Resolviendo expresiones irracionales con raíces. Trabajo práctico: "Transformación de expresiones de poder algebraicas, racionales, irracionales"

Las expresiones que contienen un signo radical (raíz) se denominan irracionales.

Una raíz aritmética de un grado natural $ n $ de un número no negativo a es un cierto número no negativo, cuando se eleva a la potencia $ n $, se obtiene el número $ a $.

$ (√ ^ n (a)) ^ n = a $

En la notación $ √ ^ n (a) $, "a" se llama número radical, $ n $ - el exponente de la raíz o radical.

Propiedades de las raíces del $ n $ -ésimo grado para $ a≥0 $ y $ b≥0 $:

1. La raíz del producto es igual al producto de las raíces.

$ √ ^ norte (a ∙ b) = √ ^ norte (a) ∙ √ ^ norte (b) $

Calcular $ √ ^ 5 (5) ∙ √ ^ 5 (625) $

La raíz del producto es igual al producto de raíces y viceversa: el producto de raíces con el mismo exponente de raíz es igual a la raíz del producto de expresiones radicales

$ √ ^ norte (a) ∙ √ ^ norte (segundo) = √ ^ norte (a ∙ segundo) $

$√^5{5}∙√^5{625}=√^5{5∙625}=√^5{5∙5^4}=√^5{5^5}=5$

2. Una raíz de una fracción es una raíz separada del numerador, una raíz separada del denominador.

$ √ ^ n ((a) / (b)) = (√ ^ n (a)) / (√ ^ n (b)) $, para $ b ≠ 0 $

3. Al elevar una raíz a una potencia, la expresión radical se eleva a esta potencia.

$ (√ ^ n (a)) ^ k = √ ^ n (a ^ k) $

4. Si $ a≥0 $ y $ n, k $ son números naturales mayores que $ 1 $, entonces se mantiene la igualdad.

$ √ ^ n (√ ^ k (a)) = √ ^ (n ∙ k) a $

5. Si los índices de la raíz y la expresión radical se multiplican o dividen por el mismo número natural, entonces el valor de la raíz no cambiará.

$ √ ^ (norte ∙ metro) a ^ (k ∙ metro) = √ ^ norte (a ^ k) $

6. La raíz de un grado impar se puede extraer de números positivos y negativos, y la raíz de un grado par, solo de los positivos.

7. Cualquier raíz se puede representar como una potencia con un exponente fraccionario (racional).

$ √ ^ n (a ^ k) = a ^ ((k) / (n)) $

Halla el valor de la expresión $ (√ (9 ∙ √ ^ 11 (с))) / (√ ^ 11 (2048 ∙ √с)) $ para $ с> 0 $

La raíz del producto es igual al producto de las raíces.

$ (√ (9 ∙ √ ^ 11 (s))) / (√ ^ 11 (2048 ∙ √s)) = (√9 ∙ √ (√ ^ 11 (s))) / (√ ^ 11 (2048) ∙ √ ^ 11 (√s)) $

Podemos extraer raíces de números de inmediato

$ (√9 ∙ √ (√ ^ 11 (s))) / (√ ^ 11 (2048) ∙ √ ^ 11 (√s)) = (3 ∙ √ (√ ^ 11 (s))) / (2 ∙ √ ^ 11 (√s)) $

$ √ ^ n (√ ^ k (a)) = √ ^ (n ∙ k) a $

$ (3 ∙ √ (√ ^ 11 (s))) / (2 ∙ √ ^ 11 (√s)) = (3 ∙ √ ^ 22 (s)) / (2 ∙ √ ^ 22 (s)) $

Cancelamos las raíces de $ 22 $ grado de $ con $ y obtenemos $ (3) / (2) = 1.5 $

Respuesta: $ 1.5 $

Si no conocemos el signo de la expresión radical para un radical con exponente par, entonces al extraer la raíz, sale el módulo de la expresión radical.

Halla el valor de la expresión $ √ ((c-7) ^ 2) + √ ((c-9) ^ 2) $ a $ 7< c < 9$

Si no hay un indicador por encima de la raíz, significa que estamos trabajando con una raíz cuadrada. Su indicador es igual a dos, es decir honesto. Si no conocemos el signo de la expresión radical para un radical con exponente par, entonces al extraer la raíz, sale el módulo de la expresión radical.

$ √ ((c-7) ^ 2) + √ ((c-9) ^ 2) = | c-7 | + | c-9 | $

Determinemos el signo de la expresión bajo el signo del módulo, partiendo de la condición $ 7< c < 9$

Para verificar, tome cualquier número de un intervalo dado, por ejemplo, $ 8 $

Verifique el letrero de cada módulo

$8-9<0$, при раскрытии модуля пользуемся правилом: модуль положительного числа равен самому себе, отрицательного числа - равен противоположному значению. Так как у второго модуля знак отрицательный, при раскрытии меняем знак перед модулем на противоположный.

$ | c-7 | + | c-9 | = (c-7) - (c-9) = c-7-c + 9 = 2 $

Propiedades de los grados con exponente racional:

1. Al multiplicar grados con las mismas bases, la base sigue siendo la misma y se suman los indicadores.

$ a ^ norte ∙ a ^ metro = a ^ (norte + metro) $

2. Al elevar una potencia a una potencia, la base permanece igual y los indicadores se multiplican

$ (a ^ norte) ^ metro = a ^ (norte ∙ metro) $

3. Cuando se eleva a la potencia de un producto, cada factor se eleva a esta potencia.

$ (una ∙ segundo) ^ norte = una ^ norte ∙ segundo ^ norte $

4. Al elevar a una potencia de fracción, el numerador y el denominador se elevan a esta potencia.

TRABAJO PRÁCTICO No. 1

Tema: "Transformación de expresiones de poder algebraicas, racionales, irracionales".

Objeto del trabajo: aprender a realizar la transformación de expresiones de poder algebraicas, racionales, irracionales usando fórmulas de multiplicación abreviadas, propiedades básicas de raíces y grados.

Información teórica.

RAÍCES DE GRADO NATURAL DEL NÚMERO, SUS PROPIEDADES.

Raíz norte - grados : , norte - exponente raíz, a - expresión raíz

Si norte - número impar, la expresion tiene sentido para a

Si norte - número par, entonces la expresión tiene sentido para

Raíz aritmética:

Raíz impar de un número negativo:

PRINCIPALES PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

La regla para extraer la raíz de una obra:

La regla para extraer la raíz de la raíz:

La regla para eliminar el factor del signo raíz:

Ingresando el multiplicador debajo del signo de la raíz:

,

El índice de la raíz y el índice de la expresión radical se pueden multiplicar por el mismo número.

La regla para elevar una raíz a un poder.

GRADO CON INDICADOR NATURAL

= , a - la base del título,norte - exponente

Propiedades:

Al multiplicar grados con las mismas bases, los indicadores se agregan y la base permanece sin cambios.

Al dividir grados con las mismas bases, los indicadores se restan y la base permanece sin cambios.

Al elevar una potencia a una potencia, los indicadores se multiplican.

Al elevar el producto de dos números a una potencia, cada número se eleva a esta potencia y los resultados se multiplican.

Si el cociente de dos números se eleva a una potencia, entonces el numerador y el denominador se elevan a esta potencia y el resultado se divide entre sí.

GRADO CON INDICADOR ENTERO

Propiedades:

a r >0 > a r <0

7 . Para cualquier número racionalr ys de la desigualdad > deberían

> a a >1 a

Fórmulas de multiplicación abreviadas.

Ejemplo 1. Simplifica la expresión.

Apliquemos las propiedades de los grados (multiplicando grados con la misma base y dividiendo grados con la misma base): .

Respuesta: 9m 7 .

Ejemplo 2. Reducir fracción:

Solución: Entonces, el dominio de la fracción son todos los números excepto x ≠ 1 y x ≠ -2. .Reduciendo la fracción, obtenemos. El dominio de definición de la fracción resultante: x ≠ -2, es decir más amplio que el alcance de la fracción original. Por lo tanto, las fracciones y son iguales para x ≠ 1 y x ≠ -2.

Ejemplo 3. Reducir fracción:

Ejemplo 4. Simplificar:

Ejemplo 5.Simplificar:

Ejemplo 6. Simplificar:

Ejemplo 7. Simplificar:

Ejemplo 8. Simplificar:

Ejemplo 9. Calcular: .

Solución.

Ejemplo 10. Simplifica la expresión:

Solución.

Ejemplo 11.Reducir la fracción si

Solución. .

Ejemplo 12. Deshazte de la irracionalidad en el denominador de una fracción.

Solución. En el denominador tenemos la irracionalidad del 2do grado, por lo tanto multiplicamos tanto el numerador como el denominador de la fracción por la expresión conjugada, es decir, la suma de los números y, luego en el denominador tendremos la diferencia de cuadrados , que elimina la irracionalidad.

OPCIÓN - I

1. Simplifica la expresión:

, donde a es un número racional, B - número natural

,

5. Simplifique:

;

,
,

10. Realice la acción:

8. Reducir la fracción

9. Actúa

OPCIÓN - II

1. Simplifica la expresión:

2. Encuentra el significado de la expresión:

3. Imagina un exponente fraccionario como raíz

4. Lleva la expresión especificada al formulario.
, donde a es un número racional, B - número natural

,

5. Simplifique:

;

6. Reemplazar raíces aritméticas con potencias con exponentes fraccionarios.

,
,

7. Presente la expresión como una fracción, cuyo denominador no contenga un signo de raíz.

10. Realice la acción:

8. Reducir la fracción

9. Actúa

OPCIÓN - III

1. Realice la acción:

2. Encuentra el significado de la expresión:

3. Imagina un exponente fraccionario como raíz

4. Lleva la expresión especificada al formulario.
, donde a es un número racional, B - número natural

,

5. Simplifique:

;

6. Reemplazar raíces aritméticas con potencias con exponentes fraccionarios.

,
,

7. Presente la expresión como una fracción, cuyo denominador no contenga un signo de raíz.

10. Realice la acción:

8. Reducir la fracción

9. Actúa

OPCIÓN - IV

1. Realice la acción:

2. Encuentra el significado de la expresión:

3. Imagina un exponente fraccionario como raíz

,

4. Lleva la expresión especificada al formulario.
, donde a es un número racional, B - número natural

,

5. Simplifique:

Las propiedades de las raíces son la base de las dos transformaciones siguientes, llamadas root-in y root-out, a las que ahora nos referiremos.

Introduciendo un multiplicador debajo del signo de la raíz

Introducir un factor debajo del signo implica el reemplazo de una expresión, donde B y C son algunos números o expresiones, y n es un número natural mayor que uno, idénticamente igual a una expresión de la forma o.

Por ejemplo, una expresión irracional después de ingresar un factor de 2 debajo del signo de la raíz toma la forma.

Bases teóricas esta transformación, las reglas para su implementación, así como las soluciones a todo tipo de ejemplos típicos dado en el artículo la introducción del factor bajo el signo de la raíz.

Eliminar un factor del signo raíz

La transformación, en un sentido opuesto a introducir el factor debajo del signo de la raíz, es sacar el factor de debajo del signo de la raíz. Consiste en representar la raíz como un producto de n impar o como un producto de n par, donde B y C son algunos números o expresiones.

Volvamos al punto anterior para ver un ejemplo: después de eliminar el factor del signo raíz, la expresión irracional toma la forma. Otro ejemplo: eliminar un factor del signo raíz en una expresión da un producto que se puede reescribir como.

En qué se basa esta transformación, y según qué reglas se lleva a cabo, analizaremos en un artículo aparte la eliminación del factor del signo raíz. En el mismo lugar, daremos soluciones a ejemplos y enumeraremos formas de reducir la expresión radical a una forma conveniente para derivar un factor.

Convertir fracciones que contienen raíces

Las expresiones irracionales pueden contener fracciones con raíces tanto en el numerador como en el denominador. Con tales fracciones, puede realizar cualquiera de los transformaciones idénticas de fracciones.

Primero, nada le impide trabajar con expresiones en el numerador y denominador. Tomemos una fracción como ejemplo. La expresión irracional en el numerador, obviamente, es idénticamente igual y, volviendo a las propiedades de las raíces, la expresión en el denominador puede ser reemplazada por una raíz. Como resultado, la fracción original se convierte a la forma.

En segundo lugar, puede cambiar el signo delante de la fracción cambiando el signo del numerador o denominador. Por ejemplo, se producen las siguientes transformaciones de una expresión irracional: .

En tercer lugar, en ocasiones es posible y aconsejable reducir la fracción. Por ejemplo, cómo negarte el placer de reducir una fracción. a una expresión irracional, como resultado obtenemos .

Es claro que en muchos casos, antes de realizar la reducción de una fracción, hay que factorizar las expresiones en su numerador y denominador, lo que en casos simples se puede lograr mediante la fórmula de multiplicación reducida. Y, a veces, cambiar una variable ayuda a reducir una fracción, lo que le permite pasar de la fracción original con irracionalidad a una fracción racional, que es más cómoda y más familiar para trabajar.

Tomemos una expresión como ejemplo. Introduzcamos nuevas variables y, en estas variables, la expresión original tiene la forma. Haciendo en el numerador

Entrenador número 1

Tema: Conversión de expresiones poderosas e irracionales

1. Programa electivo de matemáticas para estudiantes de décimo grado

   Programa

   Solicitud. Aplicar fórmulas trigonométricas básicas a transformación expresiones. Tema 4. Funciones trigonométricas y sus horarios. Para resumir .... 16.01-20.01 18 Transformación ley de potencia y irracional expresiones. 23.01-27.01 19 ...

2. Planificación calendario-temática del álgebra de material educativo y el inicio del análisis, grado 11

   Planificación temática del calendario

   Y un indicador racional. Transformación ley de potencia y irracional expresiones... 2 2 2 Septiembre Propiedades de los logaritmos. Transformación logarítmico expresiones... 1 1 1 ... están completamente revisados ​​con aquellos estudiantes que solicitan alta ...

3. Tema de la lección Tipo de lección (4)

   Lección

   ... transformaciones numérico y alfabético expresiones conteniendo la licenciatura ... grados Saber: concepto la licenciatura con un indicador irracional; propiedades básicas grados... Ser capaz de: encontrar significado la licenciatura con irracional... 3 a tema « La licenciatura numero positivo "...

4. Tema Fundamentos culturales e históricos del desarrollo del conocimiento psicológico en el trabajo Tema El trabajo como realidad sociopsicológica

   Documento

   Y etc.) tema el trabajo está estrechamente relacionado con el socio-económico transformaciones... Por ejemplo, ... reestructuración de la conciencia, los instintos, irracional tendencias, es decir conflictos internos ... averiguando la presencia y la licenciatura gravedad una persona tiene cierto ...

5. Convertir expresiones que contienen raíces cuadradas (1)

   Lección

   Editado por S.A. Telyakovsky. Tema lección: Transformación expresiones que contiene cuadrado ...) transformaciones raíces del producto, fracción y la licenciatura, multiplicación ... (formación de la habilidad de idénticos transformaciones irracional expresiones). No. 421. (en la pizarra ...

Las transformaciones idénticas de expresiones son una de las líneas significativas curso escolar matemáticas. Las transformaciones idénticas se utilizan ampliamente para resolver ecuaciones, desigualdades, sistemas de ecuaciones y desigualdades. Además, idénticas transformaciones de expresiones contribuyen al desarrollo de la inteligencia, la flexibilidad y la racionalidad del pensamiento.

Los materiales propuestos están destinados a estudiantes de 8. ° grado e incluyen los fundamentos teóricos de transformaciones idénticas de expresiones racionales e irracionales, tipos de tareas para transformar dichas expresiones y el texto de la prueba.

1. Fundamentos teóricos de transformaciones idénticas

Las expresiones en álgebra son registros de números y letras conectados por signos de acción.

https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif "ancho =" 77 "alto =" 21 src = ">. gif" ancho = "20" alto = "21 src ="> - expresiones algebraicas.

Dependiendo de las operaciones, se distinguen expresiones racionales e irracionales.

Las expresiones algebraicas se llaman racionales si son relativas a las letras incluidas en ellas. a, B, con, ... no se realizan otras operaciones excepto sumas, multiplicaciones, restas, divisiones y elevaciones a una potencia entera.

Las expresiones algebraicas que contienen las operaciones de extraer una raíz de una variable o elevar una variable a una potencia racional que no es un número entero se llaman irracionales con respecto a esta variable.

La transformación idéntica de una expresión dada se denomina reemplazo de una expresión por otra, idénticamente igual a ella en un determinado conjunto.

Los siguientes hechos teóricos subyacen a las transformaciones idénticas de expresiones racionales e irracionales.

1. Propiedades de los grados con exponente entero:

, norte EN; a 1=a;

, norte EN, a¹0; a 0=1, a¹0;

, a¹0;

, a¹0;

, a¹0;

, a¹0, B¹0;

, a¹0, B¹0.

2. Fórmulas para la multiplicación abreviada:

dónde a, B, con- cualquier número real;

Dónde a¹0, NS 1 y NS 2 - raíces de la ecuación .

3. La propiedad principal de las fracciones y acciones sobre fracciones:

, dónde B¹0, con¹0;

; ;

4. Definición de la raíz aritmética y sus propiedades:

; , B¹0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif "ancho =" 84 "alto =" 32 "> ;; ,

dónde a, B- números no negativos, norte EN, norte³2, metro EN, metro³2.

1. Tipos de ejercicios de conversión de expresiones

Existe Varios tipos ejercicios sobre transformaciones idénticas de expresiones. Primer tipo: La conversión a realizar se especifica explícitamente.

Por ejemplo.

1. Presente como polinomio.

Al realizar la transformación especificada, se utilizaron las reglas de multiplicación y resta de polinomios, la fórmula para la multiplicación abreviada y la reducción de términos similares.

2. Factor: .

Al realizar la transformación, usamos la regla de colocar el factor común fuera del corchete y 2 fórmulas para la multiplicación reducida.

3. Reducir la fracción:

.

Al realizar la transformación, utilizamos la eliminación del factor común del paréntesis, las leyes de reubicación y contracción, 2 fórmulas de multiplicación abreviada y acciones sobre potencias.

4. Saque el factor de debajo del signo de la raíz si a³0, B³0, con³0: https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif "ancho =" 432 "alto =" 27 ">

Usamos las reglas para acciones sobre raíces y la definición del módulo de un número.

5. Deshazte de la irracionalidad en el denominador de la fracción. .

Segundo tipo Los ejercicios son ejercicios que indican explícitamente la gran transformación que debe realizarse. En tales ejercicios, el requisito generalmente se formula en una de las siguientes formas: simplificar la expresión, calcular. Al realizar tales ejercicios, primero debe identificar cuál y en qué orden necesita realizar las transformaciones para que la expresión adquiera una forma más compacta que la dada, o obtenga un resultado numérico.

Por ejemplo

6. Simplifique la expresión:

Solución:

.

Usamos las reglas de operaciones en fracciones algebraicas y fórmulas de multiplicación abreviadas.

7. Simplifique la expresión:

.

Si a³0, B³0, a¹ B.

Usamos fórmulas de multiplicación abreviadas, reglas para sumar fracciones y multiplicar expresiones irracionales, la identidad https://pandia.ru/text/80/197/images/image049_15.gif "width =" 203 "height =" 29 ">.

Usamos la operación de seleccionar un cuadrado completo, la identidad https://pandia.ru/text/80/197/images/image053_11.gif "width =" 132 height = 21 "height =" 21 ">, if.

Prueba:

Desde, entonces yo o o, es decir

Usó la condición y la fórmula para la suma de cubos.

Debe tenerse en cuenta que las condiciones que unen las variables también se pueden especificar en los ejercicios de los dos primeros tipos.

Por ejemplo.

10. Encuentra si.