સ્પર્શક સમીકરણ શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ. ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટર. આપેલ બિંદુ પર ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સીધી સ્પર્શકનું સમીકરણ

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

જ્યારે તમે સાઇટ પર વિનંતી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે એકત્રિત કરી શકીએ છીએ વિવિધ માહિતી, તમારું નામ, ફોન નંબર, સરનામું સહિત ઈમેલવગેરે

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અમે આંતરિક હેતુઓ માટે પણ વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને બહેતર બનાવવા અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયા, કાનૂની કાર્યવાહી અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા વિનંતીઓના આધારે સરકારી એજન્સીઓરશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશ પર - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરો. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી અંગત માહિતી સુરક્ષિત છે તેની ખાતરી કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોની વાત કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

ફંકશન f આપવા દો, જે અમુક બિંદુએ x 0 પાસે મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન f (x 0) છે. પછી બિંદુ (x 0 ; f (x 0))માંથી પસાર થતી સીધી રેખા, કોણીય ગુણાંક f’ (x 0) ધરાવે છે, તેને સ્પર્શક કહેવાય છે.

જો વ્યુત્પન્ન બિંદુ x 0 પર અસ્તિત્વમાં ન હોય તો શું થશે? ત્યાં બે વિકલ્પો છે:

ગ્રાફમાં પણ કોઈ સ્પર્શક નથી. ઉત્તમ ઉદાહરણ ફંક્શન y = |x | છે બિંદુ પર (0; 0).
સ્પર્શક ઊભી બને છે. આ સાચું છે, ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ (1; π /2) પર કાર્ય y = arcsin x માટે.

સ્પર્શક સમીકરણ

કોઈપણ બિન-ઊભી સીધી રેખા ફોર્મ y = kx + b ના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં k એ ઢોળાવ છે. સ્પર્શક કોઈ અપવાદ નથી, અને અમુક બિંદુ x 0 પર તેનું સમીકરણ કંપોઝ કરવા માટે, આ બિંદુએ ફંક્શન અને ડેરિવેટિવનું મૂલ્ય જાણવું પૂરતું છે.

તેથી, એક ફંક્શન y = f (x) આપવા દો, જે સેગમેન્ટ પર વ્યુત્પન્ન y = f’ (x) ધરાવે છે. પછી કોઈપણ બિંદુએ x 0 ∈ (a; b) એક સ્પર્શકને આ ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરી શકાય છે, જે સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:

y = f’ (x 0) (x − x 0) + f (x 0)

અહીં f’ (x 0) એ બિંદુ x 0 પર વ્યુત્પન્નની કિંમત છે, અને f (x 0) એ ફંક્શનની જ કિંમત છે.

કાર્ય. ફંક્શન y = x 3 આપેલ છે. બિંદુ x 0 = 2 પર આ ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શક માટે સમીકરણ લખો.

સ્પર્શક સમીકરણ: y = f’ (x 0) · (x − x 0) + f (x 0). બિંદુ x 0 = 2 આપણને આપવામાં આવ્યો છે, પરંતુ મૂલ્યો f (x 0) અને f’ (x 0) ની ગણતરી કરવી પડશે.

પ્રથમ, ચાલો ફંક્શનની કિંમત શોધીએ. અહીં બધું સરળ છે: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
હવે ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
અમે ડેરિવેટિવમાં x 0 = 2 ને બદલીએ છીએ: f’(x 0) = f’ (2) = 3 2 2 = 12;
કુલ મળીને આપણને મળે છે: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
આ સ્પર્શક સમીકરણ છે.

કાર્ય. બિંદુ x 0 = π /2 પર ફંક્શન f (x) = 2sin x + 5 ના ગ્રાફના સ્પર્શક માટે સમીકરણ લખો.

આ વખતે અમે દરેક ક્રિયાનું વિગતવાર વર્ણન કરીશું નહીં - અમે ફક્ત મુખ્ય પગલાં સૂચવીશું. અમારી પાસે:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f’ (x 0) = f’ (π /2) = 2cos (π /2) = 0;

સ્પર્શક સમીકરણ:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

પછીના કિસ્સામાં, સીધી રેખા આડી હોવાનું બહાર આવ્યું છે, કારણ કે તેના કોણીય ગુણાંક k = 0. આમાં કંઈ ખોટું નથી - અમે માત્ર એક અંતિમ બિંદુ પર ઠોકર ખાધી છે.

ચાલુ આધુનિક તબક્કોશિક્ષણનો વિકાસ, તેના મુખ્ય કાર્યોમાંનું એક સર્જનાત્મક વિચારસરણીના વ્યક્તિત્વની રચના છે. વિદ્યાર્થીઓમાં સર્જનાત્મકતાની ક્ષમતા ત્યારે જ વિકસિત થઈ શકે છે જો તેઓ સંશોધન પ્રવૃત્તિઓની મૂળભૂત બાબતોમાં વ્યવસ્થિત રીતે સામેલ હોય. વિદ્યાર્થીઓને તેમની સર્જનાત્મક શક્તિઓ, ક્ષમતાઓ અને પ્રતિભાઓનો ઉપયોગ કરવા માટેનો પાયો સંપૂર્ણ જ્ઞાન અને કૌશલ્યોથી રચાય છે. આ સંદર્ભે, દરેક વિષય માટે મૂળભૂત જ્ઞાન અને કૌશલ્યની સિસ્ટમ બનાવવાની સમસ્યા શાળા અભ્યાસક્રમગણિતનું કોઈ નાનું મહત્વ નથી. તે જ સમયે, સંપૂર્ણ કૌશલ્ય એ વ્યક્તિગત કાર્યોનો નહીં, પરંતુ તેમની કાળજીપૂર્વક વિચારેલી સિસ્ટમનો ઉપદેશાત્મક ધ્યેય હોવો જોઈએ. વ્યાપક અર્થમાં, સિસ્ટમને અખંડિતતા અને સ્થિર માળખું ધરાવતા એકબીજા સાથે જોડાયેલા ક્રિયાપ્રતિક્રિયા તત્વોના સમૂહ તરીકે સમજવામાં આવે છે.

ચાલો વિદ્યાર્થીઓને ફંક્શનના ગ્રાફમાં સ્પર્શક માટે સમીકરણ કેવી રીતે લખવું તે શીખવવા માટેની તકનીકનો વિચાર કરીએ. આવશ્યકપણે, સ્પર્શક સમીકરણ શોધવાની તમામ સમસ્યાઓ ચોક્કસ જરૂરિયાતને સંતોષતી રેખાઓના સમૂહ (બંડલ, કુટુંબ)માંથી પસંદ કરવાની જરૂરિયાત પર આવે છે - તે ચોક્કસ કાર્યના ગ્રાફ માટે સ્પર્શક છે. આ કિસ્સામાં, રેખાઓનો સમૂહ જેમાંથી પસંદગી કરવામાં આવે છે તે બે રીતે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે:

a) xOy પ્લેન પર પડેલો એક બિંદુ (રેખાઓની મધ્ય પેન્સિલ);
b) કોણીય ગુણાંક (સીધી રેખાઓનો સમાંતર બીમ).

આ સંદર્ભે, જ્યારે સિસ્ટમના તત્વોને અલગ કરવા માટે "ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક" વિષયનો અભ્યાસ કરતા હતા, ત્યારે અમે બે પ્રકારની સમસ્યાઓ ઓળખી:

1) બિંદુ કે જેના દ્વારા તે પસાર થાય છે તે દ્વારા આપવામાં આવેલ સ્પર્શક પરની સમસ્યાઓ;
2) તેના ઢોળાવ દ્વારા આપવામાં આવેલ સ્પર્શક પર સમસ્યાઓ.

એ.જી. દ્વારા પ્રસ્તાવિત અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને સ્પર્શક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની તાલીમ હાથ ધરવામાં આવી હતી. મોર્ડકોવિચ. તેમના મૂળભૂત તફાવતજેઓ પહેલાથી જ જાણીતા છે તેમાંથી એ છે કે સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુનો એબ્સીસા એ અક્ષર a (x0 ને બદલે) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને તેથી સ્પર્શકનું સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)) સાથે સરખામણી કરો. આ પદ્ધતિસરની તકનીક, અમારા મતે, વિદ્યાર્થીઓને ઝડપથી અને સરળતાથી સમજવા માટે પરવાનગી આપે છે કે વર્તમાન બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ ક્યાં લખેલા છે. સામાન્ય સ્પર્શક સમીકરણ, અને સંપર્કના બિંદુઓ ક્યાં છે.

ફંક્શન y = f(x) ના ગ્રાફમાં સ્પર્શક સમીકરણ કંપોઝ કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ

1. અક્ષર a સાથે સ્પર્શ બિંદુના એબ્સીસાને નિયુક્ત કરો.
2. f(a) શોધો.
3. f "(x) અને f "(a) શોધો.
4. મળેલ સંખ્યાઓ a, f(a), f "(a) ને સામાન્ય સ્પર્શક સમીકરણ y = f(a) = f "(a)(x – a) માં બદલો.

આ અલ્ગોરિધમ વિદ્યાર્થીઓની કામગીરીની સ્વતંત્ર ઓળખ અને તેમના અમલીકરણના ક્રમના આધારે સંકલિત કરી શકાય છે.

પ્રેક્ટિસ બતાવે છે કે એલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને દરેક મુખ્ય સમસ્યાનો ક્રમિક ઉકેલ તમને તબક્કાવાર ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શકના સમીકરણને લખવાની કુશળતા વિકસાવવાની મંજૂરી આપે છે, અને અલ્ગોરિધમના પગલાં ક્રિયાઓ માટે સંદર્ભ બિંદુ તરીકે સેવા આપે છે. . આ અભિગમ સિદ્ધાંત સાથે સુસંગત છે ક્રમિક રચના P.Ya દ્વારા વિકસિત માનસિક ક્રિયાઓ. ગેલ્પરિન અને એન.એફ. તાલિઝિના.

પ્રથમ પ્રકારના કાર્યોમાં, બે મુખ્ય કાર્યો ઓળખવામાં આવ્યા હતા:

સ્પર્શક વળાંક પર પડેલા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે (સમસ્યા 1);
સ્પર્શક એવા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે જે વળાંક પર ન હોય (સમસ્યા 2).

કાર્ય 1. ફંક્શનના ગ્રાફમાં સ્પર્શક માટે સમીકરણ લખો બિંદુ M(3; – 2) પર.

ઉકેલ. બિંદુ M(3; – 2) એક સ્પર્શ બિંદુ છે, ત્યારથી

1. a = 3 – સ્પર્શક બિંદુનો એબ્સીસા.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – સ્પર્શક સમીકરણ.

સમસ્યા 2. બિંદુ M(– 3; 6) માંથી પસાર થતા કાર્ય y = – x 2 – 4x + 2 ના ગ્રાફ પર તમામ સ્પર્શકોના સમીકરણો લખો.

ઉકેલ. બિંદુ M(– 3; 6) એ સ્પર્શ બિંદુ નથી, કારણ કે f(– 3) 6 (ફિગ. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – સ્પર્શક સમીકરણ.

સ્પર્શક M(– 3; 6) બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, તેથી, તેના કોઓર્ડિનેટ્સ સ્પર્શક સમીકરણને સંતોષે છે.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

જો a = – 4 હોય, તો સ્પર્શક સમીકરણ y = 4x + 18 છે.

જો a = – 2 હોય, તો સ્પર્શક સમીકરણનું સ્વરૂપ y = 6 છે.

બીજા પ્રકારમાં, મુખ્ય કાર્યો નીચે મુજબ હશે:

સ્પર્શક અમુક રેખાની સમાંતર છે (સમસ્યા 3);
સ્પર્શક ચોક્કસ ખૂણા પર આપેલ રેખા તરફ જાય છે (સમસ્યા 4).

સમસ્યા 3. y = x 3 – 3x 2 + 3, રેખા y = 9x + 1 ની સમાંતર, ફંક્શનના ગ્રાફ પર તમામ સ્પર્શકોના સમીકરણો લખો.

1. a – સ્પર્શક બિંદુનો એબ્સીસા.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

પરંતુ, બીજી બાજુ, f "(a) = 9 (સમાંતર સ્થિતિ). આનો અર્થ એ છે કે આપણે સમીકરણ 3a 2 – 6a = 9 હલ કરવાની જરૂર છે. તેના મૂળ a = – 1, a = 3 (ફિગ. 3) છે. ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – સ્પર્શક સમીકરણ;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – સ્પર્શક સમીકરણ.

સમસ્યા 4. ફંક્શન y = 0.5x 2 – 3x + 1 ના ગ્રાફ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ લખો, સીધી રેખા y = 0 (ફિગ. 4) ને 45° ના ખૂણા પર પસાર કરો.

ઉકેલ. શરત f "(a) = tan 45° થી આપણે a: a – 3 = 1 ^ a = 4 શોધીએ છીએ.

1. a = 4 – સ્પર્શક બિંદુનો એબ્સીસા.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – સ્પર્શક સમીકરણ.

તે બતાવવાનું સરળ છે કે અન્ય કોઈપણ સમસ્યાનું નિરાકરણ એક અથવા વધુ મુખ્ય સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે નીચે આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે નીચેની બે સમસ્યાઓનો વિચાર કરો.

1. સ્પર્શકના સમીકરણો પેરાબોલા y = 2x 2 – 5x – 2 પર લખો, જો સ્પર્શક કાટખૂણો પર છેદે છે અને તેમાંથી એક એબ્સિસા 3 (ફિગ. 5) સાથે બિંદુ પર પેરાબોલાને સ્પર્શે છે.

ઉકેલ. સ્પર્શક બિંદુનું એબ્સીસા આપવામાં આવ્યું હોવાથી, સોલ્યુશનનો પ્રથમ ભાગ મુખ્ય સમસ્યા 1 માં ઘટાડી દેવામાં આવ્યો છે.

1. a = 3 – કાટખૂણાની બાજુઓમાંથી એકના સ્પર્શક બિંદુનો એબ્સીસા.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – પ્રથમ સ્પર્શકનું સમીકરણ.

પ્રથમ સ્પર્શકના ઝોકનો કોણ બનવા દો. સ્પર્શક કાટખૂણે હોવાથી, બીજી સ્પર્શકના ઝોકનો કોણ છે. પ્રથમ સ્પર્શકના y = 7x – 20 સમીકરણમાંથી આપણી પાસે tg a = 7 છે. ચાલો આપણે શોધીએ

આનો અર્થ એ થયો કે બીજી સ્પર્શકનો ઢાળ બરાબર છે.

આગળનો ઉકેલ મુખ્ય કાર્ય 3 પર આવે છે.

B(c; f(c)) એ બીજી લીટીના સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ હોવા દો, પછી

1. - સ્પર્શેન્દ્રિયના બીજા બિંદુનો અસ્પષ્ટ.
2.
3.
4.
- બીજા સ્પર્શકનું સમીકરણ.

નૉૅધ. સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક વધુ સરળતાથી શોધી શકાય છે જો વિદ્યાર્થીઓ લંબ રેખાઓના ગુણોત્તર k 1 k 2 = – 1 જાણતા હોય.

2. ફંક્શનના આલેખ પર તમામ સામાન્ય સ્પર્શકોના સમીકરણો લખો

ઉકેલ. સમસ્યા સામાન્ય સ્પર્શકના સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુઓના એબ્સીસા શોધવામાં આવે છે, એટલે કે, મુખ્ય સમસ્યા 1 માં ઉકેલવા માટે સામાન્ય દૃશ્ય, સમીકરણોની સિસ્ટમ અને તેના અનુગામી ઉકેલો (ફિગ. 6) દોરે છે.

1. ફંક્શન y = x 2 + x + 1 ના આલેખ પર આવેલા સ્પર્શબિંદુનો એબ્સીસા ગણો.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. ફંક્શનના આલેખ પર આવેલા સ્પર્શબિંદુના અબ્સ્કિસા તરીકે c ને ચાલો
2.
3. f "(c) = c.
4.

સ્પર્શકો સામાન્ય હોવાથી, પછી

તેથી y = x + 1 અને y = – 3x – 3 એ સામાન્ય સ્પર્શક છે.

ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલા કાર્યોનો મુખ્ય ધ્યેય વિદ્યાર્થીઓને વધુ જટિલ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે મુખ્ય સમસ્યાના પ્રકારને સ્વતંત્ર રીતે ઓળખવા માટે તૈયાર કરવાનું છે જેમાં ચોક્કસ સંશોધન કૌશલ્યો (વિશ્લેષણ, સરખામણી, સામાન્યીકરણ, પૂર્વધારણા આગળ મૂકવાની ક્ષમતા વગેરે) ની જરૂર હોય છે. આવા કાર્યોમાં કોઈપણ કાર્યનો સમાવેશ થાય છે જેમાં મુખ્ય કાર્ય એક ઘટક તરીકે સમાવિષ્ટ હોય. ચાલો ઉદાહરણ તરીકે તેના સ્પર્શકોના પરિવારમાંથી ફંક્શન શોધવાની સમસ્યા (સમસ્યા 1 થી વિપરીત)ને ધ્યાનમાં લઈએ.

3. y = x 2 + bx + c ફંક્શનના ગ્રાફ માટે b અને c એ રેખાઓ y = x અને y = – 2x સ્પર્શક કયા માટે છે?

ચાલો t એ પેરાબોલા y = x 2 + bx + c સાથે સીધી રેખા y = x ના સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુના એબ્સીસા છે; p એ પેરાબોલા y = x 2 + bx + c સાથેની સીધી રેખા y = – 2x ના સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુનો એબ્સીસા છે. પછી સ્પર્શક સમીકરણ y = x ફોર્મ લેશે y = (2t + b)x + c – t 2 , અને સ્પર્શક સમીકરણ y = – 2x ફોર્મ લેશે y = (2p + b)x + c – p 2 .

ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ અને હલ કરીએ

જવાબ:

વિડિઓ પાઠ "ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ" દર્શાવે છે શૈક્ષણિક સામગ્રીવિષયમાં નિપુણતા મેળવવા માટે. વિડિઓ પાઠ દરમિયાન, આપેલ બિંદુ પર ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શકના સમીકરણની વિભાવના ઘડવા માટે જરૂરી સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી, આવી સ્પર્શક શોધવા માટેનું અલ્ગોરિધમ, અને અભ્યાસ કરેલ સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ હલ કરવાના ઉદાહરણોનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે. .

વિડિયો ટ્યુટોરીયલ એવી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરે છે જે સામગ્રીની સ્પષ્ટતામાં સુધારો કરે છે. પ્રસ્તુતિમાં રેખાંકનો, આકૃતિઓ, મહત્વપૂર્ણ વૉઇસ ટિપ્પણીઓ, એનિમેશન, હાઇલાઇટિંગ અને અન્ય સાધનોનો સમાવેશ થાય છે.

વિડિઓ પાઠની શરૂઆત પાઠના વિષયની રજૂઆત અને M(a;f(a)) બિંદુ પર અમુક કાર્ય y=f(x) ના ગ્રાફની સ્પર્શકની છબી સાથે થાય છે. તે જાણીતું છે કે આપેલ બિંદુ પર ગ્રાફ પર રચાયેલ સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક આ બિંદુએ ફંક્શન f΄(a) ના વ્યુત્પન્ન સમાન છે. બીજગણિત કોર્સમાંથી પણ આપણે સીધી રેખા y=kx+m નું સમીકરણ જાણીએ છીએ. બિંદુ પર સ્પર્શક સમીકરણ શોધવાની સમસ્યાનો ઉકેલ યોજનાકીય રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે, જે k, m ગુણાંક શોધવામાં ઘટાડો કરે છે. ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે જોડાયેલા બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને જાણીને, આપણે સંકલન મૂલ્યને સ્પર્શક સમીકરણ f(a)=ka+m માં બદલીને m શોધી શકીએ છીએ. તેમાંથી આપણે m=f(a)-ka શોધીએ છીએ. આમ, આપેલ બિંદુ પર વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય અને બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને જાણીને, આપણે સ્પર્શક સમીકરણને y=f(a)+f΄(a)(x-a) આ રીતે રજૂ કરી શકીએ છીએ.

રેખાકૃતિને અનુસરીને સ્પર્શક સમીકરણ કંપોઝ કરવાનું ઉદાહરણ નીચે મુજબ છે. y=x 2 , x=-2 ફંક્શન આપેલ છે. a=-2 લેતા, આપણે આપેલ બિંદુ f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4 પર ફંક્શનની કિંમત શોધીએ છીએ. અમે f΄(x)=2x ફંક્શનનું ડેરિવેટિવ નક્કી કરીએ છીએ. આ બિંદુએ વ્યુત્પન્ન f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4 બરાબર છે. સમીકરણ કંપોઝ કરવા માટે, બધા ગુણાંક a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 મળ્યા હતા, તેથી સ્પર્શક સમીકરણ y=4+(-4)(x+2) છે. સમીકરણને સરળ બનાવતા, આપણને y = -4-4x મળે છે.

IN નીચેના ઉદાહરણફંક્શન y=tgx ના ગ્રાફના મૂળ પરના સ્પર્શક માટે સમીકરણ બનાવવાનો પ્રસ્તાવ છે. આપેલ બિંદુ પર a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. તેથી સ્પર્શક સમીકરણ y=x જેવું દેખાય છે.

સામાન્યીકરણ તરીકે, ચોક્કસ બિંદુએ ફંક્શનના ગ્રાફમાં સમીકરણ સ્પર્શક કંપોઝ કરવાની પ્રક્રિયા 4 પગલાંઓ ધરાવતા અલ્ગોરિધમના સ્વરૂપમાં ઔપચારિક છે:

સ્પર્શ બિંદુના એબ્સીસા માટે હોદ્દો a દાખલ કરો;
f(a) ની ગણતરી કરવામાં આવે છે;
f΄(x) નક્કી થાય છે અને f΄(a) ની ગણતરી થાય છે. a, f(a), f΄(a) ના મળેલ મૂલ્યોને સ્પર્શક સમીકરણ સૂત્ર y=f(a)+f΄(a)(x-a) માં બદલવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 1 એ બિંદુ x=1 પર y=1/x ફંક્શનના ગ્રાફમાં સ્પર્શક સમીકરણની રચના કરવાનું ધ્યાનમાં લે છે. સમસ્યાને ઉકેલવા માટે અમે અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. બિંદુ a=1 પર આપેલ ફંક્શન માટે, ફંકશનની કિંમત f(a)=-1. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન f΄(x)=1/x 2. બિંદુ a=1 પર વ્યુત્પન્ન f΄(a)= f΄(1)=1. પ્રાપ્ત ડેટાનો ઉપયોગ કરીને, સ્પર્શક સમીકરણ y=-1+(x-1), અથવા y=x-2, દોરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 2 માં, ફંક્શન y=x 3 +3x 2 -2x-2 ના ગ્રાફના સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધવાનું જરૂરી છે. મુખ્ય શરત એ સ્પર્શક અને સીધી રેખા y=-2x+1ની સમાંતરતા છે. પ્રથમ, આપણે સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક શોધીએ છીએ, જે સીધી રેખા y=-2x+1 ના કોણીય ગુણાંક સમાન છે. આપેલ રેખા માટે f΄(a)=-2 હોવાથી, પછી ઇચ્છિત સ્પર્શક માટે k=-2. આપણે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. f΄(a)=-2 એ જાણીને, આપણે બિંદુ 3a 2 +6a-2=-2 ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ છીએ. સમીકરણ હલ કર્યા પછી, આપણને 1 =0 અને 2 =-2 મળે છે. મળેલા કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને, તમે જાણીતા અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને સ્પર્શક સમીકરણ શોધી શકો છો. આપણે f(a 1)=-2, f(a 2)=-18 પોઈન્ટ પર ફંક્શનની કિંમત શોધીએ છીએ. બિંદુ f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2 પર વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય. મળેલા મૂલ્યોને સ્પર્શક સમીકરણમાં બદલીને, આપણે પ્રથમ બિંદુ a 1 =0 y=-2x-2 માટે અને બીજા બિંદુ a 2 =-2 માટે સ્પર્શક સમીકરણ y=-2x-22 મેળવીએ છીએ.

ઉદાહરણ 3 એ ફંક્શન y=√x ના ગ્રાફ પર બિંદુ (0;3) પર દોરવા માટે સ્પર્શક સમીકરણની રચનાનું વર્ણન કરે છે. ઉકેલ જાણીતા અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે. સ્પર્શ બિંદુમાં x=a સંકલન છે, જ્યાં a>0. બિંદુ f(a)=√x પર ફંક્શનનું મૂલ્ય. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન f΄(х)=1/2√х, તેથી આપેલ બિંદુ પર f΄(а)=1/2√а. તમામ પ્રાપ્ત મૂલ્યોને સ્પર્શક સમીકરણમાં બદલીને, આપણે y = √a + (x-a)/2√a મેળવીએ છીએ. સમીકરણનું રૂપાંતર કરવાથી, આપણને y=x/2√а+√а/2 મળે છે. સ્પર્શક બિંદુ (0;3)માંથી પસાર થાય છે તે જાણીને, આપણે a નું મૂલ્ય શોધીએ છીએ. આપણે 3=√a/2 માંથી a શોધીએ છીએ. તેથી √a=6, a=36. આપણને સ્પર્શક સમીકરણ y=x/12+3 મળે છે. આકૃતિ વિચારણા હેઠળના કાર્યનો આલેખ અને રચાયેલ ઇચ્છિત સ્પર્શક દર્શાવે છે.

વિદ્યાર્થીઓને અંદાજિત સમાનતાઓ Δy=≈f΄(x)Δxand f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx યાદ કરાવવામાં આવે છે. x=a, x+Δx=x, Δx=x-a લેવાથી, આપણને f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a) મળે છે, તેથી f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

ઉદાહરણ 4 માં, અભિવ્યક્તિ 2.003 6 નું અંદાજિત મૂલ્ય શોધવાનું જરૂરી છે. x=2.003 બિંદુ પર ફંક્શન f(x)=x 6 ની કિંમત શોધવી જરૂરી હોવાથી, આપણે જાણીતા ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ, f(x)=x 6, a=2, f(a). )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. બિંદુ f΄(2)=192 પર વ્યુત્પન્ન. તેથી, 2.003 6 ≈65-192·0.003. અભિવ્યક્તિની ગણતરી કર્યા પછી, આપણને 2.003 6 ≈64.576 મળે છે.

શાળામાં પરંપરાગત ગણિતના પાઠમાં ઉપયોગ કરવા માટે વિડિયો પાઠ "ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ"ની ભલામણ કરવામાં આવે છે. દૂરથી શીખવતા શિક્ષક માટે, વિડિયો સામગ્રી વિષયને વધુ સ્પષ્ટ રીતે સમજાવવામાં મદદ કરશે. જો જરૂરી હોય તો વિદ્યાર્થીઓને વિષયની તેમની સમજને વધુ ઊંડી બનાવવા માટે સ્વતંત્ર રીતે સમીક્ષા કરવા માટે વિડિઓની ભલામણ કરી શકાય છે.

ટેક્સ્ટ ડીકોડિંગ:

આપણે જાણીએ છીએ કે જો બિંદુ M (a; f(a)) (a માંથી a અને ef કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે) ફંક્શન y = f (x) ના ગ્રાફ સાથે સંબંધિત હોય અને જો આ બિંદુએ સ્પર્શક દોરવાનું શક્ય હોય તો ફંક્શનના ગ્રાફ પર કે જે અક્ષ એબ્સીસાને લંબરૂપ નથી, તો સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક f"(a) (a માંથી eff પ્રાઇમ) ની બરાબર છે.

ફંક્શન y = f(x) અને બિંદુ M (a; f(a)) આપવા દો, અને તે પણ જાણીતું છે કે f´(a) અસ્તિત્વમાં છે. ચાલો ગ્રાફના સ્પર્શક માટે સમીકરણ બનાવીએ આપેલ કાર્યઆપેલ બિંદુ પર. આ સમીકરણ, કોઈપણ સીધી રેખાના સમીકરણની જેમ કે જે ઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર નથી, તેનું સ્વરૂપ y = kx+m છે (y એ ka x વત્તા em બરાબર છે), તેથી કાર્ય એનાં મૂલ્યો શોધવાનું છે ગુણાંક k અને m (ka અને em)

કોણ ગુણાંક k= f"(a). m ની કિંમતની ગણતરી કરવા માટે, અમે એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ કે ઇચ્છિત સીધી રેખા બિંદુ M(a; f (a))માંથી પસાર થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે જો આપણે કોઓર્ડિનેટ્સને બદલીએ. સીધી રેખાના સમીકરણમાં M ને નિર્દેશ કરો, આપણે સાચી સમાનતા મેળવીએ છીએ : f(a) = ka+m, જ્યાંથી આપણે શોધીએ છીએ કે m = f(a) - ka.

તે સીધી રેખાના સમીકરણમાં ki અને m ગુણાંકના મળેલા મૂલ્યોને બદલવાનું બાકી છે:

y = kx+(f(a)-ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= f(a)+ f"(a) (x- a). ( y એ a માંથી વત્તા ef પ્રાઇમ માંથી ef બરાબર છે, x ઓછા a દ્વારા ગુણાકાર).

આપણે x=a બિંદુ પર ફંક્શન y = f(x) ના ગ્રાફના સ્પર્શક માટેનું સમીકરણ મેળવ્યું છે.

જો, કહો, y = x 2 અને x = -2 (એટલે કે a = -2), તો f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, જેનો અર્થ થાય છે f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. x એ બે x બરાબર છે, જેનો અર્થ થાય છે ef પ્રાઇમ એ બરાબર બાદબાકી ચાર)

મળેલ મૂલ્યો a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 ને સમીકરણમાં બદલીને, આપણે મેળવીએ છીએ: y = 4+(-4)(x+2), એટલે કે y = -4x -4.

(E બરાબર છે માઈનસ ચાર x ઓછા ચાર)

ચાલો મૂળ પર ફંક્શન y = tanx (y એ સ્પર્શક x બરાબર છે) ના ગ્રાફના સ્પર્શક માટે એક સમીકરણ બનાવીએ. અમારી પાસે છે: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , જેનો અર્થ છે f"(0) = l. મળેલ મૂલ્યો a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 ને સમીકરણમાં બદલીને, આપણને મળે છે: y=x.

ચાલો અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને પોઈન્ટ x પર ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શકના સમીકરણને શોધવા માટેના અમારા પગલાઓનો સારાંશ આપીએ.

ફંક્શન y = f(x) ના ગ્રાફની સ્પર્શક માટે એક સમીકરણ વિકસાવવા માટે અલ્ગોરિધમ:

1) અક્ષર a સાથે સ્પર્શબિંદુના એબ્સીસાને નિયુક્ત કરો.

2) f(a) ની ગણતરી કરો.

3) f´(x) શોધો અને f´(a) ની ગણતરી કરો.

4) મળેલી સંખ્યાઓ a, f(a), f´(a) ને સૂત્રમાં બદલો y= f(a)+ f"(a) (x- a).

ઉદાહરણ 1. ફંક્શન y = - in ના ગ્રાફના સ્પર્શક માટે સમીકરણ બનાવો

બિંદુ x = 1.

ઉકેલ. ચાલો એલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીએ, તે ધ્યાનમાં લેતા આ ઉદાહરણમાં

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) મળેલી ત્રણ સંખ્યાઓને બદલીએ: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 સૂત્રમાં. આપણને મળે છે: y = -1+(x-1), y = x-2 .

જવાબ: y = x-2.

ઉદાહરણ 2. ફંક્શન y = આપેલ છે x 3 +3x 2 -2x-2. ફંક્શન y = f(x), સીધી રેખા y = -2x +1 ના સમાંતર ગ્રાફ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ લખો.

સ્પર્શક સમીકરણ કંપોઝ કરવા માટે અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને, અમે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ કે આ ઉદાહરણમાં f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, પરંતુ સ્પર્શબિંદુનો એબ્સીસા અહીં દર્શાવાયો નથી.

ચાલો આ રીતે વિચારવાનું શરૂ કરીએ. ઇચ્છિત સ્પર્શક સીધી રેખા y = -2x+1 ની સમાંતર હોવી જોઈએ. અને સમાંતર રેખાઓ સમાન કોણીય ગુણાંક ધરાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક આપેલ સીધી રેખાના કોણીય ગુણાંક સમાન છે: k સ્પર્શક. = -2. હોક કેસ. = f"(a). આમ, આપણે f ´(a) = -2 સમીકરણમાંથી a ની કિંમત શોધી શકીએ છીએ.

ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ y=f(x):

f"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;f"(a)= 3a 2 +6a-2.

f"(a) = -2 સમીકરણમાંથી, એટલે કે. 3a 2 +6a-2=-2 આપણે 1 =0, a 2 =-2 શોધીએ છીએ. આનો અર્થ એ થયો કે સમસ્યાની શરતોને સંતોષતા બે સ્પર્શકો છે: એક એબ્સીસા 0 સાથેના બિંદુ પર, બીજો એબ્સીસા -2 સાથેના બિંદુ પર.

હવે તમે અલ્ગોરિધમનો અનુસરી શકો છો.

1) a 1 =0, અને 2 =-2.

2) f(a 1) = 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) મૂલ્યો a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 ને સૂત્રમાં બદલીને, આપણને મળે છે:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 ને ફોર્મ્યુલામાં બદલીને, આપણને મળે છે:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

જવાબ: y=-2x-2, y=-2x+2.

ઉદાહરણ 3. બિંદુથી (0; 3) ફંક્શન y = ના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરો. ઉકેલ. ચાલો સ્પર્શક સમીકરણ કંપોઝ કરવા માટે અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીએ, આ ઉદાહરણમાં f(x) = ધ્યાનમાં લઈએ. નોંધ કરો કે અહીં, ઉદાહરણ 2 ની જેમ, સ્પર્શબિંદુનો એબ્સીસા સ્પષ્ટપણે દર્શાવેલ નથી. તેમ છતાં, અમે અલ્ગોરિધમનું પાલન કરીએ છીએ.

1) x = a એ સ્પર્શેન્દ્રિયના બિંદુનું અબ્સીસા છે; તે સ્પષ્ટ છે કે a >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) a, f(a) = , f"(a) = ની કિંમતોને સૂત્રમાં બદલીને

y=f (a) +f "(a) (x-a), અમને મળે છે:

શરત દ્વારા, સ્પર્શક બિંદુ (0; 3)માંથી પસાર થાય છે. x = 0, y = 3 ને સમીકરણમાં બદલીને, આપણને મળે છે: 3 = , અને પછી =6, a =36.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ ઉદાહરણમાં, અલ્ગોરિધમના માત્ર ચોથા પગલા પર અમે સ્પર્શક બિંદુના એબ્સીસાને શોધવામાં વ્યવસ્થાપિત થયા. મૂલ્ય a =36 ને સમીકરણમાં બદલીને, આપણને મળે છે: y=+3

ફિગ માં. આકૃતિ 1 ધ્યાનમાં લીધેલા ઉદાહરણનું ભૌમિતિક ચિત્ર બતાવે છે: ફંક્શન y = નો ગ્રાફ બાંધવામાં આવ્યો છે, y = +3 સીધી રેખા દોરવામાં આવી છે.

જવાબ: y = +3.

આપણે જાણીએ છીએ કે ફંક્શન y = f(x) માટે, જે બિંદુ x પર વ્યુત્પન્ન ધરાવે છે, અંદાજિત સમાનતા માન્ય છે: Δyf´(x)Δx (ડેલ્ટા y એ ડેલ્ટા x દ્વારા ગુણાકાર x ના eff પ્રાઇમ જેટલો લગભગ સમાન છે)

અથવા, વધુ વિગતમાં, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (x માંથી eff વત્તા ડેલ્ટા x માઈનસ ef એ x માંથી ડેલ્ટા x દ્વારા લગભગ ef પ્રાઇમ બરાબર છે).

વધુ ચર્ચાની સુવિધા માટે, ચાલો સંકેત બદલીએ:

x ને બદલે આપણે લખીશું એ,

x+Δx ને બદલે x લખીશું

Δx ને બદલે આપણે x-a લખીશું.

પછી ઉપર લખેલી અંદાજિત સમાનતા ફોર્મ લેશે:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (x માંથી eff એ a માંથી વત્તા ef પ્રાઇમ માંથી ef લગભગ બરાબર છે, x અને a વચ્ચેના તફાવત દ્વારા ગુણાકાર).

ઉદાહરણ 4: અંદાજિત મૂલ્ય શોધો સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ 2,003 6 .

ઉકેલ. આપણે x = 2.003 બિંદુ પર ફંક્શન y = x 6 ની કિંમત શોધવા વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. ચાલો આ ઉદાહરણમાં f(x)f(a)+f´(a)(x-a) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ, આ ઉદાહરણમાં f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 = 64; x = 2.003, f"(x) = 6x 5 અને તેથી, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

પરિણામે આપણને મળે છે:

2.003 6 64+192· 0.003, એટલે કે 2.003 6 = 64.576.

જો આપણે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીએ, તો આપણને મળે છે:

2,003 6 = 64,5781643...

જેમ તમે જોઈ શકો છો, અંદાજિત ચોકસાઈ તદ્દન સ્વીકાર્ય છે.

ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ

પી. રોમાનોવ, ટી. રોમાનોવા,
મેગ્નિટોગોર્સ્ક,
ચેલ્યાબિન્સ્ક પ્રદેશ

ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ

આ લેખ ITAKA+ હોટેલ કોમ્પ્લેક્સના સમર્થનથી પ્રકાશિત થયો હતો. જ્યારે શિપબિલ્ડર્સ સેવેરોડવિન્સ્ક શહેરમાં રહો છો, ત્યારે તમને અસ્થાયી આવાસ શોધવાની સમસ્યાનો સામનો કરવો પડશે નહીં. , ઓનલાઈન હોટેલ સંકુલ“ITHAKA+” http://itakaplus.ru, તમે દરરોજની ચુકવણી સાથે, કોઈપણ સમયગાળા માટે, શહેરમાં સરળતાથી અને ઝડપથી એપાર્ટમેન્ટ ભાડે લઈ શકો છો.

શિક્ષણના વિકાસના હાલના તબક્કે, તેના મુખ્ય કાર્યોમાંનું એક સર્જનાત્મક વિચારશીલ વ્યક્તિત્વની રચના છે. વિદ્યાર્થીઓમાં સર્જનાત્મકતાની ક્ષમતા ત્યારે જ વિકસિત થઈ શકે છે જો તેઓ સંશોધન પ્રવૃત્તિઓની મૂળભૂત બાબતોમાં વ્યવસ્થિત રીતે સામેલ હોય. વિદ્યાર્થીઓને તેમની સર્જનાત્મક શક્તિઓ, ક્ષમતાઓ અને પ્રતિભાઓનો ઉપયોગ કરવા માટેનો પાયો સંપૂર્ણ જ્ઞાન અને કૌશલ્યોથી રચાય છે. આ સંદર્ભમાં, શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમના દરેક વિષય માટે મૂળભૂત જ્ઞાન અને કૌશલ્યોની સિસ્ટમ બનાવવાની સમસ્યાનું કોઈ નાનું મહત્વ નથી. તે જ સમયે, સંપૂર્ણ કૌશલ્ય એ વ્યક્તિગત કાર્યોનો નહીં, પરંતુ તેમની કાળજીપૂર્વક વિચારેલી સિસ્ટમનો ઉપદેશાત્મક ધ્યેય હોવો જોઈએ. વ્યાપક અર્થમાં, સિસ્ટમને અખંડિતતા અને સ્થિર માળખું ધરાવતા એકબીજા સાથે જોડાયેલા ક્રિયાપ્રતિક્રિયા તત્વોના સમૂહ તરીકે સમજવામાં આવે છે.

a) xOy પ્લેન પર પડેલો એક બિંદુ (રેખાઓની મધ્ય પેન્સિલ);
b) કોણીય ગુણાંક (સીધી રેખાઓનો સમાંતર બીમ).

1) બિંદુ કે જેના દ્વારા તે પસાર થાય છે તે દ્વારા આપવામાં આવેલ સ્પર્શક પરની સમસ્યાઓ;
2) તેના ઢોળાવ દ્વારા આપવામાં આવેલ સ્પર્શક પર સમસ્યાઓ.

એ.જી. દ્વારા પ્રસ્તાવિત અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને સ્પર્શક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની તાલીમ હાથ ધરવામાં આવી હતી. મોર્ડકોવિચ. પહેલાથી જ જાણીતા લોકોથી તેનો મૂળભૂત તફાવત એ છે કે સ્પર્શક બિંદુનો એબ્સીસા એ અક્ષર a (x0 ને બદલે) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને તેથી સ્પર્શક સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

ફંક્શન y = f(x) ના ગ્રાફમાં સ્પર્શક સમીકરણ કંપોઝ કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ

1. અક્ષર a સાથે સ્પર્શ બિંદુના એબ્સીસાને નિયુક્ત કરો.
2. f(a) શોધો.
3. f "(x) અને f "(a) શોધો.
4. મળેલ સંખ્યાઓ a, f(a), f "(a) ને સામાન્ય સ્પર્શક સમીકરણ y = f(a) = f "(a)(x – a) માં બદલો.

પ્રેક્ટિસ બતાવે છે કે એલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને દરેક મુખ્ય સમસ્યાનો ક્રમિક ઉકેલ તમને તબક્કાવાર ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શકના સમીકરણને લખવાની કુશળતા વિકસાવવાની મંજૂરી આપે છે, અને અલ્ગોરિધમના પગલાં ક્રિયાઓ માટે સંદર્ભ બિંદુ તરીકે સેવા આપે છે. . આ અભિગમ P.Ya દ્વારા વિકસિત માનસિક ક્રિયાઓની ક્રમશઃ રચનાના સિદ્ધાંતને અનુરૂપ છે. ગેલ્પરિન અને એન.એફ. તાલિઝિના.

પ્રથમ પ્રકારના કાર્યોમાં, બે મુખ્ય કાર્યો ઓળખવામાં આવ્યા હતા:

સ્પર્શક વળાંક પર પડેલા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે (સમસ્યા 1);
સ્પર્શક એવા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે જે વળાંક પર ન હોય (સમસ્યા 2).

કાર્ય 1. ફંક્શનના ગ્રાફમાં સ્પર્શક માટે સમીકરણ લખો બિંદુ M(3; – 2) પર.

ઉકેલ. બિંદુ M(3; – 2) એક સ્પર્શ બિંદુ છે, ત્યારથી

1. a = 3 – સ્પર્શક બિંદુનો એબ્સીસા.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – સ્પર્શક સમીકરણ.

ઉકેલ. બિંદુ M(– 3; 6) એ સ્પર્શ બિંદુ નથી, કારણ કે f(– 3) 6 (ફિગ. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – સ્પર્શક સમીકરણ.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ એ 1 = – 4, એ 2 = – 2.

જો a = – 4 હોય, તો સ્પર્શક સમીકરણ y = 4x + 18 છે.

જો a = – 2 હોય, તો સ્પર્શક સમીકરણનું સ્વરૂપ y = 6 છે.

બીજા પ્રકારમાં, મુખ્ય કાર્યો નીચે મુજબ હશે:

સ્પર્શક અમુક રેખાની સમાંતર છે (સમસ્યા 3);
સ્પર્શક ચોક્કસ ખૂણા પર આપેલ રેખા તરફ જાય છે (સમસ્યા 4).

ઉકેલ.

1. a – સ્પર્શક બિંદુનો એબ્સીસા.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – સ્પર્શક સમીકરણ;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – સ્પર્શક સમીકરણ.

ઉકેલ. શરત f "(a) = tan 45° થી આપણે a: a – 3 = 1 શોધીએ છીએ^a = 4.

1. a = 4 – સ્પર્શક બિંદુનો એબ્સીસા.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – સ્પર્શક સમીકરણ.

1. a = 3 – કાટખૂણાની બાજુઓમાંથી એકના સ્પર્શક બિંદુનો એબ્સીસા.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – પ્રથમ સ્પર્શકનું સમીકરણ.

ચાલો એ - પ્રથમ સ્પર્શકના ઝોકનો કોણ. સ્પર્શક કાટખૂણે હોવાથી, બીજી સ્પર્શકના ઝોકનો કોણ છે. પ્રથમ સ્પર્શકના y = 7x – 20 સમીકરણમાંથી આપણી પાસે tg છે a = 7. ચાલો શોધીએ

આનો અર્થ એ થયો કે બીજી સ્પર્શકનો ઢાળ બરાબર છે.

આગળનો ઉકેલ મુખ્ય કાર્ય 3 પર આવે છે.

B(c; f(c)) એ બીજી લીટીના સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ હોવા દો, પછી

1. - સ્પર્શેન્દ્રિયના બીજા બિંદુનો અસ્પષ્ટ.
2.
3.
4.
- બીજા સ્પર્શકનું સમીકરણ.

2. ફંક્શનના આલેખ પર તમામ સામાન્ય સ્પર્શકોના સમીકરણો લખો

ઉકેલ. કાર્ય સામાન્ય સ્પર્શકના સ્પર્શબિંદુઓના એબ્સીસાને શોધવાનું છે, એટલે કે, સામાન્ય સ્વરૂપમાં મુખ્ય સમસ્યા 1 ઉકેલવા, સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવવી અને પછી તેને હલ કરવી (ફિગ. 6).

1. ફંક્શન y = x 2 + x + 1 ના આલેખ પર આવેલા સ્પર્શબિંદુનો એબ્સીસા ગણો.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. ફંક્શનના આલેખ પર આવેલા સ્પર્શબિંદુના અબ્સ્કિસા તરીકે c ને ચાલો
2.
3. f "(c) = c.
4.

સ્પર્શકો સામાન્ય હોવાથી, પછી

તેથી y = x + 1 અને y = – 3x – 3 એ સામાન્ય સ્પર્શક છે.

3. y = x 2 + bx + c ફંક્શનના ગ્રાફ માટે b અને c એ રેખાઓ y = x અને y = – 2x સ્પર્શક કયા માટે છે?

ઉકેલ.

ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ અને હલ કરીએ

જવાબ:

સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલવા માટે સમસ્યાઓ

1. રેખા y = x + 3 સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ પર y = 2x 2 – 4x + 3 ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરેલા સ્પર્શકોના સમીકરણો લખો.

જવાબ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9.5.

2. એબ્સીસા x 0 = 1 સાથેના ગ્રાફના બિંદુ પર ફંક્શન y = x 2 – અક્ષના ગ્રાફ પર દોરવામાં આવેલ સ્પર્શક કયા મૂલ્યો માટે M(2; 3) બિંદુમાંથી પસાર થાય છે?

જવાબ: a = 0.5.

3. p ના કયા મૂલ્યો માટે સીધી રેખા y = px – 5 વળાંક y = 3x 2 – 4x – 2 ને સ્પર્શે છે?

જવાબ: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. ફંક્શન y = 3x – x 3 ના ગ્રાફના તમામ સામાન્ય બિંદુઓ અને બિંદુ P(0; 16) દ્વારા આ આલેખ તરફ દોરેલ સ્પર્શક શોધો.

જવાબ: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. પેરાબોલા y = x 2 + 6x + 10 અને સીધી રેખા વચ્ચેનું સૌથી નાનું અંતર શોધો

જવાબ:

6. વળાંક y = x 2 – x + 1 પર, તે બિંદુ શોધો કે જેના પર ગ્રાફની સ્પર્શક સીધી રેખા y – 3x + 1 = 0 ની સમાંતર છે.

જવાબ: M(2; 3).

7. ફંક્શન y = x 2 + 2x –ના ગ્રાફ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ લખો – | 4x |, જે તેને બે બિંદુઓ પર સ્પર્શે છે. એક ચિત્ર બનાવો.

જવાબ: y = 2x – 4.

8. સાબિત કરો કે રેખા y = 2x – 1 વળાંક y = x 4 + 3x 2 + 2x ને છેદતી નથી. તેમના નજીકના બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

જવાબ:

9. પેરાબોલા y = x 2 પર, એબ્સીસાસ x 1 = 1, x 2 = 3 સાથે બે બિંદુઓ લેવામાં આવે છે. આ બિંદુઓ દ્વારા એક સેકન્ટ દોરવામાં આવે છે. પેરાબોલાના કયા બિંદુએ તેની સ્પર્શક સેકન્ટની સમાંતર હશે? સેકન્ટ અને સ્પર્શક સમીકરણો લખો.

જવાબ: y = 4x – 3 – સેકન્ટ સમીકરણ; y = 4x – 4 – સ્પર્શક સમીકરણ.

10. કોણ q શોધો ફંક્શન y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1 ના ગ્રાફના સ્પર્શક વચ્ચે, એબ્સીસાસ 0 અને 1 સાથેના બિંદુઓ પર દોરવામાં આવે છે.

જવાબ: q = 45°.

11. ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક કયા બિંદુઓ પર ઓક્સ અક્ષ સાથે 135°નો ખૂણો બનાવે છે?

જવાબ: A(0; – 1), B(4; 3).

12. બિંદુ A(1; 8) પર વળાંક તરફ એક સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે. સંકલન અક્ષો વચ્ચેના સ્પર્શક ખંડની લંબાઈ શોધો.

જવાબ:

13. ફંક્શન y = x 2 – x + 1 અને y = 2x 2 – x + 0.5 ના આલેખ પર તમામ સામાન્ય સ્પર્શકોનું સમીકરણ લખો.

જવાબ: y = – 3x અને y = x.

14. ફંક્શનના ગ્રાફથી સ્પર્શક વચ્ચેનું અંતર શોધો x-અક્ષની સમાંતર.

જવાબ:

15. પેરાબોલા y = x 2 + 2x – 8 x-અક્ષને કયા ખૂણા પર છેદે છે તે નક્કી કરો.

જવાબ: q 1 = આર્ક્ટન 6, q 2 = આર્ક્ટાન (–6).

16. કાર્ય ગ્રાફ બધા બિંદુઓ શોધો, જેમાંથી પ્રત્યેકની સ્પર્શક આ આલેખમાં કોઓર્ડિનેટના સકારાત્મક અર્ધ-અક્ષોને છેદે છે, તેમાંથી સમાન ભાગોને કાપી નાખે છે.

જવાબ: A(- 3; 11).

17. રેખા y = 2x + 7 અને પેરાબોલા y = x 2 – 1 બિંદુઓ M અને N પર છેદે છે. બિંદુઓ M અને N પર પેરાબોલાના સ્પર્શરેખાના આંતરછેદના બિંદુ K શોધો.

જવાબ: K(1; – 9).

18. b ના કયા મૂલ્યો માટે y = x 3 – 3x + 15 ફંક્શનના ગ્રાફની રેખા y = 9x + b સ્પર્શક છે?

જવાબ: – 1; 31.

19. k ના કયા મૂલ્યો માટે સીધી રેખા y = kx – 10 ફંક્શન y = 2x 2 + 3x – 2 ના ગ્રાફ સાથે માત્ર એક સામાન્ય બિંદુ ધરાવે છે? k ના મળેલા મૂલ્યો માટે, બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો.

જવાબ: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. b ના કયા મૂલ્યો માટે y = bx 3 – 2x 2 – 4 ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરવામાં આવેલ સ્પર્શક એબિસીસા x 0 = 2 સાથેના બિંદુ પર M(1; 8) બિંદુમાંથી પસાર થાય છે?

જવાબ: b = – 3.

21. ઓક્સ અક્ષ પર શિરોબિંદુ ધરાવતો પેરાબોલા બિંદુ B પર A(1; 2) અને B(2; 4) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાને સ્પર્શે છે. પેરાબોલાના સમીકરણ શોધો.

જવાબ:

22. પેરાબોલા y = x 2 + kx + 1 ગુણાંક k ના કયા મૂલ્ય પર Ox અક્ષને સ્પર્શે છે?

જવાબ: k = d 2.

23. સીધી રેખા y = x + 2 અને વળાંક y = 2x 2 + 4x – 3 વચ્ચેના ખૂણા શોધો.

29. 45° ના ખૂણા પર ઓક્સ અક્ષની હકારાત્મક દિશા સાથે ફંક્શનના ગ્રાફ અને જનરેટર વચ્ચેના સ્પર્શકો વચ્ચેનું અંતર શોધો.

જવાબ:

30. ફોર્મ y = x 2 + ax + b સ્પર્શક રેખા y = 4x – 1 ના તમામ પેરાબોલાસના શિરોબિંદુઓનું સ્થાન શોધો.

જવાબ: સીધી રેખા y = 4x + 3.

સાહિત્ય

1. ઝ્વાવિચ એલ.આઈ., શ્લ્યાપોચનિક એલ.યા., ચિંકીના એમ.વી. બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત: શાળાના બાળકો અને યુનિવર્સિટીઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે 3600 સમસ્યાઓ. - એમ., બસ્ટાર્ડ, 1999.
2. મોર્ડકોવિચ એ. યુવાન શિક્ષકો માટે ચાર સેમિનાર. વિષય: વ્યુત્પન્ન એપ્લિકેશન્સ. – એમ., “ગણિત”, નંબર 21/94.
3. માનસિક ક્રિયાઓના ક્રમશઃ એસિમિલેશનના સિદ્ધાંતના આધારે જ્ઞાન અને કુશળતાની રચના. / એડ. પી.યા. ગેલપેરીના, એન.એફ. તાલિઝિના. - એમ., મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટી, 1968.