La longitud del segmento en el eje de coordenadas está determinada por la fórmula:
La longitud de un segmento en el plano coordenado se encuentra mediante la fórmula:
Para encontrar la longitud de un segmento en un sistema de coordenadas tridimensional, use la siguiente fórmula:
Las coordenadas de la mitad del segmento (para el eje de coordenadas solo se usa la primera fórmula, para el plano de coordenadas, las dos primeras fórmulas, para un sistema de coordenadas tridimensional, las tres fórmulas) se calculan usando las fórmulas:
Función– esta es una correspondencia de la forma y= F(incógnita) entre cantidades variables, debido a que cada valor considerado de alguna cantidad variable incógnita(argumento o variable independiente) corresponde a un determinado valor de otra variable, y(variable dependiente, a veces este valor se denomina simplemente valor de la función). Tenga en cuenta que la función asume que el valor de un argumento incógnita sólo un valor de la variable dependiente puede corresponder en. Sin embargo, el mismo valor en se puede obtener con diferentes incógnita.
Dominio de funciones– estos son todos los valores de la variable independiente (argumento de función, generalmente este incógnita), para el cual se define la función, es decir su significado existe. Se indica el área de definición. D(y). En general, ya estás familiarizado con este concepto. El dominio de definición de una función también se denomina dominio de valores permisibles, o VA, que usted ha podido encontrar desde hace mucho tiempo.
Rango de funciones son todos los valores posibles de la variable dependiente de una función dada. Designado mi(en).
La función aumenta en el intervalo en el que un valor mayor del argumento corresponde a un valor mayor de la función. La función es decreciente. en el intervalo en el que un valor mayor del argumento corresponde a un valor menor de la función.
Intervalos de signo constante de una función.- estos son los intervalos de la variable independiente durante los cuales la variable dependiente conserva su signo positivo o negativo.
Ceros de función– estos son los valores del argumento en los que el valor de la función es igual a cero. En estos puntos, el gráfico de la función se cruza con el eje de abscisas (eje OX). Muy a menudo, la necesidad de encontrar los ceros de una función significa la necesidad de resolver simplemente la ecuación. Además, a menudo la necesidad de encontrar intervalos de constancia de signo significa la necesidad de resolver simplemente la desigualdad.
Función y = F(incógnita) se llaman incluso incógnita
Esto significa que para cualquier valor opuesto del argumento, los valores de la función par son iguales. Cronograma incluso función siempre simétrico en relación con el eje de ordenadas del amplificador operacional.
Función y = F(incógnita) se llaman extraño, si se define en un conjunto simétrico y para cualquier incógnita desde el dominio de definición la igualdad se cumple:
Esto significa que para cualquier valor opuesto del argumento, los valores de la función impar también son opuestos. La gráfica de una función impar siempre es simétrica con respecto al origen.
La suma de las raíces de pares y funciones impares(puntos de intersección del eje de abscisas OX) siempre es igual a cero, porque por cada raíz positiva incógnita tiene una raíz negativa - incógnita.
Es importante tener en cuenta: alguna función no tiene por qué ser par o impar. Hay muchas funciones que no son ni pares ni impares. Tales funciones se llaman funciones vista general , y para ellos no se satisface ninguna de las igualdades o propiedades dadas anteriormente.
función lineal es una función que puede estar dada por la fórmula:
La gráfica de una función lineal es una línea recta y en el caso general se ve así (se da un ejemplo para el caso cuando k> 0, en este caso la función es creciente; para la ocasión k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Gráfica de una función cuadrática (Parábola)
La gráfica de una parábola viene dada por una función cuadrática:
función cuadrática, como cualquier otra función, corta al eje OX en los puntos que son sus raíces: ( incógnita 1; 0) y ( incógnita 2; 0). Si no hay raíces, entonces la función cuadrática no interseca el eje OX; si solo hay una raíz, entonces en este punto ( incógnita 0; 0) la función cuadrática solo toca el eje OX, pero no lo cruza. La función cuadrática siempre corta el eje OY en el punto con coordenadas: (0; do). La gráfica de una función cuadrática (parábola) puede verse así (la figura muestra ejemplos que están lejos de ser exhaustivos) tipos posibles parábolas):
En este caso:
- si el coeficiente a> 0, en función y = hacha 2 + bx + do, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba;
- si a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Las coordenadas del vértice de una parábola se pueden calcular mediante las siguientes fórmulas. X tapas (pag- en las imágenes de arriba) parábolas (o el punto en el que trinomio cuadrático alcanza su valor máximo o mínimo):
tapas grecas (q- en las figuras anteriores) parábolas o el máximo si las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), el valor del trinomio cuadrático:
Gráficas de otras funciones.
Función de potencia
A continuación se muestran algunos ejemplos de gráficas de funciones de potencia:
Inversamente proporcional llamar a la función dado por la fórmula:
Dependiendo del signo del número. k horario de regreso dependencia proporcional Puede tener dos opciones fundamentales:
Asíntota es una recta a la que la gráfica de una función se acerca infinitamente pero no se cruza. Asíntotas para gráficas proporcionalidad inversa En la figura anterior se muestran los ejes de coordenadas a los que la gráfica de la función se acerca infinitamente, pero no los cruza.
función exponencial con base A es una función dada por la fórmula:
a La gráfica de una función exponencial puede tener dos opciones fundamentales (también damos ejemplos, ver más abajo):
función logarítmica es una función dada por la fórmula:
Dependiendo de si el número es mayor o menor que uno a La gráfica de una función logarítmica puede tener dos opciones fundamentales:
Gráfica de una función y = |incógnita| se ve así:
Gráficas de funciones periódicas (trigonométricas)
Función en = F(incógnita) se llama periódico, si existe un número distinto de cero t, Qué F(incógnita + t) = F(incógnita), para cualquier incógnita del dominio de la función F(incógnita). Si la función F(incógnita) es periódico con punto t, entonces la función:
Dónde: A, k, b son números constantes y k no igual a cero, también periódico con punto t 1, que está determinado por la fórmula:
La mayoría de los ejemplos de funciones periódicas son funciones trigonométricas. Aquí tenéis las gráficas de los principales funciones trigonométricas. La siguiente figura muestra parte de la gráfica de la función. y= pecado incógnita(la gráfica completa continúa indefinidamente de izquierda a derecha), gráfica de la función y= pecado incógnita llamado sinusoide:
Gráfica de una función y= porque incógnita llamado coseno. Este gráfico se muestra en la siguiente figura. Dado que la gráfica del seno continúa indefinidamente a lo largo del eje OX hacia la izquierda y hacia la derecha:
Gráfica de una función y= tg incógnita llamado tangentoide. Este gráfico se muestra en la siguiente figura. Al igual que las gráficas de otras funciones periódicas, esta gráfica se repite indefinidamente a lo largo del eje OX hacia la izquierda y hacia la derecha.
Y finalmente, la gráfica de la función. y=ctg incógnita llamado cotangentoide. Este gráfico se muestra en la siguiente figura. Al igual que las gráficas de otras funciones periódicas y trigonométricas, esta gráfica se repite indefinidamente a lo largo del eje OX hacia la izquierda y hacia la derecha.
La implementación exitosa, diligente y responsable de estos tres puntos te permitirá mostrar un excelente resultado en el CT, el máximo de lo que eres capaz de hacer.
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Una función de la forma donde se llama función cuadrática.
Gráfica de una función cuadrática – parábola.
Consideremos los casos:
CASO I, PARÁBOLA CLÁSICA
Eso es , ,
Para construir, complete la tabla sustituyendo los valores de x en la fórmula:
Marque los puntos (0;0); (1;1); (-1;1), etc. en el plano de coordenadas (cuanto menor sea el paso que damos, los valores de x (en en este caso paso 1), y cuantos más valores de x tomemos, más suave será la curva), obtenemos una parábola:
Es fácil ver que si tomamos el caso, es decir, obtenemos una parábola que es simétrica con respecto al eje (oh). Es fácil verificar esto completando una tabla similar:
II CASO, “a” ES DIFERENTE DE LA UNIDAD
¿Qué pasará si tomamos , , ? ¿Cómo cambiará el comportamiento de la parábola? Con título="Representado por QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
En la primera imagen (ver arriba) se ve claramente que los puntos de la tabla de la parábola (1;1), (-1;1) se transformaron en puntos (1;4), (1;-4), es decir, con los mismos valores se multiplica la ordenada de cada punto por 4. Esto sucederá con todos los puntos clave de la tabla original. Razonamos de manera similar en los casos de los cuadros 2 y 3.
Y cuando la parábola “se vuelve más ancha” que la parábola:
Resumamos:
1)El signo del coeficiente determina la dirección de las ramas. Con título="Representado por QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) valor absoluto El coeficiente (módulo) es responsable de la "expansión" y la "compresión" de la parábola. Cuanto más grande , más estrecha es la parábola; cuanto más pequeña |a|, más ancha es la parábola.
CASO III, APARECE “C”
Ahora introduzcamos en el juego (es decir, consideremos el caso en el que), consideraremos parábolas de la forma . No es difícil adivinar (siempre puedes consultar la tabla) que la parábola se desplazará hacia arriba o hacia abajo a lo largo del eje según el signo:
CASO IV, APARECE “b”
¿Cuándo se “separará” la parábola del eje y finalmente “caminará” a lo largo de todo el plano de coordenadas? ¿Cuándo dejará de ser igual?
Aquí para construir una parábola necesitamos. fórmula para calcular el vértice: , .
Entonces en este punto (como en el punto (0;0) nuevo sistema coordenadas) construiremos una parábola, lo cual ya podemos hacer. Si estamos tratando con el caso, entonces desde el vértice colocamos un segmento unitario hacia la derecha, uno hacia arriba, el punto resultante es nuestro (de manera similar, un paso hacia la izquierda, un paso hacia arriba es nuestro punto); si estamos tratando, por ejemplo, desde el vértice colocamos un segmento unitario hacia la derecha, dos hacia arriba, etc.
Por ejemplo, el vértice de una parábola:
Ahora lo principal que hay que entender es que en este vértice construiremos una parábola según el patrón de parábola, porque en nuestro caso.
Al construir una parábola después de encontrar las coordenadas del vértice muyEs conveniente considerar los siguientes puntos:
1) parábola definitivamente pasará por el punto . De hecho, sustituyendo x=0 en la fórmula, obtenemos que . Es decir, la ordenada del punto de intersección de la parábola con el eje (oy) es . En nuestro ejemplo (arriba), la parábola corta la ordenada en el punto , ya que .
2) eje de simetría parábolas es una línea recta, por lo que todos los puntos de la parábola serán simétricos con respecto a ella. En nuestro ejemplo, tomamos inmediatamente el punto (0; -2) y lo construimos simétrico con respecto al eje de simetría de la parábola, obtenemos el punto (4; -2) por donde pasará la parábola.
3) Igualando a , encontramos los puntos de intersección de la parábola con el eje (oh). Para ello, resolvemos la ecuación. Dependiendo del discriminante, obtendremos uno (,), dos ( title="Renderizado por QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . En el ejemplo anterior nuestra raíz del discriminante no es un número entero; al construir no tiene mucho sentido para nosotros encontrar las raíces, pero vemos claramente que tendremos dos puntos de intersección con el eje (oh) (desde title="Representado por QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Así que resolvámoslo
Algoritmo para construir una parábola si se da en la forma
1) determinar la dirección de las ramas (a>0 – arriba, a<0 – вниз)
2) encontramos las coordenadas del vértice de la parábola usando la fórmula, .
3) encontramos el punto de intersección de la parábola con el eje (oy) usando el término libre, construimos un punto simétrico a este punto con respecto al eje de simetría de la parábola (cabe señalar que sucede que no es rentable marcar este punto, por ejemplo, porque el valor es grande... nos saltamos este punto...)
4) En el punto encontrado, el vértice de la parábola (como en el punto (0;0) del nuevo sistema de coordenadas), construimos una parábola. Si título="Representado por QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Encontramos los puntos de intersección de la parábola con el eje (oy) (si aún no han “emergido”) resolviendo la ecuación
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Nota 1. Si la parábola se nos da inicialmente en la forma , donde están algunos números (por ejemplo, ), entonces será aún más fácil construirla, porque ya nos han dado las coordenadas del vértice . ¿Por qué?
Tomemos un trinomio cuadrático y aislemos el cuadrado completo en él: Mira, tenemos eso,. Tú y yo antes llamábamos al vértice de una parábola, es decir, ahora.
Por ejemplo, . Marcamos el vértice de la parábola en el plano, entendemos que las ramas se dirigen hacia abajo, la parábola está expandida (con respecto a ). Es decir, realizamos los puntos 1; 3; 4; 5 del algoritmo para construir una parábola (ver arriba).
Nota 2. Si una parábola se da en una forma como esta (es decir, representada como el producto de dos multiplicadores lineales), luego vemos inmediatamente los puntos de intersección de la parábola con el eje (oh). En este caso – (0;0) y (4;0). Por lo demás, actuamos según el algoritmo, abriendo los corchetes.
Dado material metodológico es sólo para referencia y se aplica a una amplia gama de temas. El artículo proporciona una descripción general de las gráficas de funciones elementales básicas y considera la cuestión más importante: cómo construir un gráfico de forma correcta y RÁPIDA. En el curso de estudiar matemáticas superiores sin conocimiento de gráficos básicos. funciones elementales Será difícil, por eso es muy importante recordar cómo son las gráficas de una parábola, hipérbola, seno, coseno, etc., y recordar algunos de los valores de las funciones. También hablaremos de algunas propiedades de las funciones principales.
No pretendo que los materiales sean completos y científicos; el énfasis se pondrá, en primer lugar, en la práctica, aquellas cosas con las que se cuenta; uno se encuentra literalmente a cada paso, en cualquier tema de matemáticas superiores. ¿Gráficos para tontos? Se podría decir que sí.
Debido a numerosas solicitudes de los lectores. tabla de contenidos en la que se puede hacer clic:
Además, hay una sinopsis ultracorta sobre el tema.
– ¡Domina 16 tipos de gráficos estudiando SEIS páginas!
En serio, seis, incluso yo me sorprendí. Este resumen contiene gráficos mejorados y está disponible por una tarifa nominal; se puede ver una versión de demostración. Es conveniente imprimir el archivo para tener los gráficos siempre a mano. ¡Gracias por apoyar el proyecto!
Y comencemos de inmediato:
¿Cómo construir ejes de coordenadas correctamente?
En la práctica, los estudiantes casi siempre completan las pruebas en cuadernos separados, alineados en un cuadrado. ¿Por qué necesitas marcas a cuadros? Después de todo, el trabajo, en principio, se puede realizar en hojas A4. Y la jaula es necesaria precisamente para el diseño preciso y de alta calidad de los dibujos.
Cualquier dibujo de un gráfico de funciones comienza con ejes de coordenadas..
Los dibujos pueden ser bidimensionales o tridimensionales.
Consideremos primero el caso bidimensional. Sistema de coordenadas rectangular cartesiano:
1) Dibujar ejes de coordenadas. El eje se llama eje x , y el eje es eje y . Siempre tratamos de dibujarlos. limpio y no torcido. Las flechas tampoco deberían parecerse a la barba de Papa Carlo.
2) Etiquetar los ejes en mayúsculas"X" e "Y". No olvides etiquetar los ejes..
3) Establecer la escala a lo largo de los ejes: dibuja un cero y dos unos. Al hacer un dibujo, la escala más conveniente y utilizada con frecuencia es: 1 unidad = 2 celdas (dibujo de la izquierda); si es posible, cíñete a ella. Sin embargo, de vez en cuando sucede que el dibujo no cabe en la hoja del cuaderno; entonces reducimos la escala: 1 unidad = 1 celda (dibujo de la derecha). Es raro, pero sucede que hay que reducir (o aumentar) aún más la escala del dibujo.
NO HAY NECESIDAD de “ametrallar”…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Porque el plano de coordenadas no es un monumento a Descartes y el estudiante no es una paloma. ponemos cero Y dos unidades a lo largo de los ejes. A veces en lugar de unidades, es conveniente "marcar" otros valores, por ejemplo, "dos" en el eje de abscisas y "tres" en el eje de ordenadas, y este sistema (0, 2 y 3) también definirá de forma única la cuadrícula de coordenadas.
Es mejor estimar las dimensiones estimadas del dibujo ANTES de construirlo.. Entonces, por ejemplo, si la tarea requiere dibujar un triángulo con vértices , , , entonces está completamente claro que la escala popular de 1 unidad = 2 celdas no funcionará. ¿Por qué? Veamos el punto: aquí tendrás que medir quince centímetros hacia abajo y, obviamente, el dibujo no cabe (o apenas cabe) en una hoja de cuaderno. Por lo tanto, seleccionamos inmediatamente una escala más pequeña: 1 unidad = 1 celda.
Por cierto, unos centímetros y celdas de cuaderno. ¿Es cierto que 30 celdas de un cuaderno contienen 15 centímetros? Para divertirte, mide 15 centímetros en tu cuaderno con una regla. En la URSS, esto pudo haber sido cierto... Es interesante notar que si mides estos mismos centímetros horizontal y verticalmente, ¡los resultados (en las celdas) serán diferentes! Estrictamente hablando, los cuadernos modernos no son a cuadros, sino rectangulares. Esto puede parecer una tontería, pero dibujar, por ejemplo, un círculo con un círculo en tales situaciones es muy inconveniente. Para ser honesto, en esos momentos uno comienza a pensar en la razón del camarada Stalin, quien fue enviado a campos para realizar trabajos de piratería en la producción, sin mencionar la industria automotriz nacional, los aviones que caen o las explosiones de centrales eléctricas.
Hablando de calidad, o una breve recomendación sobre papelería. Hoy en día, la mayoría de los portátiles a la venta son, por decir lo mínimo, una completa basura. ¡Porque se mojan, y no solo con los bolígrafos de gel, sino también con los bolígrafos! Ahorran dinero en papel. Para registrarse pruebas Recomiendo utilizar cuadernos de la fábrica de pulpa y papel de Arkhangelsk (18 hojas, cuadrícula) o “Pyaterochka”, aunque es más caro. Es recomendable elegir un bolígrafo de gel; incluso el recambio de gel chino más barato es mucho mejor que un bolígrafo, que mancha o rasga el papel. El único "competitivo" bolígrafo en mi memoria está "Erich Krause". Escribe de forma clara, bella y coherente, ya sea con la esencia llena o casi vacía.
Además: La visión de un sistema de coordenadas rectangular a través de los ojos de la geometría analítica se trata en el artículo. Dependencia lineal (no) de vectores. Base de vectores, información detallada sobre los cuartos de coordenadas se puede encontrar en el segundo párrafo de la lección Desigualdades lineales.
caso 3D
Es casi lo mismo aquí.
1) Dibujar ejes de coordenadas. Estándar: aplicar eje – dirigido hacia arriba, eje – dirigido hacia la derecha, eje – dirigido hacia abajo hacia la izquierda estrictamente en un ángulo de 45 grados.
2) Etiquete los ejes.
3) Establezca la escala a lo largo de los ejes. La escala a lo largo del eje es dos veces menor que la escala a lo largo de los otros ejes.. También tenga en cuenta que en el dibujo de la derecha utilicé una "muesca" no estándar a lo largo del eje. (esta posibilidad ya ha sido mencionada anteriormente). Desde mi punto de vista, esto es más preciso, más rápido y más agradable desde el punto de vista estético: no es necesario buscar el centro de la celda con un microscopio y "esculpir" una unidad cerca del origen de las coordenadas.
Al hacer un dibujo 3D, nuevamente, dale prioridad a la escala.
1 unidad = 2 celdas (dibujo de la izquierda).
¿Para qué sirven todas estas reglas? Las reglas están hechas para romperse. Eso es lo que haré ahora. El hecho es que los dibujos posteriores del artículo los haré yo en Excel y los ejes de coordenadas se verán incorrectos desde el punto de vista. diseño correcto. Podría dibujar todos los gráficos a mano, pero en realidad da miedo dibujarlos porque Excel se resiste a dibujarlos con mucha más precisión.
Gráficas y propiedades básicas de funciones elementales.
Una función lineal viene dada por la ecuación. La gráfica de funciones lineales es directo. Para construir una línea recta basta con conocer dos puntos.
Ejemplo 1
Construye una gráfica de la función. Encontremos dos puntos. Es ventajoso elegir cero como uno de los puntos.
Si entonces
Tomemos otro punto, por ejemplo, 1.
Si entonces
Al realizar tareas, las coordenadas de los puntos se suelen resumir en una tabla:
Y los valores en sí se calculan de forma oral o en un borrador, una calculadora.
Se han encontrado dos puntos, hagamos un dibujo:
Al preparar un dibujo, siempre firmamos los gráficos..
Sería útil recordar casos especiales de una función lineal:
Fíjate cómo coloqué las firmas, las firmas no deben permitir discrepancias al estudiar el dibujo.. En este caso, era extremadamente indeseable poner una firma al lado del punto de intersección de las líneas, o en la parte inferior derecha entre los gráficos.
1) Una función lineal de la forma () se llama proporcionalidad directa. Por ejemplo, . Una gráfica de proporcionalidad directa siempre pasa por el origen. Por lo tanto, construir una línea recta se simplifica: basta con encontrar un solo punto.
2) Una ecuación de la forma especifica una línea recta paralela al eje; en particular, el eje mismo está dado por la ecuación. La gráfica de la función se construye inmediatamente, sin encontrar ningún punto. Es decir, la entrada debe entenderse de la siguiente manera: “la y siempre es igual a –4, para cualquier valor de x”.
3) Una ecuación de la forma especifica una línea recta paralela al eje; en particular, el eje mismo está dado por la ecuación. La gráfica de la función también se traza inmediatamente. La entrada debe entenderse de la siguiente manera: “x es siempre, para cualquier valor de y, igual a 1”.
Algunos preguntarán, ¿por qué recordar el sexto grado? Así es, tal vez sea así, pero a lo largo de los años de práctica he conocido a una buena docena de estudiantes que estaban desconcertados ante la tarea de construir un gráfico como o.
Construir una línea recta es la acción más común al realizar dibujos.
La línea recta se analiza en detalle en el curso de geometría analítica, y los interesados pueden consultar el artículo. Ecuación de una línea recta en un plano..
Gráfica de una función cúbica cuadrática, gráfica de un polinomio
Parábola. Gráfica de una función cuadrática 
() representa una parábola. Consideremos el famoso caso:
Recordemos algunas propiedades de la función.
Entonces, la solución de nuestra ecuación: – es en este punto donde se encuentra el vértice de la parábola. Se puede aprender por qué esto es así en el artículo teórico sobre la derivada y la lección sobre los extremos de la función. Mientras tanto, estamos contando valor correspondiente"Y":
Por tanto, el vértice está en el punto
Ahora encontramos otros puntos, mientras usamos descaradamente la simetría de la parábola. Cabe señalar que la función 
– ni siquiera es, pero, sin embargo, nadie canceló la simetría de la parábola.
En qué orden para encontrar los puntos restantes, creo que quedará claro en la mesa final:
Este algoritmo de construcción se puede llamar en sentido figurado "lanzadera" o el principio de "ida y vuelta" de Anfisa Chejova.
Hagamos el dibujo:
De los gráficos considerados, recuerdo uno más. señal útil:
Para una función cuadrática 
() lo siguiente es cierto:
Si , entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba..
Si , entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo..
Se puede obtener un conocimiento profundo sobre la curva en la lección Hipérbola y parábola.
Una parábola cúbica está dada por la función. Aquí hay un dibujo familiar de la escuela:
Enumeremos las principales propiedades de la función.
Gráfica de una función
Representa una de las ramas de una parábola. Hagamos el dibujo:
Propiedades principales de la función:
En este caso el eje es asíntota vertical para la gráfica de una hipérbola en .
Sería un GRAVE error si, al realizar un dibujo, descuidadamente permites que la gráfica se cruce con una asíntota.
También los límites unilaterales nos dicen que la hipérbola no limitado desde arriba Y no limitado desde abajo.
Examinemos la función en el infinito: , es decir, si comenzamos a movernos a lo largo del eje hacia la izquierda (o derecha) hasta el infinito, entonces los “juegos” estarán en un paso ordenado. infinitamente cerca acercarse a cero y, en consecuencia, las ramas de la hipérbola infinitamente cerca acercarse al eje.
Entonces el eje es asíntota horizontal para la gráfica de una función, si “x” tiende a más o menos infinito.
La función es extraño, y, por tanto, la hipérbola es simétrica con respecto al origen. este hecho evidente por el dibujo, además, se verifica fácilmente analíticamente: 
.
La gráfica de una función de la forma () representa dos ramas de una hipérbola.
Si , entonces la hipérbola se ubica en el primer y tercer cuarto de coordenadas(ver imagen arriba).
Si , entonces la hipérbola se ubica en el segundo y cuarto cuarto de coordenadas.
El patrón indicado de residencia de la hipérbola es fácil de analizar desde el punto de vista de las transformaciones geométricas de las gráficas.
Ejemplo 3
Construye la rama derecha de la hipérbola.
Usamos el método de construcción puntual y es ventajoso seleccionar los valores para que sean divisibles por un entero:
Hagamos el dibujo:
No será difícil construir la rama izquierda de la hipérbola; la rareza de la función ayudará aquí. En términos generales, en la tabla de construcción puntual, sumamos mentalmente un menos a cada número, ponemos los puntos correspondientes y dibujamos la segunda rama.
Se puede encontrar información geométrica detallada sobre la recta considerada en el artículo Hipérbola y parábola.
Gráfica de una función exponencial
En este apartado consideraré inmediatamente la función exponencial, ya que en problemas de matemáticas superiores en el 95% de los casos es la exponencial la que aparece.
Permítanme recordarles que este es un número irracional: , será necesario al construir un gráfico que, de hecho, construiré sin ceremonias. Tres puntos, quizás eso sea suficiente:
Dejemos la gráfica de la función sola por ahora, hablaremos de ella más adelante.
Propiedades principales de la función:
Los gráficos de funciones, etc., se ven fundamentalmente iguales.
Debo decir que el segundo caso ocurre con menos frecuencia en la práctica, pero ocurre, por lo que consideré necesario incluirlo en este artículo.
Gráfica de una función logarítmica
Considere una función con un logaritmo natural.
Hagamos un dibujo punto por punto:
Si ha olvidado qué es un logaritmo, consulte los libros de texto de su escuela.
Propiedades principales de la función:
Dominio de definición: 
Rango de valores: .
La función no está limitada desde arriba: 
, aunque lentamente, pero la rama del logaritmo llega al infinito.
Examinemos el comportamiento de la función cercana a cero a la derecha: 
. Entonces el eje es asíntota vertical
para la gráfica de una función cuando “x” tiende a cero desde la derecha.
Es imperativo conocer y recordar el valor típico del logaritmo.: .
La gráfica del logaritmo en la base se ve fundamentalmente igual: , , ( logaritmo decimal a base 10), etc. Además, cuanto mayor sea la base, más plano será el gráfico.
No consideraremos el caso, no recuerdo cuando último tiempo Construí un gráfico sobre esta base. Y el logaritmo parece ser un invitado muy raro en los problemas de matemáticas superiores.
Al final de este párrafo diré un hecho más: Función exponencial y función logarítmica.– estas son dos funciones mutuamente inversas. Si miras de cerca la gráfica del logaritmo, puedes ver que este es el mismo exponente, solo que está ubicado de manera un poco diferente.
Gráficas de funciones trigonométricas.
¿Dónde comienza el tormento trigonométrico en la escuela? Bien. Del seno
Trazamos la función
Esta línea se llama sinusoide.
Déjame recordarte que “pi” es un número irracional: y en trigonometría deslumbra los ojos.
Propiedades principales de la función:
Esta función es periódico con punto. ¿Qué significa? Veamos el segmento. A la izquierda y a la derecha, exactamente la misma parte del gráfico se repite sin cesar.
Dominio de definición: , es decir, para cualquier valor de “x” existe un valor seno.
Rango de valores: . La función es limitado: , es decir, todos los "juegos" se ubican estrictamente en el segmento.
Esto no sucede: o, más precisamente, sucede, pero estas ecuaciones no tienen solución.
