન જારી કરાયેલ જવાબ ફોર્મ નંબર 1 પર સ્થાનાંતરિત કરો!

કાર્ય કરતી વખતે, તમે કાર્ય સાથે જારી કરેલનો ઉપયોગ કરી શકો છો. ફક્ત શાસકને મંજૂરી છે, પરંતુ તે શક્ય છે હોકાયંત્ર બનાવોતમારા પોતાના હાથથી. તેમના પર મુદ્રિત સંદર્ભ સામગ્રીવાળા સાધનોનો ઉપયોગ કરશો નહીં. કેલ્ક્યુલેટરપરીક્ષા પર વપરાયેલ નથી.

પરીક્ષા દરમિયાન તમારી સાથે ઓળખ દસ્તાવેજ હોવો આવશ્યક છે ( પાસપોર્ટ), પાસઅને કેશિલરી અથવા કાળી શાહી સાથે જેલ પેન! લેવાની છૂટ આપીમારી સાથે પાણી(પારદર્શક બોટલમાં) અને હું જાવું છું(ફળ, ચોકલેટ, બન, સેન્ડવીચ), પરંતુ તેઓ તમને કોરિડોરમાં છોડી દેવા માટે કહી શકે છે.

સરેરાશ સામાન્ય શિક્ષણ

લાઇન યુએમકે જી.કે. મુરાવિન. બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતો (10-11) (ઉંડાણપૂર્વક)

UMK Merzlyak રેખા. બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત (10-11) (યુ)

ગણિત

ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી (પ્રોફાઇલ સ્તર): સોંપણીઓ, ઉકેલો અને સમજૂતી

અમે કાર્યોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ અને શિક્ષક સાથે ઉદાહરણો હલ કરીએ છીએ

પ્રોફાઇલ સ્તર પર પરીક્ષાનું કાર્ય 3 કલાક 55 મિનિટ (235 મિનિટ) ચાલે છે.

ન્યૂનતમ થ્રેશોલ્ડ- 27 પોઈન્ટ.

પરીક્ષા પેપરમાં બે ભાગો હોય છે, જે સામગ્રી, જટિલતા અને કાર્યોની સંખ્યામાં ભિન્ન હોય છે.

કાર્યના દરેક ભાગની વ્યાખ્યાત્મક વિશેષતા એ કાર્યોનું સ્વરૂપ છે:

• ભાગ 1 માં સંપૂર્ણ સંખ્યા અથવા અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકના રૂપમાં ટૂંકા જવાબ સાથે 8 કાર્યો (કાર્યો 1-8) છે;
• ભાગ 2 માં પૂર્ણાંક અથવા અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકના રૂપમાં ટૂંકા જવાબ સાથે 4 કાર્યો (કાર્યો 9-12) અને વિગતવાર જવાબ સાથે 7 કાર્યો (કાર્યો 13-19) (કાર્યો 9-12) છે. લેવામાં આવેલ પગલાં).

પાનોવા સ્વેત્લાના એનાટોલેવના, ગણિત શિક્ષક ઉચ્ચતમ શ્રેણીશાળાઓ, કામનો અનુભવ 20 વર્ષ:

"પ્રાપ્ત કરવા માટે શાળા પ્રમાણપત્ર, સ્નાતકે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના સ્વરૂપમાં બે ફરજિયાત પરીક્ષાઓ પાસ કરવી આવશ્યક છે, જેમાંથી એક ગણિત છે. વિકાસ ખ્યાલ અનુસાર ગણિત શિક્ષણવી રશિયન ફેડરેશનગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા બે સ્તરોમાં વહેંચાયેલી છે: મૂળભૂત અને વિશિષ્ટ. આજે આપણે પ્રોફાઇલ-લેવલ વિકલ્પો જોઈશું.

કાર્ય નંબર 1- પ્રાથમિક ગણિતમાં ગ્રેડ 5 - 9 ના અભ્યાસક્રમમાં મેળવેલ કૌશલ્યોને લાગુ કરવાની યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના સહભાગીઓની ક્ષમતાનું પરીક્ષણ કરે છે. વ્યવહારુ પ્રવૃત્તિઓ. સહભાગી પાસે કોમ્પ્યુટેશનલ કૌશલ્ય હોવું જોઈએ, તે તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથે કામ કરવામાં સક્ષમ હોવું જોઈએ, દશાંશને ગોળાકાર કરવામાં સક્ષમ હોવું જોઈએ અને માપના એક એકમને બીજામાં રૂપાંતરિત કરવામાં સક્ષમ હોવું જોઈએ.

ઉદાહરણ 1.પીટર જ્યાં રહે છે તે એપાર્ટમેન્ટમાં ફ્લો મીટર ઇન્સ્ટોલ કરવામાં આવ્યું હતું ઠંડુ પાણિ(કાઉન્ટર). 1 મેના રોજ, મીટરે 172 ક્યુબિક મીટરનો વપરાશ દર્શાવ્યો હતો. મીટર પાણી, અને જૂનના પ્રથમ દિવસે - 177 ક્યુબિક મીટર. m. પીટરને મે મહિનામાં ઠંડા પાણી માટે કેટલી રકમ ચૂકવવી જોઈએ, જો કિંમત 1 ક્યુબિક મીટર હોય? મી ઠંડા પાણી 34 રુબેલ્સ 17 કોપેક્સ છે? તમારો જવાબ રુબેલ્સમાં આપો.

ઉકેલ:

1) દર મહિને ખર્ચવામાં આવેલા પાણીની માત્રા શોધો:

177 - 172 = 5 (ઘન મીટર)

2) ચાલો શોધી કાઢીએ કે તેઓ બગાડેલા પાણી માટે કેટલા પૈસા ચૂકવશે:

34.17 5 = 170.85 (ઘસવું)

જવાબ: 170,85.

કાર્ય નંબર 2- સૌથી સરળ પરીક્ષા કાર્યોમાંનું એક છે. મોટાભાગના સ્નાતકો સફળતાપૂર્વક તેનો સામનો કરે છે, જે કાર્યની વિભાવનાની વ્યાખ્યાના જ્ઞાનને સૂચવે છે. આવશ્યકતાઓ અનુસાર કાર્ય નંબર 2 નો પ્રકાર કોડિફાયર એ પ્રાયોગિક પ્રવૃત્તિઓમાં હસ્તગત જ્ઞાન અને કૌશલ્યોના ઉપયોગ પરનું કાર્ય છે અને રોજિંદુ જીવન. કાર્ય નંબર 2 માં વિધેયોનો ઉપયોગ કરીને, જથ્થાઓ વચ્ચેના વિવિધ વાસ્તવિક સંબંધો અને તેમના ગ્રાફનું અર્થઘટન કરવું શામેલ છે. કાર્ય નંબર 2 કોષ્ટકો, આકૃતિઓ અને આલેખમાં પ્રસ્તુત માહિતીને બહાર કાઢવાની ક્ષમતાનું પરીક્ષણ કરે છે. સ્નાતકોએ ફંક્શનનું મૂલ્ય તેની દલીલના મૂલ્ય દ્વારા નક્કી કરવામાં સક્ષમ હોવું જરૂરી છે જ્યારે વિવિધ રીતેફંક્શનનો ઉલ્લેખ કરવો અને તેના ગ્રાફના આધારે ફંક્શનના વર્તન અને ગુણધર્મોનું વર્ણન કરવું. તમારે ફંક્શન ગ્રાફમાંથી સૌથી મોટું અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધવા અને અભ્યાસ કરેલા કાર્યોના ગ્રાફ બનાવવા માટે પણ સક્ષમ હોવું જરૂરી છે. સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ વાંચવામાં, ડાયાગ્રામ વાંચવામાં ભૂલો રેન્ડમ છે.

#ADVERTISING_INSERT#

ઉદાહરણ 2.આ આંકડો એપ્રિલ 2017 ના પ્રથમ છ મહિનામાં ખાણકામ કંપનીના એક શેરના વિનિમય મૂલ્યમાં ફેરફાર દર્શાવે છે. 7 એપ્રિલના રોજ, ઉદ્યોગપતિએ આ કંપનીના 1,000 શેર ખરીદ્યા. 10 એપ્રિલના રોજ, તેણે ખરીદેલા ત્રણ-ચતુર્થાંશ શેર વેચ્યા અને 13 એપ્રિલે, તેણે બાકીના તમામ શેર વેચ્યા. આ કામગીરીના પરિણામે ઉદ્યોગપતિને કેટલું નુકસાન થયું?

ઉકેલ:

2) 1000 · 3/4 = 750 (શેર) - ખરીદેલા તમામ શેરનો 3/4 ભાગ છે.

6) 247500 + 77500 = 325000 (ઘસવું) - વેપારીને વેચ્યા પછી 1000 શેર મળ્યા.

7) 340,000 – 325,000 = 15,000 (ઘસવું) - તમામ કામગીરીના પરિણામે વેપારી ગુમાવ્યો.

જવાબ: 15000.

કાર્ય નંબર 3- પ્રથમ ભાગના મૂળભૂત સ્તરે એક કાર્ય છે, તેની સાથે ક્રિયાઓ કરવાની ક્ષમતાનું પરીક્ષણ કરે છે ભૌમિતિક આકારોકોર્સ "પ્લાનીમેટ્રી" ની સામગ્રી પર. ટાસ્ક 3 ચેકર્ડ પેપર પર આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાની ક્ષમતા, ખૂણાઓના ડિગ્રી માપની ગણતરી કરવાની ક્ષમતા, પરિમિતિની ગણતરી વગેરેની ચકાસણી કરે છે.

ઉદાહરણ 3. 1 સેમી બાય 1 સેમીના કોષના કદ સાથે ચેકર્ડ પેપર પર દોરેલા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધો (આકૃતિ જુઓ). તમારો જવાબ ચોરસ સેન્ટિમીટરમાં આપો.

ઉકેલ:આપેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, તમે પીક સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

આપેલ લંબચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, અમે પીકના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

એસ= B +	જી
	2

જ્યાં B = 10, G = 6, તેથી

એસ = 18 +	6
	2

જવાબ: 20.

આ પણ વાંચો: ભૌતિકશાસ્ત્રમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા: ઓસિલેશન વિશે સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

કાર્ય નંબર 4- કોર્સનો ઉદ્દેશ “સંભાવના સિદ્ધાંત અને આંકડા”. સરળ પરિસ્થિતિમાં ઘટનાની સંભાવનાની ગણતરી કરવાની ક્ષમતા ચકાસવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 4.વર્તુળ પર 5 લાલ અને 1 વાદળી બિંદુઓ ચિહ્નિત થયેલ છે. કયા બહુકોણ મોટા છે તે નિર્ધારિત કરો: બધા શિરોબિંદુઓ લાલ હોય અથવા એક શિરોબિંદુ વાદળી હોય. તમારા જવાબમાં, અન્ય કરતાં કેટલાકમાં કેટલા વધુ છે તે દર્શાવો.

ઉકેલ: 1) ચાલો સંયોજનોની સંખ્યા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ nદ્વારા તત્વો k:

જેની શિરોબિંદુઓ તમામ લાલ છે.

3) બધા શિરોબિંદુઓ લાલ સાથે એક પંચકોણ.

4) તમામ લાલ શિરોબિંદુઓ સાથે 10 + 5 + 1 = 16 બહુકોણ.

જેમાં લાલ ટોપ હોય અથવા એક બ્લુ ટોપ હોય.

જેમાં લાલ ટોપ હોય અથવા એક બ્લુ ટોપ હોય.

8) લાલ શિરોબિંદુઓ સાથે એક ષટ્કોણ અને એક વાદળી શિરોબિંદુ.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 બધા લાલ શિરોબિંદુઓ અથવા એક વાદળી શિરોબિંદુ સાથે બહુકોણ.

10) વાદળી બિંદુનો ઉપયોગ કરીને 42 – 16 = 26 બહુકોણ.

11) 26 – 16 = 10 બહુકોણ – એવા બહુકોણ કરતાં કેટલા વધુ બહુકોણ છે જેમાં એક શિરોબિંદુ વાદળી ટપકું છે જેમાં તમામ શિરોબિંદુઓ માત્ર લાલ છે.

જવાબ: 10.

કાર્ય નંબર 5- પ્રથમ ભાગનું મૂળભૂત સ્તર સરળ સમીકરણો (અતાર્કિક, ઘાતાંકીય, ત્રિકોણમિતિ, લઘુગણક) ઉકેલવાની ક્ષમતાનું પરીક્ષણ કરે છે.

ઉદાહરણ 5.સમીકરણ 2 3 + ઉકેલો x= 0.4 5 3 + x .

ઉકેલ.આ સમીકરણની બંને બાજુઓને 5 3 + વડે વિભાજીત કરો એક્સ≠ 0, આપણને મળે છે

2 3 + x	= 0.4 અથવા		2		3 + એક્સ	=	2	,
5 3 + એક્સ			5				5

જ્યાંથી તે 3 + ને અનુસરે છે x = 1, x = –2.

જવાબ: –2.

કાર્ય નંબર 6ભૌમિતિક જથ્થાઓ (લંબાઈ, ખૂણા, વિસ્તારો) શોધવા માટે, ભૂમિતિની ભાષામાં વાસ્તવિક પરિસ્થિતિઓનું મોડેલિંગ. ભૌમિતિક વિભાવનાઓ અને પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બાંધવામાં આવેલા મોડલનો અભ્યાસ. મુશ્કેલીઓનો સ્ત્રોત, એક નિયમ તરીકે, પ્લાનિમેટ્રીના જરૂરી પ્રમેયની અજ્ઞાનતા અથવા ખોટી એપ્લિકેશન છે.

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ABC 129 બરાબર છે. ડી.ઇ- બાજુની સમાંતર મધ્યરેખા એબી. ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર શોધો પથારી.

ઉકેલ.ત્રિકોણ CDEત્રિકોણ જેવું જ CABબે ખૂણા પર, કારણ કે શિરોબિંદુ પરનો ખૂણો સીસામાન્ય, કોણ SDDEકોણ સમાન CABપર અનુરૂપ ખૂણા તરીકે ડી.ઇ || એબીસેકન્ટ A.C.. કારણ કે ડી.ઇશરત દ્વારા ત્રિકોણની મધ્ય રેખા છે, પછી મધ્ય રેખાના ગુણધર્મ દ્વારા | ડી.ઇ = (1/2)એબી. આનો અર્થ એ છે કે સમાનતા ગુણાંક 0.5 છે. સમાન આંકડાઓના ક્ષેત્રો સમાનતા ગુણાંકના વર્ગ તરીકે સંબંધિત છે, તેથી

આથી, એસ ABED = એસ Δ ABC – એસ Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

કાર્ય નંબર 7- ફંક્શનના અભ્યાસ માટે ડેરિવેટિવની અરજી તપાસે છે. સફળ અમલીકરણ માટે વ્યુત્પન્નની વિભાવનાના અર્થપૂર્ણ, બિન-ઔપચારિક જ્ઞાનની જરૂર છે.

ઉદાહરણ 7.કાર્યના આલેખ સુધી y = f(x) એબ્સીસા બિંદુ પર x 0 એક સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે જે આ ગ્રાફના બિંદુઓ (4; 3) અને (3; –1)માંથી પસાર થતી રેખાને લંબરૂપ હોય છે. શોધો f′( x 0).

ઉકેલ. 1) ચાલો બેમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ આપેલ પોઈન્ટઅને બિંદુઓ (4; 3) અને (3; –1)માંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ શોધો.

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x- 13, ક્યાં k 1 = 4.

2) સ્પર્શકનો ઢોળાવ શોધો k 2, જે રેખા પર લંબ છે y = 4x- 13, ક્યાં k 1 = 4, સૂત્ર મુજબ:

3) સ્પર્શકોણ એ સ્પર્શના બિંદુ પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન છે. અર્થ, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

જવાબ: –0,25.

કાર્ય નંબર 8- પરીક્ષાના સહભાગીઓના પ્રાથમિક સ્ટીરીઓમેટ્રીના જ્ઞાનનું પરીક્ષણ કરે છે, સપાટીના વિસ્તારો અને આંકડાઓના વોલ્યુમો, ડાયહેડ્રલ એંગલ, સમાન આકૃતિઓના વોલ્યુમોની તુલના કરવા, ભૌમિતિક આકૃતિઓ, કોઓર્ડિનેટ્સ અને વેક્ટર વગેરે સાથે ક્રિયાઓ કરવા સક્ષમ બનવા માટેના સૂત્રો લાગુ કરવાની ક્ષમતા.

ગોળાની ફરતે ઘેરાયેલા ઘનનું કદ 216 છે. ગોળાની ત્રિજ્યા શોધો.

ઉકેલ. 1) વીક્યુબ = a 3 (ક્યાં એ– ક્યુબની ધારની લંબાઈ), તેથી

એ 3 = 216

એ = 3 √216

2) ગોળા સમઘન માં લખાયેલું હોવાથી, તેનો અર્થ એ થાય છે કે ગોળાના વ્યાસની લંબાઈ સમઘનની ધારની લંબાઈ જેટલી છે, તેથી ડી = a, ડી = 6, ડી = 2આર, આર = 6: 2 = 3.

કાર્ય નંબર 9- ગ્રેજ્યુએટ પાસે બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન અને સરળીકરણ કરવાની કુશળતા હોવી જરૂરી છે. ટૂંકા જવાબ સાથે મુશ્કેલીના વધેલા સ્તરનું કાર્ય નંબર 9. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં "ગણતરી અને પરિવર્તન" વિભાગના કાર્યોને ઘણા પ્રકારોમાં વહેંચવામાં આવ્યા છે:

સંખ્યાત્મક રૂપાંતરણો તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ;

બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓ અને અપૂર્ણાંકોનું રૂપાંતર;

સંખ્યાત્મક/અક્ષર અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતરણ;

ડિગ્રી સાથે ક્રિયાઓ;

લઘુગણક અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર;

1. સંખ્યાત્મક/અક્ષર ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર.

ઉદાહરણ 9. tanα ની ગણતરી કરો જો તે જાણીતું હોય કે cos2α = 0.6 અને

3π	< α < π.
4

ઉકેલ. 1) ચાલો ડબલ દલીલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ: cos2α = 2 cos 2 α – 1 અને શોધો

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

આનો અર્થ છે ટેન 2 α = ± 0.5.

3) શરત દ્વારા

3π	< α < π,
4

આનો અર્થ છે α એ બીજા ત્રિમાસિક અને tgα નો કોણ છે< 0, поэтому tgα = –0,5.

જવાબ: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# કાર્ય નંબર 10- પ્રાયોગિક પ્રવૃત્તિઓ અને રોજિંદા જીવનમાં પ્રાપ્ત કરેલ પ્રારંભિક જ્ઞાન અને કૌશલ્યોનો ઉપયોગ કરવાની વિદ્યાર્થીઓની ક્ષમતાનું પરીક્ષણ કરે છે. આપણે કહી શકીએ કે આ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સમસ્યાઓ છે, અને ગણિતમાં નહીં, પરંતુ તમામ જરૂરી સૂત્રો અને પ્રમાણ કન્ડિશનમાં આપવામાં આવ્યા છે. સમસ્યાઓ રેખીય અથવા હલ કરવામાં ઘટાડો થાય છે ચતુર્ભુજ સમીકરણ, અથવા રેખીય અથવા ચતુર્ભુજ અસમાનતા. તેથી, આવા સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવા અને જવાબ નક્કી કરવામાં સક્ષમ હોવું જરૂરી છે. જવાબ સંપૂર્ણ સંખ્યા અથવા મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે આપવો જોઈએ.

સમૂહના બે શરીર m= 2 કિગ્રા દરેક, સમાન ઝડપે આગળ વધી રહી છે વિ= 10 m/s એકબીજા સાથે 2α ના ખૂણા પર. તેમની એકદમ અસ્થિર અથડામણ દરમિયાન બહાર પડતી ઊર્જા (જોલ્સમાં) અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. પ્ર = mv 2 પાપ 2 α. અથડામણના પરિણામે ઓછામાં ઓછા 50 જ્યુલ્સ છોડવા માટે શરીરને કયા સૌથી નાના કોણ 2α (ડિગ્રીમાં) ખસેડવું જોઈએ?
ઉકેલ.સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, આપણે અંતરાલ 2α ∈ (0°; 180°) પર, અસમાનતા Q ≥ 50 ઉકેલવાની જરૂર છે.

mv 2 પાપ 2 α ≥ 50

2 10 2 પાપ 2 α ≥ 50

200 પાપ 2 α ≥ 50

α ∈ (0°; 90°) થી, અમે ફક્ત ઉકેલીશું

ચાલો અસમાનતાના ઉકેલને ગ્રાફિકલી રજૂ કરીએ:

કારણ કે શરત α ∈ (0°; 90°), તેનો અર્થ 30° ≤ α છે< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

કાર્ય નંબર 11- લાક્ષણિક છે, પરંતુ વિદ્યાર્થીઓ માટે મુશ્કેલ છે. મુશ્કેલીનો મુખ્ય સ્ત્રોત એ ગાણિતિક મોડેલનું નિર્માણ છે (એક સમીકરણ દોરવું). કાર્ય નંબર 11 શબ્દ સમસ્યાઓ ઉકેલવાની ક્ષમતાનું પરીક્ષણ કરે છે.

ઉદાહરણ 11.વસંત વિરામ દરમિયાન, 11મા ધોરણના વિદ્યાર્થી વાસ્યને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી કરવા માટે 560 પ્રેક્ટિસ સમસ્યાઓ હલ કરવી પડી હતી. 18 માર્ચે, શાળાના છેલ્લા દિવસે, વાસ્યાએ 5 સમસ્યાઓ હલ કરી. પછી દરરોજ તે અગાઉના દિવસ કરતાં વધુ સમાન સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતો. રજાઓના છેલ્લા દિવસે 2 એપ્રિલે વાસ્યાએ કેટલી સમસ્યાઓ હલ કરી તે નક્કી કરો.

ઉકેલ:ચાલો સૂચિત કરીએ a 1 = 5 - વાસ્યાએ માર્ચ 18 ના રોજ હલ કરેલી સમસ્યાઓની સંખ્યા, ડી- વાસ્ય દ્વારા હલ કરાયેલા કાર્યોની દૈનિક સંખ્યા, n= 16 – માર્ચ 18 થી 2 એપ્રિલ સુધીના દિવસોની સંખ્યા સહિત, એસ 16 = 560 - કાર્યોની કુલ સંખ્યા, a 16 - વાસ્યાએ 2 એપ્રિલે હલ કરેલી સમસ્યાઓની સંખ્યા. એ જાણીને કે દરરોજ વાસ્યાએ અગાઉના દિવસની તુલનામાં સમાન સંખ્યામાં સમસ્યાઓ વધુ હલ કરી છે, અમે સરવાળો શોધવા માટે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. અંકગણિત પ્રગતિ:

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

જવાબ: 65.

કાર્ય નંબર 12- તેઓ વિદ્યાર્થીઓની કાર્યો સાથે કામગીરી કરવાની ક્ષમતા અને કાર્યના અભ્યાસમાં વ્યુત્પન્નતા લાગુ કરવા સક્ષમ બનવા માટે પરીક્ષણ કરે છે.

કાર્યનો મહત્તમ બિંદુ શોધો y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

ઉકેલ: 1) કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધો: x + 9 > 0, x> –9, એટલે કે, x ∈ (–9; ∞).

2) ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો:

4) મળેલ બિંદુ અંતરાલ (–9; ∞) નો છે. ચાલો ફંક્શનના ડેરિવેટિવના સંકેતો નક્કી કરીએ અને આકૃતિમાં ફંક્શનની વર્તણૂકનું નિરૂપણ કરીએ:

ઇચ્છિત મહત્તમ બિંદુ x = –8.

શિક્ષણ સામગ્રીની લાઇન માટે ગણિતમાં કાર્યકારી પ્રોગ્રામ મફતમાં ડાઉનલોડ કરો G.K. મુરવિના, કે.એસ. મુરવિના, ઓ.વી. મુરવિના 10-11 બીજગણિત પર મફત શિક્ષણ સહાય ડાઉનલોડ કરો

કાર્ય નંબર 13-વિગતવાર જવાબ સાથે જટિલતાના સ્તરમાં વધારો, સમીકરણો ઉકેલવાની ક્ષમતાનું પરીક્ષણ, જટિલતાના વધેલા સ્તરના વિગતવાર જવાબ સાથેના કાર્યોમાં સૌથી વધુ સફળતાપૂર્વક ઉકેલવામાં આવે છે.

a) સમીકરણ 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) આ સમીકરણના તમામ મૂળ શોધો જે સેગમેન્ટ સાથે સંબંધિત છે.

ઉકેલ: a) ચાલો લોગ 3 (2cos x) = t, પછી 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	લોગ 3(2cos x) =	2	⇔		2cos x = 9	⇔		cos x =	4,5	⇔ કારણ કે |cos x| ≤ 1,
	લોગ 3(2cos x) =	1			2cos x = √3			cos x =	√3
		2							2

પછી cos x =	√3
	2

	x =	π	+ 2π k
		6
	x = –	π	+ 2π k, k ∈ ઝેડ
		6

b) સેગમેન્ટ પર પડેલા મૂળ શોધો.

આકૃતિ બતાવે છે કે આપેલ સેગમેન્ટના મૂળના છે

11π	અને	13π	.
6		6

જવાબ:અ)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ ઝેડ; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

કાર્ય નંબર 14-અદ્યતન સ્તર એ વિગતવાર જવાબ સાથે બીજા ભાગમાં કાર્યોનો સંદર્ભ આપે છે. કાર્ય ભૌમિતિક આકારો સાથે ક્રિયાઓ કરવાની ક્ષમતાનું પરીક્ષણ કરે છે. કાર્યમાં બે મુદ્દાઓ છે. પ્રથમ બિંદુમાં, કાર્ય સાબિત કરવું આવશ્યક છે, અને બીજા બિંદુમાં, ગણતરી.

સિલિન્ડરના પાયાના વર્તુળનો વ્યાસ 20 છે, સિલિન્ડરનું જનરેટિક્સ 28 છે. પ્લેન તેના આધારને 12 અને 16 લંબાઈના તાર સાથે છેદે છે. તાર વચ્ચેનું અંતર 2√197 છે.

a) સાબિત કરો કે સિલિન્ડરના પાયાના કેન્દ્રો આ પ્લેનની એક બાજુ પર આવેલા છે.

b) આ પ્લેન અને સિલિન્ડરના પાયાના પ્લેન વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ઉકેલ: a) 12 લંબાઈનો તાર મૂળ વર્તુળના કેન્દ્રથી = 8 ના અંતરે છે, અને 16 લંબાઈનો તાર, એ જ રીતે, 6 ના અંતરે છે. તેથી, તેમના અનુમાન વચ્ચેનું અંતર એક સમતલ પર સમાંતર છે. સિલિન્ડરોના પાયા કાં તો 8 + 6 = 14 અથવા 8 − 6 = 2 છે.

પછી તાર વચ્ચેનું અંતર કાં તો છે

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

શરત અનુસાર, બીજો કેસ સાકાર થયો હતો, જેમાં તારોના અંદાજો સિલિન્ડરની ધરીની એક બાજુએ આવેલા છે. આનો અર્થ એ છે કે અક્ષ આ પ્લેનને સિલિન્ડરની અંદર છેદતી નથી, એટલે કે, પાયા તેની એક બાજુ પર આવેલા છે. શું સાબિત કરવાની જરૂર હતી.

b) ચાલો પાયાના કેન્દ્રોને O 1 અને O 2 તરીકે દર્શાવીએ. ચાલો પાયાના કેન્દ્રમાંથી 12 લંબાઇના તાર સાથે આ તાર તરફ લંબરૂપ દ્વિભાજક દોરીએ (તેની લંબાઈ 8 છે, જેમ કે પહેલેથી નોંધ્યું છે) અને બીજા પાયાના કેન્દ્રથી બીજી તાર તરફ દોરીએ. તેઓ સમાન સમતલ β માં આવેલા છે, આ તારોને લંબરૂપ છે. ચાલો નાની તાર B ના મધ્યબિંદુને, મોટી તાર A અને A ના પ્રક્ષેપણને બીજા આધાર - H (H ∈ β) પર બોલાવીએ. પછી AB,AH ∈ β અને તેથી AB,AH તાર માટે લંબ છે, એટલે કે આપેલ સમતલ સાથેના પાયાના આંતરછેદની સીધી રેખા.

આનો અર્થ એ છે કે જરૂરી કોણ બરાબર છે

∠ABH = આર્ક્ટન	એ.એચ.	= આર્ક્ટન	28	= arctg14.
	બી.એચ.		8 – 6

કાર્ય નંબર 15- વિગતવાર જવાબ સાથે જટિલતાના વધેલા સ્તર, અસમાનતાઓને હલ કરવાની ક્ષમતાનું પરીક્ષણ કરે છે, જે જટિલતાના વધેલા સ્તરના વિગતવાર જવાબ સાથે કાર્યોમાં સૌથી વધુ સફળતાપૂર્વક હલ થાય છે.

ઉદાહરણ 15.અસમાનતા ઉકેલો | x 2 – 3x| લોગ 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

ઉકેલ:આ અસમાનતાની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર અંતરાલ (–1; +∞) છે. ત્રણ કેસોને અલગથી ધ્યાનમાં લો:

1) ચાલો x 2 – 3x= 0, એટલે કે. એક્સ= 0 અથવા એક્સ= 3. આ કિસ્સામાં, આ અસમાનતા સાચી બને છે, તેથી, આ મૂલ્યો ઉકેલમાં સમાવવામાં આવેલ છે.

2) હવે ચાલો x 2 – 3x> 0, એટલે કે. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). વધુમાં, આ અસમાનતાને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે ( x 2 – 3x) લોગ 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 અને હકારાત્મક અભિવ્યક્તિ દ્વારા ભાગાકાર કરો x 2 – 3x. અમને લોગ 2 મળે છે ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0.5 –1 અથવા x≤ –0.5. વ્યાખ્યાના ડોમેનને ધ્યાનમાં લેતા, અમારી પાસે છે x ∈ (–1; –0,5].

3) છેલ્લે, ચાલો વિચાર કરીએ x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). આ કિસ્સામાં, મૂળ અસમાનતા ફોર્મમાં ફરીથી લખવામાં આવશે (3 x – x 2) લોગ 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. ધન 3 વડે ભાગ્યા પછી x – x 2, અમને લોગ 2 મળે છે ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. પ્રદેશને ધ્યાનમાં લેતા, અમારી પાસે છે x ∈ (0; 1].

પ્રાપ્ત ઉકેલોને જોડીને, અમે મેળવીએ છીએ x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

જવાબ: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

કાર્ય નંબર 16- અદ્યતન સ્તર વિગતવાર જવાબ સાથે બીજા ભાગમાં કાર્યોનો સંદર્ભ આપે છે. કાર્ય ભૌમિતિક આકારો, કોઓર્ડિનેટ્સ અને વેક્ટર સાથે ક્રિયાઓ કરવાની ક્ષમતાનું પરીક્ષણ કરે છે. કાર્યમાં બે મુદ્દાઓ છે. પ્રથમ બિંદુમાં, કાર્ય સાબિત કરવું આવશ્યક છે, અને બીજા બિંદુમાં, ગણતરી.

IN સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ABC શિરોબિંદુ A પર 120°ના ખૂણા સાથે, એક દ્વિભાજક BD દોરવામાં આવે છે. લંબચોરસ DEFH ત્રિકોણ ABC માં લખાયેલ છે જેથી બાજુ FH સેગમેન્ટ BC પર આવેલું છે, અને શિરોબિંદુ E સેગમેન્ટ AB પર આવેલું છે. a) સાબિત કરો કે FH = 2DH. b) AB = 4 હોય તો DEFH લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ઉકેલ:અ)

1) ΔBEF – લંબચોરસ, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, પછી EF = BE 30°ના ખૂણાની સામે પડેલા પગના ગુણધર્મ દ્વારા.

2) ચાલો EF = DH = x, પછી BE = 2 x, BF = xપાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર √3.

3) ΔABC સમદ્વિબાજુ હોવાથી, તેનો અર્થ ∠B = ∠C = 30˚ થાય છે.

BD એ ∠B નું દ્વિભાજક છે, જેનો અર્થ થાય છે ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) ΔDBH ને ધ્યાનમાં લો - લંબચોરસ, કારણ કે DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) એસ DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

એસ DEFH = 24 – 12√3.

જવાબ: 24 – 12√3.

કાર્ય નંબર 17- વિગતવાર જવાબ સાથેનું કાર્ય, આ કાર્ય વ્યવહારિક પ્રવૃત્તિઓ અને રોજિંદા જીવનમાં જ્ઞાન અને કૌશલ્યોનો ઉપયોગ, નિર્માણ અને સંશોધન કરવાની ક્ષમતાનું પરીક્ષણ કરે છે. ગાણિતિક મોડેલો. આ કાર્ય આર્થિક સામગ્રી સાથે ટેક્સ્ટ સમસ્યા છે.

ઉદાહરણ 17. 20 મિલિયન રુબેલ્સની ડિપોઝિટ ચાર વર્ષ માટે ખોલવાની યોજના છે. દર વર્ષના અંતે, બેંક વર્ષની શરૂઆતમાં તેના કદની તુલનામાં 10% થાપણમાં વધારો કરે છે. વધુમાં, ત્રીજા અને ચોથા વર્ષની શરૂઆતમાં, રોકાણકાર વાર્ષિક ધોરણે ડિપોઝિટ ફરી ભરે છે એક્સમિલિયન રુબેલ્સ, ક્યાં એક્સ - સમગ્રસંખ્યા શોધો ઉચ્ચતમ મૂલ્ય એક્સ, જેમાં બેંક ચાર વર્ષમાં થાપણમાં 17 મિલિયન રુબેલ્સ કરતાં ઓછી રકમ મેળવશે.

ઉકેલ:પ્રથમ વર્ષના અંતે, યોગદાન 20 + 20 · 0.1 = 22 મિલિયન રુબેલ્સ હશે, અને બીજાના અંતે - 22 + 22 · 0.1 = 24.2 મિલિયન રુબેલ્સ. ત્રીજા વર્ષની શરૂઆતમાં, યોગદાન (મિલિયન રુબેલ્સમાં) હશે (24.2 + એક્સ), અને અંતે - (24.2 + X) + (24,2 + X)· 0.1 = (26.62 + 1.1 એક્સ). ચોથા વર્ષની શરૂઆતમાં યોગદાન હશે (26.62 + 2.1 X), અને અંતે - (26.62 + 2.1 એક્સ) + (26,62 + 2,1એક્સ) 0.1 = (29.282 + 2.31 એક્સ). શરત પ્રમાણે, તમારે સૌથી મોટો પૂર્ણાંક x શોધવાની જરૂર છે જેના માટે અસમાનતા છે

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

આ અસમાનતાનો સૌથી મોટો પૂર્ણાંક ઉકેલ નંબર 24 છે.

જવાબ: 24.

કાર્ય નંબર 18- વિગતવાર જવાબ સાથે જટિલતાના વધેલા સ્તરનું કાર્ય. આ કાર્ય અરજદારોની ગાણિતિક તૈયારી માટે વધેલી આવશ્યકતાઓ સાથે યુનિવર્સિટીઓમાં સ્પર્ધાત્મક પસંદગી માટે બનાવાયેલ છે. ઉચ્ચ સ્તરની જટિલતાનું કાર્ય એ એક ઉકેલ પદ્ધતિના ઉપયોગ પર નહીં, પરંતુ વિવિધ પદ્ધતિઓના સંયોજન પરનું કાર્ય છે. કાર્ય 18 સફળતાપૂર્વક પૂર્ણ કરવા માટે, નક્કર ગાણિતિક જ્ઞાન ઉપરાંત, તમારે ઉચ્ચ સ્તરની ગાણિતિક સંસ્કૃતિની પણ જરૂર છે.

શું પર aઅસમાનતા સિસ્ટમ

	x 2 + y 2 ≤ 2અય – a 2 + 1
	y + a ≤ |x| – a

બરાબર બે ઉકેલો છે?

ઉકેલ:આ સિસ્ટમ ફોર્મમાં ફરીથી લખી શકાય છે

	x 2 + (y– a) 2 ≤ 1
	y ≤ |x| – a

જો આપણે પ્રથમ અસમાનતાના ઉકેલોનો સમૂહ સમતલ પર દોરીએ, તો આપણને બિંદુ (0, એ). બીજી અસમાનતાના ઉકેલોનો સમૂહ એ ફંક્શનના ગ્રાફની નીચે પડેલો પ્લેનનો ભાગ છે. y = | x| – a, અને બાદમાં ફંક્શનનો ગ્રાફ છે
y = | x| , દ્વારા નીચે શિફ્ટ એ. આ સિસ્ટમનો ઉકેલ એ દરેક અસમાનતાના ઉકેલોના સેટનું આંતરછેદ છે.

તેથી, બે ઉકેલો આ સિસ્ટમમાત્ર ફિગમાં બતાવેલ કિસ્સામાં જ હશે. 1.

રેખાઓ સાથે વર્તુળના સંપર્કના બિંદુઓ સિસ્ટમના બે ઉકેલો હશે. દરેક સીધી રેખા 45°ના ખૂણા પર અક્ષો તરફ વળેલી છે. તેથી તે ત્રિકોણ છે PQR- લંબચોરસ સમદ્વિબાજુ. ડોટ પ્રકોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે (0, એ), અને બિંદુ આર- કોઓર્ડિનેટ્સ (0, - એ). વધુમાં, સેગમેન્ટ્સ પીઆરઅને PQવર્તુળની ત્રિજ્યા સમાન 1. આનો અર્થ છે

પ્ર= 2a = √2, a =	√2	.
	2

જવાબ: a =	√2	.
	2

કાર્ય નંબર 19- વિગતવાર જવાબ સાથે જટિલતાના વધેલા સ્તરનું કાર્ય. આ કાર્ય અરજદારોની ગાણિતિક તૈયારી માટે વધેલી આવશ્યકતાઓ સાથે યુનિવર્સિટીઓમાં સ્પર્ધાત્મક પસંદગી માટે બનાવાયેલ છે. ઉચ્ચ સ્તરની જટિલતાનું કાર્ય એ એક ઉકેલ પદ્ધતિના ઉપયોગ પર નહીં, પરંતુ વિવિધ પદ્ધતિઓના સંયોજન પરનું કાર્ય છે. કાર્ય 19 સફળતાપૂર્વક પૂર્ણ કરવા માટે, તમારે પસંદ કરીને ઉકેલ શોધવા માટે સમર્થ હોવા જોઈએ વિવિધ અભિગમોજાણીતા લોકોમાંથી, અભ્યાસ કરેલ પદ્ધતિઓમાં ફેરફાર કરીને.

દો એસ.એનસરવાળો પીઅંકગણિત પ્રગતિની શરતો ( એક પી). તે જાણીતું છે એસ એન + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) સૂત્ર આપો પીઆ પ્રગતિની મી મુદત.

b) સૌથી નાનો સંપૂર્ણ સરવાળો શોધો એસ એન.

c) સૌથી નાનું શોધો પી, જેના પર એસ એનપૂર્ણાંકનો વર્ગ હશે.

ઉકેલ: a) તે સ્પષ્ટ છે કે એક એન = એસ એન – એસ એન- 1. આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમને મળે છે:

એસ એન = એસ (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

એસ એન – 1 = એસ (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

અર્થ, એક એન = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

બી) ત્યારથી એસ એન = 2n 2 – 25n, પછી કાર્યને ધ્યાનમાં લો એસ(x) = | 2x 2 – 25x|. તેનો ગ્રાફ આકૃતિમાં જોઈ શકાય છે.

દેખીતી રીતે, સૌથી નાનું મૂલ્ય કાર્યના શૂન્યની સૌથી નજીક સ્થિત પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર પ્રાપ્ત થાય છે. દેખીતી રીતે આ બિંદુઓ છે એક્સ= 1, એક્સ= 12 અને એક્સ= 13. ત્યારથી, એસ(1) = |એસ 1 | = |2 – 25| = 23, એસ(12) = |એસ 12 | = |2 · 144 - 25 · 12| = 12, એસ(13) = |એસ 13 | = |2 · 169 - 25 · 13 | = 13, પછી સૌથી નાનું મૂલ્ય 12 છે.

c) પાછલા ફકરામાંથી તે અનુસરે છે એસ.એનહકારાત્મક, થી શરૂ થાય છે n= 13. ત્યારથી એસ એન = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), પછી સ્પષ્ટ કેસ, જ્યારે આ અભિવ્યક્તિ સંપૂર્ણ ચોરસ છે, ત્યારે સમજાય છે n = 2n– 25, એટલે કે, ખાતે પી= 25.

તે 13 થી 25 સુધીના મૂલ્યોને તપાસવાનું બાકી છે:

એસ 13 = 13 1, એસ 14 = 14 3, એસ 15 = 15 5, એસ 16 = 16 7, એસ 17 = 17 9, એસ 18 = 18 11, એસ 19 = 19 13, એસ 20 = 20 13, એસ 21 = 21 17, એસ 22 = 22 19, એસ 23 = 23 21, એસ 24 = 24 23.

તે તારણ આપે છે કે નાના મૂલ્યો માટે પીસંપૂર્ણ ચોરસ પ્રાપ્ત થયો નથી.

જવાબ:અ) એક એન = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

*મે 2017 થી, સંયુક્ત પ્રકાશન જૂથ "DROFA-VENTANA" રશિયન પાઠ્યપુસ્તક નિગમનો ભાગ છે. કોર્પોરેશનમાં એસ્ટ્રેલ પબ્લિશિંગ હાઉસ અને LECTA ડિજિટલ શૈક્ષણિક પ્લેટફોર્મનો પણ સમાવેશ થાય છે. જનરલ ડિરેક્ટરરશિયન ફેડરેશનની સરકાર હેઠળના નાણાકીય એકેડેમીના સ્નાતક, આર્થિક વિજ્ઞાનના ઉમેદવાર, વડા, એલેક્ઝાન્ડર બ્રીકિનની નિમણૂક કરી નવીન પ્રોજેક્ટ્સડિજિટલ શિક્ષણના ક્ષેત્રમાં પ્રકાશન ગૃહ "DROFA" (પાઠ્યપુસ્તકોના ઇલેક્ટ્રોનિક સ્વરૂપો, "રશિયન ઇલેક્ટ્રોનિક શાળા", ડિજિટલ શૈક્ષણિક પ્લેટફોર્મ LECTA). DROFA પબ્લિશિંગ હાઉસમાં જોડાતા પહેલા, તેમણે EKSMO-AST ધરાવતા પ્રકાશનના વ્યૂહાત્મક વિકાસ અને રોકાણ માટે વાઇસ પ્રેસિડેન્ટનું પદ સંભાળ્યું હતું. આજે, પ્રકાશન નિગમ "રશિયન પાઠ્યપુસ્તક" પાસે ફેડરલ સૂચિમાં સમાવિષ્ટ પાઠયપુસ્તકોનો સૌથી મોટો પોર્ટફોલિયો છે - 485 શીર્ષકો (લગભગ 40%, ખાસ શાળાઓ માટેના પાઠ્યપુસ્તકોને બાદ કરતાં). કોર્પોરેશનના પ્રકાશન ગૃહો પાસે રશિયન શાળાઓમાં ભૌતિકશાસ્ત્ર, ચિત્ર, જીવવિજ્ઞાન, રસાયણશાસ્ત્ર, ટેકનોલોજી, ભૂગોળ, ખગોળશાસ્ત્ર - જ્ઞાનના ક્ષેત્રો કે જે દેશની ઉત્પાદક સંભવિતતાના વિકાસ માટે જરૂરી છે તેવા સૌથી લોકપ્રિય પાઠ્યપુસ્તકો ધરાવે છે. કોર્પોરેશનના પોર્ટફોલિયોમાં પાઠ્યપુસ્તકો અને શિક્ષણ સહાયમાટે પ્રાથમિક શાળા, શિક્ષણ ક્ષેત્રે રાષ્ટ્રપતિ પુરસ્કાર એનાયત. આ વિષય ક્ષેત્રોમાં પાઠયપુસ્તકો અને માર્ગદર્શિકાઓ છે જે રશિયાની વૈજ્ઞાનિક, તકનીકી અને ઉત્પાદન ક્ષમતાના વિકાસ માટે જરૂરી છે.