Donde la función es positiva. Explorando una función usando su derivada

Estudiar una función utilizando su derivada. En este artículo analizaremos algunas tareas relacionadas con el estudio de la gráfica de una función. En tales problemas, se da una gráfica de la función y = f (x) y se plantean preguntas relacionadas con la determinación del número de puntos en los que la derivada de la función es positiva (o negativa), entre otras. Se clasifican como tareas de aplicación de derivadas al estudio de funciones.

Resolver estos problemas, y en general los problemas relacionados con la investigación, sólo es posible con una comprensión completa de las propiedades de la derivada para estudiar las gráficas de funciones y la derivada. Por lo tanto, le recomiendo encarecidamente que estudie la teoría relevante. Puedes estudiar y también mirar (pero contiene un breve resumen).

También consideraremos problemas en los que se proporciona la gráfica derivada en artículos futuros, ¡no te lo pierdas! Entonces, las tareas:

La figura muestra una gráfica de la función y = f (x), definida en el intervalo (−6; 8). Definir:

1. El número de puntos enteros en los que la derivada de la función es negativa;

2. El número de puntos en los que la tangente a la gráfica de la función es paralela a la recta y = 2;

1. La derivada de una función es negativa en los intervalos en los que la función disminuye, es decir, en los intervalos (−6; –3), (0; 4,2), (6,9; 8). Contienen los puntos enteros −5, −4, 1, 2, 3, 4 y 7. Obtenemos 7 puntos.

2. directo y= 2 paralelo al ejeOhy= 2 solo en puntos extremos (en puntos donde la gráfica cambia su comportamiento de creciente a decreciente o viceversa). Hay cuatro de estos puntos: –3; 0; 4.2; 6.9

decide por ti mismo:

Determina el número de puntos enteros en los que la derivada de la función es positiva.

La figura muestra una gráfica de la función y = f (x), definida en el intervalo (−5; 5). Definir:

2. El número de puntos enteros en los que la tangente a la gráfica de la función es paralela a la recta y = 3;

3. El número de puntos en los que la derivada es cero;

1. De las propiedades de la derivada de una función se sabe que es positiva en los intervalos en los que la función aumenta, es decir, en los intervalos (1,4; 2,5) y (4,4; 5). Contienen solo un punto entero x = 2.

2. directo y= 3 paralelo al ejeOh. La tangente será paralela a la recta.y= 3 solo en puntos extremos (en puntos donde la gráfica cambia su comportamiento de creciente a decreciente o viceversa).

Hay cuatro puntos de este tipo: –4,3; 1,4; 2,5; 4.4

3. La derivada es igual a cero en cuatro puntos (en los puntos extremos), ya los hemos indicado.

Decide por ti mismo:

Determina el número de puntos enteros en los que la derivada de la función f(x) es negativa.

La figura muestra una gráfica de la función y = f (x), definida en el intervalo (−2; 12). Encontrar:

1. El número de puntos enteros en los que la derivada de la función es positiva;

2. El número de puntos enteros en los que la derivada de la función es negativa;

3. El número de puntos enteros en los que la tangente a la gráfica de la función es paralela a la recta y = 2;

4. El número de puntos en los que la derivada es cero.

1. De las propiedades de la derivada de una función se sabe que es positiva en los intervalos en los que la función aumenta, es decir, en los intervalos (–2; 1), (2; 4), (7; 9) y ( 10; 11). Contienen puntos enteros: –1, 0, 3, 8. Hay cuatro en total.

2. La derivada de una función es negativa en los intervalos en los que la función disminuye, es decir, en los intervalos (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). Contienen los puntos enteros 5 y 6. Obtenemos 2 puntos.

3. directo y= 2 paralelo al ejeOh. La tangente será paralela a la recta.y= 2 solo en puntos extremos (en puntos donde la gráfica cambia su comportamiento de creciente a decreciente o viceversa). Hay siete puntos de este tipo: 1; 2; 4; 7; 9; 10; 11.

4. La derivada es igual a cero en siete puntos (en los puntos extremos), ya los hemos indicado.

Mostrando la conexión entre el signo de la derivada y la naturaleza de la monotonicidad de la función.

Tenga mucho cuidado con lo siguiente. ¡Mira, el horario de QUÉ te lo dan! Función o su derivada

Si se le da una gráfica de la derivada, entonces solo nos interesarán los signos y ceros de la función. ¡En principio no nos interesan “colinas” ni “huecos”!

Tarea 1.

La figura muestra una gráfica de una función definida en el intervalo. Determina el número de puntos enteros en los que la derivada de la función es negativa.

Solución:

En la figura, las áreas de función decreciente están resaltadas en color:

Estas regiones decrecientes de la función contienen 4 valores enteros.

Tarea 2.

La figura muestra una gráfica de una función definida en el intervalo. Encuentra el número de puntos en los que la tangente a la gráfica de la función es paralela o coincide con la recta.

Solución:

Una vez que la tangente a la gráfica de una función es paralela (o coincide) con una recta (o, que es lo mismo), teniendo pendiente, igual a cero, entonces la tangente tiene un coeficiente angular .

Esto a su vez significa que la tangente es paralela al eje, ya que la pendiente es la tangente del ángulo de inclinación de la tangente al eje.

Por lo tanto, encontramos puntos extremos (puntos máximo y mínimo) en la gráfica; es en estos puntos donde las funciones tangentes a la gráfica serán paralelas al eje.

Hay 4 de esos puntos.

Tarea 3.

La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo. Encuentra el número de puntos en los que la tangente a la gráfica de la función es paralela o coincide con la recta.

Solución:

Dado que la tangente a la gráfica de una función es paralela (o coincide) con una recta que tiene pendiente, entonces la tangente también tiene pendiente.

Esto a su vez significa que en los puntos de contacto.

Por lo tanto, nos fijamos en cuántos puntos de la gráfica tienen una ordenada igual a .

Como puede ver, hay cuatro puntos de este tipo.

Tarea 4.

La figura muestra una gráfica de una función definida en el intervalo. Encuentra el número de puntos en los que la derivada de la función es 0.

Solución:

La derivada es igual a cero en los puntos extremos. Tenemos 4 de ellos:

Tarea 5.

La figura muestra una gráfica de una función y once puntos en el eje x:. ¿En cuántos de estos puntos la derivada de la función es negativa?

Solución:

En intervalos de función decreciente, su derivada toma valores negativos. Y la función disminuye en puntos. Hay 4 de esos puntos.

Tarea 6.

La figura muestra una gráfica de una función definida en el intervalo. Encuentra la suma de los puntos extremos de la función.

Solución:

Puntos extremos– estos son los puntos máximos (-3, -1, 1) y puntos mínimos (-2, 0, 3).

Suma de puntos extremos: -3-1+1-2+0+3=-2.

Tarea 7.

La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo. Encuentra los intervalos de aumento de la función. En tu respuesta, indica la suma de puntos enteros incluidos en estos intervalos.

Solución:

La figura resalta los intervalos donde la derivada de la función no es negativa.

No hay puntos enteros en el intervalo creciente pequeño; en el intervalo creciente hay cuatro valores enteros: , y .

Su suma:

Tarea 8.

La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo. Encuentra los intervalos de aumento de la función. En tu respuesta indica la longitud del mayor de ellos.

Solución:

En la figura, todos los intervalos en los que la derivada es positiva están resaltados en color, lo que significa que la función misma aumenta en estos intervalos.

La longitud del mayor de ellos es 6.

Tarea 9.

La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo. ¿En qué punto del segmento adquiere mayor valor?

Solución:

Veamos cómo se comporta la gráfica sobre el segmento que es lo que nos interesa solo el signo de la derivada .

El signo de la derivada es menos, ya que la gráfica de este segmento está debajo del eje.

El problema B9 proporciona una gráfica de una función o derivada a partir de la cual es necesario determinar una de las siguientes cantidades:

El valor de la derivada en algún punto x 0,
Puntos máximos o mínimos (puntos extremos),
Intervalos de funciones crecientes y decrecientes (intervalos de monotonicidad).

Las funciones y derivadas presentadas en este problema son siempre continuas, lo que facilita mucho la solución. A pesar de que la tarea pertenece a la sección de análisis matemático, incluso los estudiantes más débiles pueden realizarla, ya que aquí no se requieren conocimientos teóricos profundos.

Para encontrar el valor de la derivada, los puntos extremos y los intervalos de monotonicidad, existen algoritmos simples y universales; todos ellos se analizarán a continuación.

Lee atentamente las condiciones del problema B9 para no cometer errores estúpidos: a veces te encuentras con textos bastante extensos, pero hay pocas condiciones importantes que afecten el curso de la solución.

Cálculo del valor de la derivada. Método de dos puntos

Si al problema se le da una gráfica de una función f(x), tangente a esta gráfica en algún punto x 0, y se requiere encontrar el valor de la derivada en este punto, se aplica el siguiente algoritmo:

Encuentra dos puntos “adecuados” en la gráfica tangente: sus coordenadas deben ser números enteros. Denotemos estos puntos como A (x 1; y 1) y B (x 2; y 2). Escriba las coordenadas correctamente: este es un punto clave en la solución y cualquier error aquí conducirá a una respuesta incorrecta.
Conociendo las coordenadas, es fácil calcular el incremento del argumento Δx = x 2 − x 1 y el incremento de la función Δy = y 2 − y 1 .
Finalmente, encontramos el valor de la derivada D = Δy/Δx. En otras palabras, debes dividir el incremento de la función por el incremento del argumento, y esta será la respuesta.

Notemos una vez más: los puntos A y B deben buscarse precisamente en la tangente, y no en la gráfica de la función f(x), como suele ocurrir. La recta tangente necesariamente contendrá al menos dos de estos puntos; de lo contrario, el problema no se formulará correctamente.

Considere los puntos A (−3; 2) y B (−1; 6) y encuentre los incrementos:
Δx = x 2 - x 1 = -1 - (-3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Encontremos el valor de la derivada: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Tarea. La figura muestra una gráfica de la función y = f(x) y una tangente a ella en el punto con la abscisa x 0. Encuentra el valor de la derivada de la función f(x) en el punto x 0 .

Considere los puntos A (0; 3) y B (3; 0), encuentre los incrementos:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Ahora encontramos el valor de la derivada: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Tarea. La figura muestra una gráfica de la función y = f(x) y una tangente a ella en el punto con la abscisa x 0. Encuentra el valor de la derivada de la función f(x) en el punto x 0 .

Considere los puntos A (0; 2) y B (5; 2) y encuentre los incrementos:
Δx = x2 − x1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Queda por encontrar el valor de la derivada: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Del último ejemplo podemos formular una regla: si la tangente es paralela al eje OX, la derivada de la función en el punto de tangencia es cero. En este caso, ni siquiera es necesario contar nada, basta con mirar el gráfico.

Cálculo de puntos máximos y mínimos.

A veces, en lugar de una gráfica de una función, el problema B9 da una gráfica de la derivada y requiere encontrar el punto máximo o mínimo de la función. En esta situación, el método de los dos puntos es inútil, pero existe otro algoritmo aún más sencillo. Primero, definamos la terminología:

El punto x 0 se llama punto máximo de la función f(x) si en alguna vecindad de este punto se cumple la siguiente desigualdad: f(x 0) ≥ f(x).
El punto x 0 se llama punto mínimo de la función f(x) si en alguna vecindad de este punto se cumple la siguiente desigualdad: f(x 0) ≤ f(x).

Para encontrar los puntos máximo y mínimo en el gráfico de la derivada, simplemente sigue estos pasos:

Vuelva a dibujar el gráfico de derivadas, eliminando toda la información innecesaria. Como muestra la práctica, los datos innecesarios sólo interfieren con la decisión. Por lo tanto, marcamos los ceros de la derivada en el eje de coordenadas, y listo.
Descubre los signos de la derivada en los intervalos entre ceros. Si para algún punto x 0 se sabe que f'(x 0) ≠ 0, entonces sólo son posibles dos opciones: f'(x 0) ≥ 0 o f'(x 0) ≤ 0. El signo de la derivada es fácil de determinar a partir del dibujo original: si la gráfica derivada se encuentra por encima del eje OX, entonces f'(x) ≥ 0. Y viceversa, si la gráfica derivada se encuentra debajo del eje OX, entonces f'(x) ≤ 0.
Nuevamente comprobamos los ceros y signos de la derivada. Donde el signo cambia de menos a más es el punto mínimo. Por el contrario, si el signo de la derivada cambia de más a menos, este es el punto máximo. El conteo siempre se hace de izquierda a derecha.

Este esquema sólo funciona para funciones continuas; no hay otros en el problema B9.

Tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida en el intervalo [−5; 5]. Encuentra el punto mínimo de la función f(x) en este segmento.

Deshagámonos de la información innecesaria y dejemos solo los límites [−5; 5] y ceros de la derivada x = −3 y x = 2,5. También notamos las señales:

Obviamente, en el punto x = −3 el signo de la derivada cambia de menos a más. Este es el punto mínimo.

Tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida en el intervalo [−3; 7]. Encuentra el punto máximo de la función f(x) en este segmento.

Volvamos a dibujar la gráfica, dejando solo los límites [−3; 7] y ceros de la derivada x = −1,7 y x = 5. Observemos los signos de la derivada en la gráfica resultante. Tenemos:

Obviamente, en el punto x = 5 el signo de la derivada cambia de más a menos: este es el punto máximo.

Tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x), definida en el intervalo [−6; 4]. Encuentre el número de puntos máximos de la función f(x) pertenecientes al segmento [−4; 3].

De las condiciones del problema se deduce que basta con considerar solo la parte del gráfico limitada por el segmento [−4; 3]. Por eso estamos construyendo nuevo horario, en el que marcamos solo los límites [−4; 3] y ceros de la derivada dentro de él. Es decir, puntos x = −3,5 y x = 2. Obtenemos:

En esta gráfica solo hay un punto máximo x = 2. Es en este punto donde el signo de la derivada cambia de más a menos.

Una pequeña nota sobre puntos con coordenadas no enteras. Por ejemplo, en el último problema se consideró el punto x = −3,5, pero con el mismo éxito podemos tomar x = −3,4. Si el problema se redacta correctamente, dichos cambios no deberían afectar la respuesta, ya que los puntos “sin lugar de residencia fijo” no participan directamente en la solución del problema. Por supuesto, este truco no funcionará con puntos enteros.

Encontrar intervalos de funciones crecientes y decrecientes.

En un problema como el de los puntos máximo y mínimo, se propone utilizar la gráfica derivada para encontrar áreas en las que la función misma aumenta o disminuye. Primero, definamos qué son crecientes y decrecientes:

Se dice que una función f(x) es creciente en un segmento si para dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 de este segmento se cumple la siguiente afirmación: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . En otras palabras, cuanto mayor sea el valor del argumento, mayor será el valor de la función.
Una función f(x) se llama decreciente en un segmento si para dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 de este segmento se cumple la siguiente afirmación: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Aquellos. Un valor de argumento mayor corresponde a un valor de función menor.

Formulemos condiciones suficientes para aumentar y disminuir:

Para que una función continua f(x) aumente en el segmento , es suficiente que su derivada dentro del segmento sea positiva, es decir f’(x) ≥ 0.
Para que una función continua f(x) disminuya en el segmento , es suficiente que su derivada dentro del segmento sea negativa, es decir f'(x) ≤ 0.

Aceptemos estas declaraciones sin pruebas. Por lo tanto, obtenemos un esquema para encontrar intervalos crecientes y decrecientes, que es en muchos aspectos similar al algoritmo para calcular puntos extremos:

Elimina toda la información innecesaria. En la gráfica original de la derivada, nos interesan principalmente los ceros de la función, por lo que los dejaremos solo.
Marca los signos de la derivada en los intervalos entre ceros. Donde f'(x) ≥ 0, la función aumenta, y donde f'(x) ≤ 0, disminuye. Si el problema impone restricciones a la variable x, además las marcamos en una nueva gráfica.
Ahora que conocemos el comportamiento de la función y las restricciones, queda calcular la cantidad requerida en el problema.

Tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida en el intervalo [−3; 7.5]. Encuentra los intervalos de disminución de la función f(x). En tu respuesta, indica la suma de los números enteros incluidos en estos intervalos.

Como de costumbre, volvamos a dibujar el gráfico y marquemos los límites [−3; 7.5], así como ceros de la derivada x = −1.5 y x = 5.3. Luego observamos los signos de la derivada. Tenemos:

Dado que la derivada es negativa en el intervalo (− 1,5), este es el intervalo de función decreciente. Queda por sumar todos los números enteros que están dentro de este intervalo:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida en el intervalo [−10; 4]. Encuentra los intervalos de aumento de la función f(x). En tu respuesta indica la longitud del mayor de ellos.

Deshagámonos de la información innecesaria. Dejemos sólo los límites [−10; 4] y ceros de la derivada, de los cuales esta vez eran cuatro: x = −8, x = −6, x = −3 y x = 2. Marquemos los signos de la derivada y obtengamos la siguiente imagen:

Nos interesan los intervalos de función creciente, es decir tal donde f'(x) ≥ 0. Hay dos intervalos de este tipo en la gráfica: (−8; −6) y (−3; 2). Calculemos sus longitudes:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Como necesitamos encontrar la longitud del mayor de los intervalos, anotamos el valor l 2 = 5 como respuesta.

Queridos amigos! El grupo de tareas relacionadas con la derivada incluye tareas: la condición da una gráfica de una función, varios puntos en esta gráfica y la pregunta es:

¿En qué punto la derivada es mayor (menor)?

Repitamos brevemente:

La derivada en un punto es igual a la pendiente de la tangente que pasa poreste punto del gráfico.
Ud.El coeficiente global de la tangente, a su vez, es igual a la tangente del ángulo de inclinación de esta tangente.

*Esto se refiere al ángulo entre la tangente y el eje x.

1. En intervalos de función creciente, la derivada tiene valor positivo.

2. En los intervalos de su disminución, la derivada tiene valor negativo.

Considere el siguiente boceto:

En los puntos 1,2,4, la derivada de la función tiene un valor negativo, ya que estos puntos pertenecen a intervalos decrecientes.

En los puntos 3,5,6, la derivada de la función tiene un valor positivo, ya que estos puntos pertenecen a intervalos crecientes.

Como ves, todo está claro con el significado de la derivada, es decir, no es nada complicado determinar qué signo tiene (positivo o negativo) en un determinado punto de la gráfica.

Además, si construimos mentalmente tangentes en estos puntos, veremos que las rectas que pasan por los puntos 3, 5 y 6 forman ángulos con el eje oX que van de 0 a 90 o, y las rectas que pasan por los puntos 1, 2 y 4 forman con el eje oX los ángulos van desde 90o hasta 180o.

*La relación es clara: las tangentes que pasan por puntos que pertenecen a intervalos de funciones crecientes forman ángulos agudos con el eje oX, las tangentes que pasan por puntos que pertenecen a intervalos de funciones decrecientes forman ángulos obtusos con el eje oX.

¡Ahora la pregunta importante!

¿Cómo cambia el valor de la derivada? Después de todo, la tangente en diferentes puntos de la gráfica de una función continua forma diferentes ángulos, dependiendo de por qué punto de la gráfica pasa.

*O, hablando en lenguaje sencillo, la tangente se sitúa como “horizontalmente” o “verticalmente”. Mirar:

Las líneas rectas forman ángulos con el eje oX que van de 0 a 90 o

Las líneas rectas forman ángulos con el eje oX que van desde 90° a 180°

Por tanto, si tienes alguna duda:

— ¿En cuál de los puntos dados del gráfico la derivada tiene el valor más pequeño?

- ¿En cuál de los puntos dados del gráfico la derivada tiene mayor valor?

entonces, para responder es necesario comprender cómo cambia el valor de la tangente del ángulo tangente en el rango de 0 a 180 o.

*Como ya se mencionó, el valor de la derivada de la función en un punto es igual a la tangente del ángulo de inclinación de la tangente al eje oX.

El valor de la tangente cambia de la siguiente manera:

Cuando el ángulo de inclinación de la recta cambia de 0° a 90°, el valor de la tangente, y por tanto de la derivada, cambia en consecuencia de 0 a +∞;

Cuando el ángulo de inclinación de la línea recta cambia de 90° a 180°, el valor de la tangente y, por tanto, la derivada, cambia en consecuencia –∞ a 0.

Esto se puede ver claramente en la gráfica de la función tangente:

En términos simples:

Con un ángulo de inclinación tangente de 0° a 90°

Cuanto más cerca esté de 0 o, mayor será el valor de la derivada cercano a cero (en el lado positivo).

Cuanto más cerca esté el ángulo de 90°, más aumentará el valor de la derivada hacia +∞.

Con un ángulo de inclinación tangente de 90° a 180°

Cuanto más cerca esté de 90 o, más disminuirá el valor de la derivada hacia –∞.

Cuanto más cerca esté el ángulo de 180°, mayor será el valor de la derivada cercano a cero (en el lado negativo).

317543. La figura muestra la gráfica de la función y = F(incógnita) y los puntos están marcados–2, –1, 1, 2. ¿En cuál de estos puntos la derivada es mayor? Indique este punto en su respuesta.

Tenemos cuatro puntos: dos de ellos pertenecen a los intervalos en los que la función disminuye (estos son los puntos –1 y 1) y dos a los intervalos en los que la función aumenta (estos son los puntos –2 y 2).

Podemos concluir inmediatamente que en los puntos –1 y 1 la derivada tiene un valor negativo, y en los puntos –2 y 2 tiene un valor positivo. Por lo tanto en en este caso es necesario analizar los puntos –2 y 2 y determinar cuál de ellos tendrá el mayor valor. Construyamos tangentes que pasen por los puntos indicados:

El valor de la tangente del ángulo formado por la recta a y el eje de abscisas será mayor que el valor de la tangente del ángulo formado por la recta b y este eje. Esto significa que el valor de la derivada en el punto –2 será mayor.

responderemos siguiente pregunta: ¿En qué punto –2, –1, 1 o 2 la derivada es más negativa? Indique este punto en su respuesta.

La derivada tendrá un valor negativo en los puntos que pertenecen a los intervalos decrecientes, así que consideremos los puntos –2 y 1. Construyamos tangentes que pasen por ellos:

Vemos que el ángulo obtuso entre la recta b y el eje oX está “más cerca” de 180 oh , por tanto su tangente será mayor que la tangente del ángulo formado por la recta a y el eje oX.

Por tanto, en el punto x = 1, el valor de la derivada será mayor negativo.

317544. La figura muestra la gráfica de la función y = F(incógnita) y los puntos están marcados–2, –1, 1, 4. ¿En cuál de estos puntos la derivada es más pequeña? Indique este punto en su respuesta.

Tenemos cuatro puntos: dos de ellos pertenecen a los intervalos en los que la función disminuye (estos son los puntos –1 y 4) y dos a los intervalos en los que la función aumenta (estos son los puntos –2 y 1).

Podemos concluir inmediatamente que en los puntos –1 y 4 la derivada tiene un valor negativo, y en los puntos –2 y 1 tiene un valor positivo. Por tanto, en este caso es necesario analizar los puntos –1 y 4 y determinar cuál de ellos tendrá el valor menor. Construyamos tangentes que pasen por los puntos indicados:

Respuesta: 4

Espero no haberte “sobrecargado” con la cantidad de escritura. De hecho, todo es muy sencillo, sólo hay que entender las propiedades de la derivada, su significado geométrico y cómo cambia la tangente del ángulo de 0 a 180o.

1. Primero, determine los signos de la derivada en estos puntos (+ o -) y seleccione los puntos necesarios (según la pregunta planteada).

2. Construya tangentes en estos puntos.

3. Utilizando el gráfico de tangesoide, marque esquemáticamente los ángulos y muestreAlejandro.

P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.