Los cuerpos de rotación que se estudian en la escuela son el cilindro, el cono y la bola.
Si en un problema del Examen Estatal Unificado de matemáticas necesitas calcular el volumen de un cono o el área de una esfera, considérate afortunado.
Aplicar fórmulas para volumen y área de superficie de un cilindro, cono y esfera. Todos ellos están en nuestra mesa. Aprender de memoria. Aquí comienza el conocimiento de la estereometría.
A veces es bueno dibujar la vista desde arriba. O, como en este problema, desde abajo.
2. ¿Cuántas veces se describe el volumen de un cono alrededor de la dirección correcta? pirámide cuadrangular, es mayor que el volumen del cono inscrito en esta pirámide?
Es simple: dibuja la vista desde abajo. Vemos que el radio del círculo mayor es veces mayor que el radio del círculo más pequeño. Las alturas de ambos conos son las mismas. Por tanto, el volumen del cono más grande será el doble.
Otro punto importante. Recuerda que en los problemas de la parte B Opciones del examen estatal unificado en matemáticas, la respuesta se escribe como un número entero o una fracción decimal finita. Por lo tanto, no debería haber ninguno en su respuesta en la parte B. ¡Tampoco es necesario sustituir el valor aproximado del número! ¡Definitivamente debe encogerse! Es por ello que en algunos problemas la tarea se formula, por ejemplo, de la siguiente manera: "Encontrar el área de la superficie lateral del cilindro dividida por".
¿Dónde más se utilizan las fórmulas para el volumen y la superficie de los cuerpos de revolución? Por supuesto, en el problema C2 (16). También te lo contamos.
Hoy te contamos cómo encontrar la generatriz de un cono, lo que suele ser necesario en los problemas de geometría escolares.
El concepto de generatriz de cono.
Un cono rectángulo es una figura que se obtiene girando un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. La base del cono forma un círculo. La sección vertical del cono es un triángulo, la sección horizontal es un círculo. La altura de un cono es el segmento que conecta la parte superior del cono con el centro de la base. La generatriz de un cono es un segmento que conecta el vértice del cono con cualquier punto de la recta del círculo base.
Dado que un cono se forma girando un triángulo rectángulo, resulta que el primer cateto de dicho triángulo es la altura, el segundo es el radio del círculo que se encuentra en la base y la hipotenusa es la generatriz del cono. No es difícil adivinar que el teorema de Pitágoras es útil para calcular la longitud del generador. Y ahora más sobre cómo encontrar la longitud de la generatriz del cono.
Encontrar el generador
La forma más sencilla de entender cómo encontrar un generador es en ejemplo específico. Supongamos que se dan las siguientes condiciones del problema: la altura es de 9 cm, el diámetro del círculo base es de 18 cm. Es necesario encontrar una generatriz.
Entonces, la altura del cono (9 cm) es uno de los catetos del triángulo rectángulo con la ayuda del cual se formó este cono. El segundo cateto será el radio del círculo base. El radio es la mitad del diámetro. Así, dividimos el diámetro que nos dieron por la mitad y obtenemos la longitud del radio: 18:2 = 9. El radio es 9.
Ahora es muy fácil encontrar la generatriz del cono. Al ser hipotenusa, el cuadrado de su longitud será igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir, la suma de los cuadrados del radio y la altura. Entonces, el cuadrado de la longitud del generador = 64 (el cuadrado de la longitud del radio) + 64 (el cuadrado de la longitud de la altura) = 64x2 = 128. Ahora sacamos la raíz cuadrada de 128. Como Como resultado, obtenemos ocho raíces de dos. Esta será la generatriz del cono.
Como puede ver, esto no tiene nada de complicado. Por ejemplo, tomamos condiciones simples tareas, sin embargo curso escolar pueden ser más complejos. Recuerda que para calcular la longitud de la generatriz necesitas averiguar el radio del círculo y la altura del cono. Conociendo estos datos, es fácil encontrar la longitud de la generatriz.
La geometría es una rama de las matemáticas que estudia las estructuras en el espacio y las relaciones entre ellas. A su vez, también consta de apartados, y uno de ellos es la estereometría. Se trata del estudio de las propiedades de figuras tridimensionales situadas en el espacio: cubo, pirámide, bola, cono, cilindro, etc.
Un cono es un cuerpo en el espacio euclidiano que está limitado por una superficie cónica y el plano en el que se encuentran los extremos de sus generadores. Su formación se produce durante la rotación de un triángulo rectángulo alrededor de cualquiera de sus catetos, por lo que pertenece a los cuerpos de rotación.
Componentes de un cono
Existen los siguientes tipos de conos: oblicuos (o inclinados) y rectos. Oblicuo es aquel cuyo eje no corta con el centro de su base en ángulo recto. Por esta razón, la altura en tal cono no coincide con el eje, ya que es un segmento que desciende desde la parte superior del cuerpo hasta el plano de su base en un ángulo de 90°.
Se llama recta al cono cuyo eje es perpendicular a su base. El eje y la altura en un cuerpo geométrico de este tipo coinciden debido al hecho de que el vértice se encuentra por encima del centro del diámetro de la base.
El cono consiste en los siguientes elementos:
- El círculo que es su base.
- Superficie lateral.
- Un punto que no se encuentra en el plano de la base, llamado vértice del cono.
- Segmentos que conectan los puntos de la circunferencia de la base de un cuerpo geométrico y su vértice.
Todos estos segmentos son generadores del cono. Están inclinados hacia la base del cuerpo geométrico, y en el caso de un cono recto, sus proyecciones son iguales, ya que el vértice equidista de los puntos del círculo de la base. Así, podemos concluir que en un cono regular (recto) los generadores son iguales, es decir, tienen la misma longitud y forman los mismos ángulos con el eje (o altura) y la base.
Dado que en un cuerpo de rotación oblicuo (o inclinado) el vértice se desplaza con respecto al centro del plano base, las generatrices en dicho cuerpo tienen diferentes longitudes y proyección, ya que cada uno de ellos está a diferente distancia de dos puntos cualesquiera del círculo de la base. Además, los ángulos entre ellos y la altura del cono también serán diferentes.
Longitud de generatrices en un cono recto.
Como se escribió anteriormente, la altura en un cuerpo de revolución geométrico recto es perpendicular al plano de la base. Así, en el cono se crean la generatriz, la altura y el radio de la base. triángulo rectángulo.
Es decir, conociendo el radio de la base y la altura, usando la fórmula del teorema de Pitágoras, se puede calcular la longitud de la generatriz, que será igual a la suma de los cuadrados del radio de la base y la altura:
l 2 = r 2 + h 2 o l = √r 2 + h 2
donde l es el generador;
r - radio;
h - altura.
Generador en cono inclinado
Partiendo del hecho de que en un cono oblicuo o inclinado los generadores no tienen la misma longitud, no será posible calcularlos sin construcciones y cálculos adicionales.
En primer lugar, necesita conocer la altura, la longitud del eje y el radio de la base.
r 1 = √k 2 - h 2
donde r 1 es la parte del radio entre el eje y la altura;
k - longitud del eje;
h - altura.
Como resultado de sumar el radio (r) y su parte situada entre el eje y la altura (r 1), se puede conocer la generatriz completa del cono, su altura y parte del diámetro:
donde R es el cateto de un triángulo formado por la altura, el generador y parte del diámetro de la base;
r - radio de la base;
r 1 - parte del radio entre el eje y la altura.
Usando la misma fórmula del teorema de Pitágoras, puedes encontrar la longitud de la generatriz del cono:
l = √h 2 + R 2
o, sin calcular R por separado, combinar las dos fórmulas en una:
l = √h 2 + (r + r 1) 2.
Independientemente de si el cono es recto u oblicuo y cuáles son los datos de entrada, todos los métodos para encontrar la longitud de la generatriz siempre se reducen a un resultado: el uso del teorema de Pitágoras.
Sección de cono
Axial es un plano que pasa a lo largo de su eje o altura. En un cono recto, dicha sección es triángulo isósceles, en el que la altura del triángulo es la altura del cuerpo, sus lados son los generadores y la base es el diámetro de la base. En un cuerpo geométrico equilátero, la sección axial es un triángulo equilátero, ya que en este cono el diámetro de la base y los generadores son iguales.
El plano de la sección axial de un cono recto es el plano de su simetría. La razón de esto es que su parte superior se encuentra por encima del centro de su base, es decir, el plano de la sección axial divide el cono en dos partes idénticas.
Dado que la altura y el eje no coinciden en un cuerpo volumétrico inclinado, el plano de sección axial puede no incluir la altura. Si se pueden construir muchas secciones axiales en un cono de este tipo, ya que para ello solo se debe cumplir una condición: debe pasar solo a través del eje, entonces solo se puede dibujar la sección axial del plano al que pertenecerá la altura de este cono. , porque el número de condiciones aumenta y, como se sabe, dos rectas (juntas) pueden pertenecer a un solo plano.
Área transversal
La sección axial del cono mencionada anteriormente es un triángulo. En base a esto, su área se puede calcular usando la fórmula para el área de un triángulo:
S = 1/2 * d * h o S = 1/2 * 2r * h
donde S es el área de la sección transversal;
d - diámetro de la base;
r - radio;
h - altura.
En un cono oblicuo o inclinado, la sección transversal a lo largo del eje también es un triángulo, por lo que el área de la sección transversal se calcula de manera similar.
Volumen
Dado que un cono es una figura tridimensional en un espacio tridimensional, se puede calcular su volumen. El volumen de un cono es un número que caracteriza a este cuerpo en una unidad de volumen, es decir, en m3. El cálculo no depende de si es recto u oblicuo (oblicuo), ya que las fórmulas para estos dos tipos de cuerpos no difieren.
Como se dijo anteriormente, la formación de un cono rectángulo se produce debido a la rotación de un triángulo rectángulo a lo largo de uno de sus catetos. Un cono inclinado u oblicuo se forma de manera diferente, ya que su altura se aleja del centro del plano de la base del cuerpo. Sin embargo, tales diferencias en la estructura no afectan el método para calcular su volumen.
Cálculo de volumen
Cualquier cono se parece a esto:
V = 1/3 * π * h * r 2
donde V es el volumen del cono;
h - altura;
r - radio;
π es una constante igual a 3,14.
Para calcular la altura de un cuerpo es necesario conocer el radio de la base y la longitud de su generatriz. Dado que el radio, la altura y el generador se combinan en un triángulo rectángulo, la altura se puede calcular usando la fórmula del teorema de Pitágoras (a 2 + b 2 = c 2 o en nuestro caso h 2 + r 2 = l 2, donde l es el generador). La altura se calculará sacando la raíz cuadrada de la diferencia entre los cuadrados de la hipotenusa y el otro cateto:
un = √c 2 - segundo 2
Es decir, la altura del cono será igual al valor obtenido tras sacar la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de la longitud de la generatriz y el cuadrado del radio de la base:
h = √l 2 - r 2
Calculando la altura con este método y conociendo el radio de su base, puedes calcular el volumen del cono. el maestro juega papel importante, ya que sirve como elemento auxiliar en los cálculos.
De manera similar, si se conoce la altura de un cuerpo y la longitud de su generatriz, se puede encontrar el radio de su base sacando la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de la generatriz y el cuadrado de la altura:
r = √l 2 - h 2
Luego, usando la misma fórmula anterior, calcula el volumen del cono.
Volumen de un cono inclinado
Dado que la fórmula para el volumen de un cono es la misma para todos los tipos de cuerpos de rotación, la diferencia en su cálculo es la búsqueda de la altura.
Para saber la altura de un cono inclinado, los datos de entrada deben incluir la longitud de la generatriz, el radio de la base y la distancia entre el centro de la base y la intersección de la altura del cuerpo con el plano. de su base. Sabiendo esto, podrás calcular fácilmente qué parte del diámetro de la base será la base de un triángulo rectángulo (formado por la altura, la generatriz y el plano de la base). Luego, utilizando nuevamente el teorema de Pitágoras, calcula la altura del cono y, posteriormente, su volumen.
Aquí hay problemas con los conos, la condición está relacionada con su superficie. En particular, en algunos problemas se trata de cambiar el área al aumentar (disminuir) la altura del cono o el radio de su base. Teoría para la resolución de problemas en . Consideremos las siguientes tareas:
27135. La circunferencia de la base del cono es 3, la generatriz es 2. Encuentra el área de la superficie lateral del cono.
El área de la superficie lateral del cono es igual a:
Sustituyendo los datos:
75697. ¿Cuántas veces aumentará el área de la superficie lateral del cono si su generatriz aumenta 36 veces y el radio de la base sigue siendo el mismo?
Área de superficie lateral del cono:
La generatriz aumenta 36 veces. El radio sigue siendo el mismo, lo que significa que la circunferencia de la base no ha cambiado.
Esto significa que el área de la superficie lateral del cono modificado tendrá la forma:
Por tanto, aumentará 36 veces.
*La relación es sencilla, por lo que este problema se puede resolver fácilmente de forma oral.
27137. ¿Cuántas veces disminuirá el área de la superficie lateral del cono si el radio de su base se reduce 1,5 veces?
El área de la superficie lateral del cono es igual a:
El radio disminuye 1,5 veces, es decir:
Se encontró que la superficie lateral disminuyó 1,5 veces.
27159. La altura del cono es 6, la generatriz es 10 Encuentra el área de su superficie total dividida por Pi.
Superficie de cono lleno:
Necesitas encontrar el radio:
Se conocen la altura y la generatriz, usando el teorema de Pitágoras calculamos el radio:
De este modo:
Divide el resultado por Pi y escribe la respuesta.
76299. La superficie total del cono es 108. Se traza una sección paralela a la base del cono, dividiendo la altura por la mitad. Encuentra el área de superficie total del cono cortado.
La sección pasa por la mitad de la altura paralela a la base. Esto significa que el radio de la base y la generatriz del cono cortado será 2 veces menor que el radio y la generatriz del cono original. Anotemos el área de superficie del cono cortado:
Encontramos que será 4 veces menor que la superficie del original, es decir, 108:4 = 27.
*Dado que el cono original y el cortado son cuerpos similares, también fue posible utilizar la propiedad de similitud:
27167. El radio de la base del cono es 3 y la altura es 4. Calcula el área de superficie total del cono dividida por Pi.
Fórmula para la superficie total de un cono:
Se conoce el radio, es necesario encontrar la generatriz. 
Según el teorema de Pitágoras:
De este modo:
Divide el resultado por Pi y escribe la respuesta.
Tarea. El área de la superficie lateral del cono es cuatro veces más área jardines. Encuentra cuál es el coseno del ángulo entre la generatriz del cono y el plano de la base.
El área de la base del cono es: 
