Ejemplo
1,6/2 = 0,8;4/5 = 0,8;
5,6/7 = 0,8, etc. Factor de proporcionalidad Una relación constante de cantidades proporcionales se llama
factor de proporcionalidad
factor de proporcionalidad. El coeficiente de proporcionalidad muestra cuántas unidades de una cantidad hay por unidad de otra. Proporcionalidad directa- dependencia funcional, en la que una determinada cantidad depende de otra cantidad de tal manera que su relación permanece constante. En otras palabras, estas variables cambian
proporcionalmente
, en partes iguales, es decir, si el argumento cambia dos veces en cualquier dirección, entonces la función también cambia dos veces en la misma dirección.(Matemáticamente, la proporcionalidad directa se escribe como una fórmula:) = FMatemáticamente, la proporcionalidad directa se escribe como una fórmula:,F = incógnitaadoohnorte
s
t Proporcionalidad inversa
Proporcionalidad inversa
- se trata de una dependencia funcional, en la que un aumento en el valor independiente (argumento) provoca una disminución proporcional en el valor dependiente (función).
Matemáticamente, la proporcionalidad inversa se escribe como una fórmula:
Propiedades de la función:
Fuentes
Fundación Wikimedia. 2010. I. Cantidades directamente proporcionales. deja que el valor y deja que el valor depende del tamaño incógnita. Si al aumentar deja que el valor varias veces el tamaño en aumenta en la misma cantidad, entonces tales valores
Y
1 en se llaman directamente proporcionales. Ejemplos.. La cantidad de bienes adquiridos y el precio de compra (con un precio fijo por unidad de bienes: 1 pieza o 1 kg, etc.)
2 cuantas veces más bienes Comprado, muchas veces más y pagado.. La distancia recorrida y el tiempo empleado en ella (a velocidad constante).
3 cuantas veces camino más largo)
, dedicaremos muchas veces más tiempo a repasarlo.
. El volumen de un cuerpo y su masa. ( Si una sandía es 2 veces más grande que otra, entonces su masa será 2 veces mayor. II. Propiedad de proporcionalidad directa de cantidades.
Si dos cantidades son directamente proporcionales, entonces la razón de dos valores tomados arbitrariamente de la primera cantidad es igual a la razón de dos valores correspondientes segunda magnitud. Tarea 1. Para mermelada de frambuesa tomamos 12 kilos frambuesas y 8 kilos
Sáhara. ¿Cuánta azúcar necesitarás si la tomaras?
9 kilogramos frambuesas? Solución. frambuesas y frambuesas La masa de frambuesas y la masa de azúcar son cantidades directamente proporcionales: cuantas veces menos frambuesas hay, tantas veces menos azúcar se necesita. Por lo tanto, la proporción de frambuesas tomadas (en peso) ( 12:9 ) será igual a la proporción de azúcar tomada ( 8:x). Obtenemos la proporción:
12: 9=8: INCÓGNITA;
x=9 · 8: 12;
x=6. Respuesta: en frambuesas y es necesario tomar frambuesas 6 kilos Sáhara.
solución del problema Se podría hacer así:
Cantar frambuesas y es necesario tomar frambuesas x kilos Sáhara.
(Las flechas en la figura están dirigidas en una dirección y no importa hacia arriba o hacia abajo. Significado: ¿cuántas veces el número 12 mas numero 9 , el mismo número de veces 8 mas numero deja que el valor, es decir, aquí hay una relación directa).
Respuesta: en frambuesas y necesito tomar algunas frambuesas 6 kilos Sáhara.
Tarea 2. Coche para 3 horas viajó la distancia 264 kilometros. ¿Cuánto tiempo le llevará viajar? 440 kilometros, si conduce a la misma velocidad?
Sáhara. ¿Cuánta azúcar necesitarás si la tomaras?
dejar por x horas el coche cubrirá la distancia 440 kilometros.
Respuesta: el auto pasará 440 kilómetros en 5 horas.
Tarea 3. El agua fluye desde la tubería hacia la piscina. Para 2 horas ella llena 1/5 piscina ¿En qué parte de la piscina se llena de agua? 5 horas?
Sáhara. ¿Cuánta azúcar necesitarás si la tomaras?
Respondemos a la pregunta de la tarea: para 5 horas se llenará 1/x parte de la piscina. (La piscina entera se toma como un todo).
§ 129. Aclaraciones preliminares.
Una persona trata constantemente con una amplia variedad de cantidades. Un empleado y un trabajador intentan llegar al trabajo a una hora determinada, un peatón tiene prisa por llegar a un lugar determinado por el camino más corto, un fogonero de calefacción a vapor está preocupado porque la temperatura en la caldera está subiendo lentamente, un El ejecutivo de negocios está haciendo planes para reducir el costo de producción, etc.
Se podrían citar numerosos ejemplos de este tipo. Tiempo, distancia, temperatura, coste: todas estas son cantidades diversas. En la primera y segunda parte de este libro, nos familiarizamos con algunas cantidades particularmente comunes: área, volumen, peso. Encontramos muchas cantidades cuando estudiamos física y otras ciencias.
Imagina que viajas en un tren. De vez en cuando miras tu reloj y notas cuánto tiempo llevas en la carretera. Dices, por ejemplo, que han pasado 2, 3, 5, 10, 15 horas desde que salió tu tren, etc. Estos números representan diferentes períodos de tiempo; se les llama valores de esta cantidad (tiempo). O miras por la ventana y sigues los carteles de la carretera para ver la distancia que recorre tu tren. Los números 110, 111, 112, 113, 114 km parpadean ante usted. Estos números representan las diferentes distancias que ha recorrido el tren desde su punto de partida. También se les llama valores, esta vez de distinta magnitud (trayectoria o distancia entre dos puntos). Así, una magnitud, por ejemplo el tiempo, la distancia, la temperatura, puede abarcar tantas diferentes significados.
Tenga en cuenta que una persona casi nunca considera solo una cantidad, sino que siempre la conecta con otras cantidades. Tiene que trabajar simultáneamente con dos, tres o más cantidades. Imagina que necesitas llegar a la escuela a las 9 en punto. Miras tu reloj y ves que tienes 20 minutos. Entonces rápidamente decides si debes tomar el tranvía o si puedes caminar hasta la escuela. Después de pensar, decides caminar. Observa que mientras pensabas, estabas resolviendo algún problema. Esta tarea se ha vuelto simple y familiar, ya que este tipo de problemas se resuelven todos los días. En él comparaste rápidamente varias cantidades. Fuiste tú quien miró el reloj, es decir, tomaste en cuenta la hora, luego imaginaste mentalmente la distancia desde tu casa hasta la escuela; finalmente, comparaste dos cantidades: la velocidad de tu paso y la velocidad del tranvía, y concluiste que tiempo dado(20 min.) Tendrás tiempo para caminar. En este sencillo ejemplo se puede ver que en nuestra práctica algunas cantidades están interconectadas, es decir, dependen unas de otras.
El capítulo doce habló sobre la relación de cantidades homogéneas. Por ejemplo, si un segmento mide 12 my el otro mide 4 m, entonces la proporción de estos segmentos será 12: 4.
Dijimos que esta es la proporción de dos cantidades homogéneas. Otra forma de decir esto es que es la razón de dos números. un nombre.
Ahora que estamos más familiarizados con las cantidades y hemos introducido el concepto de valor de una cantidad, podemos expresar la definición de razón de una nueva manera. De hecho, cuando consideramos dos segmentos de 12 my 4 m, estábamos hablando de un valor: la longitud, y 12 my 4 m eran solo dos diferentes significados este valor.
Por lo tanto, en el futuro, cuando comencemos a hablar de razones, consideraremos dos valores de una cantidad, y la razón de un valor de una cantidad a otro valor de la misma cantidad se llamará el cociente de dividir el primer valor. por el segundo.
§ 130. Los valores son directamente proporcionales.
Consideremos un problema cuya condición incluye dos cantidades: distancia y tiempo.
Si dos cantidades son directamente proporcionales, entonces la razón de dos valores tomados arbitrariamente de la primera cantidad es igual a la razón de dos Un cuerpo que se mueve de manera rectilínea y uniforme recorre 12 cm cada segundo. Determine la distancia recorrida por el cuerpo en 2, 3, 4,..., 10 segundos.
Creemos una tabla que pueda usarse para rastrear cambios en tiempo y distancia.
La tabla nos da la oportunidad de comparar estas dos series de valores. De él vemos que cuando los valores de la primera cantidad (tiempo) aumentan gradualmente en 2, 3,..., 10 veces, entonces los valores de la segunda cantidad (distancia) también aumentan en 2, 3, ..., 10 veces. Así, cuando los valores de una cantidad aumentan varias veces, los valores de otra cantidad aumentan en la misma cantidad, y cuando los valores de una cantidad disminuyen varias veces, los valores de otra cantidad disminuyen en la misma cantidad. mismo número.
Consideremos ahora un problema que involucra dos de esas cantidades: la cantidad de materia y su costo.
Tarea 2. 15 m de tela cuestan 120 rublos. Calcula el coste de este tejido para varias otras cantidades de metros indicadas en la tabla.
Utilizando esta tabla, podemos rastrear cómo el costo de un producto aumenta gradualmente dependiendo del aumento en su cantidad. A pesar de que este problema involucra cantidades completamente diferentes (en el primer problema, el tiempo y la distancia, y aquí, la cantidad de bienes y su valor), se pueden encontrar grandes similitudes en el comportamiento de estas cantidades.
De hecho, en la línea superior de la tabla hay números que indican la cantidad de metros de tela; debajo de cada uno de ellos hay un número que expresa el costo de la cantidad correspondiente de bienes. Incluso un vistazo rápido a esta tabla muestra que los números en las filas superior e inferior están aumentando; tras un examen más detenido de la tabla y al comparar columnas individuales, se descubre que en todos los casos los valores de la segunda cantidad aumentan tanto como los valores de la primera cantidad, es decir, si el valor de la La primera cantidad aumenta, digamos, 10 veces, luego el valor de la segunda cantidad también aumenta 10 veces.
Si miramos la tabla de derecha a izquierda, encontraremos que los valores de cantidades indicados disminuirán en mismo numero una vez. En este sentido, existe una similitud incondicional entre la primera tarea y la segunda.
Los pares de cantidades que encontramos en el primer y segundo problema se llaman directamente proporcional.
Por lo tanto, si dos cantidades están relacionadas entre sí de tal manera que a medida que el valor de una de ellas aumenta (disminuye) varias veces, el valor de la otra aumenta (disminuye) en la misma cantidad, entonces tales cantidades se llaman directamente proporcionales. .
También se dice que estas cantidades están relacionadas entre sí mediante una relación directamente proporcional.
Hay muchas cantidades similares que se encuentran en la naturaleza y en la vida que nos rodea. A continuación se muestran algunos ejemplos:
1. Tiempo trabajo (día, dos días, tres días, etc.) y ganancias, recibido durante este tiempo con jornal.
2. Volumen cualquier objeto hecho de un material homogéneo, y peso este artículo.
§ 131. Propiedad de cantidades directamente proporcionales.
Tomemos un problema que involucra las dos cantidades siguientes: horas de trabajo y ganancias. Si las ganancias diarias son de 20 rublos, entonces las ganancias de 2 días serán de 40 rublos, etc. Lo más conveniente es crear una tabla en la que una determinada cantidad de días corresponda a determinadas ganancias.
Al observar esta tabla, vemos que ambas cantidades tomaron 10 valores diferentes. Cada valor del primer valor corresponde a un cierto valor del segundo valor, por ejemplo, 2 días corresponden a 40 rublos; 5 días corresponden a 100 rublos. En la tabla estos números están escritos uno debajo del otro.
Ya sabemos que si dos cantidades son directamente proporcionales, entonces cada una de ellas, en el proceso de cambio, aumenta tantas veces como la otra aumenta. De esto se sigue inmediatamente: si tomamos la razón de dos valores cualesquiera de la primera cantidad, entonces será igual a la razón de los dos valores correspondientes de la segunda cantidad. De hecho:
¿Por qué sucede esto? Pero debido a que estos valores son directamente proporcionales, es decir, cuando uno de ellos (el tiempo) aumentó 3 veces, el otro (las ganancias) aumentó 3 veces.
Por tanto, hemos llegado a la siguiente conclusión: si tomamos dos valores de la primera cantidad y los dividimos entre sí, y luego dividimos por uno los valores correspondientes de la segunda cantidad, entonces en ambos casos obtendremos el mismo número, es decir, la misma relación. Esto significa que las dos relaciones que escribimos anteriormente se pueden conectar con un signo igual, es decir
No hay duda de que si no tomáramos estas relaciones, sino otras, y no en ese orden, sino en el orden opuesto, obtendríamos también la igualdad de relaciones. De hecho, consideraremos los valores de nuestras cantidades de izquierda a derecha y tomaremos el tercer y noveno valor:
60:180 = 1 / 3 .
Entonces podemos escribir:
Esto lleva a la siguiente conclusión: si dos cantidades son directamente proporcionales, entonces la razón de dos valores tomados arbitrariamente de la primera cantidad es igual a la razón de los dos valores correspondientes de la segunda cantidad.
§ 132. Fórmula de proporcionalidad directa.
Creemos una tabla de costos. varias cantidades dulces, si 1 kg cuesta 10,4 rublos.
Ahora hagámoslo de esta manera. Tome cualquier número en la segunda línea y divídalo por el número correspondiente en la primera línea. Por ejemplo:
Ves que en el cociente se obtiene siempre el mismo número. En consecuencia, para un par dado de cantidades directamente proporcionales, el cociente de dividir cualquier valor de una cantidad por el valor correspondiente de otra cantidad es un número constante (es decir, que no cambia). En nuestro ejemplo, este cociente es 10,4. Este número constante se llama factor de proporcionalidad. EN en este caso expresa el precio de una unidad de medida, es decir, un kilogramo de mercancía.
¿Cómo encontrar o calcular el coeficiente de proporcionalidad? Para hacer esto, debes tomar cualquier valor de una cantidad y dividirlo por el valor correspondiente de la otra.
Denotemos este valor arbitrario de una cantidad con la letra incógnita , y el valor correspondiente de otra cantidad: la letra deja que el valor , entonces el coeficiente de proporcionalidad (lo denotamos A) encontramos por división:
En esta igualdad incógnita - divisible, deja que el valor - divisor y A- cociente, y como por la propiedad de la división el dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente, podemos escribir:
y = k Matemáticamente, la proporcionalidad directa se escribe como una fórmula:
La igualdad resultante se llama Fórmula de proporcionalidad directa. Usando esta fórmula, podemos calcular cualquier número de valores de una de las cantidades directamente proporcionales si conocemos los valores correspondientes de la otra cantidad y el coeficiente de proporcionalidad.
Ejemplo. Por la física sabemos que el peso R de cualquier cuerpo es igual a su peso específico d , multiplicado por el volumen de este cuerpo V, es decir. R = d V.
Tomemos cinco barras de hierro. varios volúmenes; Conociendo el peso específico del hierro (7.8), podemos calcular los pesos de estos lingotes mediante la fórmula:
R = 7,8 V.
Comparando esta fórmula con la fórmula incógnita = A deja que el valor , vemos que y = R, x = V, y el coeficiente de proporcionalidad A= 7,8. La fórmula es la misma, sólo las letras son diferentes.
Usando esta fórmula, hagamos una tabla: supongamos que el volumen del primer espacio en blanco sea igual a 8 metros cúbicos. cm, entonces su peso es 7,8 8 = 62,4 (g). El volumen del segundo espacio en blanco es de 27 metros cúbicos. cm Su peso es 7,8 27 = 210,6 (g). La tabla se verá así:
Calcula los números que faltan en esta tabla usando la fórmula R= d V.
§ 133. Otros métodos de resolución de problemas con cantidades directamente proporcionales.
En el párrafo anterior resolvimos un problema cuya condición incluía cantidades directamente proporcionales. Para ello, primero derivamos la fórmula de proporcionalidad directa y luego aplicamos esta fórmula. Ahora mostraremos otras dos formas de resolver problemas similares.
Creemos un problema usando los datos numéricos dados en la tabla del párrafo anterior.
Tarea. En blanco con un volumen de 8 metros cúbicos. cm pesa 62,4 g ¿Cuánto pesará una pieza en bruto con un volumen de 64 metros cúbicos? ¿centímetro?
Sáhara. ¿Cuánta azúcar necesitarás si la tomaras? El peso del hierro, como se sabe, es proporcional a su volumen. Si 8 pies cúbicos. cm pesan 62,4 g, luego 1 cu. cm pesará 8 veces menos, es decir
62,4:8 = 7,8 (g).
En blanco con un volumen de 64 metros cúbicos. cm pesará 64 veces más que una pieza en bruto de 1 metro cúbico. cm, es decir
7,8·64 = 499,2(g).
Resolvimos nuestro problema reduciendo a la unidad. El significado de este nombre se justifica por el hecho de que para resolverlo tuvimos que encontrar el peso de una unidad de volumen en la primera pregunta.
2. Método de proporción. Resolvamos el mismo problema usando el método de la proporción.
Dado que el peso del hierro y su volumen son cantidades directamente proporcionales, la relación entre dos valores de una cantidad (volumen) es igual a la relación entre dos valores correspondientes de otra cantidad (peso), es decir,
(carta R designamos el peso desconocido del blanco). Desde aquí:
(GRAMO).
El problema se resolvió mediante el método de proporciones. Esto significa que para solucionarlo se compiló una proporción a partir de los números incluidos en la condición.
§ 134. Los valores son inversamente proporcionales.
Considere el siguiente problema: “Cinco albañiles pueden colocar las paredes de ladrillo de una casa en 168 días. Determina en cuántos días 10, 8, 6, etc. los albañiles podrían completar el mismo trabajo”.
Si 5 albañiles colocaron las paredes de una casa en 168 días, entonces (con la misma productividad laboral) 10 albañiles podrían hacerlo en la mitad del tiempo, ya que en promedio 10 personas hacen el doble de trabajo que 5 personas.
Elaboremos una tabla mediante la cual podamos monitorear los cambios en el número de trabajadores y las horas de trabajo.
Por ejemplo, para saber cuántos días tardan 6 trabajadores, primero debes calcular cuántos días tarda un trabajador (168 5 = 840), y luego cuántos días tardan seis trabajadores (840: 6 = 140). Al observar esta tabla, vemos que ambas cantidades tomaron seis valores diferentes. Cada valor de la primera cantidad corresponde a uno específico; el valor del segundo valor, por ejemplo, 10 corresponde al 84, el número 8 corresponde al número 105, etc.
Si consideramos los valores de ambas cantidades de izquierda a derecha, veremos que los valores de la cantidad superior aumentan, y los valores de la cantidad inferior disminuyen. El aumento y la disminución están sujetos a la siguiente ley: los valores del número de trabajadores aumentan al mismo tiempo que disminuyen los valores del tiempo de trabajo invertido. Esta idea se puede expresar aún más simplemente de la siguiente manera: cuanto más trabajadores participan en una tarea, menos tiempo necesitan para completarla. Las dos cantidades que encontramos en este problema se llaman inversamente proporcional.
Por lo tanto, si dos cantidades están relacionadas entre sí de tal manera que a medida que el valor de una de ellas aumenta (disminuye) varias veces, el valor de la otra disminuye (aumenta) en la misma cantidad, entonces tales cantidades se llaman inversamente proporcionales. .
Hay muchas cantidades similares en la vida. Pongamos ejemplos.
1. Si por 150 rublos. Si necesita comprar varios kilogramos de dulces, la cantidad de dulces dependerá del precio de un kilogramo. Cuanto mayor sea el precio, menos bienes podrás comprar con este dinero; esto se puede ver en la tabla:
A medida que el precio de los dulces aumenta varias veces, la cantidad de kilogramos de dulces que se pueden comprar por 150 rublos disminuye en la misma cantidad. En este caso, dos cantidades (el peso del producto y su precio) son inversamente proporcionales.
2. Si la distancia entre dos ciudades es de 1200 km, entonces se puede recorrer en diferentes tiempos dependiendo de la velocidad del movimiento. Hay diferentes maneras transporte: a pie, a caballo, en bicicleta, en barco, en coche, en tren, en avión. Cuanto menor sea la velocidad, más tiempo tardará en moverse. Esto se puede ver en la tabla:
Con un aumento de velocidad varias veces, el tiempo de viaje disminuye en la misma cantidad. Esto significa que en estas condiciones, la velocidad y el tiempo son cantidades inversamente proporcionales.
§ 135. Propiedad de cantidades inversamente proporcionales.
Tomemos el segundo ejemplo, que vimos en el párrafo anterior. Allí nos ocupamos de dos cantidades: la velocidad y el tiempo. Si observamos los valores de estas cantidades de izquierda a derecha en la tabla, veremos que los valores de la primera cantidad (velocidad) aumentan, y los valores de la segunda (tiempo) disminuyen, y la velocidad aumenta en la misma cantidad que el tiempo disminuye. No es difícil entender que si escribes la razón de algunos valores de una cantidad, entonces no será igual a la razón de los valores correspondientes de otra cantidad. De hecho, si tomamos la relación entre el cuarto valor del valor superior y el séptimo valor (40: 80), entonces no será igual a la relación entre el cuarto y el séptimo valor del valor inferior (30: 15). Se puede escribir así:
40:80 no es igual a 30:15 o 40:80 =/=30:15.
Pero si en lugar de una de estas relaciones tomamos la opuesta, entonces obtenemos igualdad, es decir, a partir de estas relaciones será posible crear una proporción. Por ejemplo:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
Con base en lo anterior, podemos sacar la siguiente conclusión: si dos cantidades son inversamente proporcionales, entonces la relación entre dos valores tomados arbitrariamente de una cantidad es igual a la relación inversa de los valores correspondientes de otra cantidad.
§ 136. Fórmula de proporcionalidad inversa.
Considere el problema: “Hay 6 piezas de tela de seda de diferentes tamaños y grados. Todas las piezas cuestan lo mismo. En una pieza hay 100 m de tela y el precio es de 20 rublos. por metro ¿Cuántos metros hay en cada una de las otras cinco piezas, si un metro de tela de estas piezas cuesta 25, 40, 50, 80 y 100 rublos, respectivamente? Para resolver este problema, creemos una tabla:
Necesitamos completar las celdas vacías en la fila superior de esta tabla. Primero intentemos determinar cuántos metros hay en la segunda pieza. Esto se puede hacer de la siguiente manera. De las condiciones del problema se sabe que el costo de todas las piezas es el mismo. El coste de la primera pieza es fácil de determinar: contiene 100 metros y cada metro cuesta 20 rublos, lo que significa que la primera pieza de seda vale 2.000 rublos. Dado que la segunda pieza de seda contiene la misma cantidad de rublos, entonces, divida 2000 rublos. Por el precio de un metro, es decir 25, encontramos el tamaño de la segunda pieza: 2.000: 25 = 80 (m). De la misma forma encontraremos el tamaño de todas las demás piezas. La tabla se verá así:
Es fácil ver que existe una relación inversamente proporcional entre el número de metros y el precio.
Si haces tú mismo los cálculos necesarios, notarás que cada vez tienes que dividir el número 2.000 por el precio de 1 m. Por el contrario, si ahora empiezas a multiplicar el tamaño de la pieza en metros por el precio de 1 m. , siempre obtendrás el número 2.000. Esto y fue necesario esperar, ya que cada pieza cuesta 2.000 rublos.
De aquí podemos sacar la siguiente conclusión: para un par dado de cantidades inversamente proporcionales, el producto de cualquier valor de una cantidad por el valor correspondiente de otra cantidad es un número constante (es decir, que no cambia).
En nuestro problema, este producto es igual a 2000. Comprueba que en el problema anterior, que hablaba de la velocidad de movimiento y el tiempo necesario para desplazarse de una ciudad a otra, también había un número constante para ese problema (1200).
Teniendo todo en cuenta, es fácil derivar la fórmula de proporcionalidad inversa. Denotemos un cierto valor de una cantidad con la letra deja que el valor , y el valor correspondiente de otra cantidad está representado por la letra incógnita . Entonces, con base en lo anterior, el trabajo deja que el valor en incógnita debe ser igual a algún valor constante, que denotamos con la letra A, es decir.
x y = A.
En esta igualdad deja que el valor - multiplicando incógnita - multiplicador y k- trabajar. Según la propiedad de la multiplicación, un multiplicador es igual al producto dividido por el multiplicando. Medio,
Esta es la fórmula de proporcionalidad inversa. Utilizándolo podemos calcular cualquier número de valores de una de las cantidades inversamente proporcionales, conociendo los valores de la otra y el número constante. A.
Consideremos otro problema: “El autor de un ensayo calculó que si su libro está en formato normal, tendrá 96 páginas, pero si es de bolsillo, tendrá 300 páginas. Probó diferentes opciones, comenzó con 96 páginas y luego terminó con 2.500 letras por página. Luego tomó los números de página que se muestran en la siguiente tabla y nuevamente calculó cuántas letras habría en la página”.
Intentemos calcular cuántas letras habrá en una página si el libro tiene 100 páginas.
Hay 240.000 letras en todo el libro, ya que 2.500 · 96 = 240.000.
Teniendo esto en cuenta, utilizamos la fórmula de proporcionalidad inversa ( incógnita - número de letras en la página, deja que el valor - número de páginas):
En nuestro ejemplo A= 240.000 por lo tanto
Entonces hay 2.400 letras en la página.
De manera similar, aprendemos que si un libro tiene 120 páginas, entonces el número de letras en la página será:
Nuestra tabla se verá así:
Complete las celdas restantes usted mismo.
§ 137. Otros métodos de resolución de problemas con cantidades inversamente proporcionales.
En el párrafo anterior resolvimos problemas cuyas condiciones incluían cantidades inversamente proporcionales. Primero derivamos la fórmula de proporcionalidad inversa y luego aplicamos esta fórmula. Ahora mostraremos otras dos soluciones para tales problemas.
1. Método de reducción a la unidad.
Tarea. 5 torneros pueden realizar un trabajo en 16 días. ¿En cuántos días 8 torneros pueden completar este trabajo?
Sáhara. ¿Cuánta azúcar necesitarás si la tomaras? Existe una relación inversa entre el número de torneros y las horas de trabajo. Si 5 torneros hacen el trabajo en 16 días, entonces una persona necesitará 5 veces más tiempo para ello, es decir.
5 torneros completan el trabajo en 16 días,
1 tornero lo completará en 16 5 = 80 días.
El problema pregunta cuántos días les tomará a 8 torneros completar el trabajo. Evidentemente, harán el trabajo 8 veces más rápido que 1 volteador, es decir, en
80: 8 = 10 (días).
Ésta es la solución al problema reduciéndolo a la unidad. Aquí era necesario, en primer lugar, determinar el tiempo necesario para completar el trabajo de un trabajador.
2. Método de proporción. Resolvamos el mismo problema de la segunda forma.
Dado que existe una relación inversamente proporcional entre el número de trabajadores y el tiempo de trabajo, podemos escribir: duración del trabajo de 5 torneros nuevo número de torneros (8) duración del trabajo de 8 torneros número anterior de torneros (5) Denotemos el duración requerida del trabajo por carta deja que el valor y ponlo en proporción, expresado en palabras, números requeridos:
El mismo problema se resuelve mediante el método de proporciones. Para resolverlo, tuvimos que crear una proporción a partir de los números incluidos en el enunciado del problema.
Nota. En los párrafos anteriores examinamos la cuestión de la proporcionalidad directa e inversa. La naturaleza y la vida nos dan muchos ejemplos de dependencia proporcional directa e inversa de cantidades. Sin embargo, cabe señalar que estos dos tipos de dependencia son sólo los más simples. Junto a ellos, existen otras dependencias más complejas entre cantidades. Además, no se debe pensar que si dos cantidades aumentan simultáneamente, entonces existe necesariamente una proporcionalidad directa entre ellas. Esto está lejos de ser cierto. Por ejemplo, los peajes de ferrocarril aumenta en función de la distancia: cuanto más viajamos, más pagamos, pero esto no quiere decir que el pago sea proporcional a la distancia.
Completado por: Chepkasov Rodion
estudiante de sexto grado
MBOU "Escuela secundaria nº 53"
Barnaúl
Jefe: Bulykina O.G.
profesor de matematicas
MBOU "Escuela secundaria nº 53"
Barnaúl
Introducción. 1
Relaciones y proporciones. 3
Relaciones proporcionales directas e inversas. 4
Aplicación de proporcional directa e inversa 6
dependencias a la hora de resolver diversos problemas.
Conclusión. 11
Literatura. 12
Introducción.
La palabra proporción proviene del vocablo latino proporción, que generalmente significa proporcionalidad, alineación de partes (una cierta proporción de partes entre sí). En la antigüedad, los pitagóricos tenían en gran estima la doctrina de las proporciones. Con las proporciones asociaban pensamientos sobre el orden y la belleza de la naturaleza, sobre las consonantes en la música y la armonía en el universo. A algunos tipos de proporciones los llamaron musicales o armónicos.
Incluso en la antigüedad, el hombre descubrió que todos los fenómenos de la naturaleza están relacionados entre sí, que todo está en continuo movimiento, cambio y, cuando se expresa en números, revela patrones sorprendentes.
Los pitagóricos y sus seguidores buscaban todo en el mundo. expresión numérica. Descubrieron; que las proporciones matemáticas subyacen a la música (la relación entre la longitud de la cuerda y el tono, la relación entre intervalos, la relación de sonidos en los acordes que dan un sonido armónico). Los pitagóricos intentaron fundamentar matemáticamente la idea de la unidad del mundo y argumentaron que la base del universo eran las formas geométricas simétricas. Los pitagóricos buscaron una base matemática para la belleza.
Siguiendo a los pitagóricos, el científico medieval Agustín llamó a la belleza “igualdad numérica”. El filósofo escolástico Buenaventura escribió: “No hay belleza ni placer sin proporcionalidad, y la proporcionalidad existe principalmente en los números. Es necesario que todo sea contable”. Leonardo da Vinci escribió sobre el uso de la proporción en el arte en su tratado de pintura: "El pintor encarna en forma de proporción los mismos patrones ocultos en la naturaleza que el científico conoce en forma de ley numérica".
Las proporciones se utilizaron para resolver diversos problemas tanto en la antigüedad como en la Edad Media. Ciertos tipos de problemas ahora se resuelven fácil y rápidamente usando proporciones. Las proporciones y la proporcionalidad se utilizaron y se utilizan no sólo en matemáticas, sino también en arquitectura y arte. La proporción en arquitectura y arte significa mantener ciertas relaciones entre tamaños. diferentes partes edificio, figura, escultura u otra obra de arte. La proporcionalidad en tales casos es una condición para una construcción y representación correctas y hermosas.
En mi trabajo traté de considerar el uso de relaciones proporcionales directas e inversas en diversas áreas. vida circundante, rastrear contacto con materias academicas a través de tareas.
Relaciones y proporciones.
El cociente de dos números se llama. actitud estos números.
Muestra de actitud, ¿cuántas veces el primer número? mas que el segundo o qué parte es el primer número del segundo.
Tarea.
Se llevaron al almacén 2,4 toneladas de peras y 3,6 toneladas de manzanas. ¿Qué proporción de las frutas que se traen son peras?
Solución . Hallemos cuánta fruta trajeron: 2,4+3,6=6(t). Para saber qué parte de las frutas traídas son peras, hacemos la proporción 2,4:6=. La respuesta también se puede escribir como fracción decimal o como porcentaje: = 0,4 = 40%.
Mutuamente inverso llamado números, cuyos productos son iguales a 1. Por lo tanto la relación se llama inversa de la relación.
Considere dos proporciones iguales: 4,5:3 y 6:4. Pongamos un signo igual entre ellos y obtengamos la proporción: 4,5:3=6:4.
Proporción es la igualdad de dos relaciones: a : b =c :d o = 
, donde a y d son términos extremos de proporción, c y b – miembros promedio(todos los términos de la proporción son distintos de cero).
Propiedad básica de proporción:
en la proporción correcta, el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios.
Aplicando la propiedad conmutativa de la multiplicación, encontramos que en la proporción correcta es posible intercambiar términos extremos o términos medios. Las proporciones resultantes también serán correctas.
Usando la propiedad básica de la proporción, puedes encontrar su término desconocido si se conocen todos los demás términos.
Para encontrar el término extremo desconocido de la proporción, debes multiplicar los términos promedio y dividir por el término extremo conocido. x : b = c : d , x = 
Para encontrar el término medio desconocido de una proporción, debes multiplicar los términos extremos y dividir por el término medio conocido. a : b = x : d , x = 
.
Relaciones proporcionales directas e inversas.
Los valores de dos cantidades diferentes pueden depender mutuamente entre sí. Entonces, el área de un cuadrado depende de la longitud de su lado, y viceversa: la longitud del lado de un cuadrado depende de su área.
Se dice que dos cantidades son proporcionales si, al aumentar
(disminuye) uno de ellos varias veces, el otro aumenta (disminuye) el mismo número de veces.
Si dos cantidades son directamente proporcionales, entonces las razones de los valores correspondientes de estas cantidades son iguales.
Ejemplo dependencia proporcional directa .
en una gasolinera 2 litros de gasolina pesan 1,6 kg. cuanto pesaran¿5 litros de gasolina?
Solución:
El peso del queroseno es proporcional a su volumen.
2 litros - 1,6 kilogramos
5 litros - x kg
2:5=1,6:x,
x=5*1,6x=4
Respuesta: 4 kg.
Aquí la relación peso-volumen permanece sin cambios.
Dos cantidades se llaman inversamente proporcionales si, cuando una de ellas aumenta (disminuye) varias veces, la otra disminuye (aumenta) en la misma cantidad.
Si las cantidades son inversamente proporcionales, entonces la razón de los valores de una cantidad es igual a la razón inversa de los valores correspondientes de otra cantidad.
PAG ejemplorelación inversamente proporcional.
Dos rectángulos tienen la misma área. La longitud del primer rectángulo es de 3,6 m y el ancho es de 2,4 m. La longitud del segundo rectángulo es de 4,8 m.
Solución:
1 rectángulo 3,6 m 2,4 m
2 rectángulos de 4,8 m x m
3,6 m x m
4,8 metros 2,4 metros
x = 3,6*2,4 = 1,8m
Respuesta: 1,8 m.
Como puedes ver, los problemas que involucran cantidades proporcionales se pueden resolver usando proporciones.
No cada dos cantidades son directamente proporcionales o inversamente proporcionales. Por ejemplo, la altura de un niño aumenta a medida que aumenta su edad, pero estos valores no son proporcionales, ya que cuando la edad se duplica, la altura del niño no se duplica.
Aplicación práctica Dependencia proporcional directa e inversa.
Tarea número 1
La biblioteca de la escuela cuenta con 210 libros de texto de matemáticas, lo que representa el 15% de toda la colección de la biblioteca. ¿Cuántos libros hay en la colección de la biblioteca?
Solución:
Total de libros de texto - ? - 100%
Matemáticos - 210 -15%
15% 210 académico.
X = 100* 210 = 1400 libros de texto
100% x cuenta. 15
Respuesta: 1400 libros de texto.
Problema número 2
Un ciclista recorre 75 km en 3 horas. ¿Cuánto tiempo tardará un ciclista en recorrer 125 km con la misma velocidad?
Solución:
3h – 75km
H – 125 kilometros
El tiempo y la distancia son cantidades directamente proporcionales, por lo tanto
3: x = 75: 125,
x= 
,
x=5.
Respuesta: en 5 horas.
Tarea número 3
8 tuberías idénticas llenan una piscina en 25 minutos. ¿Cuántos minutos se necesitarán para llenar una piscina con 10 tuberías de este tipo?
Solución:
8 tubos – 25 minutos
10 tubos - ? minutos
El número de tubos es inversamente proporcional al tiempo, por lo que
8:10 = x:25,
x = 
x = 20
Respuesta: en 20 minutos.
Problema número 4
Un equipo de 8 trabajadores completa la tarea en 15 días. ¿Cuántos trabajadores pueden completar la tarea en 10 días trabajando con la misma productividad?
Solución:
8 días laborables – 15 días
Trabajadores - 10 días
El número de trabajadores es inversamente proporcional al número de días, por lo que
x: 8 = 15: 10,
x= 
,
x=12.
Respuesta: 12 trabajadores.
Problema número 5
De 5,6 kg de tomates se obtienen 2 litros de salsa. ¿Cuántos litros de salsa se pueden obtener con 54 kg de tomates?
Solución:
5,6 kg – 2 litros
54 kilos - ? yo
La cantidad de kilogramos de tomates es directamente proporcional a la cantidad de salsa obtenida, por lo tanto
5,6:54 = 2:x,
x = 
,
x = 19.
Respuesta: 19 litros.
Problema número 6
Para calentar el edificio de la escuela, se almacenó carbón durante 180 días al ritmo de consumo
0,6 toneladas de carbón por día. ¿Cuántos días durará este suministro si se gastan 0,5 toneladas diarias?
Solución:
Número de días
Tasa de consumo
El número de días es inversamente proporcional a la tasa de consumo de carbón, por lo tanto
180: x = 0,5: 0,6,
x = 180*0,6:0,5,
x = 216.
Respuesta: 216 días.
Problema número 7
EN mineral de hierro Por 7 partes de hierro hay 3 partes de impurezas. ¿Cuántas toneladas de impurezas hay en el mineral que contiene 73,5 toneladas de hierro?
Solución:
Número de piezas
Peso
Hierro
73,5
Impurezas
El número de partes es directamente proporcional a la masa, por lo tanto
7:73,5 = 3:x.
x = 73,5 * 3:7,
x = 31,5.
Respuesta: 31,5 toneladas
Problema número 8
El coche recorrió 500 km consumiendo 35 litros de gasolina. ¿Cuántos litros de gasolina se necesitarán para recorrer 420 km?
Solución:
Distancia, kilómetros
gasolina, l
La distancia es directamente proporcional al consumo de gasolina, por lo que
500:35 = 420:x,
x = 35*420:500,
x = 29,4.
Respuesta: 29,4 litros
Problema número 9
En 2 horas capturamos 12 carpas crucianas. ¿Cuántas carpas crucianas se capturarán en 3 horas?
Solución:
La cantidad de carpas crucianas no depende del tiempo. Estas cantidades no son directamente proporcionales ni inversamente proporcionales.
Respuesta: No hay respuesta.
Problema número 10
Una empresa minera necesita comprar 5 máquinas nuevas por una determinada cantidad de dinero a un precio de 12 mil rublos cada una. ¿Cuántas de estas máquinas puede comprar una empresa si el precio de una máquina asciende a 15 mil rublos?
Solución:
Número de coches, uds.
Precio, miles de rublos.
El número de automóviles es inversamente proporcional al costo, por lo que
5: x = 15: 12,
x=5*12:15,
x=4.
Respuesta: 4 autos.
Problema número 11
en la ciudad norte en el cuadrado P hay una tienda cuyo dueño es tan estricto que por retraso deduce 70 rublos del salario por 1 retraso por día. En el mismo departamento trabajan dos niñas, Yulia y Natasha. Su salarios Depende del número de días laborables. Yulia recibió 4100 rublos en 20 días y Natasha debería haber recibido más en 21 días, pero llegó tarde 3 días seguidos. ¿Cuántos rublos recibirá Natasha?
Solución:
Días laborables
Salario, frotar.
Julia
4100
natasha
El salario es directamente proporcional al número de días laborables, por lo tanto
20:21 = 4100:x,
x=4305.
4305 rublos. Natasha debería haberlo recibido.
4305 – 3 * 70 = 4095 (frotar)
Respuesta: Natasha recibirá 4095 rublos.
Problema número 12
La distancia entre dos ciudades en el mapa es de 6 cm. Calcula la distancia entre estas ciudades en el terreno si la escala del mapa es 1: 250000.
Solución:
Denotamos la distancia entre ciudades en el terreno por x (en centímetros) y encontramos la relación entre la longitud del segmento en el mapa y la distancia en el terreno, que será igual a la escala del mapa: 6: x = 1 : 250000,
x = 6*250000,
x = 1500000.
1500000 cm = 15 kilómetros
Respuesta: 15 kilómetros.
Problema número 13
4000 g de solución contienen 80 g de sal. ¿Cuál es la concentración de sal en esta solución?
Solución:
Peso, gramos
Concentración, %
Solución
4000
Sal
4000: 80 = 100: x,
x = 
,
x = 2.
Respuesta: La concentración de sal es del 2%.
Problema número 14
El banco concede un préstamo al 10% anual. Recibiste un préstamo de 50.000 rublos. ¿Cuánto deberías devolver al banco en un año?
Solución:
50.000 rublos.
100%
x frotar.
50000: x = 100: 10,
x= 50000*10:100,
x=5000.
5000 rublos. es del 10%.
50.000 + 5.000=55.000 (frotar)
Respuesta: en un año el banco devolverá 55.000 rublos.
Conclusión.
Como podemos ver en los ejemplos dados, las relaciones proporcionales directas e inversas son aplicables en diversas áreas de la vida:
Ciencias económicas,
Comercio,
En la producción y la industria,
Cocinando,
Construcción y arquitectura.
Deportes,
Ganadería,
topografías,
físicos,
Química, etc.
En el idioma ruso también existen refranes y refranes que establecen relaciones directas e inversas:
A medida que regrese, también responderá.
Cuanto más alto es el muñón, más alta es la sombra.
Cuanta más gente, menos oxígeno.
Y está listo, pero estúpido.
Las matemáticas son una de las ciencias antiguas, surgió sobre la base de las necesidades y deseos de la humanidad. Habiendo recorrido la historia de la formación desde Grecia antigua, sigue siendo relevante y necesario en la vida cotidiana cualquier persona. El concepto de proporcionalidad directa e inversa se conoce desde la antigüedad, ya que eran las leyes de la proporción las que motivaban a los arquitectos durante cualquier construcción o creación de cualquier escultura.
El conocimiento sobre las proporciones se utiliza ampliamente en todas las esferas de la vida y la actividad humana; no se puede prescindir de él al pintar (paisajes, naturalezas muertas, retratos, etc.), también está muy extendido entre arquitectos e ingenieros; en general, es difícil Imagínese crear algo sin utilizar conocimientos sobre proporciones y sus relaciones.
Literatura.
Matemáticas-6, N.Ya. Vilenkin et al.
Álgebra -7, G.V. Dorofeev y otros.
Matemáticas-9, GIA-9, editado por F.F. Lysenko, S.Yu. kulabujova
Matemáticas-6, materiales didácticos, P.V. Chulkov, A.B. Uedinov
Problemas de matemáticas para los grados 4-5, I.V. Baranova et al., M. "Prosveshchenie" 1988
Colección de problemas y ejemplos en matemáticas 5-6 grados, N.A. tereshin,
TENNESSE. Tereshina, M. “Acuario” 1997
Objetivos principales:
- introducir el concepto de dependencia proporcional directa e inversa de cantidades;
- enseñar cómo resolver problemas usando estas dependencias;
- promover el desarrollo de habilidades para la resolución de problemas;
- consolidar la habilidad de resolver ecuaciones usando proporciones;
- repite los pasos con fracciones ordinarias y decimales;
- desarrollar pensamiento lógico estudiantes.
PROGRESO DE LA LECCIÓN
I. Autodeterminación para la actividad.(momento organizacional)
- ¡Tipo! Hoy en la lección nos familiarizaremos con los problemas resueltos usando proporciones.
II. Actualización de conocimientos y registro de dificultades en las actividades.
2.1. trabajo oral (3 minutos)
– Encuentra el significado de las expresiones y descubre la palabra cifrada en las respuestas.
14 – s; 0,1 – y; 7-l; 0,2 – a; 17-c; 25 – a
– La palabra resultante es fuerza. ¡Bien hecho!
– El lema de nuestra lección de hoy: ¡El poder está en el conocimiento! Estoy buscando, ¡eso significa que estoy aprendiendo!
– Inventa una proporción a partir de los números resultantes. (14:7 = 0,2:0,1, etc.)
2.2. Consideremos la relación entre las cantidades que conocemos. (7 minutos)
– la distancia recorrida por el coche a velocidad constante y el tiempo de su movimiento: S = v t ( al aumentar la velocidad (tiempo), la distancia aumenta);
– velocidad del vehículo y tiempo empleado en el viaje: v=S:t(a medida que aumenta el tiempo para recorrer el camino, disminuye la velocidad);
–
el costo de los bienes comprados a un precio y su cantidad:
C = a · n (con un aumento (disminución) del precio, el costo de compra aumenta (disminuye));
– precio del producto y su cantidad: a = C: n (con un aumento en la cantidad, el precio disminuye)
– área del rectángulo y su longitud (ancho): S = a · b (al aumentar la longitud (ancho), el área aumenta;
– largo y ancho del rectángulo: a = S: b (a medida que aumenta el largo, el ancho disminuye;
– el número de trabajadores que realizan un trabajo con la misma productividad laboral y el tiempo necesario para completar este trabajo: t = A: n (a medida que aumenta el número de trabajadores, el tiempo dedicado a realizar el trabajo disminuye), etc. .
Hemos obtenido dependencias en las que, con un aumento de un valor varias veces, otro aumenta inmediatamente en la misma cantidad (los ejemplos se muestran con flechas) y dependencias en las que, con un aumento de un valor varias veces, el segundo valor disminuye en la misma cantidad. el mismo número de veces.
Estas dependencias se denominan proporcionalidad directa e inversa.
Dependencia directamente proporcional– una relación en la que a medida que un valor aumenta (disminuye) varias veces, el segundo valor aumenta (disminuye) en la misma cantidad.
Relación inversamente proporcional– una relación en la que a medida que un valor aumenta (disminuye) varias veces, el segundo valor disminuye (aumenta) en la misma cantidad.
III. Establecer una tarea de aprendizaje
– ¿A qué problema nos enfrentamos? (Aprenda a distinguir entre dependencias directas e inversas)
- Este - objetivo nuestra lección. Ahora formula tema lección. (Relación proporcional directa e inversa).
- ¡Bien hecho! Anota en tus cuadernos el tema de la lección. (El profesor escribe el tema en la pizarra).
IV. "Descubrimiento" de nuevos conocimientos.(10 minutos)
Veamos el problema número 199.
1. La impresora imprime 27 páginas en 4,5 minutos. ¿Cuánto tiempo llevará imprimir 300 páginas?
27 páginas – 4,5 min.
300 páginas - x?
2. La caja contiene 48 paquetes de té de 250 g cada uno. ¿Cuántos paquetes de 150 g de este té recibirás?
48 paquetes – 250 gramos.
¿INCÓGNITA? – 150 gramos.
3. El coche recorrió 310 km con 25 litros de gasolina. ¿Qué distancia puede recorrer un coche con el depósito lleno de 40 litros?
310 kilómetros – 25 litros
¿INCÓGNITA? – 40 litros
4. Uno de los engranajes del embrague tiene 32 dientes y el otro tiene 40. ¿Cuántas revoluciones dará el segundo engranaje mientras que el primero dará 215 revoluciones?
32 dientes – 315 rev.
40 dientes – x?
Para formar una proporción, es necesaria una dirección de las flechas; para ello, en proporcionalidad inversa, una proporción se reemplaza por la inversa;
En el pizarrón, los estudiantes encuentran el significado de las cantidades; en el acto, resuelven un problema de su elección.
– Formular una regla para la resolución de problemas con dependencia proporcional directa e inversa.
Aparece una tabla en la pizarra:
V. Consolidación primaria en el discurso externo.(10 minutos)
Asignaciones de hojas de trabajo:
- De 21 kg de semilla de algodón se obtuvieron 5,1 kg de aceite.
- ¿Cuánto aceite se obtendrá con 7 kg de semilla de algodón?
Para construir el estadio, 5 excavadoras limpiaron el lugar en 210 minutos. ¿Cuánto tiempo tardarían 7 excavadoras en limpiar este sitio? VI. trabajo independientecon autotest según estándar
(5 minutos)
Dos estudiantes completan la tarea número 225 de forma independiente en tableros ocultos y el resto en cuadernos. Luego verifican el trabajo del algoritmo y lo comparan con la solución en la pizarra. Se corrigen los errores y se determinan sus causas. Si la tarea se completa correctamente, los estudiantes colocan un signo "+" al lado.
Los estudiantes que cometan errores en el trabajo independiente pueden recurrir a consultores.№ 271, № 270.
VII. Inclusión en el sistema de conocimientos y repetición.
En el tablero trabajan seis personas. Después de 3 o 4 minutos, los estudiantes que trabajan en la pizarra presentan sus soluciones y el resto revisa las tareas y participa en su discusión.
VIII. Reflexión sobre la actividad (resumen de la lección)
– ¿Qué novedades aprendiste en la lección?
-¿Qué repitieron?
– ¿Cuál es el algoritmo para resolver problemas de proporciones?
– ¿Hemos logrado nuestro objetivo?
