Funciones pares e impares. Cómo identificar funciones pares e impares

Para hacer esto, use papel cuadriculado o una calculadora gráfica. Seleccione cualquier número de valores de variables independientes x (\displaystyle x) y conéctelos a la función para calcular los valores de la variable dependiente y (\displaystyle y). Traza las coordenadas encontradas de los puntos en el plano de coordenadas y luego conecta estos puntos para construir una gráfica de la función.

• Sustituir valores numéricos positivos en la función. x (\displaystyle x) y los valores numéricos negativos correspondientes. Por ejemplo, dada la función. Sustituya los siguientes valores en él. x (\displaystyle x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) ​​​​(\displaystyle (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Tenemos un punto con coordenadas. (2, 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). Tenemos un punto con coordenadas. (− 1 , 3) ​​​​(\displaystyle (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Tenemos un punto con coordenadas. (− 2 , 9) (\displaystyle (-2,9)).

Compruebe si la gráfica de la función es simétrica con respecto al eje Y. Simetría significa una imagen especular de la gráfica con respecto al eje de ordenadas. Si la parte de la gráfica a la derecha del eje Y (valores positivos de la variable independiente) es la misma que la parte de la gráfica a la izquierda del eje Y (valores negativos de la variable independiente ), la gráfica es simétrica con respecto al eje Y. Si la función es simétrica con respecto al eje y, la función es par.

• Puedes comprobar la simetría del gráfico utilizando puntos individuales. si el valor y (\displaystyle y) x (\displaystyle x), coincide con el valor y (\displaystyle y), que corresponde al valor − x (\displaystyle -x), la función es par. En nuestro ejemplo con la función f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) Recibimos las siguientes coordenadas de los puntos:
  • (1.3) y (-1.3)
  • (2.9) y (-2.9)
• Tenga en cuenta que para x=1 y x=-1 la variable dependiente es y=3, y para x=2 y x=-2 la variable dependiente es y=9. Por tanto la función es par. De hecho, para determinar con precisión la forma de la función, es necesario considerar más de dos puntos, pero el método descrito es una buena aproximación.

Comprueba si la gráfica de la función es simétrica con respecto al origen. El origen es el punto de coordenadas (0,0). La simetría con respecto al origen significa que un valor positivo y (\displaystyle y)(en valor positivo x (\displaystyle x)) corresponde a un valor negativo y (\displaystyle y)(con un valor negativo x (\displaystyle x)), y viceversa. Las funciones impares tienen simetría con respecto al origen.

• Si sustituimos varios positivos y correspondientes valores negativos x (\displaystyle x), valores y (\displaystyle y) diferirá en signo. Por ejemplo, dada la función f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x). Sustituye varios valores en él. x (\displaystyle x):
  • f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2). Obtuvimos un punto con coordenadas (1,2).
  • f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
  • f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
  • f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10). Recibimos un punto con coordenadas (-2,-10).
• Por tanto, f(x) = -f(-x), es decir, la función es impar.

Comprueba si la gráfica de la función tiene alguna simetría. Última vista una función es una función cuya gráfica no tiene simetría, es decir, no existe una imagen especular tanto con respecto al eje de ordenadas como con respecto al origen. Por ejemplo, dada la función.

• Sustituya varios valores positivos y negativos correspondientes en la función. x (\displaystyle x):
  • f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ). Obtuvimos un punto con coordenadas (1,4).
  • f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2). Obtuvimos un punto con coordenadas (-1,-2).
  • f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ). Obtuvimos un punto con coordenadas (2,10).
  • f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(2)+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2). Obtuvimos un punto con coordenadas (2,-2).
• Según los resultados obtenidos, no existe simetría. Valores y (\displaystyle y) para valores opuestos x (\displaystyle x) no coinciden ni son opuestos. Por tanto la función no es ni par ni impar.
• Tenga en cuenta que la función f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) se puede escribir así: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Cuando se escribe de esta forma, la función parece par porque tiene un exponente par. Pero este ejemplo demuestra que el tipo de función no se puede determinar rápidamente si la variable independiente está entre paréntesis. En este caso, es necesario abrir los paréntesis y analizar los exponentes obtenidos.

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¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si está interesado en este trabajo, descargue la versión completa.

Objetivos:

• formar el concepto de paridad y rareza de una función, enseñar la capacidad de determinar y utilizar estas propiedades cuando investigación de funciones, tramando;
• desarrollar la actividad creativa de los estudiantes, pensamiento lógico, capacidad de comparar, generalizar;
• cultivar el trabajo duro y la cultura matemática; desarrollar habilidades de comunicación .

Equipo: instalación multimedia, pizarra interactiva, folletos.

Formas de trabajo: frontal y grupal con elementos de actividades de búsqueda e investigación.

Fuentes de información:

1. Álgebra novena clase A.G. Mordkovich. Libro de texto.
2. Álgebra noveno grado A.G. Mordkovich. Libro de problemas.
3. Álgebra noveno grado. Tareas para el aprendizaje y desarrollo de los estudiantes. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

PROGRESO DE LA LECCIÓN

1. Momento organizacional

Establecer metas y objetivos para la lección.

2. revisando la tarea

No. 10.17 (libro de problemas de noveno grado. A.G. Mordkovich).

A) en = F(incógnita), F(incógnita) =

b) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1.D( F) = [– 2; + ∞)
2. mi( F) = [– 3; + ∞)
3. F(incógnita) = 0 en incógnita ~ 0,4
4. F(incógnita) >0 en incógnita > 0,4 ; F(incógnita) < 0 при – 2 < incógnita < 0,4.
5. La función aumenta con incógnita € [– 2; + ∞)
6. La función está limitada desde abajo.
7. en naím = – 3, en naib no existe
8. La función es continua.

(¿Ha utilizado un algoritmo de exploración de funciones?) Deslizar.

2. Revisemos la tabla que se le pidió en la diapositiva.

Completa la tabla
	Dominio de definición	Ceros de función	Intervalos de constancia de signos.		Coordenadas de los puntos de intersección del gráfico con Oy.
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Actualizando conocimientos

– Se dan funciones.
– Especificar el alcance de la definición de cada función.
– Compare el valor de cada función para cada par de valores de argumento: 1 y – 1; 2 y – 2.
– ¿Para cuál de estas funciones en el dominio de definición se cumplen las igualdades? F(– incógnita) = F(incógnita), F(– incógnita) = – F(incógnita)? (ingrese los datos obtenidos en la tabla) Deslizar

		F(1) y F(– 1)	F(2) y F(– 2)	graficos	F(– incógnita) = –F(incógnita)	F(– incógnita) = F(incógnita)
1. F(incógnita) =
2. F(incógnita) = incógnita 3
3. F(incógnita) = | incógnita |
4.F(incógnita) = 2incógnita – 3
5. F(incógnita) =	incógnita ≠ 0
6. F(incógnita)=	incógnita > –1		y no definido

4. Nuevo material

– Mientras hacíamos este trabajo, muchachos, identificamos otra propiedad de la función, desconocida para ustedes, pero no menos importante que las demás: esta es la uniformidad y la imparidad de la función. Escriba el tema de la lección: "Funciones pares e impares", nuestra tarea es aprender a determinar la uniformidad y la imparidad de una función, descubrir el significado de esta propiedad en el estudio de funciones y trazar gráficas.
Entonces, busquemos las definiciones en el libro de texto y leamos (p. 110) . Deslizar

Def. 1 Función en = F (incógnita), definido en el conjunto X se llama incluso, si por algún valor incógnitaЄ X se ejecuta igualdad f(–x)= f(x). Dar ejemplos.

Def. 2 Función y = f(x), definido en el conjunto X se llama extraño, si por algún valor incógnitaЄ X se cumple la igualdad f(–х)= –f(х). Dar ejemplos.

¿Dónde encontramos los términos "par" e "impar"?
¿Cuál de estas funciones crees que será par? ¿Por qué? ¿Cuáles son extraños? ¿Por qué?
Para cualquier función de la forma en= xn, Dónde norte– un número entero, se puede argumentar que la función es impar cuando norte– impar y la función es par cuando norte- incluso.
– Ver funciones en= y en = 2incógnita– 3 no son ni pares ni impares, porque las igualdades no se satisfacen F(– incógnita) = – F(incógnita), F(– incógnita) = F(incógnita)

El estudio de si una función es par o impar se llama estudio de la paridad de una función. Deslizar

En las definiciones 1 y 2 estábamos hablando de los valores de la función en x y – x, por lo que se supone que la función también está definida en el valor incógnita, y en – incógnita.

Def 3. Si un conjunto numérico, junto con cada uno de sus elementos x, también contiene el elemento opuesto –x, entonces el conjunto incógnita llamado conjunto simétrico.

Ejemplos:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) son conjuntos simétricos y , [–5;4] son ​​asimétricos.

– ¿Las funciones pares tienen un dominio de definición que es un conjunto simétrico? ¿Los raros?
– Si D( F) es un conjunto asimétrico, entonces ¿cuál es la función?
– Así, si la función en = F(incógnita) – par o impar, entonces su dominio de definición es D( F) es un conjunto simétrico. ¿Es cierta la afirmación inversa: si el dominio de definición de una función es un conjunto simétrico, entonces es par o impar?
– Esto significa que la presencia de un conjunto simétrico del dominio de definición es una condición necesaria, pero no suficiente.
– Entonces, ¿cómo se examina la paridad de una función? Intentemos crear un algoritmo.

Deslizar

Algoritmo para estudiar una función de paridad.

1. Determinar si el dominio de definición de la función es simétrico. Si no, entonces la función no es par ni impar. En caso afirmativo, vaya al paso 2 del algoritmo.

2. Escribe una expresión para F(–incógnita).

3. Comparar F(–incógnita).Y F(incógnita):

• Si F(–incógnita).= F(incógnita), entonces la función es par;
• Si F(–incógnita).= – F(incógnita), entonces la función es impar;
• Si F(–incógnita) ≠ F(incógnita) Y F(–incógnita) ≠ –F(incógnita), entonces la función no es par ni impar.

Ejemplos:

Examinar la función a) para determinar la paridad en=x5+; b) en= ; V) en= .

Solución.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), conjunto simétrico.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => función h(x)= x 5 + impar.

segundo) y =,

en = F(incógnita), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), un conjunto asimétrico, lo que significa que la función no es ni par ni impar.

V) F(incógnita) = , y = f (x),

1) D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opción 2

1. ¿Es simétrico el conjunto dado: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Examine la función de paridad:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. En la figura. se ha construido un gráfico en = F(incógnita), para todos incógnita, satisfaciendo la condición incógnita? 0.
Grafica la función en = F(incógnita), Si en = F(incógnita) es una función par.

3. En la figura. se ha construido un gráfico en = F(incógnita), para todo x que cumpla la condición x? 0.
Grafica la función en = F(incógnita), Si en = F(incógnita) es una función impar.

Control mutuo deslizar.

6. Tarea: №11.11, 11.21,11.22;

Prueba del significado geométrico de la propiedad de paridad.

***(Asignación de la opción Examen Unificado del Estado).

1. La función impar y = f(x) se define en toda la recta numérica. Para cualquier valor no negativo de la variable x, el valor de esta función coincide con el valor de la función g( incógnita) = incógnita(incógnita + 1)(incógnita + 3)(incógnita– 7). Encuentra el valor de la función h( incógnita) = en incógnita = 3.

7. Resumiendo

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Métodos para especificar una función.

Sea la función dada por la fórmula: y=2x^(2)-3. Al asignar cualquier valor a la variable independiente x, puede calcular usando esta fórmula valores correspondientes variable dependiente y. Por ejemplo, si x=-0.5, entonces, usando la fórmula, encontramos que el valor correspondiente de y es y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5.

Tomando cualquier valor tomado por el argumento x en la fórmula y=2x^(2)-3, puedes calcular solo un valor de la función que le corresponde. La función se puede representar como una tabla:

incógnita	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Usando esta tabla, puede ver que para el valor del argumento −1 corresponderá el valor de la función −3; y el valor x=2 corresponderá a y=0, etc. También es importante saber que cada valor de argumento en la tabla corresponde a un solo valor de función.

Se pueden especificar más funciones mediante gráficos. Mediante una gráfica se establece qué valor de la función se correlaciona con un determinado valor x. En la mayoría de los casos, este será un valor aproximado de la función.

Función par e impar

La función es incluso función, cuando f(-x)=f(x) para cualquier x del dominio de definición. Tal función será simétrica con respecto al eje Oy.

La función es función impar, cuando f(-x)=-f(x) para cualquier x del dominio de definición. Tal función será simétrica con respecto al origen O (0;0) .

La función es ni siquiera, ni raro y se llama función vista general , cuando no tiene simetría respecto del eje u origen.

Examinemos la siguiente función de paridad:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) con un dominio de definición simétrico relativo al origen. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Esto significa que la función f(x)=3x^(3)-7x^(7) es impar.

función periódica

La función y=f(x) , en cuyo dominio la igualdad f(x+T)=f(x-T)=f(x) se cumple para cualquier x, se llama función periódica con periodo T \neq 0 .

Repetir la gráfica de una función en cualquier segmento del eje x que tenga longitud T.

Los intervalos donde la función es positiva, es decir, f(x) > 0, son segmentos del eje de abscisas que corresponden a los puntos del gráfico de la función que se encuentran por encima del eje de abscisas.

f(x) > 0 en (x_(1); x_(2)) \taza (x_(3); +\infty)

Intervalos donde la función es negativa, es decir, f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Función limitada

Limitado desde abajo Es habitual llamar a una función y=f(x), x \in X cuando hay un número A para el cual la desigualdad f(x) \geq A es válida para cualquier x \in X .

Un ejemplo de una función acotada desde abajo: y=\sqrt(1+x^(2)) desde y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 para cualquier x .

Limitado desde arriba se llama a una función y=f(x), x \in X cuando hay un número B para el cual la desigualdad f(x) \neq B es válida para cualquier x \in X .

Un ejemplo de una función acotada a continuación: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] ya que y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 para cualquier x \in [-1;1] .

Limitado Se acostumbra llamar a una función y=f(x), x \in X cuando existe un número K > 0 para el cual la desigualdad \left | f(x)\derecha | \neq K para cualquier x \en X .

Un ejemplo de una función limitada: y=\sin x está limitada en todo el eje numérico, ya que \izquierda | \sin x \right | \neq 1.

Función creciente y decreciente.

Se acostumbra hablar de una función que aumenta en el intervalo considerado como función creciente entonces, cuando un valor mayor de x corresponde a un valor mayor de la función y=f(x) . De ello se deduce que tomando dos valores arbitrarios del argumento x_(1) y x_(2) del intervalo considerado, con x_(1) > x_(2) , el resultado será y(x_(1)) > y(x_(2)).

Una función que decrece en el intervalo considerado se llama función decreciente cuando un valor mayor de x corresponde a un valor menor de la función y(x) . De ello se deduce que, tomando dos valores arbitrarios del argumento x_(1) y x_(2) del intervalo considerado, con x_(1) > x_(2) , el resultado será y(x_(1))< y(x_{2}) .

Raíces de función Se acostumbra llamar a los puntos en los que la función F=y(x) intersecta el eje de abscisas (se obtienen resolviendo la ecuación y(x)=0).

a) Si para x > 0 una función par aumenta, entonces disminuye para x< 0

b) Cuando una función par disminuye para x > 0, entonces aumenta para x< 0

c) Cuando una función impar aumenta en x > 0, entonces también aumenta en x< 0

d) Cuando una función impar disminuye para x > 0, entonces también disminuirá para x< 0

Extremos de la función

Punto mínimo de la función. y=f(x) suele denominarse punto x=x_(0) cuya vecindad tendrá otros puntos (excepto el punto x=x_(0)), y para ellos la desigualdad f(x) > f será entonces satisfecho (x_(0)) . y_(min) - designación de la función en el punto mínimo.

Punto máximo de la función. y=f(x) suele denominarse punto x=x_(0) cuya vecindad tendrá otros puntos (excepto el punto x=x_(0)), y para ellos se cumplirá la desigualdad f(x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Requisito previo

Según el teorema de Fermat: f"(x)=0 cuando la función f(x) que es diferenciable en el punto x_(0) tendrá un extremo en este punto.

condición suficiente

1. Cuando la derivada cambia de signo de más a menos, entonces x_(0) será el punto mínimo;
2. x_(0) - será un punto máximo sólo cuando la derivada cambie de signo de menos a más al pasar por punto estacionario x_(0) .

El valor más grande y más pequeño de una función en un intervalo.

Pasos de cálculo:

1. Se busca la derivada f"(x);
2. Se encuentran los puntos estacionarios y críticos de la función y se seleccionan los pertenecientes al segmento;
3. Los valores de la función f(x) se encuentran en puntos y extremos estacionarios y críticos del segmento. El menor de los resultados obtenidos será el valor más pequeño de la función, y más - el mas grande.

La uniformidad y la imparidad de una función son una de sus principales propiedades, y la paridad ocupa una parte impresionante. curso escolar en matemáticas. Determina en gran medida el comportamiento de la función y facilita enormemente la construcción del gráfico correspondiente.

Determinemos la paridad de la función. En términos generales, la función en estudio se considera incluso si para valores opuestos de la variable independiente (x) ubicada en su dominio de definición, los valores correspondientes de y (función) resultan ser iguales.

Demos una definición más estricta. Considere alguna función f (x), que está definida en el dominio D. Será par si para cualquier punto x ubicado en el dominio de definición:

• -x (punto opuesto) también se encuentra en este ámbito,

• f(-x) = f(x).

De la definición anterior se sigue la condición necesaria para el dominio de definición de tal función, a saber, simetría con respecto al punto O, que es el origen de las coordenadas, ya que si algún punto b está contenido en el dominio de definición de un par función, entonces el punto correspondiente b también se encuentra en este dominio. Por lo tanto, de lo anterior se desprende la conclusión: la función par tiene una forma simétrica con respecto al eje de ordenadas (Oy).

¿Cómo determinar la paridad de una función en la práctica?

Especifiquemos usando la fórmula h(x)=11^x+11^(-x). Siguiendo el algoritmo que se deriva directamente de la definición, primero examinamos su dominio de definición. Obviamente, está definido para todos los valores del argumento, es decir, se cumple la primera condición.

El siguiente paso es sustituir el valor opuesto (-x) por el argumento (x).
Obtenemos:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Dado que la suma satisface la ley conmutativa (conmutativa), es obvio que h(-x) = h(x) y la dependencia funcional dada es par.

Comprobemos la paridad de la función h(x)=11^x-11^(-x). Siguiendo el mismo algoritmo, obtenemos que h(-x) = 11^(-x) -11^x. Sacando el menos, al final tenemos
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Por tanto, h(x) es impar.

Por cierto, cabe recordar que hay funciones que no se pueden clasificar según estos criterios y se denominan ni pares ni impares;

Incluso las funciones tienen varias propiedades interesantes:

• como resultado de agregar funciones similares, obtienen una igual;
• como resultado de restar tales funciones, se obtiene una par;
• incluso, también incluso;
• como resultado de multiplicar dos de estas funciones, se obtiene una par;
• como resultado de multiplicar funciones pares e impares, se obtiene una impar;
• como resultado de dividir funciones pares e impares, se obtiene una impar;
• la derivada de tal función es impar;
• si no construyes incluso función al cuadrado, nos igualamos.

La paridad de una función se puede utilizar para resolver ecuaciones.

Para resolver una ecuación como g(x) = 0, donde el lado izquierdo de la ecuación es una función par, será suficiente encontrar sus soluciones para valores no negativos de la variable. Las raíces resultantes de la ecuación deben combinarse con los números opuestos. Uno de ellos está sujeto a verificación.

Esto también se utiliza con éxito para resolver problemas no estándar con un parámetro.

Por ejemplo, ¿hay algún valor del parámetro a para el cual la ecuación 2x^6-x^4-ax^2=1 tendrá tres raíces?

Si tenemos en cuenta que la variable entra en la ecuación en potencias pares, entonces está claro que reemplazar x por - x no cambiará la ecuación dada. De ello se deduce que si un determinado número es su raíz, entonces el número opuesto también es la raíz. La conclusión es obvia: las raíces de una ecuación distintas de cero se incluyen en el conjunto de sus soluciones en “pares”.

Está claro que el número en sí no es 0, es decir, el número de raíces de dicha ecuación solo puede ser par y, naturalmente, para cualquier valor del parámetro no puede tener tres raíces.

Pero el número de raíces de la ecuación 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 puede ser impar y para cualquier valor del parámetro. De hecho, es fácil comprobar que el conjunto de raíces de una ecuación dada contiene soluciones "por pares". Comprobemos si 0 es una raíz. Cuando lo sustituimos en la ecuación, obtenemos 2=2. Así, además de los "pareados", 0 también es raíz, lo que demuestra su número impar.