¿Cómo comparar segmentos?
¿Qué significa comparar dos segmentos? Esto significa comparar sus longitudes, determinar cuál es más largo (o más corto). Si tienes una regla a mano, no hay nada más sencillo: úsala para medir las longitudes de ambos segmentos e inmediatamente quedará claro cuál es más largo. A continuación te contamos qué hacer si no hay ningún gobernante cerca de ti.
Cómo comparar dos segmentos de recta sin regla
Si los segmentos están dibujados por celdas, puedes contar las celdas. Sin embargo, este no es siempre el caso. Si no hay celdas, puedes usar una brújula. Primero debe instalar la abertura de la brújula en los extremos de un segmento y luego, sin mover las patas, instalar la aguja en el extremo de otro segmento y ver si la abertura de la brújula es más ancha que el segundo segmento o más estrecha.
Si no tienes un compás, puedes hacer algo parecido a una regla con una tira de papel. No es necesario dibujar divisiones en él; basta con marcar el principio y el final de un segmento, luego combinar una marca con el comienzo del segundo segmento y comparar.
De este modo es posible incluso comparar segmentos dibujados en el suelo, por ejemplo, para marcar los lugares para los postes de un banco a igual distancia de la pared de la casa. Solo en este caso no será necesario utilizar una tira de papel, sino una tabla o una cuerda.
Cómo comparar dos segmentos en una cuadrícula de coordenadas
Para comparar segmentos, es necesario conocer sus longitudes. En el artículo explicamos cómo encontrar la longitud de un segmento si se indican sus coordenadas en un plano o en el espacio. Tomemos segmentos en el plano con coordenadas: segmento a = (x 1,y 1;x 2,y 2) y segmento b = (x 3,y 3;x 4,y 4).
Por supuesto, ya está claro que el segundo segmento es más corto que el primero, pero en matemáticas “es visible” no cuenta, hay que demostrarlo. Por lo tanto, escribiremos una fórmula para calcular las longitudes de los segmentos y daremos valores numéricos a las coordenadas. Después de esto, podrás explicar fácilmente cómo comparar dos segmentos.
- Longitud del segmento a d1 = √((x 1 - x 2)² + (y 1 - y 2)²)
- Longitud del segmento b d2 = √((x 3 - x 4)² + (y 3 - y 4)²)
Sea x 1 = -6, y 1 = 5; x2 = 4, y2 = -3; x3 = -2, y3 = -4; x4 = 1, y4 = -2. Medio: 
- d1 = √((x 1 - x 2)² + (y 1 - y 2)²) = d1 = √(((-6) - 4)² + (5 - (-3))²) = √( (-10)² + 8²) = √164
- d2 = √((x 3 - x 4)² + (y 3 - y 4)²) = √(((-2) - 1)² + ((-4) - (-2))²) = √ ((-3)² + 2²) = √13
- √164 > √13, lo que significa d1 > d2.
De manera similar, puedes comparar segmentos en coordenadas tridimensionales, solo que entonces también deberás tener en cuenta terceras coordenadas: segmento a = (x 1,y 1,z 1;x 2,y 2,z 2) y segmento b = (x 3,y 3 ,z 3;x 4,y 4,z 4).
Las fórmulas son similares a las que escribimos para una cuadrícula de coordenadas en un plano:
- Longitud del segmento a d1 = √((x 1 - x 2)² + (y 1 - y 2)² + (z 1 - z 2)²)
- Longitud del segmento b d2 = √((x 3 - x 4)² + (y 3 - y 4)² + (z 3 - z 4)²)
Sea x 1 = -6, y 1 = 5, z 1 = 1; x2 = 4, y2 = -3, z2 = 2; x3 = -2, y3 = -4, z3 = 3; x 4 = 1, y 4 = -2, z 4 = -11.
- d1 = √((x 1 - x 2)² + (y 1 - y 2)² + (z 1 - z 2)² = √(((-6) - 4)² + (5 - (-3) )² + (1 - 2)²) = √((-10)² + 8² + (-1)²) = √165
- d2 = √((x 3 - x 4)² + (y 3 - y 4)² + (z 3 - z 4)²) = √(((-2) - 1)² + ((-4) - (-2))² + (3 - (-11))²) = √((-3)² + 2² + 14²) = √(9 + 4 + 196) = √209
- √209 > √165
Esto significa que en este caso el segundo segmento resultó ser más grande que el primero.
Un segmento es parte de una recta limitada por dos puntos, la distancia más corta entre estos puntos. Hay varias maneras de comparar formas geométricas, la elección de este método a menudo depende no sólo de las condiciones del problema, sino también de las posibilidades. Le diremos cómo comparar segmentos en este artículo.
Formas de comparar dos segmentos
En geometría se dice que dos figuras que tienen el mismo tamaño y forma son iguales. Comparar las cifras permite saber si son iguales. Una forma es la superposición. Si las cifras se pueden combinar mediante superposición, se consideran iguales.
Comparar figuras significa determinar cuál de ellas es más larga o más corta. La respuesta debe ser definitiva; no se puede decir que un segmento sea más largo o igual que el segundo. En matemáticas, tal respuesta es incorrecta; puede equipararse a la ausencia de una respuesta.
Escribe el resultado de la comparación usando los signos mayor que, menor que e igual (>;<; =). Например, длина отрезка АБ - 2 см, а ВГ - 8 см, записываем результат сравнения так: АБ < ВГ или ВГ >AB.
Puedes comparar cifras. de diferentes maneras , cuya elección depende de las capacidades o condiciones:
- método visual;
- medición;
- comparación por superposición;
- comparación de cuadrículas.
Lo mejor es que varíen en longitud visualmente y con solo mirarlos puedas saber cuál es más largo. Pero esto no siempre sucede.
Medición de longitud
La forma más sencilla es medir. Para hacer esto, puedes usar una regla; simplemente midiendo la longitud del segmento, entenderemos cuál es más largo. Si no hay regla, pero están dibujados en una hoja de papel en un cuadrado, puedes contar los cuadrados para medir sus longitudes. . Hay dos celdas en un centímetro.. Este es un método de comparación midiendo longitudes, pero también existe un método de comparación por superposición.
superpuestas
¿Cómo se produce la combinación de AB y VG?
- Es necesario combinar el extremo A de uno de ellos con el extremo B del otro, si los otros extremos de estos segmentos, B y D, también coinciden, entonces son iguales, lo que se escribe con el signo igual.
- Si no, entonces uno de ellos es más largo que el otro, y esto también se escribe usando los signos matemáticos mayor que o menor que (> o<).
Sucede que cuando un segmento se superpone a otro, exactamente la mitad de uno de ellos se combinará con el otro. El punto que lo divide en dos partes iguales se llama punto medio. Y si tenemos un punto medio B, entonces AB=BB.
Aproximadamente de la misma manera, no solo se comparan mediante superposición líneas rectas, sino también otras formas geométricas, así como ángulos.
Puede hacer una "regla" a partir de una tira de papel, y no es necesario alinear dicha regla; basta con marcar el principio y el final de uno de los segmentos; Luego aplicas una regla improvisada a la segunda, alineando su comienzo con la primera marca y comparando la ubicación de la segunda marca en relación con su final. De esta manera, también puedes comparar cifras bastante grandes, por ejemplo, la distancia entre los postes de la cerca, pero es mejor usar una cuerda en lugar de una tira de papel.
Se dice que dos segmentos son iguales., si se pueden combinar por superposición. Si puedes ponerlos uno al lado del otro, mira cuál es más largo. Pero esto no siempre se puede hacer.
Si tienes un compás a mano, coloca una pata del compás al principio y la otra al final del primer segmento. Luego, sin mover las patas de la brújula, instale una de ellas al comienzo de la segunda y vea si la segunda pata de la brújula está en el punto que indica el final: son iguales. Si el segundo tramo está en la línea más recta, el primer segmento es más pequeño, si está detrás de él, el primer segmento es más grande.
Comparación de cuadrícula
Supongamos que tenemos dos segmentos cuyas coordenadas conocemos: a (X1, Y1; X2, Y2) y b (X3, Y3; X4, Y4).
Lo primero que debe hacer es dar las coordenadas valores numéricos:
- Longitud, a - Da = √((X1 - X2) ² + (Y1 - Y2) ²);
- Longitud b - Db = √((X3 - X4)² + (Y3 - Y4)²).
Sea X1 = -7, Y1 = 4, X2 = 3, Y2 = -4, X3 = -3, Y3 = -5, X4 = 0, Y4 = -3. Obtenemos:
Da = √ ((-7 - 3)² + (4 - (-4))²) = √ (-10² + 8²) = √ 100 + 64 = √ 164
Db = √ ((-3 - 0) ² + (-5 - (-3)) ²) = √ (-3 ² + (-8) ²) = √ (9+ 64) = √ 73
√ 164 > √ 73, lo que significa Da > Db.
También puede comparar segmentos ubicados en un sistema de coordenadas tridimensional; debe tener en cuenta no dos, sino tres coordenadas de cada uno de ellos;
Ejemplos
Consideremos una comparación utilizando el método de superposición. Tenemos dos segmentos: AB y VG.
Para saber si son iguales o no simplemente los aplicamos entre sí de manera que sus “inicios” estén en el mismo punto, es decir, combinamos los puntos A y B.
Si vemos que AB es parte de VG, significa que es más pequeño, es decir, AB< ВГ, а если при наложении оба конца отрезков совмещаются - значит, они равны.
Ahora veamos cómo comparar segmentos midiendo. Con una regla calculamos la longitud. cada segmento. Por ejemplo, longitud AB = 2 cm y CD = 8 cm 8>2, lo que significa CD>AB, es decir, el segmento CD es más largo que AB.
Comparar dos segmentos significa determinar la longitud de cuál de ellos es mayor o menor que el otro. En el mundo real, muchos de nosotros realizamos este tipo de operaciones sin darnos cuenta. Comparamos las longitudes de los caminos en el mapa para elegir un camino más corto, determinamos el más alto de los hermanos midiendo y comparando su altura, y en una línea o en una fábrica se utilizan comparaciones de longitudes de valores similares. todo el tiempo. Nuestra tarea es poder construir un modelo matemático para cualquier problema, para poder resolverlo correctamente. También puedes comparar dos segmentos a simple vista o con las herramientas disponibles. Supongamos que tiene longitud más larga: ¿Fósforo o capuchón de bolígrafo? Midiendo la longitud de la cerilla con un compás y aplicándola a la tapa, podemos obtener inmediatamente la respuesta a la pregunta.
Pero, ¿cómo comparar dos segmentos si su longitud no se puede distinguir a simple vista? ¿Si no es posible utilizar los medios disponibles y solo nos dan las coordenadas del segmento? En el caso de un espacio unidimensional, puedes comparar dos segmentos encontrando sus longitudes. En una línea recta, la longitud de un segmento es la diferencia entre las coordenadas de sus extremos, tomadas con un signo más. Por ejemplo: dado un segmento AB con coordenadas A(2), B(3) y un segmento CD con coordenadas C(5,1) y D(6). Determina cuál de los segmentos es más largo. La longitud AB será igual a 3-2 = 1, y la longitud CD será igual a 6-5,1 = 0,9. De esto se deduce que el segmento AB es mayor que CD. Consideremos otro problema. Las coordenadas del segmento KL se dan: 0 y 4, respectivamente. También se dan las coordenadas del comienzo del segmento MN M(-3) y la coordenada del medio de este segmento (-1). Compara las longitudes de los segmentos KL y MN.
Para resolver tal problema, necesitas saber cómo encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento. La coordenada del medio de un segmento es la media aritmética de las coordenadas de sus extremos. Para nuestro problema, resulta que la coordenada M(-3) más la coordenada desconocida N(x) cuando se divide por la mitad dará -1. Compongamos y resolvamos la ecuación. (-3+x) /2 = -1. Multipliquemos ambos lados por -2: -3+x= -2. Movamos -3 al lado derecho de la ecuación, cambiando el signo: x=1. Encontramos que la coordenada N es igual a 1. Encuentra la longitud del segmento MN: 1-(-3) =1+3=4. De manera similar, la longitud KL = 4-0 = 4. Como puede ver, las longitudes de los segmentos son las mismas, por lo tanto, los segmentos son iguales.
Para problemas geométricos, suele ser importante saber el nombre del segmento que conecta dos puntos determinados. A veces esto ayudará a evitar resolver el problema en vista general y aplicar el teorema y un método simplificado para resolver el problema. Sin embargo, resolvamos el problema donde se usa la fórmula general para encontrar la longitud de un segmento a través de las coordenadas de sus extremos. Para un plano, la longitud de un segmento es igual a la raíz de la suma de los cuadrados de las diferencias entre las coordenadas correspondientes de sus extremos. Esta fórmula es una generalización para el espacio unidimensional, que. a su vez, es un caso especial de la fórmula tridimensional y así sucesivamente. Sabiendo cómo usar tales fórmulas, puedes encontrar la longitud de un segmento en un plano y en el espacio. Pasemos directamente a la tarea.
Tarea. El punto C con coordenadas (-3;2) es el inicio común de los segmentos NE y CA. El punto A tiene coordenadas (0;0) y el punto B tiene coordenadas (1;4). Comparar los segmentos NE y CA. Solución. Calculemos la longitud del segmento SA usando la fórmula descrita anteriormente: la raíz de -3-0 = -3 al cuadrado, este valor es igual a 9.2-0 = 2, al cuadrado dos obtenemos 4. La suma de estas diferencias al cuadrado es 13, por lo tanto la longitud de SA es igual a la raíz de 13. Aplicando operaciones aritméticas similares para encontrar la longitud de SV, encontramos que la longitud de este segmento es -3-1 = -4. -4*-4=6,2-4 = -2. -2*-2 = 4,6+4 = 20, por lo tanto la longitud del segmento CB es igual a la raíz de 20. La raíz de 20 es mayor que la raíz de 13, por lo tanto el segmento CB es mayor que el segmento CA. El problema está resuelto.
