Los diferentes prismas son diferentes entre sí. Al mismo tiempo, tienen mucho en común. Para encontrar el área de la base del prisma, necesitarás entender qué tipo tiene.
teoría general
Un prisma es cualquier poliedro cuyos lados tienen forma de paralelogramo. Además, su base puede ser cualquier poliedro, desde un triángulo hasta un n-gón. Además, las bases del prisma son siempre iguales entre sí. Lo que no ocurre con las caras laterales es que pueden variar significativamente de tamaño.
Al resolver problemas, no solo se encuentra el área de la base del prisma. Puede requerir conocimiento de la superficie lateral, es decir, de todas las caras que no son bases. La superficie completa será la unión de todas las caras que forman el prisma.
A veces los problemas tienen que ver con la altura. Es perpendicular a las bases. La diagonal de un poliedro es un segmento que conecta en pares dos vértices cualesquiera que no pertenecen a la misma cara.
Cabe señalar que el área de la base de un prisma recto o inclinado no depende del ángulo entre ellos y las caras laterales. Si tienen las mismas figuras en las caras superior e inferior, entonces sus áreas serán iguales.
Prisma triangular
Tiene en su base una figura con tres vértices, es decir, un triángulo. Como sabes, puede ser diferente. Si es así, basta recordar que su área está determinada por la mitad del producto de las piernas.
La notación matemática se ve así: S = ½ av.
Para averiguar el área de la base en vista general, las fórmulas serán útiles: Garza y aquella en la que la mitad del lado se lleva a la altura que se le dibuja.
La primera fórmula debe escribirse de la siguiente manera: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Esta notación contiene un semiperímetro (p), es decir, la suma de tres lados dividida por dos.
Segundo: S = ½ n a * a.
Si necesitas saber el área de la base. prisma triangular, que es regular, entonces el triángulo resulta equilátero. Hay una fórmula para ello: S = ¼ a 2 * √3.
Prisma cuadrangular
Su base es cualquiera de los cuadriláteros conocidos. Puede ser un rectángulo o un cuadrado, un paralelepípedo o un rombo. En cada caso, para calcular el área de la base del prisma, necesitarás tu propia fórmula.
Si la base es un rectángulo, entonces su área se determina de la siguiente manera: S = ab, donde a, b son los lados del rectángulo.
Cuando se trata de un prisma cuadrangular, el área de la base de un prisma regular se calcula mediante la fórmula del cuadrado. Porque es él quien está en el fundamento. S = un 2.
En el caso de que la base sea un paralelepípedo, se necesitará la siguiente igualdad: S = a * n a. Sucede que se dan el lado de un paralelepípedo y uno de los ángulos. Luego, para calcular la altura, necesitarás usar una fórmula adicional: n a = b * sin A. Además, el ángulo A es adyacente al lado "b" y la altura n es opuesta a este ángulo.
Si hay un rombo en la base del prisma, para determinar su área necesitarás la misma fórmula que para un paralelogramo (ya que es un caso especial). Pero también puedes usar esto: S = ½ d 1 d 2. Aquí d 1 y d 2 son dos diagonales del rombo.
Prisma pentagonal regular
Este caso implica dividir el polígono en triángulos, cuyas áreas son más fáciles de encontrar. Aunque sucede que las figuras pueden tener diferente número de vértices.
Como la base del prisma es un pentágono regular, se puede dividir en cinco triángulos equiláteros. Entonces el área de la base del prisma es igual al área de uno de esos triángulos (la fórmula se puede ver arriba), multiplicada por cinco.
Prisma hexagonal regular
Según el principio descrito para un prisma pentagonal, es posible dividir el hexágono de la base en 6 triángulos equiláteros. La fórmula para el área de la base de dicho prisma es similar a la anterior. Sólo hay que multiplicarlo por seis.
La fórmula quedará así: S = 3/2 a 2 * √3.
Tareas
No. 1. Dada una recta regular, su diagonal es de 22 cm, la altura del poliedro es de 14 cm Calcula el área de la base del prisma y toda la superficie.
Solución. La base del prisma es un cuadrado, pero se desconoce su lado. Puedes encontrar su valor a partir de la diagonal del cuadrado (x), que está relacionada con la diagonal del prisma (d) y su altura (h). x 2 = re 2 - norte 2. Por otro lado, este segmento “x” es la hipotenusa en un triángulo cuyos catetos son iguales al lado del cuadrado. Es decir, x 2 = a 2 + a 2. Por tanto resulta que a 2 = (d 2 - n 2)/2.
Sustituye el número 22 en lugar de d, y reemplaza “n” con su valor - 14, resulta que el lado del cuadrado mide 12 cm. Ahora solo encuentra el área de la base: 12 * 12 = 144 cm. 2.
Para saber el área de toda la superficie, debes sumar el doble del área de la base y cuadriplicar el área lateral. Este último se puede encontrar fácilmente usando la fórmula de un rectángulo: multiplica la altura del poliedro por el lado de la base. Es decir, 14 y 12, este número será igual a 168 cm 2. La superficie total del prisma resulta ser 960 cm 2.
Respuesta. El área de la base del prisma es 144 cm 2. La superficie total es de 960 cm 2.
No. 2. Dado En la base hay un triángulo con un lado de 6 cm. En este caso, la diagonal de la cara lateral es de 10 cm Calcula las áreas: la base y la superficie lateral.
Solución. Como el prisma es regular, su base es un triángulo equilátero. Por lo tanto, su área resulta ser igual a 6 al cuadrado, multiplicado por ¼ y por la raíz cuadrada de 3. Un cálculo simple lleva al resultado: 9√3 cm 2. Ésta es el área de una base del prisma.
Todas las caras laterales son iguales y son rectángulos con lados de 6 y 10 cm. Para calcular sus áreas basta con multiplicar estos números. Luego multiplícalos por tres, porque el prisma tiene exactamente esa misma cantidad de caras laterales. Entonces el área de la superficie lateral de la herida resulta ser 180 cm 2.
Respuesta.Áreas: base - 9√3 cm 2, superficie lateral del prisma - 180 cm 2.
Correcto prisma hexagonal - un prisma, en cuyas bases hay dos hexágonos regulares, y todas las caras laterales son estrictamente perpendiculares a estas bases.
- A B C D E F A1 B1 do1 D1 mi1 F1 - prisma hexagonal regular
- a- longitud del lado de la base del prisma
- h- longitud del borde lateral del prisma
- Sprincipal- área de la base del prisma
- Slado .- área de la cara lateral del prisma
- Slleno- cuadrado superficie completa prismas
- Vprismas- volumen del prisma
Área base del prisma
En las bases del prisma hay hexágonos regulares con lados a. Según las propiedades de un hexágono regular, el área de las bases del prisma es igual a
Por aquí
Sprincipal= 3 3 √ 2 ⋅ a2
Así resulta que SA B C D E F= SA1 B1 do1 D1 mi1 F1 = 3 3 √ 2 ⋅ a2
Superficie total del prisma
El área superficial total de un prisma es la suma de las áreas de las caras laterales del prisma y las áreas de sus bases. Cada una de las caras laterales del prisma es un rectángulo de lados a Y h. Por tanto, según las propiedades del rectángulo.
S
lado .= un ⋅ hUn prisma tiene seis caras laterales y dos bases, por lo tanto su área superficial total es igual a
Slleno= 6 ⋅ Slado .+ 2 ⋅ Sprincipal= 6 ⋅ una ⋅ h + 2 ⋅ 3 3 √ 2 ⋅ a2
Volumen del prisma
El volumen de un prisma se calcula como el producto del área de su base por su altura. La altura de un prisma regular es cualquiera de sus aristas laterales, por ejemplo, la arista A A1 . En la base de un prisma hexagonal regular hay un hexágono regular, cuyo área conocemos. obtenemos
Vprismas= Sprincipal⋅A A1 = 3 3 √ 2 ⋅ a2 ⋅h
Hexágono regular en las bases del prisma
Consideremos el hexágono regular ABCDEF que se encuentra en la base del prisma.
Dibujamos los segmentos AD, BE y CF. Sea la intersección de estos segmentos el punto O.
Según las propiedades de un hexágono regular, los triángulos AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA son triángulos regulares. Resulta que
A O = O D = E O = O B = C O = O F = a
Dibujamos un segmento AE que se cruza con un segmento CF en el punto M. El triángulo AEO es isósceles, en él A O = O E = a , ∠ E O A = 120 ∘ . Según las propiedades de un triángulo isósceles.
UN mi = un ⋅ 2 (1 − porque E O A )− − − − − − − − − − − − √ = 3 √ ⋅ un
De la misma manera llegamos a la conclusión de que UN C = C E = 3 √ ⋅ un, F M = M O = 1 2 ⋅ un.
encontramos mi A1
en un trianguloAE A1 :
- A A1 =h
- A E = 3 √ ⋅ un- como acabamos de descubrir
- ∠ E A A1 = 90 ∘
AE A1
mi A1 = A A2 1 +A mi2 − − − − − − − − − − √ = h2 + 3 ⋅ a2 − − − − − − − − √
Si h = un, entonces mi A1 = 2 ⋅ un
F B1
=Un do1
=B D1
=C mi1
=D F1
=
h2
+
3
⋅
a2
−
−
−
−
−
−
−
−
√
.
en un triangulo SER B1 :
- B B1 =h
- segundo mi = 2 ⋅ a- porque E O = O B = a
- ∠ EB B1 = 90 ∘ - según las propiedades de la rectitud correcta
Por tanto, resulta que el triángulo SER B1 rectangular. Según las propiedades de un triángulo rectángulo.
mi B1 = B B2 1 +B mi2 − − − − − − − − − − √ = h2 + 4 ⋅ a2 − − − − − − − − √
Si h = un, entonces
mi B1 = 5 √ ⋅ un
Después de un razonamiento similar obtenemos que F do1
=Un D1
=B mi1
=C F1
=D A1
=
h2
+
4
⋅
a2
−
−
−
−
−
−
−
−
√
.
encontramos oh F1
en un triangulo F O F1 :
- F F1 =h
- F O = a
- ∠ O F F1 = 90 ∘ - según las propiedades de un prisma regular
Por tanto, resulta que el triángulo F O F1 rectangular. Según las propiedades de un triángulo rectángulo.
oh F1 = F F2 1 +O F2 − − − − − − − − − − √ = h2 + a2 − − − − − − √
Si h = un, entonces
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