Aquí puede encontrar información básica sobre pirámides y fórmulas y conceptos relacionados. Todos ellos se estudian con un tutor de matemáticas en preparación para el Examen Estatal Unificado.

Consideremos un plano, un polígono. , que se encuentra en él y un punto S, que no se encuentra en él. Conectemos S a todos los vértices del polígono. El poliedro resultante se llama pirámide. Los segmentos se llaman costillas laterales. El polígono se llama base y el punto S es la cima de la pirámide. Dependiendo del número n, la pirámide se llama triangular (n=3), cuadrangular (n=4), pentagonal (n=5), etc. Un nombre alternativo para una pirámide triangular es tetraedro. La altura de una pirámide es la perpendicular que desciende desde su cima al plano de la base.

Una pirámide se llama regular si un polígono regular, y la base de la altitud de la pirámide (la base de la perpendicular) es su centro.

comentario del tutor:
No confunda los conceptos de “pirámide regular” y “tetraedro regular”. En una pirámide regular, las aristas laterales no son necesariamente iguales a las aristas de la base, pero en un tetraedro regular, las 6 aristas son iguales. Esta es su definición. Es fácil demostrar que la igualdad implica la coincidencia del centro P del polígono. con una base de altura, por lo que un tetraedro regular es una pirámide regular.

¿Qué es una apotema?
La apotema de una pirámide es la altura de su cara lateral. Si la pirámide es regular, entonces todas sus apotemas son iguales. Lo contrario no es cierto.

Un tutor de matemáticas sobre su terminología: el 80% del trabajo con pirámides se construye a través de dos tipos de triángulos:
1) Que contiene apotema SK y altura SP
2) Que contiene el borde lateral SA y su proyección PA

Para simplificar las referencias a estos triángulos, es más conveniente que un tutor de matemáticas llame al primero de ellos apotémico, y el segundo costal. Desafortunadamente, no encontrará esta terminología en ninguno de los libros de texto y el profesor tiene que introducirla unilateralmente.

Fórmula para el volumen de una pirámide.:
1) , donde es el área de la base de la pirámide y es la altura de la pirámide
2), donde es el radio de la esfera inscrita y es el área superficie completa pirámides.
3) , donde MN es la distancia entre dos aristas que se cruzan cualesquiera y es el área del paralelogramo formado por los puntos medios de las cuatro aristas restantes.

Propiedad de la base de la altura de una pirámide:

El punto P (ver figura) coincide con el centro del círculo inscrito en la base de la pirámide si se cumple una de las siguientes condiciones:
1) Todas las apotemas son iguales
2) Todas las caras laterales están igualmente inclinadas con respecto a la base.
3) Todas las apotemas están igualmente inclinadas con respecto a la altura de la pirámide.
4) La altura de la pirámide está igualmente inclinada en todas las caras laterales.

Comentario del tutor de matemáticas.: Tenga en cuenta que todos los puntos tienen una cosa en común propiedad general: de una forma u otra, las caras laterales están involucradas en todas partes (las apotemas son sus elementos). Por tanto, el tutor puede ofrecer una formulación menos precisa, pero más cómoda para el aprendizaje: el punto P coincide con el centro del círculo inscrito, la base de la pirámide, si existe información igual sobre sus caras laterales. Para demostrarlo basta demostrar que todos los triángulos de apotema son iguales.

El punto P coincide con el centro de un círculo circunscrito cerca de la base de la pirámide si se cumple una de tres condiciones:
1) Todos los bordes laterales son iguales
2) Todas las nervaduras laterales están igualmente inclinadas con respecto a la base.
3) Todas las nervaduras laterales están igualmente inclinadas respecto a la altura.

• apotema- la altura de la cara lateral de una pirámide regular, que se dibuja desde su vértice (además, la apotema es la longitud de la perpendicular, que desciende desde el centro del polígono regular hasta uno de sus lados);
• caras laterales (ASB, BSC, CSD, DSA) - triángulos que se encuentran en el vértice;
• costillas laterales ( COMO , BS , C.S. , D.S. ) — lados comunes de las caras laterales;
• cima de la pirámide (t.S) - un punto que conecta las nervaduras laterales y que no se encuentra en el plano de la base;
• altura ( ENTONCES ) - un segmento perpendicular dibujado a través de la cima de la pirámide hasta el plano de su base (los extremos de dicho segmento serán la cima de la pirámide y la base de la perpendicular);
• sección diagonal pirámides- una sección de la pirámide que pasa por la cima y la diagonal de la base;
• base (ABCD) - un polígono que no pertenece al vértice de la pirámide.

Propiedades de la pirámide.

1. Cuando todos los bordes laterales tengan el mismo tamaño, entonces:

• es fácil describir un círculo cerca de la base de la pirámide, y la cima de la pirámide se proyectará hacia el centro de este círculo;
• las nervaduras laterales forman ángulos iguales con el plano de la base;
• Además, lo contrario también es cierto, es decir. cuando las nervaduras laterales forman ángulos iguales con el plano de la base, o cuando se puede describir un círculo alrededor de la base de la pirámide y la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de este círculo, significa que todos los bordes laterales de la pirámide son del mismo tamaño.

2. Cuando las caras laterales tienen un ángulo de inclinación con respecto al plano de la base del mismo valor, entonces:

• es fácil describir un círculo cerca de la base de la pirámide, y la cima de la pirámide se proyectará hacia el centro de este círculo;
• las alturas de las caras laterales son longitud igual;
• el área de la superficie lateral es igual a ½ producto del perímetro de la base por la altura de la cara lateral.

3. Se puede describir una esfera alrededor de una pirámide si en la base de la pirámide hay un polígono alrededor del cual se puede describir un círculo (condición necesaria y suficiente). El centro de la esfera será el punto de intersección de los planos que pasan por el centro de las aristas de la pirámide perpendiculares a ellas. De este teorema concluimos que una esfera se puede describir tanto alrededor de cualquier pirámide triangular como alrededor de cualquier pirámide regular.

4. Una esfera se puede inscribir en una pirámide si los planos bisectores de los ángulos diédricos internos de la pirámide se cruzan en el primer punto (condición necesaria y suficiente). Este punto se convertirá en el centro de la esfera.

La pirámide más simple.

Según el número de ángulos, la base de la pirámide se divide en triangular, cuadrangular, etc.

Habrá una pirámide triangular, cuadrangular, y así sucesivamente, cuando la base de la pirámide es un triángulo, un cuadrilátero, etcétera. Una pirámide triangular es un tetraedro, un tetraedro. Cuadrangular - pentagonal y así sucesivamente.

Definición

Pirámide es un poliedro compuesto por un polígono \(A_1A_2...A_n\) y \(n\) triángulos con un vértice común \(P\) (que no se encuentra en el plano del polígono) y lados opuestos a él, coincidiendo con el lados del polígono.
Designación: \(PA_1A_2...A_n\) .
Ejemplo: pirámide pentagonal \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Triángulos \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), etc. son llamados caras laterales pirámides, segmentos \(PA_1, PA_2\), etc. – costillas laterales, polígono \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – base, punto \(P\) – arriba.

Altura Las pirámides son una perpendicular que desciende desde la cima de la pirámide hasta el plano de la base.

Una pirámide con un triángulo en su base se llama tetraedro.

La pirámide se llama correcto, si su base es un polígono regular y se cumple una de las siguientes condiciones:

\((a)\) los bordes laterales de la pirámide son iguales;

\((b)\) la altura de la pirámide pasa por el centro del círculo circunscrito cerca de la base;

\((c)\) las nervaduras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo.

\((d)\) las caras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo.

tetraedro regular Es una pirámide triangular, todas cuyas caras son triángulos equiláteros iguales.

Teorema

Las condiciones \((a), (b), (c), (d)\) son equivalentes.

Prueba

Encontremos la altura de la pirámide \(PH\) . Sea \(\alpha\) el plano de la base de la pirámide.

1) Demostremos que de \((a)\) se sigue \((b)\) . Sea \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Porque \(PH\perp \alpha\), entonces \(PH\) es perpendicular a cualquier línea que se encuentre en este plano, lo que significa que los triángulos son rectángulos. Esto significa que estos triángulos son iguales en el cateto común \(PH\) y la hipotenusa \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Esto significa \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Esto significa que los puntos \(A_1, A_2, ..., A_n\) están a la misma distancia del punto \(H\), por lo tanto, se encuentran en el mismo círculo con el radio \(A_1H\). Este círculo, por definición, está circunscrito al polígono \(A_1A_2...A_n\) .

2) Demostremos que \((b)\) implica \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rectangulares e iguales sobre dos patas. Esto significa que sus ángulos también son iguales, por lo tanto, \(\ángulo PA_1H=\ángulo PA_2H=...=\ángulo PA_nH\).

3) Demostremos que \((c)\) implica \((a)\) .

Similar al primer punto, los triángulos \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rectangular tanto a lo largo del cateto como en ángulo agudo. Esto significa que sus hipotenusas también son iguales, es decir, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Demostremos que \((b)\) implica \((d)\) .

Porque en un polígono regular coinciden los centros de los círculos circunscritos e inscritos (en general, este punto se llama centro de un polígono regular), entonces \(H\) es el centro del círculo inscrito. Dibujemos perpendiculares desde el punto \(H\) a los lados de la base: \(HK_1, HK_2\), etc. Estos son los radios del círculo inscrito (por definición). Entonces, según TTP (\(PH\) es una perpendicular al plano, \(HK_1, HK_2\), etc. son proyecciones perpendiculares a los lados) inclinadas \(PK_1, PK_2\), etc. perpendicular a los lados \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectivamente. Entonces, por definición \(\ángulo PK_1H, \ángulo PK_2H\) iguales a los ángulos entre las caras laterales y la base. Porque triángulos \(PK_1H, PK_2H, ...\) son iguales (como rectangulares en dos lados), entonces los ángulos \(\ángulo PK_1H, \ángulo PK_2H, ...\) son iguales.

5) Demostremos que \((d)\) implica \((b)\) .

Similar al cuarto punto, los triángulos \(PK_1H, PK_2H, ...\) son iguales (como rectangular a lo largo del cateto y ángulo agudo), lo que significa que los segmentos \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) son igual. Esto significa, por definición, \(H\) es el centro de un círculo inscrito en la base. Pero porque Para polígonos regulares, los centros de los círculos inscritos y circunscritos coinciden, entonces \(H\) es el centro del círculo circunscrito. Chtd.

Consecuencia

Las caras laterales de una pirámide regular son iguales. triángulos isósceles.

Definición

La altura de la cara lateral de una pirámide regular trazada desde su vértice se llama apotema.
Las apotemas de todas las caras laterales de una pirámide regular son iguales entre sí y también son medianas y bisectrices.

Notas importantes

1. La altura de una pirámide triangular regular cae en el punto de intersección de las alturas (o bisectrices o medianas) de la base (la base es un triángulo regular).

2. La altura de una pirámide cuadrangular regular cae en el punto de intersección de las diagonales de la base (la base es un cuadrado).

3. La altura es correcta pirámide hexagonal cae en el punto de intersección de las diagonales de la base (la base es un hexágono regular).

4. La altura de la pirámide es perpendicular a cualquier línea recta que se encuentre en la base.

Definición

La pirámide se llama rectangular, si uno de sus bordes laterales es perpendicular al plano de la base.

Notas importantes

1. En una pirámide rectangular, el borde perpendicular a la base es la altura de la pirámide. Es decir, \(SR\) es la altura.

2. Porque \(SR\) es perpendicular a cualquier línea desde la base, entonces \(\triángulo SRM, \triángulo SRP\) – triangulos rectángulos.

3. Triángulos \(\triángulo SRN, \triángulo SRK\)- también rectangular.
Es decir, cualquier triángulo formado por esta arista y la diagonal que sale del vértice de esta arista situada en la base será rectangular.

\[(\Large(\text(Volumen y superficie de la pirámide)))\]

Teorema

El volumen de la pirámide es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura de la pirámide: \

Consecuencias

Sea \(a\) el lado de la base, \(h\) la altura de la pirámide.

1. El volumen de una pirámide triangular regular es \(V_(\text(triángulo rectángulo.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. El volumen de una pirámide cuadrangular regular es \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. El volumen de una pirámide hexagonal regular es \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. El volumen de un tetraedro regular es \(V_(\text(tetr. derecha))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorema

El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base por la apotema.

\[(\Grande(\text(Frustum)))\]

Definición

Considere una pirámide arbitraria \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Dibujemos un plano paralelo a la base de la pirámide que pase por un cierto punto que se encuentra en el borde lateral de la pirámide. Este plano dividirá la pirámide en dos poliedros, uno de los cuales es una pirámide (\(PB_1B_2...B_n\)), y el otro se llama pirámide truncada(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\)).

La pirámide truncada tiene dos bases: los polígonos \(A_1A_2...A_n\) y \(B_1B_2...B_n\) que son similares entre sí.

La altura de una pirámide truncada es una perpendicular trazada desde algún punto de la base superior al plano de la base inferior.

Notas importantes

1. Todas las caras laterales de una pirámide truncada son trapecios.

2. El segmento que conecta los centros de las bases de una pirámide truncada regular (es decir, una pirámide obtenida por sección transversal de una pirámide regular) es la altura.

Nivel de entrada

Pirámide. guía visual (2019)

¿Qué es una pirámide?

¿Cómo es ella?

Verás: en la base de la pirámide (dicen “ en la base") algún polígono, y todos los vértices de este polígono están conectados a algún punto en el espacio (este punto se llama " vértice»).

Toda esta estructura todavía tiene caras laterales, costillas laterales Y costillas base. Una vez más, dibujemos una pirámide con todos estos nombres:

Algunas pirámides pueden parecer muy extrañas, pero siguen siendo pirámides.

Aquí, por ejemplo, es completamente “oblicuo”. pirámide.

Y un poco más sobre los nombres: si hay un triángulo en la base de la pirámide, entonces la pirámide se llama triangular, si es cuadrilátero, entonces cuadrangular, y si es centágono, entonces... adivina por ti mismo .

Al mismo tiempo, el punto donde cayó. altura, llamado base de altura. Tenga en cuenta que en las pirámides "torcidas" altura incluso puede terminar fuera de la pirámide. Como esto:

Y eso no tiene nada de malo. Parece un triángulo obtuso.

Pirámide correcta.

Muchos palabras complejas? Descifremos: “En la base - correcto” - esto es comprensible. Ahora recordemos que un polígono regular tiene un centro: un punto que es el centro de y, y.

Bueno, las palabras “la parte superior se proyecta en el centro de la base” significan que la base de la altura cae exactamente en el centro de la base. Mira que suave y lindo se ve. pirámide regular.

Hexagonal: en la base hay un hexágono regular, el vértice se proyecta hacia el centro de la base.

Cuadrangular: la base es un cuadrado, la parte superior se proyecta hasta el punto de intersección de las diagonales de este cuadrado.

Triangular: en la base hay un triángulo regular, el vértice se proyecta al punto de intersección de las alturas (también son medianas y bisectrices) de este triángulo.

Muy Propiedades importantes de una pirámide regular:

EN pirámide correcta

• todos los bordes laterales son iguales.
• todas las caras laterales son triángulos isósceles y todos estos triángulos son iguales.

Volumen de la pirámide

La fórmula principal para el volumen de una pirámide:

¿De dónde vino exactamente? Esto no es tan simple y al principio solo debes recordar que una pirámide y un cono tienen volumen en la fórmula, pero un cilindro no.

Ahora calculemos el volumen de las pirámides más populares.

Deje que el lado de la base sea igual y el borde lateral igual. Necesitamos encontrar y.

Ésta es el área de un triángulo regular.

Recordemos cómo buscar esta zona. Usamos la fórmula del área:

Para nosotros " " es esto, y " " también es esto, eh.

Ahora encontrémoslo.

Según el teorema de Pitágoras para

¿Cuál es la diferencia? Este es el circunradio porque pirámidecorrecto y, por tanto, el centro.

Desde entonces, el punto de intersección de las medianas también.

(Teorema de Pitágoras para)

Sustituyámoslo en la fórmula de.

Y sustituyamos todo en la fórmula del volumen:

Atención: Si tienes un tetraedro regular (es decir), entonces la fórmula resulta así:

Deje que el lado de la base sea igual y el borde lateral igual.

No hay necesidad de mirar aquí; Después de todo, la base es un cuadrado, y por tanto.

Lo encontraremos. Según el teorema de Pitágoras para

¿Lo sabemos? Bueno, casi. Mirar:

(vimos esto mirándolo).

Sustituye en la fórmula por:

Y ahora sustituimos y en la fórmula del volumen.

Deje que el lado de la base sea igual y el borde lateral.

¿Cómo encontrarlo? Mira, un hexágono consta exactamente de seis triángulos regulares idénticos. Ya buscamos el área de un triángulo regular al calcular el volumen de una pirámide triangular regular; aquí usamos la fórmula que encontramos;

Ahora vamos a buscarlo.

Según el teorema de Pitágoras para

¿Pero qué importa? Es simple porque (y todos los demás también) tienen razón.

Sustituyamos:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRÁMIDE. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Una pirámide es un poliedro que consta de cualquier polígono plano (), un punto que no se encuentra en el plano de la base (parte superior de la pirámide) y todos los segmentos que conectan la parte superior de la pirámide con los puntos de la base (bordes laterales).

Una perpendicular que cae desde la cima de la pirámide hasta el plano de la base.

Pirámide correcta- una pirámide en la que se encuentra un polígono regular en la base y la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de la base.

Propiedad de una pirámide regular:

• En una pirámide regular, todas las aristas laterales son iguales.
• Todas las caras laterales son triángulos isósceles y todos estos triángulos son iguales.

Al resolver el problema C2 utilizando el método de coordenadas, muchos estudiantes enfrentan el mismo problema. no pueden calcular coordenadas de puntos incluido en la fórmula del producto escalar. Las mayores dificultades surgen pirámides. Y si los puntos base se consideran más o menos normales, entonces los puntos superiores son un auténtico infierno.

Hoy trabajaremos sobre una pirámide cuadrangular regular. También hay una pirámide triangular (también conocida como - tetraedro). Este es un diseño más complejo, por lo que se le dedicará una lección separada.

Primero, recordemos la definición:

Una pirámide regular es aquella que:

1. La base es un polígono regular: triángulo, cuadrado, etc.;
2. Por su centro pasa una altitud trazada hacia la base.

En particular, la base de una pirámide cuadrangular es cuadrado. Como Keops, sólo que un poco más pequeño.

A continuación se muestran cálculos para una pirámide en la que todas las aristas son iguales a 1. Si este no es el caso en su problema, los cálculos no cambian, solo los números serán diferentes.

Vértices de una pirámide cuadrangular

Entonces, démosle una pirámide cuadrangular regular SABCD, donde S es el vértice y la base ABCD es un cuadrado. Todas las aristas son iguales a 1. Debe ingresar un sistema de coordenadas y encontrar las coordenadas de todos los puntos. Tenemos:

Introducimos un sistema de coordenadas con origen en el punto A:

1. El eje OX se dirige paralelo al borde AB;
2. El eje OY es paralelo al AD. Como ABCD es un cuadrado, AB ⊥ AD;
3. Finalmente, dirigimos el eje OZ hacia arriba, perpendicular al plano ABCD.

Ahora calculamos las coordenadas. Construcción adicional: SH - altura dibujada hasta la base. Por conveniencia, colocaremos la base de la pirámide en un dibujo aparte. Como los puntos A, B, C y D se encuentran en el plano OXY, su coordenada es z = 0. Tenemos:

1. A = (0; 0; 0) - coincide con el origen;
2. B = (1; 0; 0) - paso a 1 a lo largo del eje OX desde el origen;
3. C = (1; 1; 0) - paso 1 a lo largo del eje OX y 1 a lo largo del eje OY;
4. D = (0; 1; 0) - paso solo a lo largo del eje OY.
5. H = (0,5; 0,5; 0) - el centro del cuadrado, la mitad del segmento AC.

Queda por encontrar las coordenadas del punto S. Tenga en cuenta que las coordenadas xey de los puntos S y H son las mismas, ya que se encuentran en una línea paralela al eje OZ. Queda por encontrar la coordenada z para el punto S.

Considere los triángulos ASH y ABH:

1. AS = AB = 1 por condición;
2. Ángulo AHS = AHB = 90°, ya que SH es la altura y AH ⊥ HB las diagonales del cuadrado;
3. El lado AH es común.

Por lo tanto, los triángulos rectángulos ASH y ABH igual un cateto y una hipotenusa cada uno. Esto significa SH = BH = 0,5 BD. Pero BD es la diagonal de un cuadrado de lado 1. Por lo tanto tenemos:

Coordenadas totales del punto S:

En conclusión, anotamos las coordenadas de todos los vértices de una pirámide rectangular regular:

Qué hacer cuando las costillas son diferentes.

¿Qué pasa si las aristas laterales de la pirámide no son iguales a las aristas de la base? En este caso, considere el triángulo AHS:

Triángulo AHS - rectangular, y la hipotenusa AS también es una arista lateral de la pirámide original SABCD. El tramo AH se calcula fácilmente: AH = 0,5 AC. Encontraremos el tramo restante SH. según el teorema de pitágoras. Esta será la coordenada z para el punto S.

Tarea. Dada una pirámide cuadrangular regular SABCD, en cuya base se encuentra un cuadrado de lado 1. costilla lateral BS = 3. Encuentra las coordenadas del punto S.

Ya conocemos las coordenadas xey de este punto: x = y = 0,5. Esto se desprende de dos hechos:

1. La proyección del punto S sobre el plano OXY es el punto H;
2. Al mismo tiempo, el punto H es el centro de un cuadrado ABCD, cuyos lados son iguales a 1.

Queda por encontrar la coordenada del punto S. Considere el triángulo AHS. Es rectangular, siendo la hipotenusa AS = BS = 3, siendo el cateto AH la mitad de la diagonal. Para más cálculos necesitamos su longitud:

Teorema de Pitágoras para el triángulo AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Tenemos:

Entonces, las coordenadas del punto S: