પ્રાઇમ નંબર્સ: વણઉકેલાયેલી કોયડાની સામાન્યતા. અવિભાજ્ય સંખ્યા શું છે

અન્ય તમામ કુદરતી સંખ્યાઓને સંયુક્ત કહેવામાં આવે છે. કુદરતી નંબર 1 ન તો અવિભાજ્ય છે કે ન તો સંયુક્ત.

ઉદાહરણ

વ્યાયામ.નીચે લખેલ કુદરતી સંખ્યાઓમાંથી કઈ પ્રાઇમ છે:

જવાબ આપો.

સંખ્યાને ફેક્ટરિંગ

પ્રદર્શન કુદરતી સંખ્યાકુદરતી સંખ્યાઓના ઉત્પાદનના સ્વરૂપમાં કહેવામાં આવે છે ફેક્ટરીકરણ. જો કુદરતી સંખ્યાના અવયવીકરણમાં તમામ પરિબળો હોય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ, પછી આવા વિઘટન કહેવામાં આવે છે મુખ્ય પરિબળીકરણ.

પ્રમેય

(અંકગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય)

1 સિવાયની દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યાને અવિભાજ્ય અવયવમાં પરિબળ બનાવી શકાય છે, અને અનન્ય રીતે (જો આપણે અવયવીકરણ ઓળખીએ અને , ક્યાં અને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે).

સંખ્યાના વિઘટનમાં સમાન મુખ્ય પરિબળોને જોડીને, આપણે સંખ્યાના કહેવાતા પ્રમાણભૂત વિઘટનને મેળવીએ છીએ:

જ્યાં , વિવિધ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે, અને કુદરતી સંખ્યાઓ છે.

ઉદાહરણ

વ્યાયામ.સંખ્યાઓનું પ્રમાણભૂત વિસ્તરણ શોધો:

ઉકેલ.સંખ્યાઓના પ્રામાણિક વિઘટનને શોધવા માટે, તમારે સૌપ્રથમ તેમને અવિભાજ્ય અવયવોમાં પરિબળ બનાવવું જોઈએ, અને પછી સમાન પરિબળોને જોડીને તેમના ઉત્પાદનને કુદરતી ઘાતાંક સાથે ઘાત તરીકે લખવું જોઈએ:

જવાબ આપો.

ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ

કઈ સંખ્યા અવિભાજ્ય છે અને કઈ નથી તે કેવી રીતે નક્કી કરવી? કોઈપણ સંખ્યા શ્રેણીમાં તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધવા માટેની સૌથી સામાન્ય પદ્ધતિ 3જી સદીમાં પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી. પૂર્વે ઇ. Eratosthenes (પદ્ધતિને "Eratosthenes ની ચાળણી" કહેવામાં આવે છે). ધારો કે આપણે કઈ સંખ્યાઓ અવિભાજ્ય છે તે નક્કી કરવાની જરૂર છે. ચાલો તેમને એક પંક્તિમાં લખીએ અને 2 નંબરને અનુસરતા લોકોમાંથી દરેક બીજી સંખ્યાને વટાવીએ - તે બધા સંયુક્ત છે, કારણ કે તે સંખ્યા 2 ના ગુણાંક છે. બાકીની અનક્રોસ કરેલ સંખ્યાઓમાંથી પ્રથમ - 3 - અવિભાજ્ય છે. ચાલો નંબર 3 ને અનુસરતા લોકોમાંથી દરેક ત્રીજા નંબરને પાર કરીએ; અનક્રોસ કરેલ સંખ્યાઓમાંથી આગળની સંખ્યા - 5 - પણ અવિભાજ્ય હશે. સમાન સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને, અમે 5 નંબરને અનુસરતા લોકોમાંથી દરેક પાંચમી સંખ્યાને અને સામાન્ય રીતે, સંખ્યાને અનુસરનારાઓમાંથી દરેક એકને વટાવીશું. બાકીની બધી અનક્રોસ કરેલી સંખ્યાઓ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હશે.

જેમ જેમ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વધે છે, તેમ તેમ તેઓ ધીમે ધીમે ઓછા અને ઓછા સામાન્ય બને છે. જો કે, પ્રાચીન લોકો પહેલાથી જ એ હકીકતથી સારી રીતે વાકેફ હતા કે તેમાંના ઘણા બધા છે. તેની સાબિતી યુક્લિડ્સ એલિમેન્ટ્સમાં આપવામાં આવી છે.

અનુવાદ

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણધર્મોનો પ્રથમ ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો પ્રાચીન ગ્રીસ. પાયથાગોરિયન શાળાના ગણિતશાસ્ત્રીઓ (500 - 300 BC) મુખ્યત્વે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના રહસ્યવાદી અને અંકશાસ્ત્રીય ગુણધર્મોમાં રસ ધરાવતા હતા. સંપૂર્ણ અને મૈત્રીપૂર્ણ સંખ્યાઓ વિશેના વિચારો સાથે આવનાર તેઓ પ્રથમ હતા.

સંપૂર્ણ સંખ્યા તેના પોતાના વિભાજકોનો સરવાળો ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા 6 ના યોગ્ય વિભાજકો 1, 2 અને 3 છે. 1 + 2 + 3 = 6. સંખ્યા 28 ના વિભાજકો 1, 2, 4, 7 અને 14 છે. વધુમાં, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

સંખ્યાઓને અનુકૂળ કહેવાય છે જો એક સંખ્યાના યોગ્ય વિભાજકોનો સરવાળો બીજી સંખ્યાના સમાન હોય, અને ઊલટું - ઉદાહરણ તરીકે, 220 અને 284. આપણે કહી શકીએ કે સંપૂર્ણ સંખ્યા પોતાના માટે અનુકૂળ છે.

300 બીસીમાં યુક્લિડના તત્વોના સમય સુધીમાં. ઘણા પહેલાથી જ સાબિત થયા છે મહત્વપૂર્ણ તથ્યોઅવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વિશે. તત્વોના પુસ્તક IX માં, યુક્લિડે તે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ સાબિત કરી અનંત સંખ્યા. આ, માર્ગ દ્વારા, વિરોધાભાસ દ્વારા પુરાવાનો ઉપયોગ કરવાના પ્રથમ ઉદાહરણોમાંનું એક છે. તે અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયને પણ સાબિત કરે છે - દરેક પૂર્ણાંકને અવિભાજ્ય સંખ્યાના ગુણાંક તરીકે વિશિષ્ટ રીતે રજૂ કરી શકાય છે.

તેણે એ પણ બતાવ્યું કે જો સંખ્યા 2n-1 અવિભાજ્ય છે, તો સંખ્યા 2n-1 * (2n-1) સંપૂર્ણ હશે. અન્ય ગણિતશાસ્ત્રી, યુલર, 1747 માં બતાવવામાં સક્ષમ હતા કે આ ફોર્મમાં બધી સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ પણ લખી શકાય છે. આજ સુધી તે અજાણ છે કે શું વિચિત્ર સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ અસ્તિત્વમાં છે.

વર્ષ 200 બીસીમાં. ગ્રીક એરાટોસ્થેન્સ એ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ સાથે આવ્યા હતા જેને સિવી ઓફ એરાટોસ્થેનિસ કહેવાય છે.

અને પછી મધ્ય યુગ સાથે સંકળાયેલ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના અભ્યાસના ઇતિહાસમાં એક મોટો વિરામ હતો.

નીચેની શોધો 17મી સદીની શરૂઆતમાં ગણિતશાસ્ત્રી ફર્મેટ દ્વારા કરવામાં આવી હતી. તેમણે આલ્બર્ટ ગિરાર્ડના અનુમાનને સાબિત કર્યું કે ફોર્મ 4n+1 ની કોઈપણ અવિભાજ્ય સંખ્યાને બે ચોરસના સરવાળા તરીકે અનન્ય રીતે લખી શકાય છે, અને પ્રમેય પણ ઘડ્યો હતો કે કોઈપણ સંખ્યાને ચાર ચોરસના સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે.

તેણે વિકાસ કર્યો નવી પદ્ધતિમોટી સંખ્યાઓનું અવયવીકરણ, અને તેને 2027651281 = 44021 × 46061 નંબર પર દર્શાવ્યું. તેણે ફર્મેટનું નાનું પ્રમેય પણ સાબિત કર્યું: જો p એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે, તો કોઈપણ પૂર્ણાંક a માટે તે સાચું હશે કે a p = a મોડ્યુલો p.

આ વિધાન "ચીની અનુમાન" તરીકે ઓળખાતા અને 2000 વર્ષ પહેલાની તારીખોમાંથી અડધી સાબિત કરે છે: પૂર્ણાંક n એ અવિભાજ્ય છે જો 2 n -2 n વડે વિભાજ્ય હોય તો જ. પૂર્વધારણાનો બીજો ભાગ ખોટો નીકળ્યો - ઉદાહરણ તરીકે, 2,341 - 2 એ 341 વડે વિભાજ્ય છે, જો કે 341 નંબર સંયુક્ત છે: 341 = 31 × 11.

ફર્મેટનું નાનું પ્રમેય સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં અન્ય ઘણા પરિણામો અને સંખ્યાઓ પ્રાઇમ છે કે કેમ તે ચકાસવા માટેની પદ્ધતિઓ માટે આધાર તરીકે સેવા આપી હતી - જેમાંથી ઘણા આજે પણ ઉપયોગમાં લેવાય છે.

ફર્મેટ તેના સમકાલીન લોકો સાથે ઘણો પત્રવ્યવહાર કરે છે, ખાસ કરીને મેરેન મર્સેન નામના સાધુ સાથે. તેમના એક પત્રમાં, તેમણે અનુમાન કર્યું હતું કે જો n એ બેની ઘાત હોય તો ફોર્મ 2 n +1 ની સંખ્યા હંમેશા અવિભાજ્ય હશે. તેણે n = 1, 2, 4, 8 અને 16 માટે આનું પરીક્ષણ કર્યું, અને તેમને વિશ્વાસ હતો કે જ્યાં n એ બેની ઘાત ન હતી ત્યાં સંખ્યા અવિભાજ્ય હોવી જરૂરી નથી. આ સંખ્યાઓને ફર્મટની સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે, અને માત્ર 100 વર્ષ પછી યુલરે બતાવ્યું કે પછીની સંખ્યા, 2 32 + 1 = 4294967297, 641 વડે વિભાજ્ય છે અને તેથી તે અવિભાજ્ય નથી.

ફોર્મ 2 n - 1 ની સંખ્યાઓ પણ સંશોધનનો વિષય છે, કારણ કે તે દર્શાવવું સરળ છે કે જો n સંયુક્ત છે, તો સંખ્યા પોતે પણ સંયુક્ત છે. આ સંખ્યાઓને મર્સેન નંબર્સ કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેણે તેનો વ્યાપક અભ્યાસ કર્યો હતો.

પરંતુ ફોર્મ 2 n - 1 ની બધી સંખ્યાઓ, જ્યાં n અવિભાજ્ય છે, અવિભાજ્ય નથી. ઉદાહરણ તરીકે, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. આ સૌપ્રથમ 1536 માં શોધાયું હતું.

ઘણા વર્ષોથી, આ પ્રકારની સંખ્યાઓ ગણિતશાસ્ત્રીઓને સૌથી મોટી જાણીતી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ પ્રદાન કરે છે. તે M 19 1588 માં કેટાલ્ડી દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું, અને 200 વર્ષો સુધી સૌથી મોટી જાણીતી અવિભાજ્ય સંખ્યા હતી, જ્યાં સુધી યુલરે સાબિત ન કર્યું કે M 31 પણ અવિભાજ્ય છે. આ રેકોર્ડ બીજા સો વર્ષ સુધી રહ્યો, અને પછી લુકાસે બતાવ્યું કે M 127 પ્રાઇમ છે (અને આ પહેલેથી જ 39 અંકોની સંખ્યા છે), અને તે પછી કમ્પ્યુટરના આગમન સાથે સંશોધન ચાલુ રહ્યું.

1952 માં, M 521, M 607, M 1279, M 2203 અને M 2281 નંબરોની પ્રાઇમનેસ સાબિત થઈ હતી.

2005 સુધીમાં, 42 મર્સેન પ્રાઇમ્સ મળી આવ્યા હતા. તેમાંથી સૌથી મોટા, M 25964951, 7816230 અંકો ધરાવે છે.

યુલરના કાર્યની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ સહિત સંખ્યાઓના સિદ્ધાંત પર ભારે અસર પડી હતી. તેણે ફર્મેટના નાના પ્રમેયને વિસ્તાર્યો અને φ-ફંક્શન રજૂ કર્યું. 5મા ફર્મટ નંબર 2 32 +1 ને ફેક્ટરાઇઝ કર્યું, મૈત્રીપૂર્ણ નંબરોની 60 જોડી મળી, અને ચતુર્ભુજ પારસ્પરિકતા કાયદો ઘડ્યો (પરંતુ સાબિત કરી શક્યો નહીં).

ગાણિતિક પૃથ્થકરણની પદ્ધતિઓ રજૂ કરનાર અને વિશ્લેષણાત્મક સંખ્યા સિદ્ધાંત વિકસાવનાર તેઓ પ્રથમ હતા. તેણે સાબિત કર્યું કે માત્ર હાર્મોનિક શ્રેણી ∑ (1/n), પણ ફોર્મની શ્રેણી પણ છે

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના પરસ્પર સરવાળા દ્વારા મેળવેલ પરિણામ પણ અલગ પડે છે. હાર્મોનિક શ્રેણીના n શબ્દોનો સરવાળો લગભગ log(n) તરીકે વધે છે, અને બીજી શ્રેણી લોગ[ log(n) ] તરીકે વધુ ધીમેથી અલગ પડે છે. આનો અર્થ એ છે કે, ઉદાહરણ તરીકે, આજની તારીખે મળેલી તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના પરસ્પરનો સરવાળો માત્ર 4 જ આપશે, જો કે શ્રેણી હજુ પણ અલગ પડે છે.

પ્રથમ નજરમાં, એવું લાગે છે કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ પૂર્ણાંકો વચ્ચે તદ્દન અવ્યવસ્થિત રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 10000000 પહેલાની 100 સંખ્યાઓમાં 9 અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે, અને આ મૂલ્ય પછી તરત જ 100 સંખ્યાઓમાં ફક્ત 2 છે. પરંતુ મોટા ભાગોમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ તદ્દન સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે. લિજેન્ડ્રે અને ગૌસે તેમના વિતરણના મુદ્દાઓ સાથે વ્યવહાર કર્યો. ગૌસે એકવાર મિત્રને કહ્યું હતું કે કોઈપણ ફ્રી 15 મિનિટમાં તે હંમેશા આગામી 1000 સંખ્યામાં પ્રાઇમ્સની સંખ્યા ગણે છે. તેમના જીવનના અંત સુધીમાં, તેમણે 3 મિલિયન સુધીની તમામ મુખ્ય સંખ્યાઓ ગણી લીધી હતી. લિજેન્ડ્રે અને ગૌસે સમાન રીતે ગણતરી કરી કે મોટા n માટે મુખ્ય ઘનતા 1/log(n) છે. લિજેન્ડ્રેએ 1 થી n સુધીની શ્રેણીમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સંખ્યાનો અંદાજ કાઢ્યો હતો

π(n) = n/(લોગ(n) - 1.08366)

અને ગૌસ એક લઘુગણક અભિન્ન સમાન છે

π(n) = ∫ 1/log(t) તા

2 થી n સુધીના એકીકરણ અંતરાલ સાથે.

પ્રાઇમ્સ 1/log(n) ની ઘનતા વિશેનું વિધાન પ્રાઇમ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે. તેઓએ 19મી સદી દરમિયાન તેને સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો, અને ચેબીશેવ અને રીમેન દ્વારા પ્રગતિ પ્રાપ્ત થઈ. તેઓએ તેને રીમેન પૂર્વધારણા સાથે જોડ્યું, જે રીમેન ઝેટા ફંક્શનના શૂન્યના વિતરણ વિશે હજુ પણ અપ્રમાણિત પૂર્વધારણા છે. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની ઘનતા એકસાથે 1896 માં હડામાર્ડ અને વેલી-પૌસિન દ્વારા સાબિત કરવામાં આવી હતી.

પ્રાઇમ નંબર થિયરીમાં હજુ પણ ઘણા વણઉકેલાયેલા પ્રશ્નો છે, જેમાંથી કેટલાક સેંકડો વર્ષ જૂના છે:

જોડિયા અવિભાજ્ય પૂર્વધારણા એ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની જોડીની અનંત સંખ્યા વિશે છે જે એકબીજાથી 2 દ્વારા અલગ પડે છે
ગોલ્ડબેકની પૂર્વધારણા: કોઈપણ સમ સંખ્યા, 4 થી શરૂ થતા, બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે
શું n 2 + 1 ફોર્મની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની અનંત સંખ્યા છે?
શું n 2 અને (n + 1) 2 વચ્ચે અવિભાજ્ય સંખ્યા શોધવાનું હંમેશા શક્ય છે? (હકીકત એ છે કે હંમેશા n અને 2n વચ્ચે અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય છે તે ચેબીશેવ દ્વારા સાબિત થયું હતું)
શું ફર્મેટ પ્રાઇમ્સની સંખ્યા અનંત છે? શું 4 પછી કોઈ ફર્મેટ પ્રાઇમ્સ છે?
શું તે અસ્તિત્વમાં છે અંકગણિત પ્રગતિકોઈપણ આપેલ લંબાઈ માટે સળંગ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની? ઉદાહરણ તરીકે, લંબાઈ 4 માટે: 251, 257, 263, 269. મહત્તમ લંબાઈ 26 છે.
શું અંકગણિતની પ્રગતિમાં સતત ત્રણ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સેટની અનંત સંખ્યા છે?
n 2 - n + 41 એ 0 ≤ n ≤ 40 માટે અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. શું આવી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની કોઈ અનંત સંખ્યા છે? સૂત્ર n 2 - 79 n + 1601 માટે સમાન પ્રશ્ન. આ સંખ્યાઓ 0 ≤ n ≤ 79 માટે અવિભાજ્ય છે.
શું n# + 1 ફોર્મની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની અનંત સંખ્યા છે? (n# એ n કરતાં ઓછી તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવાનું પરિણામ છે)
શું ફોર્મ n# -1 ની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની અનંત સંખ્યા છે?
શું ફોર્મ n ની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની અનંત સંખ્યા છે? + 1?
શું ફોર્મ n ની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની અનંત સંખ્યા છે? - 1?
જો p અવિભાજ્ય છે, તો શું 2 p -1 હંમેશા તેના પરિબળો વચ્ચે અવિભાજ્ય વર્ગ ધરાવતું નથી?
શું ફિબોનાકી ક્રમમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની અસંખ્ય સંખ્યા હોય છે?

સૌથી મોટી જોડિયા અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ 2003663613 × 2 195000 ± 1 છે. તે 58711 અંકો ધરાવે છે અને 2007 માં શોધાઈ હતી.

સૌથી મોટી ફેક્ટોરિયલ અવિભાજ્ય સંખ્યા (n! ± 1 પ્રકારનો) 147855 છે! - 1. તેમાં 142891 અંકોનો સમાવેશ થાય છે અને તે 2002માં મળી આવ્યો હતો.

સૌથી મોટી પ્રાઇમરીયલ પ્રાઇમ નંબર (ફોર્મ n# ± 1 ની સંખ્યા) 1098133# + 1 છે.

સંખ્યાઓ અલગ છે: કુદરતી, તર્કસંગત, તર્કસંગત, પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક, હકારાત્મક અને નકારાત્મક, જટિલ અને અવિભાજ્ય, વિષમ અને સમાન, વાસ્તવિક, વગેરે. આ લેખમાંથી તમે જાણી શકો છો કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શું છે.

અંગ્રેજીમાં કઈ સંખ્યાઓને "સરળ" કહેવામાં આવે છે?

અવિભાજ્ય સંખ્યા શું છે તે વિશે ઘણી વાર, શાળાના બાળકો પ્રથમ નજરમાં ગણિતના સૌથી સરળ પ્રશ્નોમાંથી એકનો જવાબ કેવી રીતે આપવો તે જાણતા નથી. તેઓ ઘણીવાર પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ સાથે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓને ભેળસેળ કરે છે (એટલે કે, લોકો વસ્તુઓની ગણતરી કરતી વખતે જે સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરે છે, જ્યારે કેટલાક સ્રોતોમાં તેઓ શૂન્યથી શરૂ થાય છે અને અન્યમાં એક સાથે). પરંતુ આ સંપૂર્ણપણે બે અલગ અલગ ખ્યાલો છે. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે, એટલે કે પૂર્ણાંકો અને ધન સંખ્યાઓ જે એક કરતા મોટી હોય છે અને જેમાં માત્ર 2 કુદરતી વિભાજકો હોય છે. તદુપરાંત, આ વિભાજકોમાંથી એક આપેલ સંખ્યા છે, અને બીજો એક છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ એ એક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે કારણ કે તેને શેષ વગર પોતાની અને એક સિવાયની કોઈપણ સંખ્યા વડે ભાગી શકાતી નથી.

સંયુક્ત સંખ્યાઓ

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની વિરુદ્ધ સંયુક્ત સંખ્યાઓ છે. તેઓ કુદરતી પણ છે, એક કરતા મોટા પણ છે, પરંતુ બે નથી, પરંતુ વધુવિભાજકો તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, 4, 6, 8, 9, વગેરે સંખ્યાઓ કુદરતી, સંયુક્ત છે, પરંતુ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ નથી. જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ મોટે ભાગે સમ સંખ્યાઓ છે, પરંતુ બધી નહીં. પરંતુ "બે" એ એક સમાન સંખ્યા છે અને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં "પ્રથમ સંખ્યા" છે.

અનુગામી

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની શ્રેણી બનાવવા માટે, તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાંથી તેમની વ્યાખ્યાને ધ્યાનમાં રાખીને પસંદ કરવી જરૂરી છે, એટલે કે, તમારે વિરોધાભાસ દ્વારા કાર્ય કરવાની જરૂર છે. દરેક ધન પ્રાકૃતિક સંખ્યાને બે કરતા વધુ વિભાજકો છે કે કેમ તે જોવા માટે તેની તપાસ કરવી જરૂરી છે. ચાલો એક શ્રેણી (ક્રમ) બનાવવાનો પ્રયાસ કરીએ જેમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોય. સૂચિ બે સાથે શરૂ થાય છે, ત્યારબાદ ત્રણ, કારણ કે તે ફક્ત પોતાના અને એક દ્વારા વિભાજ્ય છે. નંબર ચારનો વિચાર કરો. શું તેમાં ચાર અને એક સિવાયના વિભાજકો છે? હા, તે સંખ્યા 2 છે. તેથી ચાર એ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી. પાંચ પણ અવિભાજ્ય છે (તે 1 અને 5 સિવાય અન્ય કોઈપણ સંખ્યા વડે વિભાજ્ય નથી), પરંતુ છ વિભાજ્ય છે. અને સામાન્ય રીતે, જો તમે બધી સમાન સંખ્યાઓને અનુસરો છો, તો તમે જોશો કે "બે" સિવાય, તેમાંથી કોઈ પણ અવિભાજ્ય નથી. આના પરથી આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે બે સિવાયની સમ સંખ્યાઓ અવિભાજ્ય નથી. બીજી શોધ: ત્રણ વડે ભાગી શકાય તેવી તમામ સંખ્યાઓ, ત્રણ સિવાય, ભલે તે એકી હોય કે બેકી, પણ અવિભાજ્ય નથી (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, વગેરે). પાંચ અને સાત વડે ભાગી શકાય તેવી સંખ્યાઓને પણ આ જ લાગુ પડે છે. તેમની બધી ભીડ પણ સરળ નથી. ચાલો સારાંશ આપીએ. તેથી, સરળ સિંગલ-ડિજિટ નંબરોમાં એક અને નવ સિવાયની તમામ બેકી સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે, અને "બે" પણ બેકી સંખ્યાઓ છે. દસ પોતે (10, 20,... 40, વગેરે) સરળ નથી. બે-અંક, ત્રણ-અંક, વગેરે. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ઉપરોક્ત સિદ્ધાંતોના આધારે નક્કી કરી શકાય છે: જો તેઓને પોતાને અને એક સિવાય કોઈ વિભાજક ન હોય.

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણધર્મો વિશે સિદ્ધાંતો

એક વિજ્ઞાન છે જે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ સહિત પૂર્ણાંકોના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરે છે. આ ગણિતની એક શાખા છે જેને ઉચ્ચ કહેવાય છે. પૂર્ણાંકોના ગુણધર્મો ઉપરાંત, તેણી બીજગણિત અને અતીન્દ્રિય સંખ્યાઓ તેમજ આ સંખ્યાઓના અંકગણિત સાથે સંબંધિત વિવિધ મૂળના કાર્યો સાથે પણ વ્યવહાર કરે છે. આ અભ્યાસોમાં, પ્રાથમિક અને બીજગણિત પદ્ધતિઓ ઉપરાંત, વિશ્લેષણાત્મક અને ભૌમિતિક પદ્ધતિઓનો પણ ઉપયોગ થાય છે. ખાસ કરીને, "નંબર થિયરી" અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના અભ્યાસ સાથે સંબંધિત છે.

પ્રાઇમ નંબર્સ એ કુદરતી સંખ્યાઓના "બિલ્ડિંગ બ્લોક્સ" છે

અંકગણિતમાં એક પ્રમેય છે જેને મૂળભૂત પ્રમેય કહેવાય છે. તે મુજબ, એક સિવાયની કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાને ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જેના અવયવો અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે અને અવયવોનો ક્રમ અનન્ય છે, જેનો અર્થ છે કે રજૂઆતની પદ્ધતિ પણ અનન્ય છે. પ્રાકૃતિક સંખ્યાને અવિભાજ્ય અવયવોમાં ફેક્ટરિંગ કહેવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયાનું બીજું નામ છે - સંખ્યાઓનું અવયવીકરણ. તેના આધારે, અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ કહી શકાય. મકાન સામગ્રીપ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ બાંધવા માટે ”, “બ્લોક”.

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ માટે શોધો. સરળતા પરીક્ષણો

જુદા જુદા સમયના ઘણા વૈજ્ઞાનિકોએ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સૂચિ શોધવા માટે કેટલાક સિદ્ધાંતો (સિસ્ટમ્સ) શોધવાનો પ્રયાસ કર્યો. વિજ્ઞાન એટકીન ચાળણી, સુંદરમ ચાળણી અને એરાટોસ્થેનિસ ચાળણી તરીકે ઓળખાતી પ્રણાલીઓ જાણે છે. જો કે, તેઓ કોઈ નોંધપાત્ર પરિણામો આપતા નથી, અને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધવા માટે એક સરળ પરીક્ષણનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ગણિતશાસ્ત્રીઓએ પણ ગાણિતીક નિયમો બનાવ્યા. તેમને સામાન્ય રીતે પ્રાથમિકતા પરીક્ષણો કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, રાબિન અને મિલર દ્વારા વિકસિત એક પરીક્ષણ છે. તેનો ઉપયોગ ક્રિપ્ટોગ્રાફર્સ દ્વારા કરવામાં આવે છે. કાયલ-અગ્રવાલ-સાસ્કેના ટેસ્ટ પણ છે. જો કે, પૂરતી ચોકસાઈ હોવા છતાં, તેની ગણતરી કરવી ખૂબ જ મુશ્કેલ છે, જે તેના વ્યવહારુ મહત્વને ઘટાડે છે.

શું અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સમૂહની કોઈ મર્યાદા છે?

પ્રાચીન ગ્રીક વૈજ્ઞાનિક યુક્લિડે તેમના પુસ્તક "એલિમેન્ટ્સ" માં લખ્યું છે કે પ્રાઇમ્સનો સમૂહ અનંત છે. તેણે આ કહ્યું: “ચાલો એક ક્ષણ માટે કલ્પના કરીએ કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની મર્યાદા હોય છે. પછી ચાલો તેમને એકબીજા સાથે ગુણાકાર કરીએ, અને ઉત્પાદનમાં એક ઉમેરીએ. આ સરળ ક્રિયાઓના પરિણામે મેળવેલ સંખ્યાને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની કોઈપણ શ્રેણી દ્વારા વિભાજિત કરી શકાતી નથી, કારણ કે શેષ હંમેશા એક જ રહેશે. આનો અર્થ એ થયો કે કેટલીક અન્ય સંખ્યાઓ છે જે હજુ સુધી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સૂચિમાં શામેલ નથી. તેથી, અમારી ધારણા સાચી નથી, અને આ સમૂહની મર્યાદા હોઈ શકતી નથી. યુક્લિડના પુરાવા ઉપરાંત, અઢારમી સદીના સ્વિસ ગણિતશાસ્ત્રી લિયોનહાર્ડ યુલર દ્વારા આપવામાં આવેલ વધુ આધુનિક સૂત્ર છે. તે મુજબ, પ્રથમ n સંખ્યાઓના સરવાળાનો સરવાળો અમર્યાદિત રીતે વધે છે કારણ કે n સંખ્યા વધે છે. અને અહીં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના વિતરણ સંબંધિત પ્રમેયનું સૂત્ર છે: (n) n/ln (n) તરીકે વધે છે.

સૌથી મોટી અવિભાજ્ય સંખ્યા કઈ છે?

તે જ લિયોનાર્ડ યુલર તેના સમયનો સૌથી મોટો અવિભાજ્ય નંબર શોધવામાં સક્ષમ હતો. આ 2 31 - 1 = 2147483647 છે. જો કે, 2013 સુધીમાં, અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની યાદીમાં સૌથી વધુ સચોટ સંખ્યાની ગણતરી કરવામાં આવી હતી - 2 57885161 - 1. તેને મર્સેન નંબર કહેવામાં આવે છે. તેમાં લગભગ 17 મિલિયન દશાંશ અંકો છે. જેમ તમે જોઈ શકો છો, અઢારમી સદીના વૈજ્ઞાનિક દ્વારા મળેલી સંખ્યા આના કરતા અનેક ગણી નાની છે. આ જેવું હોવું જોઈએ તેવું હતું, કારણ કે યુલરે આ ગણતરી જાતે હાથ ધરી હતી, જ્યારે આપણા સમકાલીનને કદાચ કમ્પ્યુટર દ્વારા મદદ કરવામાં આવી હતી. તદુપરાંત, આ નંબર અમેરિકન ફેકલ્ટીઓમાંની એકમાં ગણિતની ફેકલ્ટીમાં પ્રાપ્ત થયો હતો. આ વૈજ્ઞાનિકના નામ પરના નંબરો લ્યુક-લેમેયર પ્રિમલિટી ટેસ્ટ પાસ કરે છે. જો કે, વિજ્ઞાન ત્યાં અટકવા માંગતું નથી. ઇલેક્ટ્રોનિક ફ્રન્ટિયર ફાઉન્ડેશન, જેની સ્થાપના 1990 માં યુનાઇટેડ સ્ટેટ્સ ઑફ અમેરિકા (EFF) માં કરવામાં આવી હતી, તેણે મોટી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધવા માટે નાણાકીય પુરસ્કાર ઓફર કર્યો છે. અને જો 2013 સુધી આ પુરસ્કાર એવા વૈજ્ઞાનિકોને આપવામાં આવ્યો હતો કે જેઓ તેમને 1 અને 10 મિલિયન દશાંશ નંબરોમાંથી શોધી કાઢશે, તો આજે આ આંકડો 100 મિલિયનથી 1 અબજ સુધી પહોંચી ગયો છે. ઇનામો 150 થી 250 હજાર યુએસ ડોલર સુધીની છે.

વિશિષ્ટ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના નામ

તે નંબરો કે જે ચોક્કસ વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા બનાવવામાં આવેલા અલ્ગોરિધમ્સને આભારી મળી આવ્યા હતા અને સરળતા પરીક્ષણમાં પાસ થયા હતા તેને વિશેષ કહેવામાં આવે છે. અહીં તેમાંથી કેટલાક છે:

1. મેર્સેન.

4. કુલેન.

6. મિલ્સ એટ અલ.

ઉપરોક્ત વૈજ્ઞાનિકોના નામ પરથી આ સંખ્યાઓની સરળતા નીચેના પરીક્ષણોનો ઉપયોગ કરીને સ્થાપિત થાય છે:

1. લુક-લેમેયર.

2. પેપિના.

3. રીઝલ.

4. બિલહાર્ટ - લેમેયર - સેલ્ફ્રીજ અને અન્ય.

આધુનિક વિજ્ઞાન ત્યાં અટકતું નથી, અને કદાચ નજીકના ભવિષ્યમાં વિશ્વ એવા લોકોના નામ શીખશે કે જેઓ સૌથી મોટો અવિભાજ્ય નંબર શોધીને $250,000 ઇનામ પ્રાપ્ત કરવામાં સક્ષમ હતા.

વિભાજકોની ગણતરી.વ્યાખ્યા દ્વારા, સંખ્યા nઅવિભાજ્ય માત્ર ત્યારે જ છે જો તે 2 અને 1 અને પોતે સિવાય અન્ય પૂર્ણાંકો વડે સરખે ભાગે વિભાજ્ય ન હોય. ઉપરોક્ત સૂત્ર બિનજરૂરી પગલાંને દૂર કરે છે અને સમય બચાવે છે: ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા 3 વડે વિભાજ્ય છે કે કેમ તે તપાસ્યા પછી, તે 9 વડે વિભાજ્ય છે કે કેમ તે તપાસવાની જરૂર નથી.

ફ્લોર(x) ફંક્શન x ને નજીકના પૂર્ણાંક પર રાઉન્ડ કરે છે જે x કરતા ઓછું અથવા બરાબર છે.

મોડ્યુલર અંકગણિત વિશે જાણો.ઓપરેશન "x મોડ y" (મોડ એ લેટિન શબ્દ "મોડ્યુલો" નું સંક્ષેપ છે, એટલે કે "મોડ્યુલ") નો અર્થ થાય છે "x ને y વડે વિભાજીત કરો અને શેષ શોધો." બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મોડ્યુલર અંકગણિતમાં, ચોક્કસ મૂલ્ય સુધી પહોંચવા પર, જેને કહેવામાં આવે છે મોડ્યુલ, સંખ્યાઓ ફરીથી શૂન્યમાં "ટર્ન" થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઘડિયાળ 12 ના મોડ્યુલસ સાથે સમય રાખે છે: તે 10, 11 અને 12 વાગ્યા દર્શાવે છે અને પછી 1 પર પાછી આવે છે.

ઘણા કેલ્ક્યુલેટરમાં મોડ કી હોય છે. આ વિભાગનો અંત બતાવે છે કે મોટી સંખ્યામાં આ કાર્યનું મેન્યુઅલી મૂલ્યાંકન કેવી રીતે કરવું.

ફર્મેટના નાના પ્રમેયની મુશ્કેલીઓ વિશે જાણો.તમામ સંખ્યાઓ કે જેના માટે કસોટીની શરતો પૂરી થઈ નથી તે સંયુક્ત છે, પરંતુ બાકીની સંખ્યાઓ માત્ર છે શક્યતાસરળ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. જો તમે ખોટા પરિણામો ટાળવા માંગતા હો, તો જુઓ n"કાર્મિકેલ નંબરો" (આ કસોટીને સંતોષતા સંયુક્ત સંખ્યાઓ) અને "સ્યુડો-પ્રાઈમ ફર્મેટ નંબર્સ" ની યાદીમાં (આ નંબરો માત્ર અમુક મૂલ્યો માટે જ ટેસ્ટ શરતોને પૂર્ણ કરે છે. a).

જો અનુકૂળ હોય, તો મિલર-રેબિન ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરો.જો કે આ પદ્ધતિ હાથ દ્વારા ગણતરી કરવા માટે ખૂબ જ બોજારૂપ છે, તે ઘણીવાર કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ્સમાં વપરાય છે. તે સ્વીકાર્ય ગતિ પ્રદાન કરે છે અને ફર્મેટની પદ્ધતિ કરતાં ઓછી ભૂલો ઉત્પન્ન કરે છે. જો ગણતરીઓ ¼ કરતાં વધુ મૂલ્યો માટે કરવામાં આવે તો સંયુક્ત સંખ્યાને અવિભાજ્ય સંખ્યા તરીકે સ્વીકારવામાં આવશે નહીં a. જો તમે રેન્ડમલી પસંદ કરો છો વિવિધ અર્થો aઅને તે બધા માટે પરીક્ષણ સકારાત્મક પરિણામ આપશે, અમે એકદમ ઉચ્ચ આત્મવિશ્વાસ સાથે ધારી શકીએ છીએ કે nઅવિભાજ્ય સંખ્યા છે.

મોટી સંખ્યાઓ માટે, મોડ્યુલર અંકગણિતનો ઉપયોગ કરો.જો તમારી પાસે હાથમાં મોડ ધરાવતું કેલ્ક્યુલેટર ન હોય, અથવા તમારું કેલ્ક્યુલેટર આટલી મોટી સંખ્યાને હેન્ડલ કરવા માટે બનાવવામાં આવ્યું ન હોય, તો ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે પાવર્સ અને મોડ્યુલર અંકગણિતના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરો. નીચે માટે એક ઉદાહરણ છે 3 50 (\Displaystyle 3^(50))મોડ 50:

અભિવ્યક્તિને વધુ અનુકૂળ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખો: મોડ 50. મેન્યુઅલ ગણતરીઓ કરતી વખતે, વધુ સરળીકરણ જરૂરી હોઈ શકે છે.
(3 25 ∗ 3 25) (\Displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. અહીં આપણે મોડ્યુલર ગુણાકારની મિલકતને ધ્યાનમાં લીધી છે.
3 25 (\Displaystyle 3^(25))મોડ 50 = 43.
(3 25 (\Displaystyle (3^(25))મોડ 50 ∗ 3 25 (\Displaystyle *3^(25))મોડ 50) મોડ 50 = (43 ∗ 43) (\Displaystyle (43*43))મોડ 50.
= 1849 (\displaystyle =1849)મોડ 50.
= 49 (\displaystyle =49).

અનુવાદ

પ્રાચીન ગ્રીસના ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણધર્મોનો પ્રથમ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. પાયથાગોરિયન શાળાના ગણિતશાસ્ત્રીઓ (500 - 300 BC) મુખ્યત્વે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના રહસ્યવાદી અને અંકશાસ્ત્રીય ગુણધર્મોમાં રસ ધરાવતા હતા. સંપૂર્ણ અને મૈત્રીપૂર્ણ નંબરો વિશેના વિચારો સાથે આવનાર તેઓ પ્રથમ હતા.

300 બીસીમાં યુક્લિડના તત્વોના સમય સુધીમાં. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વિશેના કેટલાક મહત્વપૂર્ણ તથ્યો પહેલાથી જ સાબિત થયા છે. તત્વોના પુસ્તક IX માં, યુક્લિડે સાબિત કર્યું કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની અસંખ્ય સંખ્યા છે. આ, માર્ગ દ્વારા, વિરોધાભાસ દ્વારા પુરાવાનો ઉપયોગ કરવાના પ્રથમ ઉદાહરણોમાંનું એક છે. તે અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયને પણ સાબિત કરે છે - દરેક પૂર્ણાંકને અવિભાજ્ય સંખ્યાના ગુણાંક તરીકે વિશિષ્ટ રીતે રજૂ કરી શકાય છે.

તેણે મોટી સંખ્યાઓને અવયવિત કરવા માટે એક નવી પદ્ધતિ વિકસાવી, અને તેને 2027651281 = 44021 × 46061 નંબર પર દર્શાવ્યું. તેણે ફર્મેટનું નાનું પ્રમેય પણ સાબિત કર્યું: જો p એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે, તો કોઈપણ પૂર્ણાંક a માટે તે સાચું હશે કે a p = a મોડ્યુલો. પી.