La práctica del Examen Estatal Unificado y del Examen Estatal del año pasado muestra que los problemas de geometría causan dificultades a muchos escolares. Podrás afrontarlos fácilmente si memorizas todas las fórmulas necesarias y practicas la resolución de problemas.
En este artículo verás fórmulas para encontrar el área de un trapezoide, así como ejemplos de problemas con solución. Es posible que te encuentres con los mismos en los KIM durante los exámenes de certificación o en las Olimpíadas. Por lo tanto, trátelos con cuidado.
¿Qué necesitas saber sobre el trapezoide?
Para empezar recordemos que trapezoide Se llama cuadrilátero en el que dos lados opuestos, también llamados bases, son paralelos y los otros dos no.
En un trapezoide también se puede reducir la altura (perpendicular a la base). Se dibuja la línea media: es una línea recta paralela a las bases e igual a la mitad de su suma. Así como diagonales que pueden cruzarse formando ángulos agudos y obtusos. O, en algunos casos, en ángulo recto. Además, si el trapezoide es isósceles, se puede inscribir en él un círculo. Y describe un círculo a su alrededor.
Fórmulas del área trapezoidal
Primero, veamos las fórmulas estándar para encontrar el área de un trapezoide. Consideraremos formas de calcular el área de trapecios isósceles y curvilíneos a continuación.
Entonces, imagina que tienes un trapezoide con bases a y b, en el que la altura h se reduce a la base más grande. Calcular el área de una figura en este caso es tan fácil como pelar peras. Sólo necesitas dividir la suma de las longitudes de las bases por dos y multiplicar el resultado por la altura: S = 1/2(a + b)*h.
Tomemos otro caso: supongamos que en un trapezoide, además de la altura, existe una recta media m. Conocemos la fórmula para encontrar la longitud de la línea media: m = 1/2(a + b). Por lo tanto, podemos simplificar legítimamente la fórmula para el área de un trapezoide a la siguiente forma: S = m*h. En otras palabras, para encontrar el área de un trapezoide, debes multiplicar la línea central por la altura.
Consideremos otra opción: el trapezoide contiene diagonales d 1 y d 2, que no se cruzan en ángulos rectos α. Para calcular el área de dicho trapezoide, debes dividir el producto de las diagonales por dos y multiplicar el resultado por el pecado del ángulo entre ellas: S= 1/2d 1 d 2 *senα.
Ahora considere la fórmula para encontrar el área de un trapezoide si no se sabe nada sobre él excepto las longitudes de todos sus lados: a, b, cy d. Es voluminoso y fórmula compleja, pero te será útil recordarlo, por si acaso: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Por cierto, los ejemplos anteriores también son válidos para el caso en el que se necesita la fórmula para el área de un trapezoide rectangular. Este es un trapezoide, cuyo lado linda con las bases en ángulo recto.
trapezoide isósceles
Un trapezoide cuyos lados son iguales se llama isósceles. Consideraremos varias opciones para la fórmula del área de un trapezoide isósceles.
Primera opción: para el caso en que un círculo con radio r está inscrito dentro de un trapezoide isósceles y el lado y la base más grande forman un ángulo agudo α. Un círculo puede inscribirse en un trapecio siempre que la suma de las longitudes de sus bases sea igual a la suma de las longitudes de sus lados.
El área de un trapezoide isósceles se calcula de la siguiente manera: multiplica el cuadrado del radio del círculo inscrito por cuatro y divídelo todo por senα: S = 4r 2 /senα. Otra fórmula de área es un caso especial para la opción cuando el ángulo entre la base grande y el lado es 30 0: S = 8r2.
Segunda opción: esta vez tomamos un trapezoide isósceles, en el que además se dibujan las diagonales d 1 y d 2, así como la altura h. Si las diagonales de un trapezoide son mutuamente perpendiculares, la altura es la mitad de la suma de las bases: h = 1/2(a + b). Sabiendo esto, es fácil transformar la fórmula para el área de un trapezoide que ya conoce en esta forma: S = h 2.
Fórmula para el área de un trapecio curvo
Comencemos por descubrir qué es un trapezoide curvo. Imagine un eje de coordenadas y una gráfica de una función f continua y no negativa que no cambia de signo dentro de un segmento determinado en el eje x. Un trapezoide curvilíneo está formado por la gráfica de la función y = f(x): en la parte superior, el eje x está en la parte inferior (segmento), y en los lados, líneas rectas trazadas entre los puntos a y b y la gráfica de la función.
Es imposible calcular el área de una figura tan no estándar utilizando los métodos anteriores. Aquí es necesario aplicar el análisis matemático y utilizar la integral. A saber: la fórmula de Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). En esta fórmula, F es la antiderivada de nuestra función en el segmento seleccionado. Y el área de un trapezoide curvilíneo corresponde al incremento de la primitiva en un segmento dado.
Problemas de muestra
Para que todas estas fórmulas sean más fáciles de entender en tu cabeza, aquí tienes algunos ejemplos de problemas para encontrar el área de un trapezoide. Lo mejor será que primero intente resolver los problemas usted mismo y solo luego compare la respuesta recibida con la solución ya preparada.
Tarea #1: Dado un trapezoide. Su base más grande mide 11 cm, la más pequeña mide 4 cm. El trapezoide tiene diagonales, una de 12 cm de largo y la segunda de 9 cm.
Solución: Construya un AMRS trapezoide. Dibuja una línea recta РХ a través del vértice P de modo que sea paralela a la diagonal MC y corte a la línea recta AC en el punto X. Obtendrás un triángulo APХ.
Consideraremos dos figuras obtenidas como resultado de estas manipulaciones: el triángulo APX y el paralelogramo CMRX.
Gracias al paralelogramo aprendemos que PX = MC = 12 cm y CX = MR = 4 cm. De donde podemos calcular el lado AX del triángulo ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
También podemos demostrar que el triángulo APX es rectángulo (para hacer esto, aplique el teorema de Pitágoras - AX 2 = AP 2 + PX 2). Y calcula su área: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.
A continuación tendrás que demostrar que los triángulos AMP y PCX tienen el mismo área. La base será la igualdad de las partes MR y CX (ya probada anteriormente). Y también las alturas que bajas en estos lados son iguales a la altura del trapezoide AMRS.
Todo esto te permitirá decir que S AMPC = S APX = 54 cm 2.
Tarea #2: Se da el trapezoide KRMS. En sus lados laterales se encuentran los puntos O y E, mientras que OE y KS son paralelos. También se sabe que las áreas de los trapecios ORME y OKSE están en una proporción de 1:5. RM = a y KS = b. Necesitas encontrar OE.
Solución: Trazar una línea paralela a RK que pasa por el punto M y designar el punto de su intersección con OE como T. A es el punto de intersección de una línea trazada a través del punto E paralela a RK con la base KS.
Introduzcamos una notación más: OE = x. Y también la altura h 1 para el triángulo TME y la altura h 2 para el triángulo AEC (puedes probar de forma independiente la similitud de estos triángulos).
Supondremos que b > a. Las áreas de los trapecios ORME y OKSE están en una proporción de 1:5, lo que nos da derecho a crear la siguiente ecuación: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformemos y obtengamos: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Como los triángulos TME y AEC son semejantes, tenemos h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Combinemos ambas entradas y obtengamos: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Por tanto, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Conclusión
La geometría no es la ciencia más fácil, pero ciertamente puedes manejarla. tareas de examen. Basta con mostrar un poco de perseverancia en la preparación. Y, por supuesto, recuerda todas las fórmulas necesarias.
Intentamos recopilar todas las fórmulas para calcular el área de un trapecio en un solo lugar para que puedas usarlas cuando te prepares para los exámenes y revises el material.
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Instrucciones
Para que ambos métodos sean más comprensibles, podemos dar un par de ejemplos.
Ejemplo 1: la longitud de la línea media del trapezoide es de 10 cm, su área es de 100 cm². Para encontrar la altura de este trapezoide, debes hacer:
altura = 100/10 = 10 cm
Respuesta: la altura de este trapezoide es de 10 cm.
Ejemplo 2: el área del trapezoide es 100 cm², las longitudes de las bases son 8 cm y 12 cm. Para encontrar la altura de este trapezoide es necesario realizar la siguiente acción:
altura = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 cm
Respuesta: la altura de este trapezoide es de 20 cm.
tenga en cuenta
Hay varios tipos de trapecios:
Un trapezoide isósceles es un trapezoide cuyos lados son iguales entre sí.
Un trapezoide rectángulo es un trapecio cuyo ángulo interior mide 90 grados.
Vale la pena señalar que en un trapezoide rectangular, la altura coincide con la longitud del lado en ángulo recto.
Puedes dibujar un círculo alrededor de un trapezoide o encajarlo dentro de una figura determinada. Puedes inscribir un círculo sólo si la suma de sus bases es igual a la suma de sus lados opuestos. Un círculo sólo puede describirse alrededor de un trapezoide isósceles.
Un paralelogramo es un caso especial de trapezoide, porque la definición de trapezoide no contradice la definición de paralelogramo. Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos entre sí. Para un trapezoide, la definición se refiere sólo a un par de sus lados. Por tanto, cualquier paralelogramo también es un trapezoide. La afirmación inversa no es cierta.
Fuentes:
- cómo encontrar el área de una fórmula trapezoide
Consejo 2: Cómo encontrar la altura de un trapezoide si se conoce el área
Un trapezoide es un cuadrilátero en el que dos de sus cuatro lados son paralelos entre sí. Los lados paralelos son las bases del dado, los otros dos son los lados laterales del dado. trapecios. Encontrar altura trapecios, si se sabe cuadrado, será muy fácil.
Instrucciones
Necesitas descubrir cómo calcular cuadrado original trapecios. Existen varias fórmulas para esto, dependiendo de los datos iniciales: S = ((a+b)*h)/2, donde a y b son bases trapecios, y h es su altura (Altura trapecios- perpendicular, bajado desde una base trapecios a otro);
S = m*h, donde m es la línea trapecios(La línea media es un segmento con bases trapecios y conectando los puntos medios de sus lados).
Para hacerlo más claro, se pueden considerar problemas similares: Ejemplo 1: Dado un trapezoide con cuadrado 68 cm², cuya línea media es de 8 cm, necesitas encontrar altura dado trapecios. Para resolver este problema, es necesario utilizar la fórmula derivada anteriormente:
h = 68/8 = 8,5 cm Respuesta: altura de este trapecios es 8,5 cmEjemplo 2: Sea y trapecios cuadrado es igual a 120 cm², la longitud de las bases de este trapecios 8 cm y 12 cm respectivamente, necesitas encontrar altura este trapecios. Para hacer esto, aplique una de las fórmulas derivadas:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmRespuesta: altura dada trapecios igual a 12cm
Vídeo sobre el tema.
tenga en cuenta
Cualquier trapezoide tiene varias propiedades:
La línea media de un trapezoide es igual a la mitad de la suma de sus bases;
El segmento que une las diagonales de un trapezoide es igual a la mitad de la diferencia de sus bases;
Si se traza una línea recta a través de los puntos medios de las bases, entonces cruzará el punto de intersección de las diagonales del trapezoide;
Se puede inscribir una circunferencia en un trapezoide si la suma de las bases del trapezoide es igual a la suma de sus lados.
Utilice estas propiedades al resolver problemas.
Consejo 3: Cómo encontrar el área de un trapecio si se conocen las bases
Por definición geométrica Un trapezoide es un cuadrilátero que tiene solo un par de lados paralelos. Estos lados son de ella razones. Distancia entre razones llamado altura trapecios. Encontrar cuadrado trapecios posible mediante fórmulas geométricas.
Instrucciones
Mida las bases y trapecios ABCD. Generalmente se dan en tareas. Dejar entrar en este ejemplo tareas fundación AD (a) trapecios será igual a 10 cm, base BC (b) - 6 cm, altura trapecios BK (h) - 8 cm Usa formas geométricas para encontrar el área. trapecios, si se conocen las longitudes de sus bases y sus alturas - S= 1/2 (a+b)*h, donde: - a - el tamaño de la base AD trapecios ABCD, - b - el valor de la base BC, - h - el valor de la altura BK.
Área de un trapezoide. ¡Saludos! En esta publicación veremos la fórmula especificada. ¿Por qué es exactamente así y cómo entenderla? Si hay comprensión, entonces no es necesario enseñarla. Si solo desea ver esta fórmula y con urgencia, puede desplazarse inmediatamente hacia abajo en la página))
Ahora en detalle y en orden.
Un trapezoide es un cuadrilátero, dos lados de este cuadrilátero son paralelos, los otros dos no. Las que no son paralelas son las bases del trapezoide. Los otros dos se llaman lados.
Si los lados son iguales, entonces el trapezoide se llama isósceles. Si uno de los lados es perpendicular a las bases, entonces dicho trapezoide se llama rectangular.
En su forma clásica, un trapezoide se representa de la siguiente manera: la base más grande está en la parte inferior, respectivamente, la más pequeña está en la parte superior. Pero nadie prohíbe representarla y viceversa. Aquí están los bocetos:
Siguiente concepto importante.
La línea media de un trapezoide es un segmento que conecta los puntos medios de los lados. La línea media es paralela a las bases del trapezoide e igual a su media suma.
Ahora profundicemos más. ¿Por qué es así?
Considere un trapezoide con bases. a y b y con la línea media yo, y realice algunas construcciones adicionales: dibuje líneas rectas a través de las bases y perpendiculares a través de los extremos de la línea media hasta que se crucen con las bases:
*Las designaciones de letras para vértices y otros puntos no se incluyen intencionalmente para evitar designaciones innecesarias.
Mira, los triángulos 1 y 2 son iguales según el segundo signo de igualdad de los triángulos, los triángulos 3 y 4 son iguales. De la igualdad de los triángulos se sigue la igualdad de los elementos, es decir, los catetos (están indicados en azul y rojo, respectivamente).
¡Ahora atención! Si "cortamos" mentalmente los segmentos azul y rojo de la base inferior, nos quedará un segmento (este es el lado del rectángulo) igual a la línea media. A continuación, si "pegamos" los segmentos cortados azul y rojo a la base superior del trapezoide, también obtendremos un segmento (este también es el lado del rectángulo) igual a la línea media del trapezoide.
¿Entiendo? Resulta que la suma de las bases será igual a las dos líneas medias del trapezoide:
Ver otra explicación
Hagamos lo siguiente: construyamos una línea recta que pase por la base inferior del trapezoide y una línea recta que pase por los puntos A y B:
Obtenemos los triángulos 1 y 2, son iguales en los lados y en los ángulos adyacentes (el segundo signo de igualdad de los triángulos). Esto significa que el segmento resultante (en el boceto está indicado en azul) es igual a la base superior del trapezoide.
Consideremos ahora el triángulo:
*La línea media de este trapezoide y la línea media del triángulo coinciden.
Se sabe que un triángulo es igual a la mitad de su base paralela a él, es decir:
Bien, lo descubrimos. Ahora sobre el área del trapezoide.
Fórmula del área trapezoidal:
Dicen: el área de un trapezoide es igual al producto de la mitad de la suma de sus bases y su altura.
Es decir, resulta que es igual al producto de la línea central por la altura:
Probablemente ya hayas notado que esto es obvio. Geométricamente, esto se puede expresar de esta manera: si mentalmente cortamos los triángulos 2 y 4 del trapezoide y los colocamos en los triángulos 1 y 3, respectivamente:
Luego obtendremos un rectángulo con un área igual al área de nuestro trapezoide. El área de este rectángulo será igual al producto de la línea central por la altura, es decir, podemos escribir:
Pero aquí, por supuesto, no se trata de escribir, sino de comprender.
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Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!
Saludos cordiales, Alejandro.
¿Qué es un trapezoide isósceles? Se trata de una figura geométrica cuyos lados opuestos y no paralelos son iguales. Existen varias fórmulas diferentes para encontrar el área de un trapezoide con diversas condiciones que se dan en los problemas. Es decir, el área se puede encontrar si se dan la altura, los lados, los ángulos, las diagonales, etc. También es imposible no mencionar que para los trapecios isósceles existen algunas "excepciones", gracias a las cuales la búsqueda del área y la fórmula en sí se simplifican significativamente. A continuación se describen soluciones detalladas cada caso con ejemplos.
Propiedades necesarias para encontrar el área de un trapezoide isósceles
Ya hemos descubierto que una figura geométrica que tiene lados opuestos, no paralelos, pero iguales, es un trapecio e isósceles. Hay casos especiales en los que un trapezoide se considera isósceles.
- Estas son las condiciones para la igualdad de ángulos. Entonces, elemento obligatorio: los ángulos en la base (tome la foto de abajo) deben ser iguales. En nuestro caso, ángulo BAD = ángulo CDA y ángulo ABC = ángulo BCD
- Segundo regla importante– en tal trapezoide las diagonales deben ser iguales. Por lo tanto, AC = BD.
- Tercer aspecto: los ángulos opuestos del trapezoide deben sumar 180 grados. Esto significa que el ángulo ABC + el ángulo CDA = 180 grados. Lo mismo se aplica a los ángulos BCD y BAD.
- En cuarto lugar, si un trapezoide permite que se describa un círculo a su alrededor, entonces es isósceles.
Cómo encontrar el área de un trapezoide isósceles: fórmulas y sus descripciones
- S = (a+b)h/2 es la fórmula más común para encontrar el área, donde A – base inferior, b es la base superior y h es la altura.
- Si se desconoce la altura, puedes buscarla usando una fórmula similar: h = c*sin(x), donde c es AB o CD. sin(x) es el seno del ángulo en cualquier base, es decir, ángulo DAB = ángulo CDA = x. En última instancia, la fórmula toma esta forma: S = (a+b)*c*sen(x)/2.
- La altura también se puede encontrar usando esta fórmula:
- La fórmula final se ve así:
- El área de un trapezoide isósceles se puede encontrar a través de la línea media y la altura. La fórmula es: S = mh.
Consideremos la condición en la que un círculo está inscrito en un trapezoide.
En el caso que se muestra en la imagen,
QN = D = H – el diámetro del círculo y al mismo tiempo la altura del trapezoide;
LO, ON, OQ = R – radios del círculo;
DC = a – base superior;
AB = b – base inferior;
DAB, ABC, BCD, CDA – alfa, beta – ángulos de las bases del trapezoide.
Un caso similar permite encontrar el área usando las siguientes fórmulas:
- Ahora intentemos encontrar el área a través de las diagonales y los ángulos entre ellas.
En la figura denotamos AC, DB – diagonales – d. Ángulos COB, DOB – alfa; DOC, AOB – beta. Fórmula para el área de un trapezoide isósceles usando las diagonales y el ángulo entre ellas, ( S ) es:
Para sentirse seguro y resolver con éxito problemas en las lecciones de geometría, no basta con aprender las fórmulas. Primero hay que entenderlos. Tener miedo, y más aún odiar las fórmulas, es improductivo. En este artículo lenguaje accesible será analizado varias maneras Encontrar el área de un trapezoide. Para una mejor absorción reglas relevantes y teoremas prestaremos cierta atención a sus propiedades. Esto le ayudará a comprender cómo funcionan las reglas y en qué casos se deben aplicar determinadas fórmulas.
Definiendo un trapezoide
¿Qué tipo de cifra es esta en general? Un trapezoide es un polígono con cuatro vértices y dos lados paralelos. Los otros dos lados del trapecio pueden estar inclinados en diferentes ángulos. Sus lados paralelos se llaman bases, y para los lados no paralelos se utiliza el nombre “lados” o “caderas”. Estas cifras son bastante comunes en la vida cotidiana. Los contornos del trapezoide se pueden ver en las siluetas de ropa, elementos de interior, muebles, platos y muchos otros. trapecio sucede diferentes tipos: escaleno, equilátero y rectangular. Examinaremos sus tipos y propiedades con más detalle más adelante en el artículo.
Propiedades de un trapecio
Detengámonos brevemente en las propiedades de esta figura. La suma de los ángulos adyacentes a cualquier lado es siempre 180°. Cabe señalar que todos los ángulos de un trapezoide suman 360°. El trapezoide tiene el concepto de línea media. Si conectas los puntos medios de los lados con un segmento, esta será la línea media. Se designa m. La línea media tiene propiedades importantes: siempre es paralela a las bases (recordamos que las bases también son paralelas entre sí) e igual a su media suma:
Esta definición debe aprenderse y comprenderse, ¡porque es la clave para resolver muchos problemas!
Con un trapezoide siempre puedes bajar la altura hasta la base. Una altitud es una perpendicular, a menudo denotada con el símbolo h, que se traza desde cualquier punto de una base a otra base o su extensión. La línea media y la altura te ayudarán a encontrar el área del trapezoide. Estas tareas son las más comunes en curso escolar geometría y aparecen regularmente entre las pruebas y exámenes.
Las fórmulas más simples para el área de un trapezoide.
Veamos las dos fórmulas más populares y sencillas que se utilizan para encontrar el área de un trapezoide. Basta con multiplicar la altura por la mitad de la suma de las bases para encontrar fácilmente lo que buscas:
S = h*(a + b)/2.
En esta fórmula, a, b denotan las bases del trapezoide, h - la altura. Para facilitar la percepción, en este artículo, los signos de multiplicación están marcados con un símbolo (*) en las fórmulas, aunque en los libros de referencia oficiales el signo de multiplicación generalmente se omite.
Veamos un ejemplo.
Dado: un trapecio con dos bases iguales a 10 y 14 cm, la altura es 7 cm ¿Cuál es el área del trapezoide?
Veamos la solución a este problema. Usando esta fórmula, primero necesitas encontrar la mitad de la suma de las bases: (10+14)/2 = 12. Entonces, la mitad de la suma es igual a 12 cm. Ahora multiplicamos la mitad de la suma por la altura: 12*7 = 84. Lo que buscamos se encuentra. Respuesta: El área del trapezoide es 84 metros cuadrados. centímetro.
La segunda fórmula conocida dice: el área de un trapezoide es igual al producto de la línea media por la altura del trapezoide. Es decir, en realidad se sigue del concepto anterior de línea media: S=m*h.
Usar diagonales para cálculos.
Otra forma de encontrar el área de un trapecio en realidad no es tan complicada. Está conectado a sus diagonales. Usando esta fórmula, para encontrar el área, debes multiplicar el medio producto de sus diagonales (d 1 d 2) por el seno del ángulo entre ellas:
S = ½ d 1 d 2 pecado a.
Consideremos un problema que muestra la aplicación de este método. Dado: un trapecio cuya longitud de las diagonales es igual a 8 y 13 cm, respectivamente. El ángulo a entre las diagonales es de 30°. Encuentra el área del trapezoide.
Solución. Usando la fórmula anterior, es fácil calcular lo que se requiere. Como sabes, sen 30° es 0,5. Por lo tanto, S = 8*13*0,5=52. Respuesta: el área es de 52 metros cuadrados. centímetro.
Encontrar el área de un trapezoide isósceles
Un trapezoide puede ser isósceles (isosceles). Sus lados son iguales y los ángulos en las bases son iguales, lo cual queda bien ilustrado en la figura. Un trapezoide isósceles tiene las mismas propiedades que uno normal, además de algunas especiales. Alrededor trapezoide isósceles Se puede describir un círculo y se puede inscribir un círculo dentro de él.
¿Qué métodos existen para calcular el área de dicha figura? El siguiente método requerirá muchos cálculos. Para utilizarlo es necesario conocer los valores del seno (sin) y el coseno (cos) del ángulo en la base del trapezoide. Sus cálculos requieren tablas Bradis o calculadora de ingenieria. Aquí está la fórmula:
S= do*pecado a*(a - do*porque a),
Dónde Con- muslo lateral, a- ángulo en la base inferior.
Un trapezoide equilátero tiene diagonales de igual longitud. Lo contrario también es cierto: si un trapezoide tiene diagonales iguales, entonces es isósceles. De ahí la siguiente fórmula para ayudar a encontrar el área de un trapezoide: el producto medio del cuadrado de las diagonales por el seno del ángulo entre ellas: S = ½ d 2 sin a.
Encontrar el área de un trapezoide rectangular
Conocido caso especial trapezoide rectangular. Este es un trapezoide, en el que un lado (su muslo) linda con las bases en ángulo recto. Tiene las propiedades de un trapezoide regular. Además de esto, ella tiene muy característica interesante. La diferencia de los cuadrados de las diagonales de dicho trapezoide es igual a la diferencia de los cuadrados de sus bases. Para ello se utilizan todos los métodos descritos anteriormente para calcular el área.
Usamos el ingenio
Hay un truco que puede ayudarte si olvidas fórmulas específicas. Echemos un vistazo más de cerca a qué es un trapezoide. Si lo dividimos mentalmente en partes, obtendremos formas geométricas familiares y comprensibles: un cuadrado o rectángulo y un triángulo (uno o dos). Si se conocen la altura y los lados del trapecio, puedes usar las fórmulas para el área de un triángulo y un rectángulo y luego sumar todos los valores resultantes.
Ilustremos esto siguiente ejemplo. Dado un trapezoide rectangular. El ángulo C = 45°, los ángulos A, D miden 90°. La base superior del trapecio mide 20 cm, la altura es 16 cm. Necesitas calcular el área de la figura.
Esta figura obviamente consta de un rectángulo (si dos ángulos miden 90°) y un triángulo. Como el trapezoide es rectangular, por tanto, su altura es igual a su lado, es decir, 16 cm. Tenemos un rectángulo con lados de 20 y 16 cm, respectivamente. Consideremos ahora un triángulo cuyo ángulo mide 45°. Sabemos que un lado mide 16 cm, ya que este lado también es la altura del trapezoide (y sabemos que la altura desciende hasta la base en ángulo recto), por lo tanto, el segundo ángulo del triángulo es de 90°. Por tanto, el ángulo restante del triángulo es de 45°. Como consecuencia de esto obtenemos un rectángulo. triangulo isósceles, cuyos dos lados son iguales. Esto significa que el otro lado del triángulo es igual a la altura, es decir, 16 cm. Sólo queda calcular el área del triángulo y el rectángulo y sumar los valores resultantes.
El área de un triángulo rectángulo es igual a la mitad del producto de sus catetos: S = (16*16)/2 = 128. El área de un rectángulo es igual al producto de su ancho por su largo: S = 20*16 = 320. Encontramos el área requerida del trapezoide S = 128 + 320 = 448 m2. Puedes comprobarlo tú mismo fácilmente utilizando las fórmulas anteriores, la respuesta será idéntica.
Usamos la fórmula Pick
Finalmente, presentamos otra fórmula original que ayuda a encontrar el área de un trapezoide. Se llama fórmula Pick. Es conveniente utilizarlo cuando el trapezoide está dibujado en papel cuadriculado. A menudo se encuentran tareas similares en los materiales del GIA. Se parece a esto:
S = M/2 + N - 1,
en esta fórmula M es el número de nodos, es decir intersecciones de las líneas de la figura con las líneas de la celda en los límites del trapecio (puntos naranjas en la figura), N es el número de nodos dentro de la figura (puntos azules). Es más conveniente usarlo para encontrar el área de un polígono irregular. Sin embargo, cuanto mayor sea el arsenal de técnicas utilizadas, menos errores y mejores serán los resultados.
Por supuesto, la información proporcionada no agota los tipos y propiedades de un trapezoide, ni tampoco los métodos para encontrar su área. Este artículo proporciona una descripción general de sus características más importantes. Al resolver problemas geométricos, es importante actuar gradualmente, comenzar con fórmulas y problemas sencillos, consolidar constantemente su comprensión y pasar a otro nivel de complejidad.
Reunidas, las fórmulas más comunes ayudarán a los estudiantes a navegar por las diversas formas de calcular el área de un trapezoide y prepararse mejor para los exámenes y pruebas sobre este tema.
