Si la función f(x) tiene en algún intervalo que contiene el punto A, derivadas de todos los órdenes, entonces se le puede aplicar la fórmula de Taylor:
Dónde rn– el llamado término restante o resto de la serie, se puede estimar mediante la fórmula de Lagrange:
, donde el número x está entre incógnita Y A.
Si por algun valor xrn®0 en norte®¥, entonces en el límite la fórmula de Taylor se convierte en una fórmula convergente para este valor serie de taylor:
Entonces la función f(x) se puede expandir a una serie de Taylor en el punto en cuestión incógnita, Si:
1) tiene derivados de todos los órdenes;
2) la serie construida converge en este punto.
En A=0 obtenemos una serie llamada cerca de Maclaurin:
Ejemplo 1 f(x)= 2incógnita.
Solución. Encontremos los valores de la función y sus derivadas en incógnita=0
f(x) = 2incógnita, F( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2incógnita ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f¢¢(x) = 2incógnita en 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 en 2 2= en 2 2;
f(n)(x) = 2incógnita en norte 2, f(n)( 0) = 2 0 en norte 2=en norte 2.
Sustituyendo los valores obtenidos de las derivadas en la fórmula de la serie de Taylor, obtenemos:
El radio de convergencia de esta serie es igual al infinito, por lo tanto esta expansión es válida para -¥<incógnita<+¥.
Ejemplo 2 incógnita+4) para función f(x)= mi incógnita.
Solución. Encontrar las derivadas de la función e. incógnita y sus valores en el punto incógnita=-4.
f(x)= mi incógnita, F(-4) = mi -4 ;
f¢(x)= mi incógnita, f¢(-4) = mi -4 ;
f¢¢(x)= mi incógnita, f¢¢(-4) = mi -4 ;
f(n)(x)= mi incógnita, f(n)( -4) = mi -4 .
Por lo tanto, la serie de Taylor requerida de la función tiene la forma:
Esta ampliación también es válida para -¥<incógnita<+¥.
Ejemplo 3 . Expandir una función f(x)=ln incógnita en una serie en potencias ( INCÓGNITA- 1),
(es decir, en la serie de Taylor en las proximidades del punto incógnita=1).
Solución. Encuentra las derivadas de esta función.
Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos la serie de Taylor deseada:
Usando la prueba de d'Alembert, puedes verificar que la serie converge cuando
½ INCÓGNITA- 1½<1. Действительно,
La serie converge si ½ INCÓGNITA- 1½<1, т.е. при 0<incógnita<2. При incógnita=2 obtenemos una serie alterna que satisface las condiciones del criterio de Leibniz. En incógnita=0 la función no está definida. Por tanto, la región de convergencia de la serie de Taylor es el intervalo semiabierto (0;2].
Presentemos las expansiones obtenidas de esta manera en la serie de Maclaurin (es decir, en las proximidades del punto incógnita=0) para algunas funciones elementales:
(2) 
,
(3) 
,
( la última descomposición se llama serie binomial)
Ejemplo 4 . Expande la función a una serie de potencias.
Solución. En la expansión (1) reemplazamos incógnita en - incógnita 2, obtenemos:
Ejemplo 5
. Ampliar la función en una serie de Maclaurin. 
Solución. Tenemos 
Usando la fórmula (4), podemos escribir:
sustituyendo en su lugar incógnita en la fórmula -INCÓGNITA, obtenemos:
Desde aquí encontramos:
Abriendo los paréntesis, reordenando los términos de la serie y acercando términos similares, obtenemos
Esta serie converge en el intervalo
(-1;1), ya que se obtiene a partir de dos series, cada una de las cuales converge en este intervalo.
Comentario .
Las fórmulas (1)-(5) también se pueden usar para expandir las funciones correspondientes en una serie de Taylor, es decir para funciones en expansión en potencias enteras positivas ( Ja). Para hacer esto, es necesario realizar transformaciones idénticas en una función dada para obtener una de las funciones (1)-(5), en la que en lugar incógnita cuesta k( Ja) m , donde k es un número constante, m es un número entero positivo. Muchas veces es conveniente hacer un cambio de variable. t=Ja y expandir la función resultante con respecto a t en la serie de Maclaurin.
Este método ilustra el teorema sobre la unicidad de una expansión en serie de potencias de una función. La esencia de este teorema es que en las proximidades de un mismo punto no se pueden obtener dos series de potencias diferentes que convergerían en la misma función, sin importar cómo se realice su expansión.
Ejemplo 6 . Expande la función a una serie de Taylor en la vecindad de un punto. incógnita=3.
Solución. Este problema se puede resolver, como antes, utilizando la definición de la serie de Taylor, para lo cual necesitamos encontrar las derivadas de la función y sus valores en incógnita=3. Sin embargo, será más fácil utilizar la expansión existente (5):
La serie resultante converge en 
o –3<incógnita- 3<3, 0<incógnita< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Ejemplo 7
. Escribe la serie de Taylor en potencias ( incógnita-1) funciones 
.
Solución.
La serie converge en 
, o -2< incógnita£5.
Si la función f(x) tiene derivadas de todos los órdenes en un cierto intervalo que contiene el punto a, entonces se le puede aplicar la fórmula de Taylor:
,
Dónde rn– el llamado término restante o resto de la serie, se puede estimar mediante la fórmula de Lagrange:
, donde el número x está entre x y a.
Reglas para ingresar funciones.:
Si por algun valor incógnita rn→0 en norte→∞, entonces en el límite la fórmula de Taylor se vuelve convergente para este valor serie de taylor:
,
Por tanto, la función f(x) se puede expandir a una serie de Taylor en el punto x considerado si:
1) tiene derivados de todos los órdenes;
2) la serie construida converge en este punto.
Cuando a = 0 obtenemos una serie llamada cerca de Maclaurin:
,
Ampliación de las funciones (elementales) más simples de la serie Maclaurin:
Funciones exponenciales
, R=∞
Funciones trigonométricas 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
La función actgx no se expande en potencias de x, porque ctg0=∞
Funciones hiperbólicas
Funciones logarítmicas
, -1
Serie binomial
.
Ejemplo No. 1. Expande la función a una serie de potencias. f(x)= 2incógnita.
Solución. Encontremos los valores de la función y sus derivadas en incógnita=0
f(x) = 2incógnita, F( 0)
= 2 0
=1;
f"(x) = 2incógnita ln2, F"( 0)
= 2 0
ln2= ln2;
f""(x) = 2incógnita en 2 2, F""( 0)
= 2 0
en 2 2= en 2 2;
…
f(n)(x) = 2incógnita en norte 2, f(n)( 0)
= 2 0
en norte 2=en norte 2.
Sustituyendo los valores obtenidos de las derivadas en la fórmula de la serie de Taylor, obtenemos:
El radio de convergencia de esta serie es igual al infinito, por lo tanto esta expansión es válida para -∞<incógnita<+∞.
Ejemplo No. 2. Escribe la serie de Taylor en potencias ( incógnita+4) para función f(x)= mi incógnita.
Solución. Encontrar las derivadas de la función e. incógnita y sus valores en el punto incógnita=-4.
f(x)= mi incógnita, F(-4)
= mi -4
;
f"(x)= mi incógnita, F"(-4)
= mi -4
;
f""(x)= mi incógnita, F""(-4)
= mi -4
;
…
f(n)(x)= mi incógnita, f(n)( -4)
= mi -4
.
Por lo tanto, la serie de Taylor requerida de la función tiene la forma:
Esta expansión también es válida para -∞<incógnita<+∞.
Ejemplo No. 3. Expandir una función f(x)=ln incógnita en una serie en potencias ( INCÓGNITA- 1),
(es decir, en la serie de Taylor en las proximidades del punto incógnita=1).
Solución. Encuentra las derivadas de esta función.
f(x)=lnx , , , ,
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos la serie de Taylor deseada:
Usando la prueba de d'Alembert, puedes verificar que la serie converge en ½x-1½<1 . Действительно,
La serie converge si ½ INCÓGNITA- 1½<1, т.е. при 0<incógnita<2. При incógnita=2 obtenemos una serie alterna que satisface las condiciones del criterio de Leibniz. Cuando x=0 la función no está definida. Por tanto, la región de convergencia de la serie de Taylor es el intervalo semiabierto (0;2].
Ejemplo No. 4. Expande la función a una serie de potencias. Ejemplo No. 5. Expanda la función a una serie de Maclaurin. Comentario
.
Este método se basa en el teorema de la unicidad del desarrollo de una función en una serie de potencias. La esencia de este teorema es que en las proximidades de un mismo punto no se pueden obtener dos series de potencias diferentes que convergerían en la misma función, sin importar cómo se realice su expansión. Ejemplo No. 5a. Expande la función en una serie de Maclaurin e indica la región de convergencia. La fracción 3/(1-3x) puede considerarse como la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente con denominador 3x, si |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Ejemplo No. 6. Expande la función a una serie de Taylor en la vecindad del punto x = 3. Ejemplo No. 7. Escribe la serie de Taylor en potencias (x -1) de la función ln(x+2). Ejemplo No. 8. Expande la función f(x)=sin(πx/4) en una serie de Taylor en la vecindad del punto x =2. Ejemplo No. 1. Calcule ln(3) al 0,01 más cercano. Ejemplo No. 2. Calcule al 0,0001 más cercano. Ejemplo No. 3. Calcula la integral ∫ 0 1 4 sen (x) x con una precisión de 10 -5 . Ejemplo No. 4. Calcula la integral ∫ 0 1 4 e x 2 con una precisión de 0.001. Demostremos que si una función arbitraria se define en un conjunto entonces puedes encontrar los coeficientes de esta serie. Sustituyamos en una serie de potencias. Encontremos la primera derivada de la función. En Para la segunda derivada obtenemos: En Continuando con este procedimiento norte una vez que obtenemos: Así, obtuvimos una serie de potencias de la forma: que se llama junto a taylor para función Un caso especial de la serie de Taylor es serie maclaurin en El resto de la serie de Taylor (Maclaurin) se obtiene descartando la serie principal norte primeros miembros y se denota como El resto suele ser Uno de ellos está en forma de Lagrange: Tenga en cuenta que en la práctica se utiliza con mayor frecuencia la serie de Maclaurin. Así, para escribir la función 1) encuentre los coeficientes de la serie de Maclaurin (Taylor); 2) encontrar la región de convergencia de la serie de potencias resultante; 3) demostrar que esta serie converge a la función Teorema1
(una condición necesaria y suficiente para la convergencia de la serie de Maclaurin). Sea el radio de convergencia de la serie. Teorema 2. Si las derivadas de cualquier orden de la función Ejemplo1
.
Expandir en una serie de Taylor alrededor del punto. Solución. ....................................................................................................................................... Región de convergencia Ejemplo2
.
Expandir una función Solución: Encuentre el valor de la función y sus derivadas en ...........…………………………… Pongamos estos valores en una fila. Obtenemos: o Encontremos la región de convergencia de esta serie. Según la prueba de d'Alembert, una serie converge si Por lo tanto, para cualquier Consideremos varios ejemplos de la expansión en serie de Maclaurin de funciones elementales básicas. Recordemos que la serie Maclaurin: converge en el intervalo Tenga en cuenta que para expandir una función a una serie es necesario: a) encuentre los coeficientes de la serie de Maclaurin para esta función; b) calcular el radio de convergencia de la serie resultante; c) demostrar que la serie resultante converge a la función Ejemplo 3. Considere la función Solución. Calculemos el valor de la función y sus derivadas en Entonces los coeficientes numéricos de la serie tienen la forma: para cualquiera norte. Sustituyamos los coeficientes encontrados en la serie de Maclaurin y obtenemos: Encontremos el radio de convergencia de la serie resultante, a saber: Por tanto, la serie converge en el intervalo Esta serie converge a la función Ejemplo4
.
Considere la función Solución.
Es fácil ver que las derivadas de orden par Encontremos el intervalo de convergencia de esta serie. Según el signo de d'Alembert: para cualquiera Esta serie converge a la función Ejemplo5
.
Solución. Encontremos el valor de la función y sus derivadas en Así, los coeficientes de esta serie: Al igual que en la fila anterior, el área de convergencia Tenga en cuenta que la función Ejemplo6
.
Serie binomial: Solución. Encontremos el valor de la función y sus derivadas en De esto se puede ver que: Sustituyamos estos valores de coeficientes en la serie de Maclaurin y obtengamos la expansión de esta función en una serie de potencias: Encontremos el radio de convergencia de esta serie: Por tanto, la serie converge en el intervalo La serie estudiada converge en el intervalo. Ejemplo7
.
Ampliemos la función en la serie de Maclaurin. Solución. Para expandir esta función a una serie, usamos la serie binomial en Basándonos en la propiedad de las series de potencias (una serie de potencias se puede integrar en la región de su convergencia), encontramos la integral de los lados izquierdo y derecho de esta serie: Encontremos el área de convergencia de esta serie: es decir, el área de convergencia de esta serie es el intervalo La serie converge según la prueba de Leibniz. Por tanto, la región de convergencia de esta serie es el intervalo En los cálculos aproximados, las series de potencias juegan un papel extremadamente importante. Con su ayuda se han elaborado tablas de funciones trigonométricas, tablas de logaritmos, tablas de valores de otras funciones, que se utilizan en diversas áreas del conocimiento, por ejemplo, en teoría de probabilidades y estadística matemática. Además, la expansión de funciones en series de potencias es útil para su estudio teórico. El principal problema al utilizar series de potencias en cálculos aproximados es la cuestión de estimar el error al reemplazar la suma de una serie por la suma de sus primeras norte miembros. Consideremos dos casos: la función se expande a una serie de alternancia de signos; la función se expande en una serie de signo constante. Deja que la función Ejemplo8
.
Calcular Solución. Usaremos la serie Maclaurin para Si comparamos el primer y segundo término de la serie con una precisión dada, entonces: . Tercer plazo de ampliación: menor que la precisión de cálculo especificada. Por lo tanto, para calcular De este modo Ejemplo9
.
Calcular Solución. Usaremos la fórmula de la serie binomial. Para hacer esto, escribamos en esta expresión Comparemos cada uno de los términos de la serie con la precisión que se especifica. Esta claro que Ejemplo10
.
Calcular numero Solución. En una fila para una función Estimemos el error que surge al sustituir la suma de una serie por la suma de la primera eso es 2< Según el problema, necesitas encontrar. norte tal que se cumple la siguiente desigualdad: Es fácil comprobar que cuando norte= 6: Por eso, Ejemplo11
.
Calcular Solución. Tenga en cuenta que para calcular logaritmos podríamos usar una serie para la función calculemos Por eso, Para calcular Resto de la serie o Así, en la serie que se utilizó para el cálculo, fue suficiente tomar solo los primeros cuatro términos en lugar de 9999 en la serie de la función. 1. ¿Qué es una serie de Taylor? 2. ¿Qué forma tuvo la serie Maclaurin? 3. Formule un teorema sobre el desarrollo de una función en una serie de Taylor. 4. Escriba la expansión en serie de Maclaurin de las funciones principales. 5. Indique las áreas de convergencia de las series consideradas. 6. ¿Cómo estimar el error en cálculos aproximados utilizando series de potencias? Los estudiantes de matemáticas superiores deben saber que la suma de una determinada serie de potencias perteneciente al intervalo de convergencia de la serie que nos han dado resulta ser una función continua e ilimitada de veces diferenciada. Surge la pregunta: ¿es posible decir que una función arbitraria dada f(x) es la suma de una determinada serie de potencias? Es decir, ¿bajo qué condiciones se puede representar la función f(x) mediante una serie de potencias? La importancia de esta pregunta radica en el hecho de que es posible reemplazar aproximadamente la función f(x) con la suma de los primeros términos de una serie de potencias, es decir, un polinomio. Esta sustitución de una función por una expresión bastante simple, un polinomio, también es conveniente a la hora de resolver ciertos problemas, a saber: al resolver integrales, al calcular, etc. Se ha demostrado que para una determinada función f(x), en la que es posible calcular derivadas hasta el orden (n+1), incluida la última, en la vecindad de (α - R; x 0 + R ) algún punto x = α, es cierto que la fórmula: Esta fórmula lleva el nombre de la famosa científica Brooke Taylor. La serie que se obtiene de la anterior se llama serie de Maclaurin: La regla que permite realizar una expansión en una serie de Maclaurin: R n (x) -> 0 en n -> infinito. Si existe, la función f(x) debe coincidir con la suma de la serie de Maclaurin. Consideremos ahora la serie Maclaurin para funciones individuales. 1. Entonces, el primero será f(x) = e x. Por supuesto, por sus características, tal función tiene derivadas de órdenes muy diferentes, y f (k) (x) = e x , donde k es igual a todo x = 0. Obtenemos f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Con base en lo anterior, la serie e x se verá así: 2. Serie de Maclaurin para la función f(x) = sen x. Aclaremos de inmediato que la función para todas las incógnitas tendrá derivadas, además, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), donde k es igual a cualquier número natural. Es decir, después de hacer cálculos simples, podemos llegar a. la conclusión es que la serie para f(x) = sen x se verá así: 3. Ahora intentemos considerar la función f(x) = cos x. Para todas las incógnitas tiene derivadas de orden arbitrario, y |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так: Entonces, hemos enumerado las funciones más importantes que se pueden expandir en una serie de Maclaurin, pero se complementan con series de Taylor para algunas funciones. Ahora los enumeraremos. También vale la pena señalar que las series de Taylor y Maclaurin son una parte importante del trabajo práctico de resolución de series en matemáticas superiores. Entonces, serie de Taylor. 1. La primera será la serie de la función f(x) = ln(1+x). Como en los ejemplos anteriores, para f(x) = ln(1+x) dada podemos sumar la serie usando la forma general de la serie de Maclaurin. sin embargo, para esta función se puede obtener la serie de Maclaurin de forma mucho más sencilla. Habiendo integrado una determinada serie geométrica, obtenemos una serie para f(x) = ln(1+x) de tal muestra: 2. Y la segunda, que será la definitiva en nuestro artículo, será la serie para f(x) = arctan x. Para x perteneciente al intervalo [-1;1] la expansión es válida: Eso es todo. Este artículo examinó las series de Taylor y Maclaurin más utilizadas en matemáticas superiores, en particular en economía y universidades técnicas. Ampliación de una función a una serie de Taylor, Maclaurin y Laurent en un sitio para la formación de habilidades prácticas. Esta expansión en serie de una función permite a los matemáticos estimar el valor aproximado de la función en algún punto de su dominio de definición. Es mucho más fácil calcular el valor de una función de este tipo que utilizar la tabla de Bredis, que es tan irrelevante en la era de la tecnología informática. Expandir una función a una serie de Taylor significa calcular los coeficientes de las funciones lineales de esta serie y escribirlos en la forma correcta. Los estudiantes confunden estas dos series, sin entender cuál es el caso general y cuál es el caso especial de la segunda. Recordemos de una vez por todas que la serie de Maclaurin es un caso especial de la serie de Taylor, es decir, esta es la serie de Taylor, pero en el punto x = 0. Todas breves entradas para el desarrollo de funciones conocidas, como e^x, Sin(x), Cos(x) y otras, estas son expansiones en serie de Taylor, pero en el punto 0 del argumento. Para funciones de argumento complejo, la serie de Laurent es el problema más común en TFCT, ya que representa una serie infinita de dos lados. Es la suma de dos series. Le sugerimos que mire un ejemplo de descomposición directamente en el sitio web; esto es muy fácil de hacer haciendo clic en "Ejemplo" con cualquier número y luego en el botón "Solución". Es precisamente esta expansión de una función en una serie asociada con una serie mayorizadora la que limita la función original en una determinada región a lo largo del eje de ordenadas si la variable pertenece a la región de abscisas. El análisis vectorial se compara con otra disciplina interesante de las matemáticas. Dado que es necesario examinar cada término, el proceso requiere bastante tiempo. Cualquier serie de Taylor puede asociarse con una serie de Maclaurin reemplazando x0 por cero, pero para una serie de Maclaurin a veces no es obvio representar la serie de Taylor al revés. Como si no fuera necesario hacerlo en su forma pura, es interesante para el autodesarrollo general. Cada serie de Laurent corresponde a una serie de potencias infinitas bilaterales en potencias enteras de z-a, es decir, una serie del mismo tipo de Taylor, pero ligeramente diferente en el cálculo de los coeficientes. Hablaremos de la región de convergencia de la serie de Laurent un poco más adelante, después de varios cálculos teóricos. Como en el siglo pasado, es difícil lograr una expansión paso a paso de una función en una serie simplemente llevando los términos a un denominador común, ya que las funciones en los denominadores no son lineales. La formulación de problemas requiere un cálculo aproximado del valor funcional. Piense en el hecho de que cuando el argumento de una serie de Taylor es una variable lineal, entonces la expansión ocurre en varios pasos, pero la imagen es completamente diferente cuando el argumento de la función que se está expandiendo es una función compleja o no lineal, entonces el proceso de representar tal función en una serie de potencias es obvio, ya que, de esta manera, es fácil de calcular, aunque sea un valor aproximado, en cualquier punto de la región de definición, con un error mínimo que tiene poco efecto en cálculos posteriores. Esto también se aplica a la serie Maclaurin. cuando es necesario calcular la función en el punto cero. Sin embargo, la propia serie de Laurent está representada aquí mediante una ampliación en el plano con unidades imaginarias. Además, la solución correcta del problema durante todo el proceso no dejará de tener éxito. Este enfoque no se conoce en matemáticas, pero existe objetivamente. Como resultado, se puede llegar a la conclusión de los llamados subconjuntos puntuales, y al desarrollar una función en serie es necesario utilizar métodos conocidos para este proceso, como la aplicación de la teoría de las derivadas. Una vez más estamos convencidos de que tenía razón el profesor que hizo sus suposiciones sobre los resultados de los cálculos poscomputacionales. Tenga en cuenta que la serie de Taylor, obtenida según todos los cánones de las matemáticas, existe y está definida en todo el eje numérico, sin embargo, queridos usuarios del servicio del sitio, no olviden el tipo de función original, porque puede resultar que inicialmente es necesario establecer el dominio de definición de la función, es decir, escribir y excluir de mayor consideración aquellos puntos en los que la función no está definida en el dominio de los números reales. Por así decirlo, esto demostrará su eficacia a la hora de resolver el problema. La construcción de una serie de Maclaurin con valor de argumento cero no será una excepción a lo dicho. El proceso de encontrar el dominio de definición de una función no ha sido cancelado y debes abordar esta operación matemática con toda seriedad. En el caso de una serie de Laurent que contiene la parte principal, el parámetro "a" se llamará punto singular aislado, y la serie de Laurent se expandirá en un anillo; esta es la intersección de las áreas de convergencia de sus partes, por lo tanto El teorema correspondiente seguirá. Pero no todo es tan complicado como podría parecerle a primera vista a un estudiante inexperto. Habiendo estudiado la serie de Taylor, podrá comprender fácilmente la serie de Laurent, un caso generalizado de expansión del espacio de números. Cualquier expansión en serie de una función sólo se puede realizar en un punto en el dominio de definición de la función. Se deben tener en cuenta propiedades de funciones como la periodicidad o la diferenciabilidad infinita. También le sugerimos que utilice la tabla de expansiones de funciones elementales en series de Taylor ya preparadas, ya que una función puede representarse hasta con docenas de series de potencias diferentes, como se puede ver al usar nuestra calculadora en línea. La serie Maclaurin en línea es muy fácil de determinar, si utiliza el exclusivo servicio del sitio web, solo necesita ingresar la función escrita correcta y recibirá la respuesta presentada en cuestión de segundos, se garantiza que será precisa y en una forma escrita estándar. Puede copiar el resultado directamente en una copia limpia para enviársela al profesor. Sería correcto determinar primero la analiticidad de la función en cuestión en anillos y luego afirmar sin ambigüedades que es expandible en una serie de Laurent en todos esos anillos. Es importante no perder de vista los términos de la serie de Laurent que contienen poderes negativos. Concéntrate en esto tanto como sea posible. Haz buen uso del teorema de Laurent sobre la expansión de una función en potencias enteras.
Solución. En el desarrollo (1) reemplazamos x con -x 2, obtenemos:
, -∞
Solución. Tenemos
Usando la fórmula (4), podemos escribir:
sustituyendo –x en lugar de x en la fórmula, obtenemos:
De aquí encontramos: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Abriendo los corchetes, reordenando los términos de la serie y acercando términos similares, obtenemos
. Esta serie converge en el intervalo (-1;1), ya que se obtiene a partir de dos series, cada una de las cuales converge en este intervalo.
Las fórmulas (1)-(5) también se pueden usar para expandir las funciones correspondientes en una serie de Taylor, es decir para funciones en expansión en potencias enteras positivas ( Ja). Para hacer esto, es necesario realizar transformaciones idénticas en una función dada para obtener una de las funciones (1)-(5), en la que en lugar incógnita cuesta k( Ja) m , donde k es un número constante, m es un número entero positivo. Muchas veces es conveniente hacer un cambio de variable. t=Ja y expandir la función resultante con respecto a t en la serie de Maclaurin.
Solución. Primero encontramos 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
a elemental:
con región de convergencia |x|< 1/3.
Solución. Este problema se puede resolver, como antes, utilizando la definición de la serie de Taylor, para lo cual necesitamos encontrar las derivadas de la función y sus valores en incógnita=3. Sin embargo, será más fácil utilizar la expansión existente (5):
=
La serie resultante converge en o –3
Solución.
La serie converge en , o -2< x < 5.
Solución. Hagamos el reemplazo t=x-2:
Usando el desarrollo (3), en el que sustituimos π / 4 t en lugar de x, obtenemos:
La serie resultante converge a la función dada en -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Cálculos aproximados utilizando series de potencias.
Las series de potencias se utilizan ampliamente en cálculos aproximados. Con su ayuda, puedes calcular los valores de raíces, funciones trigonométricas, logaritmos de números e integrales definidas con una precisión determinada. Las series también se utilizan al integrar ecuaciones diferenciales.
Considere la expansión de una función en una serie de potencias:
Para calcular el valor aproximado de una función en un punto dado incógnita, pertenecientes a la región de convergencia de la serie indicada, las primeras quedan en su expansión norte miembros ( norte– un número finito), y se descartan los términos restantes:
Para estimar el error del valor aproximado obtenido, es necesario estimar el resto descartado rn (x). Para hacer esto, utilice las siguientes técnicas:
Solución. Usemos la expansión donde x=1/2 (ver ejemplo 5 en el tema anterior):
Comprobemos si podemos descartar el resto después de los tres primeros términos del desarrollo; para ello, lo evaluaremos utilizando la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente:
Entonces podemos descartar este resto y obtener
Solución. Usemos la serie binomial. Dado que 5 3 es el cubo de un número entero más cercano a 130, es aconsejable representar el número 130 como 130 = 5 3 +5. 
ya que el cuarto término de la serie alterna resultante que satisface el criterio de Leibniz es menor que la precisión requerida:
, por lo que éste y los términos siguientes pueden descartarse.
Muchas integrales definidas o impropias prácticamente necesarias no se pueden calcular utilizando la fórmula de Newton-Leibniz, porque su aplicación está asociada con la búsqueda de la antiderivada, que a menudo no tiene expresión en funciones elementales. También sucede que es posible encontrar una antiderivada, pero requiere mucha mano de obra innecesaria. Sin embargo, si la función integrando se expande a una serie de potencias y los límites de integración pertenecen al intervalo de convergencia de esta serie, entonces es posible un cálculo aproximado de la integral con una precisión predeterminada.
Solución. La integral indefinida correspondiente no se puede expresar en funciones elementales, es decir representa una “integral no permanente”. La fórmula de Newton-Leibniz no se puede aplicar aquí. Calculemos la integral aproximadamente.
Dividiendo término por término la serie del pecado incógnita en incógnita, obtenemos: 
Integrando esta serie término a término (esto es posible, ya que los límites de integración pertenecen al intervalo de convergencia de esta serie), obtenemos:
Dado que la serie resultante satisface las condiciones de Leibniz y basta con tomar la suma de los dos primeros términos para obtener el valor deseado con una precisión determinada.
Así, encontramos 
.
Solución.
. Comprobemos si podemos descartar el resto después del segundo término de la serie resultante.
0.0001<0.001. Следовательно, 
.16.1. Expansión de funciones elementales en series de Taylor y
maclaurin
, en las proximidades del punto 
tiene muchas derivadas y es la suma de una serie de potencias:
. Entonces 
.
:
:
.
:
.
.
,
en las proximidades del punto 
.
:
. Entonces la función 
se puede escribir como una suma norte primeros miembros de la serie 
y el resto 
:,
.
expresado en diferentes fórmulas.
, Dónde 
.
.
en forma de suma de series de potencias es necesario:
.
. Para que esta serie converja en el intervalo 
funcionar 
, es necesario y suficiente que se cumpla la condición: 
en el intervalo especificado.
en algún intervalo 
limitado en valor absoluto al mismo número METRO, eso es 
, entonces en este intervalo la función 
se puede ampliar a una serie de Maclaurin.
función.
.
,;
,
;
,
;
,
,
;
.
en una serie de Taylor alrededor de un punto 
.
.
,
;
,
;
,
.
.
.
este límite es menor que 1, por lo que el rango de convergencia de la serie será: 
.
.
funcionar 
.
.
.
.
.
.
para cualquier valor 
, porque en cualquier intervalo 
función 
y sus derivadas de valor absoluto están limitadas en número 
.
.
:
, y las derivadas son de orden impar. Sustituyamos los coeficientes encontrados en la serie de Maclaurin y obtenemos el desarrollo:
. Por tanto, la serie converge en el intervalo 
.
, porque todas sus derivadas están limitadas a la unidad.
.
:
Y 
, por eso:
. La serie converge a la función. 
, porque todas sus derivadas están limitadas a la unidad.
expansión impar y en serie en potencias impares, función 
– par y expansión en una serie en potencias pares.
.
:
. En los puntos límite de 
Y 
una serie puede converger o no dependiendo del exponente 
.
funcionar 
, es decir, la suma de la serie 
en 
.
.
. Obtenemos: 
,
. 
. Esta serie es una serie armoniosa, es decir, diverge. En 
obtenemos una serie numérica con un término común 
.
.16.2. Aplicación de series de potencias en cálculos aproximados.
Cálculo utilizando series alternas.
expandido en una serie de potencias alternas. Luego, al calcular esta función para un valor específico 
obtenemos una serie numérica a la que podemos aplicar el criterio de Leibniz. De acuerdo con este criterio, si la suma de una serie se sustituye por la suma de sus primeras norte términos, entonces el error absoluto no excede el primer término del resto de esta serie, es decir: 
.
con una precisión de 0,0001.
, sustituyendo el valor del ángulo en radianes:
basta con dejar dos términos de la serie, es decir
.
.
con una precisión de 0,001.
en la forma: 
.
,
. Por lo tanto, para calcular 
basta con dejar tres términos de la serie.
o 
.Cálculo utilizando series positivas.
con una precisión de 0,001.
sustituyamos 
. Obtenemos:
miembros. Anotemos la desigualdad obvia:
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
o 
.
.
.
con una precisión de 0,0001.
, pero esta serie converge muy lentamente y para lograr la precisión dada sería necesario tomar 9999 términos. Por lo tanto, para calcular logaritmos, por regla general, se utiliza una serie para la función. 
, que converge en el intervalo 
.
usando esta serie. Dejar 
, Entonces 
.
,
con una precisión dada, tome la suma de los primeros cuatro términos: 
.
descartémoslo. Estimemos el error. Es obvio que 
.
.Preguntas de autodiagnóstico
