Integrales principales que todo estudiante debe conocer
Las integrales enumeradas son la base, la base de los fundamentos. Definitivamente debes recordar estas fórmulas. Al calcular integrales más complejas, tendrás que utilizarlas constantemente.
por favor paga atención especial a las fórmulas (5), (7), (9), (12), (13), (17) y (19). ¡No olvides agregar una constante C arbitraria a tu respuesta al integrar!
Integral de una constante
∫ A d x = A x + C (1)Integración de una función de potencia
De hecho, fue posible limitarnos solo a las fórmulas (5) y (7), pero el resto de integrales de este grupo ocurren con tanta frecuencia que vale la pena prestarles un poco de atención.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1xdx = 2x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x norte re x = x norte + 1 norte + 1 + C (n ≠ − 1) (7)
Integrales de funciones exponenciales y funciones hiperbólicas.
Por supuesto, la fórmula (8) (quizás la más conveniente para la memorización) puede considerarse como caso especial fórmulas (9). Las fórmulas (10) y (11) para las integrales del seno hiperbólico y del coseno hiperbólico se derivan fácilmente de la fórmula (8), pero es mejor simplemente recordar estas relaciones.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Integrales básicas de funciones trigonométricas.
Un error que suelen cometer los estudiantes es confundir los signos de las fórmulas (12) y (13). Recordando que la derivada del seno es igual al coseno, por alguna razón mucha gente cree que la integral de la función sinx es igual a cosx. ¡Esto no es verdad! La integral de seno es igual a “menos coseno”, pero la integral de cosx es igual a “solo seno”:
∫ sen x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sen x + C (13)
∫ 1 porque 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sen 2 x d x = − c t g x + C (15)
Integrales que se reducen a funciones trigonométricas inversas.
La fórmula (16), que conduce al arcotangente, es naturalmente un caso especial de la fórmula (17) para a=1. De manera similar, (18) es un caso especial de (19).
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcosen x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcosen x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)
Integrales más complejas
También es recomendable recordar estas fórmulas. También se utilizan con bastante frecuencia y su resultado es bastante tedioso.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |
x + x 2 − un 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcosen x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + una 2 d x = x 2 x 2 + una 2 + una 2 2 ln |
x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − una 2 re x = x 2 x 2 − una 2 − una 2 2 ln |
x + x 2 − un 2 | + C (a > 0) (24)
Reglas generales de integración
1) La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales correspondientes: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25) 2) La integral de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de las integrales correspondientes: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26) 3) La constante se puede sacar del signo integral: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Es fácil ver que la propiedad (26) es simplemente una combinación de las propiedades (25) y (27).
4) Integral de una función compleja, si función interna es lineal: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Aquí F(x) es una antiderivada de la función f(x). Tenga en cuenta: esta fórmula solo funciona cuando la función interna es Ax + B.
Importante: no existe
fórmula universal
para la integral del producto de dos funciones, así como para la integral de una fracción:∫ f (x) g (x) d x = ?
∫ f (x) g (x) d x = ?
(30)
Ahora usemos la tabla de integrales básicas. Tendremos que aplicar las fórmulas (3), (12), (8) y (1). Integramos la función de potencia, seno, exponencial y constante 1. No olvides agregar una constante arbitraria C al final:
3 x 3 3 − 2 porque x − 7 e x + 12 x + C
Después de transformaciones elementales obtenemos la respuesta final:
X 3 − 2 porque x − 7 e x + 12 x + C
Ponte a prueba por derivación: toma la derivada de la función resultante y asegúrate de que sea igual al integrando original.
Tabla resumen de integrales
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1xdx = 2x + C |
| ∫ 1 x d x = ln | x | +C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x norte re x = x norte + 1 norte + 1 + C ( norte ≠ − 1 ) |
| ∫ mi x re x = mi x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sen x d x = − cos x + C |
| ∫ porque x d x = sen x + C |
| ∫ 1 porque 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 pecado 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcosen x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcosen x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | |
| x + x 2 + a 2 | +C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | |
| x + x 2 − un 2 | +C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcosen x a + C (a > 0) |
∫ x 2 + una 2 d x = x 2 x 2 + una 2 + una 2 2 ln |
x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)
∫ x 2 − una 2 re x = x 2 x 2 − una 2 − una 2 2 ln |
x + x 2 − un 2 | + C (a > 0)
Figura 1.
También se consideró el problema de encontrar la velocidad instantánea $v(t)$ usando la derivada a lo largo de un camino recorrido previamente conocido, expresado por la función $s(t)$.
Figura 2.
El problema inverso también es muy común, cuando necesitas encontrar el camino $s(t)$ recorrido por un punto en el tiempo $t$, conociendo la velocidad del punto $v(t)$. Si recordamos, la velocidad instantánea $v(t)$ se encuentra como la derivada de la función de trayectoria $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Esto significa que para resolver el problema inverso, es decir, calcular la trayectoria, es necesario encontrar una función cuya derivada sea igual a la función de velocidad. Pero sabemos que la derivada del camino es la velocidad, es decir: $s’(t) = v(t)$. La velocidad es igual a la aceleración por el tiempo: $v=at$. Es fácil determinar que la función de ruta deseada tendrá la forma: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Pero ésta no es una solución completa. La solución completa tendrá la forma: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, donde $C$ es una constante. Por qué esto es así se discutirá más a fondo. Por ahora, verifiquemos la exactitud de la solución encontrada: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =en=v(t)$.
Vale la pena señalar que encontrar un camino basado en la velocidad es el significado físico de una antiderivada.
La función resultante $s(t)$ se llama antiderivada de la función $v(t)$. bastante interesante y nombre inusual, ¿no es así? Contiene mucho significado que explica la esencia. este concepto y conduce a su comprensión. Notarás que contiene dos palabras "primero" e "imagen". Hablan por sí mismos. Es decir, esta es la función inicial de la derivada que tenemos. Y usando esta derivada buscamos la función que estaba al principio, era “primera”, “primera imagen”, es decir, antiderivada. A veces también se le llama función primitiva o antiderivada.
Como ya sabemos, el proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación. Y el proceso de encontrar la primitiva se llama integración. La operación de integración es la inversa de la operación de diferenciación. Lo contrario también es cierto.
Definición. Una antiderivada de una función $f(x)$ en un determinado intervalo es una función $F(x)$ cuya derivada es igual a esta función $f(x)$ para todo $x$ del intervalo especificado: $F' (x)=f(x)$.
Alguien puede tener una pregunta: ¿de dónde vienen $F(x)$ y $f(x)$ en la definición, si inicialmente estábamos hablando de $s(t)$ y $v(t)$? El punto es que $s(t)$ y $v(t)$ son casos especiales de notaciones de funciones que tienen en este caso significado específico, es decir, es función del tiempo y función de la velocidad, respectivamente. Lo mismo ocurre con la variable $t$: denota tiempo. Y $f$ y $x$ son la variante tradicional de la designación general de una función y una variable, respectivamente. Vale la pena prestar especial atención a la notación de la antiderivada $F(x)$. En primer lugar, $F$ es capital. Las antiderivadas se indican con letras mayúsculas. En segundo lugar, las letras son iguales: $F$ y $f$. Es decir, para la función $g(x)$ la antiderivada se denotará por $G(x)$, para $z(x)$ – por $Z(x)$. Independientemente de la notación, las reglas para encontrar una función antiderivada son siempre las mismas.
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1. Demuestre que la función $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ es una antiderivada de la función $f(x)=\cos5x$.
Para demostrar esto, usaremos la definición, o más bien el hecho de que $F'(x)=f(x)$, y encontraremos la derivada de la función $F(x)$: $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Esto significa que $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ es la antiderivada de $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.
Ejemplo 2. Encuentre qué funciones corresponden a las siguientes antiderivadas: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.
Para encontrar las funciones requeridas, calculemos sus derivadas:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.
Ejemplo 3.¿Cuál será la primitiva de $f(x)=0$?
Usemos la definición. Pensemos qué función puede tener una derivada igual a $0$. Recordando la tabla de derivadas, encontramos que cualquier constante tendrá dicha derivada. Encontramos que la antiderivada que buscamos es: $F(x)= C$.
La solución resultante se puede explicar geométrica y físicamente. Geométricamente, significa que la tangente a la gráfica $y=F(x)$ es horizontal en cada punto de esta gráfica y, por tanto, coincide con el eje $Ox$. Físicamente se explica por el hecho de que un punto con una velocidad igual a cero permanece en su lugar, es decir, el camino que ha recorrido no cambia. En base a esto, podemos formular el siguiente teorema.
Teorema. (Signo de constancia de funciones.). Si en algún intervalo $F’(x) = 0$, entonces la función $F(x)$ en este intervalo es constante.
Ejemplo 4. Determine qué funciones son antiderivadas de a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, donde $a$ es algún número.
Usando la definición de antiderivada, concluimos que para resolver este problema necesitamos calcular las derivadas de las funciones antiderivadas que se nos dan. A la hora de calcular recuerda que la derivada de una constante, es decir, de cualquier número, es igual a cero.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.
¿Qué vemos? Varias funciones diferentes son primitivas de la misma función. Esto sugiere que cualquier función tiene infinitas primitivas, y tienen la forma $F(x) + C$, donde $C$ es una constante arbitraria. Es decir, la operación de integración es multivaluada, a diferencia de la operación de diferenciación. Con base en esto, formulemos un teorema que describa la propiedad principal de las antiderivadas.
Teorema. (La principal propiedad de las antiderivadas.). Sean las funciones $F_1$ y $F_2$ primitivas de la función $f(x)$ en algún intervalo. Entonces para todos los valores de este intervalo es cierto la siguiente igualdad: $F_2=F_1+C$, donde $C$ es una constante.
El hecho de la presencia de un número infinito de antiderivadas se puede interpretar geométricamente. Usando la traslación paralela a lo largo del eje $Oy$, se pueden obtener entre sí las gráficas de dos antiderivadas cualesquiera para $f(x)$. Este es el significado geométrico de la antiderivada.
Es muy importante prestar atención al hecho de que al elegir la constante $C$ puedes asegurar que la gráfica de la antiderivada pase por un punto determinado.
Figura 3.
Ejemplo 5. Encuentra la primitiva de la función $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, cuya gráfica pasa por el punto $(3; 1)$.
Primero encontremos todas las antiderivadas de $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
A continuación, encontraremos un número C para el cual la gráfica $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ pasará por el punto $(3; 1)$. Para hacer esto, sustituimos las coordenadas del punto en la ecuación gráfica y la resolvemos para $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Obtuvimos una gráfica $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, que corresponde a la primitiva $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.
Tabla de antiderivadas
Se puede compilar una tabla de fórmulas para encontrar antiderivadas utilizando fórmulas para encontrar derivadas.
| Funciones | Antiderivadas |
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x+C$ |
| $a\en R$ | $hacha+C$ |
| $x^n, n\ne1$ | $\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(x)$ | $\ln|x|+C$ |
| $\pecado x$ | $-\cos x+C$ |
| $\cos x$ | $\pecado x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$ | $-\ctgx+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$ | $\tgx+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x, a>0, a\ne1$ | $\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcosen x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcos x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$ | $\arctgx+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$ | $\arcctgx+C$ |
Puedes comprobar la exactitud de la tabla de la siguiente manera: para cada conjunto de antiderivadas ubicadas en la columna de la derecha, encuentra la derivada, lo que dará como resultado las funciones correspondientes en la columna de la izquierda.
Algunas reglas para encontrar antiderivadas
Como sabes, muchas funciones tienen más mirada compleja, en lugar de los indicados en la tabla de antiderivadas, y puede representar cualquier combinación arbitraria de sumas y productos de funciones de esta tabla. Y aquí surge la pregunta: cómo calcular las antiderivadas de tales funciones. Por ejemplo, de la tabla sabemos cómo calcular las antiderivadas de $x^3$, $\sin x$ y $10$. ¿Cómo, por ejemplo, se puede calcular la primitiva $x^3-10\sin x$? De cara al futuro, vale la pena señalar que será igual a $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Si $F(x)$ es antiderivada para $f(x)$, $G(x)$ para $g(x)$, entonces para $f(x)+g(x)$ la antiderivada será igual a $ F(x)+G(x)$.
2. Si $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$ y $a$ es una constante, entonces para $af(x)$ la antiderivada es $aF(x)$.
3. Si para $f(x)$ la antiderivada es $F(x)$, $a$ y $b$ son constantes, entonces $\frac(1)(a) F(ax+b)$ es la antiderivada por $f (ax+b)$.
Usando las reglas obtenidas podemos ampliar la tabla de antiderivadas.
| Funciones | Antiderivadas |
| $(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$ | $\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$ |
| $e^(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$ |
| $\sin(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$ |
| $\cos(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$ |
Ejemplo 5. Encuentre antiderivadas para:
a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;
b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;
c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;
d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.
a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;
b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;
c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;
d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.
Función antiderivada e integral indefinida
Hecho 1. La integración es la acción inversa de la diferenciación, es decir, restaurar una función a partir de la derivada conocida de esta función. La función así restablecida F(incógnita) se llama antiderivada para función F(incógnita).
Definición 1. Función F(incógnita F(incógnita) en algún intervalo incógnita, si para todos los valores incógnita a partir de este intervalo se cumple la igualdad F "(incógnita)=F(incógnita), es decir, esta función F(incógnita) es la derivada de la función antiderivada F(incógnita). .
Por ejemplo, la función F(incógnita) = pecado incógnita es una antiderivada de la función F(incógnita) = porque incógnita en toda la recta numérica, ya que para cualquier valor de x (pecado incógnita)" = (porque incógnita) .
Definición 2. Integral indefinida de una función F(incógnita) es el conjunto de todas sus antiderivadas. En este caso se utiliza la notación
∫
F(incógnita)dx
,donde esta la señal ∫ llamada signo integral, la función F(incógnita) – función integrando, y F(incógnita)dx – expresión integrando.
Así, si F(incógnita) – alguna antiderivada para F(incógnita) , Eso
∫
F(incógnita)dx = F(incógnita) +do
Dónde do - constante arbitraria (constante).
Para comprender el significado del conjunto de primitivas de una función como integral indefinida, resulta apropiada la siguiente analogía. Que haya una puerta (puerta tradicional de madera). Su función es “ser una puerta”. ¿De qué está hecha la puerta? Hecho de madera. Esto significa que el conjunto de primitivas del integrando de la función “ser una puerta”, es decir, su integral indefinida, es la función “ser un árbol + C”, donde C es una constante, que en este contexto puede denota, por ejemplo, el tipo de árbol. Así como una puerta se hace de madera usando algunas herramientas, una derivada de una función se “hace” a partir de una función antiderivada usando fórmulas que aprendimos mientras estudiamos la derivada .
Entonces la tabla de funciones de los objetos comunes y sus correspondientes antiderivadas (“ser una puerta” - “ser un árbol”, “ser una cuchara” - “ser metal”, etc.) es similar a la tabla de funciones básicas integrales indefinidas, que se darán a continuación. La tabla de integrales indefinidas enumera funciones comunes, indicando las antiderivadas a partir de las cuales se “hacen” estas funciones. En parte de los problemas para encontrar la integral indefinida se dan integrandos que se pueden integrar directamente sin mucho esfuerzo, es decir, usando la tabla de integrales indefinidas. En problemas más complejos, primero se debe transformar el integrando para poder utilizar integrales de tabla.
Hecho 2. Al restaurar una función como antiderivada, debemos tener en cuenta una constante arbitraria (constante) do, y para no escribir una lista de antiderivadas con varias constantes del 1 al infinito, es necesario escribir un conjunto de antiderivadas con una constante arbitraria do, por ejemplo, así: 5 incógnita³+C. Entonces, se incluye una constante arbitraria (constante) en la expresión de la antiderivada, ya que la antiderivada puede ser una función, por ejemplo, 5 incógnita³+4 o 5 incógnita³+3 y cuando se diferencia, 4 o 3, o cualquier otra constante va a cero.
Planteemos el problema de integración: para esta función F(incógnita) encontrar tal función F(incógnita), cuyo derivado igual a F(incógnita).
Ejemplo 1. Encuentra el conjunto de primitivas de una función.
Solución. Para esta función, la antiderivada es la función
Función F(incógnita) se llama antiderivada de la función F(incógnita), si la derivada F(incógnita) es igual a F(incógnita), o, lo que es lo mismo, diferencial F(incógnita) es igual F(incógnita) dx, es decir.
(2)
Por tanto, la función es una primitiva de la función. Sin embargo, no es la única antiderivada de . También cumplen funciones
Dónde CON– constante arbitraria. Esto se puede verificar mediante diferenciación.
Por lo tanto, si hay una primitiva para una función, entonces para ella hay un número infinito de primitivas que difieren en un término constante. Todas las primitivas de una función se escriben en la forma anterior. Esto se desprende del siguiente teorema.
Teorema (declaración formal de hecho 2). Si F(incógnita) – antiderivada de la función F(incógnita) en algún intervalo incógnita, entonces cualquier otra antiderivada para F(incógnita) en el mismo intervalo se puede representar en la forma F(incógnita) + do, Dónde CON– constante arbitraria.
EN siguiente ejemplo Pasamos ya a la tabla de integrales, que se dará en el párrafo 3, después de las propiedades de la integral indefinida. Hacemos esto antes de leer toda la tabla para que quede clara la esencia de lo anterior. Y después de la tabla y las propiedades, las usaremos en su totalidad durante la integración.
Ejemplo 2. Encuentre conjuntos de funciones antiderivadas:
Solución. Encontramos conjuntos de funciones antiderivadas a partir de las cuales se “hacen” estas funciones. Cuando mencione fórmulas de la tabla de integrales, por ahora simplemente acepte que existen tales fórmulas y estudiaremos la tabla de integrales indefinidas un poco más.
1) Aplicando la fórmula (7) de la tabla de integrales para norte= 3, obtenemos
2) Usando la fórmula (10) de la tabla de integrales para norte= 1/3, tenemos
3) Desde
luego de acuerdo con la fórmula (7) con norte= -1/4 encontramos
No es la función en sí la que está escrita bajo el signo integral. F, y su producto por el diferencial dx. Esto se hace principalmente para indicar con qué variable se busca la antiderivada. Por ejemplo,
,
;
aquí en ambos casos el integrando es igual a , pero sus integrales indefinidas en los casos considerados resultan diferentes. En el primer caso, esta función se considera como función de la variable incógnita, y en el segundo - en función de z .
El proceso de encontrar la integral indefinida de una función se llama integrar esa función.
Significado geométrico de la integral indefinida.
Supongamos que necesitamos encontrar una curva y=F(x) y ya sabemos que la tangente del ángulo de inclinación de la tangente en cada punto es función dada f(x) abscisa de este punto.
De acuerdo a sentido geométrico derivada, tangente del ángulo tangente en un punto dado de la curva y=F(x) igual al valor de la derivada F"(x). Entonces necesitamos encontrar tal función. F(x), para lo cual F"(x)=f(x). Función requerida en la tarea. F(x) es una antiderivada de f(x). Las condiciones del problema no se satisfacen con una curva, sino con una familia de curvas. y=F(x)- una de estas curvas, y cualquier otra curva se puede obtener a partir de ella mediante traslación paralela a lo largo del eje Oye.
Llamemos a la gráfica de la función antiderivada de f(x) curva integral. Si F"(x)=f(x), entonces la gráfica de la función y=F(x) hay una curva integral.
Hecho 3. La integral indefinida está representada geométricamente por la familia de todas las curvas integrales. , como en la imagen de abajo. La distancia de cada curva desde el origen de coordenadas está determinada por una constante de integración arbitraria. do.
Propiedades de la integral indefinida
Hecho 4. Teorema 1. La derivada de una integral indefinida es igual al integrando y su diferencial es igual al integrando.
Hecho 5. Teorema 2. Integral indefinida del diferencial de una función F(incógnita) es igual a la función F(incógnita) hasta un término constante , es decir.
(3)
Los teoremas 1 y 2 muestran que la diferenciación y la integración son operaciones mutuamente inversas.
Hecho 6. Teorema 3. El factor constante en el integrando se puede sacar del signo de la integral indefinida , es decir.
Enumeremos las integrales de funciones elementales, que a veces se denominan tabulares:
Cualquiera de las fórmulas anteriores se puede probar tomando la derivada del lado derecho (el resultado será el integrando).
Métodos de integración
Veamos algunos métodos de integración básicos. Estos incluyen:
1. Método de descomposición(integración directa).
Este método se basa en el uso directo de integrales tabulares, así como en el uso de las propiedades 4 y 5 de la integral indefinida (es decir, quitar el factor constante y/o representar el integrando como una suma de funciones - descomposición de la integrando en términos).
Ejemplo 1. Por ejemplo, para encontrar(dx/x 4) puedes usar directamente la integral de tabla parax n dx. De hecho,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Veamos algunos ejemplos más.
Ejemplo 2. Para encontrarlo usamos la misma integral:
Ejemplo 3. Para encontrarlo necesitas tomar
Ejemplo 4. Para encontrar, representamos la función integrando en la forma 
y use la integral de tabla para la función exponencial:
Consideremos el uso de corchetes como un factor constante.
Ejemplo 5.
Encontremos, por ejemplo 
. Considerando eso, obtenemos
Ejemplo 6. Lo encontraremos. Porque 
, usemos la integral de tabla 
obtenemos
En los dos ejemplos siguientes, también puede utilizar corchetes e integrales de tabla:
Ejemplo 7.
(usamos y 
);
Ejemplo 8.
(usamos 
Y 
).
Veamos ejemplos más complejos que usan la suma integral.
Ejemplo 9. Por ejemplo, busquemos 
. Para aplicar el método de expansión en el numerador, usamos la fórmula de suma cúbica , y luego dividimos el polinomio resultante por el denominador, término por término.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
Cabe señalar que al final de la solución se escribe una constante común C (y no separadas al integrar cada término). En el futuro, también se propone omitir las constantes de la integración de términos individuales en el proceso de solución siempre que la expresión contenga al menos una integral indefinida(escribiremos una constante al final de la solución).
Ejemplo 10. encontraremos 
. Para resolver este problema, factoricemos el numerador (después de esto podemos reducir el denominador).
Ejemplo 11. Lo encontraremos. Aquí se pueden utilizar identidades trigonométricas.
A veces, para descomponer una expresión en términos, es necesario utilizar técnicas más complejas.
Ejemplo 12. encontraremos 
. En el integrando seleccionamos la parte entera de la fracción. 
. Entonces
Ejemplo 13. encontraremos
2. Método de reemplazo de variables (método de sustitución)
El método se basa en la siguiente fórmula: f(x)dx=f((t))`(t)dt, donde x =(t) es una función derivable en el intervalo considerado.
Prueba. Encontremos las derivadas con respecto a la variable t de los lados izquierdo y derecho de la fórmula.
Observa que en el lado izquierdo hay una función compleja cuyo argumento intermedio es x = (t). Por lo tanto, para derivarla con respecto a t, primero derivamos la integral con respecto a x, y luego tomamos la derivada del argumento intermedio con respecto a t.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
Derivada del lado derecho:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Dado que estas derivadas son iguales, como corolario del teorema de Lagrange, los lados izquierdo y derecho de la fórmula que se está demostrando difieren en una cierta constante. Dado que las integrales indefinidas se definen hasta un término constante indefinido, esta constante se puede omitir en la notación final. Probado.
Un cambio exitoso de variable le permite simplificar la integral original y, en los casos más simples, reducirla a una tabular. En la aplicación de este método se distingue entre métodos de sustitución lineales y no lineales.
a) Método de sustitución lineal Veamos un ejemplo.
Ejemplo 1.
. Sea t= 1 – 2x, entonces
dx=d(½ - ½t) = - ½dt
Cabe señalar que no es necesario escribir explícitamente la nueva variable. En tales casos, se habla de transformar una función bajo el signo diferencial o de introducir constantes y variables bajo el signo diferencial, es decir oh reemplazo implícito de variables.
Ejemplo 2. Por ejemplo, encontremoscos(3x + 2)dx. Por las propiedades del diferencial dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), entoncescos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sen(3x + 2) +C.
En ambos ejemplos considerados, se utilizó la sustitución lineal t=kx+b(k0) para encontrar las integrales.
En el caso general, el siguiente teorema es válido.
Teorema de sustitución lineal. Sea F(x) alguna primitiva de la función f(x). Entoncesf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, donde k y b son algunas constantes,k0.
Prueba.
Por definición de la integral f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Saquemos el factor constante k del signo integral: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Ahora podemos dividir los lados izquierdo y derecho de la igualdad en dos y obtener el enunciado a demostrar hasta la designación del término constante.
Este teorema establece que si en la definición de la integral f(x)dx= F(x) + C en lugar del argumento x sustituimos la expresión (kx+b), esto conducirá a la aparición de un adicional factor 1/k delante de la antiderivada.
Usando el teorema probado, resolvemos los siguientes ejemplos.
Ejemplo 3.
encontraremos 
. Aquí kx+b= 3 –x, es decir k= -1,b= 3. Entonces
Ejemplo 4.
Lo encontraremos. Aquíkx+b= 4x+ 3, es decir k= 4,b= 3. Entonces
Ejemplo 5.
encontraremos 
. Aquí kx+b= -2x+ 7, es decir k= -2,b= 7. Entonces
.
Ejemplo 6. encontraremos 
. Aquí kx+b= 2x+ 0, es decir k= 2,b= 0.
.
Comparemos el resultado obtenido con el ejemplo 8, que se resolvió mediante el método de descomposición. Resolviendo el mismo problema usando un método diferente, obtuvimos la respuesta. 
. Comparemos los resultados: Por tanto, estas expresiones se diferencian entre sí por un término constante 
, es decir. Las respuestas recibidas no se contradicen.
Ejemplo 7. encontraremos 
. Seleccionemos un cuadrado perfecto en el denominador.
En algunos casos, cambiar una variable no reduce la integral directamente a una tabular, pero puede simplificar la solución, haciendo posible utilizar el método de expansión en un paso posterior.
Ejemplo 8. Por ejemplo, busquemos 
. Reemplace t=x+ 2, luego dt=d(x+ 2) =dx. Entonces
,
donde C = C 1 – 6 (al sustituir la expresión (x+ 2) en lugar de los dos primeros términos, obtenemos ½x 2 -2x– 6).
Ejemplo 9. encontraremos 
. Sea t= 2x+ 1, entonces dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
Sustituyamos la expresión (2x+ 1) por t, abramos los corchetes y demos otros similares.
Tenga en cuenta que en el proceso de transformaciones pasamos a otro término constante, porque el grupo de términos constantes podría omitirse durante el proceso de transformación.
b) Método de sustitución no lineal Veamos un ejemplo.
Ejemplo 1.
. Sea = -x 2. A continuación, se podría expresar x en términos de t, luego encontrar una expresión para dx e implementar un cambio de variable en la integral deseada. Pero en este caso es más fácil hacer las cosas de otra manera. Encontremosdt=d(-x 2) = -2xdx. Tenga en cuenta que la expresión xdx es un factor del integrando de la integral deseada. Expresémoslo a partir de la igualdad resultantexdx= - ½dt. Entonces
En esta página encontrará:
1. En realidad, la tabla de antiderivadas: se puede descargar en formato PDF e imprimir;
2. Vídeo sobre cómo utilizar esta mesa;
3. Un montón de ejemplos de cálculo de la antiderivada de varios libros de texto y pruebas.
En el video en sí, analizaremos muchos problemas en los que es necesario calcular antiderivadas de funciones, a menudo bastante complejas, pero lo más importante es que no son funciones de potencia. Todas las funciones resumidas en la tabla propuesta anteriormente deben saberse de memoria, al igual que las derivadas. Es imposible sin ellos estudio adicional Integrales y su aplicación a la resolución de problemas prácticos.
Hoy continuamos estudiando primitivas y pasamos a un tema un poco más complejo. Si la última vez consideramos antiderivadas solo de funciones de potencia y construcciones un poco más complejas, hoy veremos la trigonometría y mucho más.
Como dije en la última lección, las antiderivadas, a diferencia de las derivadas, nunca se resuelven “directamente” utilizando reglas estándar. Además, la mala noticia es que, a diferencia de la derivada, es posible que la antiderivada no se considere en absoluto. Si escribimos una función completamente aleatoria e intentamos encontrar su derivada, entonces con una probabilidad muy alta lo lograremos, pero la antiderivada casi nunca se calculará en este caso. Pero también hay albricias: Existe una clase bastante grande de funciones llamadas funciones elementales, cuyas antiderivadas son muy fáciles de calcular. Y todas las demás estructuras más complejas que se dan en todo tipo de pruebas, pruebas independientes y exámenes, de hecho, se componen de estas funciones elementales mediante sumas, restas y otras acciones simples. Los prototipos de tales funciones se calculan y compilan desde hace mucho tiempo en tablas especiales. Son estas funciones y tablas con las que trabajaremos hoy.
Pero empezaremos, como siempre, con una repetición: recordemos qué es una antiderivada, por qué hay infinitas y cómo definirlas. vista general. Para hacer esto, elegí dos problemas simples.
Resolviendo ejemplos fáciles
Ejemplo #1
Notemos inmediatamente que $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ y en general la presencia de $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ inmediatamente nos insinúa que la antiderivada requerida de la función está relacionada con la trigonometría. Y, efectivamente, si miramos la tabla, encontraremos que $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ no es más que $\text(arctg)x$. Entonces vamos a escribirlo:
Para encontrarlo, debe anotar lo siguiente:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
Ejemplo No. 2
Aquí también estamos hablando de funciones trigonométricas. Si miramos la tabla, entonces, efectivamente, esto es lo que sucede:
Necesitamos encontrar, entre todo el conjunto de antiderivadas, la que pasa por el punto indicado:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
Finalmente escribámoslo:
Es así de simple. El único problema es que para calcular las antiderivadas de funciones simples, es necesario aprender una tabla de antiderivadas. Sin embargo, después de estudiar la tabla de derivadas, creo que esto no será un problema.
Resolver problemas que contienen una función exponencial.
Para empezar, escribamos las siguientes fórmulas:
\[((e)^(x))\a ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Veamos cómo funciona todo esto en la práctica.
Ejemplo #1
Si miramos el contenido de los corchetes, notaremos que en la tabla de antiderivadas no existe tal expresión para que $((e)^(x))$ esté en un cuadrado, por lo que este cuadrado debe expandirse. Para ello utilizamos las fórmulas de multiplicación abreviadas:
Encontremos la primitiva de cada uno de los términos:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
Ahora juntemos todos los términos en una sola expresión y obtengamos la antiderivada general:
Ejemplo No. 2
Esta vez el grado es mayor, por lo que la fórmula de multiplicación abreviada será bastante compleja. Así que abramos los corchetes:
Ahora intentemos tomar la antiderivada de nuestra fórmula a partir de esta construcción:
Como puedes ver, no hay nada complicado ni sobrenatural en las antiderivadas de la función exponencial. Todos ellos se calculan mediante tablas, pero los estudiantes atentos probablemente notarán que la antiderivada $((e)^(2x))$ está mucho más cerca de simplemente $((e)^(x))$ que de $((a )^(x ))$. Entonces, ¿quizás exista alguna regla más especial que permita, conociendo la primitiva $((e)^(x))$, encontrar $((e)^(2x))$? Sí, existe tal regla. Y, además, es una parte integral del trabajo con la tabla de antiderivadas. Ahora lo analizaremos usando las mismas expresiones con las que acabamos de trabajar como ejemplo.
Reglas para trabajar con la tabla de antiderivadas.
Escribamos nuestra función nuevamente:
En el caso anterior utilizamos la siguiente fórmula para resolver:
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]
Pero ahora hagámoslo un poco diferente: recordemos sobre qué base $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Como ya dije, debido a que la derivada $((e)^(x))$ no es más que $((e)^(x))$, por lo tanto su primitiva será igual a la misma $((e) ^ (x))$. Pero el problema es que tenemos $((e)^(2x))$ y $((e)^(-2x))$. Ahora intentemos encontrar la derivada de $((e)^(2x))$:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Reescribamos nuestra construcción nuevamente:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]
Esto significa que cuando encontramos la primitiva $((e)^(2x))$ obtenemos lo siguiente:
\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
Como puede ver, obtuvimos el mismo resultado que antes, pero no usamos la fórmula para encontrar $((a)^(x))$. Ahora bien, esto puede parecer una estupidez: ¿por qué complicar los cálculos cuando existe una fórmula estándar? Sin embargo, en expresiones un poco más complejas encontrarás que esta técnica es muy efectiva, es decir. Usar derivadas para encontrar antiderivadas.
Como calentamiento, encontremos la antiderivada de $((e)^(2x))$ de manera similar:
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]
Al calcular, nuestra construcción se escribirá de la siguiente manera:
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Obtuvimos exactamente el mismo resultado, pero tomamos un camino diferente. Es este camino, que ahora nos parece un poco más complicado, el que en el futuro resultará más eficaz para calcular antiderivadas más complejas y utilizar tablas.
¡Prestar atención! esto es muy punto importante: las antiderivadas, al igual que las derivadas, pueden considerarse un conjunto de varias maneras. Sin embargo, si todos los cálculos y cálculos son iguales, entonces la respuesta será la misma. Acabamos de ver esto en el ejemplo de $((e)^(-2x))$ - por un lado, calculamos esta antiderivada "de principio a fin", usando la definición y calculándola usando transformaciones, por otro lado, Recordamos que $ ((e)^(-2x))$ se puede representar como $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ y solo entonces usamos la antiderivada de la función $( (a)^(x))$. Sin embargo, después de todas las transformaciones, el resultado fue el mismo, como se esperaba.
Y ahora que entendemos todo esto, es hora de pasar a algo más significativo. Ahora analizaremos dos construcciones simples, pero la técnica que se utilizará para resolverlas es una herramienta más poderosa y útil que simplemente "correr" entre antiderivadas vecinas de la tabla.
Resolución de problemas: encontrar la antiderivada de una función
Ejemplo #1
Dividamos la cantidad que está en los numeradores en tres fracciones separadas:
Esta es una transición bastante natural y comprensible: la mayoría de los estudiantes no tienen problemas con ella. Reescribamos nuestra expresión de la siguiente manera:
Ahora recordemos esta fórmula:
En nuestro caso obtendremos lo siguiente:
Para deshacerse de todas estas fracciones de tres pisos, sugiero hacer lo siguiente:
Ejemplo No. 2
A diferencia de la fracción anterior, el denominador no es un producto, sino una suma. En este caso, ya no podemos dividir nuestra fracción en la suma de varias fracciones simples, sino que debemos intentar de alguna manera asegurarnos de que el numerador contenga aproximadamente la misma expresión que el denominador. En este caso, es bastante sencillo hacerlo:
Esta notación, que en lenguaje matemático se llama “sumar un cero”, nos permitirá volver a dividir la fracción en dos partes:
Ahora encontremos lo que estábamos buscando:
Esos son todos los cálculos. A pesar de la aparente mayor complejidad que en el problema anterior, la cantidad de cálculos resultó ser aún menor.
Matices de la solución.
Y aquí es donde radica la principal dificultad de trabajar con antiderivadas tabulares, esto se nota especialmente en la segunda tarea. El caso es que para seleccionar algunos elementos que se calculan fácilmente a través de la tabla, necesitamos saber qué estamos buscando exactamente, y es en la búsqueda de estos elementos donde consiste todo el cálculo de antiderivadas.
En otras palabras, no basta con memorizar la tabla de antiderivadas; es necesario poder ver algo que aún no existe, sino lo que quiso decir el autor y compilador de este problema. Es por eso que muchos matemáticos, profesores y catedráticos discuten constantemente: "¿Qué es tomar antiderivadas o integración? ¿Es solo una herramienta o es un verdadero arte?" De hecho, en mi opinión personal, la integración no es un arte en absoluto; no hay nada sublime en ella, es sólo práctica y más práctica. Y para practicar, resolvamos tres ejemplos más serios.
Nos formamos en la integración en la práctica.
Tarea número 1
Escribamos las siguientes fórmulas:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
Escribamos lo siguiente:
Problema número 2
Reescribámoslo de la siguiente manera:
La antiderivada total será igual a:
Tarea número 3
La dificultad de esta tarea es que, a diferencia de las funciones anteriores, no existe ninguna variable $x$, es decir No nos queda claro qué sumar o restar para obtener al menos algo similar a lo que se muestra a continuación. Sin embargo, de hecho, esta expresión se considera incluso más simple que cualquiera de las expresiones anteriores, porque esta función se puede reescribir de la siguiente manera:
Ahora te preguntarás: ¿por qué estas funciones son iguales? Comprobemos:
Reescribámoslo de nuevo:
Transformemos un poco nuestra expresión:
Y cuando les explico todo esto a mis alumnos casi siempre surge el mismo problema: con la primera función todo está más o menos claro, con la segunda también puedes resolverlo con suerte o práctica, pero ¿qué tipo de conciencia alternativa tienes? ¿Necesitas tener para resolver el tercer ejemplo? En realidad, no te asustes. La técnica que utilizamos al calcular la última antiderivada se llama "descomposición de una función en su más simple", y esta es una técnica muy seria, y se le dedicará una lección en video separada.
Mientras tanto, propongo volver a lo que acabamos de estudiar, es decir, a las funciones exponenciales y complicar un poco los problemas con su contenido.
Problemas más complejos para resolver funciones exponenciales antiderivadas
Tarea número 1
Notemos lo siguiente:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
Para encontrar la primitiva de esta expresión, simplemente use la fórmula estándar: $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
En nuestro caso, la antiderivada quedará así:
Por supuesto, en comparación con el diseño que acabamos de resolver, este parece más simple.
Problema número 2
Nuevamente, es fácil ver que esta función se puede dividir fácilmente en dos términos separados: dos fracciones separadas. Reescribamos:
Queda por encontrar la antiderivada de cada uno de estos términos usando la fórmula descrita anteriormente:
A pesar de la aparente mayor complejidad de las funciones exponenciales en comparación con las funciones de potencia, el volumen general de cálculos y cálculos resultó ser mucho más simple.
Por supuesto, para los estudiantes conocedores, lo que acabamos de discutir (especialmente en el contexto de lo que hemos discutido antes) puede parecer expresiones elementales. Sin embargo, al elegir estos dos problemas para la lección en video de hoy, no me propuse contarte otra técnica compleja y sofisticada; todo lo que quería mostrarte es que no debes tener miedo de usar técnicas de álgebra estándar para transformar funciones originales. .
Usando una técnica "secreta"
En conclusión, me gustaría considerar otra técnica interesante que, por un lado, va más allá del alcance de lo que discutimos principalmente hoy, pero, por otro lado, en primer lugar, no es nada complicado, es decir. Incluso los estudiantes principiantes pueden dominarlo y, en segundo lugar, se encuentra con bastante frecuencia en todo tipo de pruebas y exámenes. trabajo independiente, es decir. su conocimiento será de gran utilidad además del conocimiento de la tabla de antiderivadas.
Tarea número 1
Obviamente, tenemos algo muy similar a una función de potencia. ¿Qué debemos hacer en este caso? Pensemos en ello: $x-5$ no es muy diferente de $x$; simplemente agregaron $-5$. Escribámoslo así:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
Intentemos encontrar la derivada de $((\left(x-5 \right))^(5))$:
\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
De esto se desprende:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ derecha))^(\prime ))\]
No existe tal valor en la tabla, por lo que ahora hemos obtenido esta fórmula nosotros mismos utilizando la fórmula antiderivada estándar para función de potencia. Escribamos la respuesta así:
Problema número 2
Muchos estudiantes que observan la primera solución pueden pensar que todo es muy simple: simplemente reemplace $x$ en la función de potencia con una expresión lineal y todo encajará en su lugar. Lamentablemente, no todo es tan sencillo y ahora lo veremos.
Por analogía con la primera expresión, escribimos lo siguiente:
\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
Volviendo a nuestra derivada, podemos escribir:
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \derecha))^(\prime ))\]
Esto sigue inmediatamente:
Matices de la solución.
Tenga en cuenta: si nada cambió esencialmente la última vez, entonces en el segundo caso, en lugar de $-10$, apareció $-30$. ¿Cuál es la diferencia entre $-10$ y $-30$? Obviamente, por un factor de $-3$. Pregunta: ¿de dónde vino? Si miras de cerca, puedes ver que se tomó como resultado del cálculo de la derivada de una función compleja: el coeficiente que era $x$ aparece en la primitiva a continuación. esto es muy regla importante, que inicialmente no planeaba discutir en absoluto en el video tutorial de hoy, pero sin él la presentación de antiderivadas tabulares estaría incompleta.
Así que hagámoslo de nuevo. Sea nuestra principal función de poder:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Ahora, en lugar de $x$, sustituyamos la expresión $kx+b$. ¿Qué pasará entonces? Necesitamos encontrar lo siguiente:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]
¿Sobre qué base afirmamos esto? Muy sencillo. Encontremos la derivada de la construcción escrita arriba:
\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]
Esta es la misma expresión que existía originalmente. Por tanto, esta fórmula también es correcta y se puede utilizar para complementar la tabla de antiderivadas, o es mejor simplemente memorizar toda la tabla.
Conclusiones del “secreto: técnica:
- De hecho, ambas funciones que acabamos de considerar se pueden reducir a las antiderivadas indicadas en la tabla expandiendo los grados, pero si podemos hacer frente más o menos de alguna manera al cuarto grado, entonces ni siquiera consideraría el noveno grado. se atrevió a revelar.
- Si ampliamos los grados, obtendríamos tal volumen de cálculos que una tarea sencilla nos llevaría inadecuadamente gran número tiempo.
- Es por eso que estos problemas, que contienen expresiones lineales, no necesitan resolverse "precipitadamente". Tan pronto como encuentre una antiderivada que difiere de la de la tabla solo por la presencia de la expresión $kx+b$ en su interior, recuerde inmediatamente la fórmula escrita arriba, sustitúyala en la antiderivada de su tabla y todo saldrá mucho mejor. más rápido y más fácil.
Naturalmente, debido a la complejidad y seriedad de esta técnica, volveremos a considerarla muchas veces en futuras lecciones en video, pero eso es todo por hoy. Espero que esta lección realmente ayude a aquellos estudiantes que quieran comprender las antiderivadas y la integración.
