Definición correcta de pirámide. Formas geométricas. Pirámide

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Pirámide. guía visual (2019)

¿Qué es una pirámide?

¿Cómo es ella?

Verás: en la base de la pirámide (dicen “ en la base") algún polígono, y todos los vértices de este polígono están conectados a algún punto en el espacio (este punto se llama " vértice»).

Toda esta estructura todavía tiene caras laterales, costillas laterales Y costillas base. Una vez más, dibujemos una pirámide con todos estos nombres:

Algunas pirámides pueden parecer muy extrañas, pero siguen siendo pirámides.

Aquí, por ejemplo, es completamente “oblicuo”. pirámide.

Y un poco más sobre los nombres: si hay un triángulo en la base de la pirámide, entonces la pirámide se llama triangular, si es cuadrilátero, entonces cuadrangular, y si es centágono, entonces... adivina por ti mismo .

Al mismo tiempo, el punto donde cayó. altura, llamado base de altura. Tenga en cuenta que en las pirámides "torcidas" altura incluso puede terminar fuera de la pirámide. Como esto:

Y eso no tiene nada de malo. Parece un triángulo obtuso.

Pirámide correcta.

Muchos palabras complejas? Descifremos: “En la base - correcto” - esto es comprensible. Ahora recordemos que un polígono regular tiene un centro: un punto que es el centro de y, y.

Bueno, las palabras “la parte superior se proyecta en el centro de la base” significan que la base de la altura cae exactamente en el centro de la base. Mira que suave y lindo se ve. pirámide regular.

Hexagonal: en la base hay un hexágono regular, el vértice se proyecta hacia el centro de la base.

Cuadrangular: la base es un cuadrado, la parte superior se proyecta hasta el punto de intersección de las diagonales de este cuadrado.

Triangular: en la base hay un triángulo regular, el vértice se proyecta al punto de intersección de las alturas (también son medianas y bisectrices) de este triángulo.

Muy propiedades importantes pirámide regular:

En la pirámide derecha

todos los bordes laterales son iguales.
todas las caras laterales - triángulos isósceles y todos estos triángulos son iguales.

Volumen de la pirámide

La fórmula principal para el volumen de una pirámide:

¿De dónde vino exactamente? Esto no es tan simple y al principio solo debes recordar que una pirámide y un cono tienen volumen en la fórmula, pero un cilindro no.

Ahora calculemos el volumen de las pirámides más populares.

Dejemos que el lado de la base sea igual y el borde lateral igual. Necesitamos encontrar y.

Ésta es el área de un triángulo regular.

Recordemos cómo buscar esta zona. Usamos la fórmula del área:

Para nosotros “” es esto, y “” es también esto, eh.

Ahora encontrémoslo.

Según el teorema de Pitágoras para

¿Cuál es la diferencia? Este es el circunradio porque pirámidecorrecto y, por tanto, el centro.

Desde entonces, el punto de intersección de las medianas también.

(Teorema de Pitágoras para)

Sustituyámoslo en la fórmula de.

Y sustituyamos todo en la fórmula del volumen:

Atención: Si tienes un tetraedro regular (es decir), entonces la fórmula resulta así:

Dejemos que el lado de la base sea igual y el borde lateral igual.

No hay necesidad de mirar aquí; Después de todo, la base es un cuadrado, y por tanto.

Lo encontraremos. Según el teorema de Pitágoras para

¿Lo sabemos? Bueno, casi. Mirar:

(vimos esto mirándolo).

Sustituye en la fórmula por:

Y ahora sustituimos y en la fórmula del volumen.

Deje que el lado de la base sea igual y el borde lateral.

¿Cómo encontrarlo? Mira, un hexágono consta exactamente de seis triángulos regulares idénticos. Ya buscamos el área de un triángulo regular al calcular el volumen de una pirámide triangular regular; aquí usamos la fórmula que encontramos;

Ahora vamos a buscarlo.

Según el teorema de Pitágoras para

¿Pero qué importa? Es simple porque (y todos los demás también) tienen razón.

Sustituyamos:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRÁMIDE. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Una pirámide es un poliedro que consta de cualquier polígono plano (), un punto que no se encuentra en el plano de la base (vértice de la pirámide) y todos los segmentos que conectan la cima de la pirámide con los puntos de la base ( costillas laterales ).

Una perpendicular que cae desde la cima de la pirámide hasta el plano de la base.

Pirámide correcta- una pirámide en la que se encuentra un polígono regular en la base y la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de la base.

Propiedad de una pirámide regular:

En una pirámide regular, todas las aristas laterales son iguales.
Todas las caras laterales son triángulos isósceles y todos estos triángulos son iguales.

Aquí puede encontrar información básica sobre pirámides y fórmulas y conceptos relacionados. Todos ellos se estudian con un tutor de matemáticas en preparación para el Examen Estatal Unificado.

Consideremos un plano, un polígono. , que se encuentra en él y un punto S, que no se encuentra en él. Conectemos S a todos los vértices del polígono. El poliedro resultante se llama pirámide. Los segmentos se llaman costillas laterales. El polígono se llama base y el punto S es la cima de la pirámide. Dependiendo del número n, la pirámide se llama triangular (n=3), cuadrangular (n=4), pentagonal (n=5), etc. Un nombre alternativo para una pirámide triangular es tetraedro. La altura de una pirámide es la perpendicular que desciende desde su cima al plano de la base.

Una pirámide se llama regular si un polígono regular, y la base de la altitud de la pirámide (la base de la perpendicular) es su centro.

comentario del tutor:
No confunda los conceptos de “pirámide regular” y “tetraedro regular”. En una pirámide regular, las aristas laterales no son necesariamente iguales a las aristas de la base, pero en un tetraedro regular, las 6 aristas son iguales. Esta es su definición. Es fácil demostrar que la igualdad implica que el centro P del polígono coincide con una base de altura, por lo que un tetraedro regular es una pirámide regular.

¿Qué es una apotema?
La apotema de una pirámide es la altura de su cara lateral. Si la pirámide es regular, entonces todas sus apotemas son iguales. Lo contrario no es cierto.

Un tutor de matemáticas sobre su terminología: el 80% del trabajo con pirámides se construye a través de dos tipos de triángulos:
1) Que contiene apotema SK y altura SP
2) Que contiene el borde lateral SA y su proyección PA

Para simplificar las referencias a estos triángulos, es más conveniente que un tutor de matemáticas llame al primero de ellos apotémico, y el segundo costal. Desafortunadamente, no encontrará esta terminología en ninguno de los libros de texto y el profesor tiene que introducirla unilateralmente.

Fórmula del volumen de la pirámide:
1) , donde es el área de la base de la pirámide y es la altura de la pirámide
2), donde es el radio de la esfera inscrita y es el área superficie completa pirámides.
3) , donde MN es la distancia entre dos aristas que se cruzan cualesquiera y es el área del paralelogramo formado por los puntos medios de las cuatro aristas restantes.

Propiedad de la base de la altura de una pirámide:

El punto P (ver figura) coincide con el centro del círculo inscrito en la base de la pirámide si se cumple una de las siguientes condiciones:
1) Todas las apotemas son iguales
2) Todas las caras laterales están igualmente inclinadas con respecto a la base.
3) Todas las apotemas están igualmente inclinadas con respecto a la altura de la pirámide.
4) La altura de la pirámide está igualmente inclinada en todas las caras laterales.

Comentario del tutor de matemáticas.: Tenga en cuenta que todos los puntos tienen una cosa en común propiedad general: de una forma u otra, las caras laterales están involucradas en todas partes (las apotemas son sus elementos). Por tanto, el tutor puede ofrecer una formulación menos precisa, pero más conveniente para el aprendizaje: el punto P coincide con el centro del círculo inscrito, la base de la pirámide, si existe información igual sobre sus caras laterales. Para demostrarlo basta demostrar que todos los triángulos de apotema son iguales.

El punto P coincide con el centro de un círculo circunscrito cerca de la base de la pirámide si se cumple una de tres condiciones:
1) Todos los bordes laterales son iguales
2) Todas las nervaduras laterales están igualmente inclinadas con respecto a la base.
3) Todas las nervaduras laterales están igualmente inclinadas respecto a la altura.

Definición

Pirámide es un poliedro compuesto por un polígono $A_1A_2...A_n$ y $n$ triángulos con un vértice común $P$ (que no se encuentra en el plano del polígono) y lados opuestos a él, coincidiendo con el lados del polígono.
Designación: $PA_1A_2...A_n$ .
Ejemplo: pirámide pentagonal $PA_1A_2A_3A_4A_5$ .

Triángulos $PA_1A_2, \PA_2A_3$, etc. son llamados caras laterales pirámides, segmentos $PA_1, PA_2$, etc. – costillas laterales, polígono $A_1A_2A_3A_4A_5$ – base, punto $P$ – arriba.

Altura Las pirámides son una perpendicular que desciende desde la cima de la pirámide hasta el plano de la base.

Una pirámide con un triángulo en su base se llama tetraedro.

La pirámide se llama correcto, si su base es un polígono regular y se cumple una de las siguientes condiciones:

$(a)$ los bordes laterales de la pirámide son iguales;

$(b)$ la altura de la pirámide pasa por el centro del círculo circunscrito cerca de la base;

$(c)$ las nervaduras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo.

$(d)$ las caras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo.

tetraedro regular Es una pirámide triangular, todas cuyas caras son triángulos equiláteros iguales.

Teorema

Las condiciones $(a), (b), (c), (d)$ son equivalentes.

Prueba

Encontremos la altura de la pirámide $PH$ . Sea $\alpha$ el plano de la base de la pirámide.

1) Demostremos que de $(a)$ se sigue $(b)$ . Sea $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

Porque $PH\perp \alpha$, entonces $PH$ es perpendicular a cualquier línea que se encuentre en este plano, lo que significa que los triángulos son rectángulos. Esto significa que estos triángulos son iguales en el cateto común $PH$ y la hipotenusa $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ . Esto significa $A_1H=A_2H=...=A_nH$ . Esto significa que los puntos $A_1, A_2, ..., A_n$ están a la misma distancia del punto $H$, por lo tanto, se encuentran en el mismo círculo con el radio $A_1H$. Este círculo, por definición, está circunscrito al polígono $A_1A_2...A_n$ .

2) Demostremos que $(b)$ implica $(c)$ .

$PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$ rectangulares e iguales sobre dos patas. Esto significa que sus ángulos también son iguales, por lo tanto, $\ángulo PA_1H=\ángulo PA_2H=...=\ángulo PA_nH$.

3) Demostremos que $(c)$ implica $(a)$ .

Similar al primer punto, los triángulos $PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$ rectangular tanto a lo largo del cateto como en ángulo agudo. Esto significa que sus hipotenusas también son iguales, es decir, $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

4) Demostremos que $(b)$ implica $(d)$ .

Porque en un polígono regular coinciden los centros de los círculos circunscritos e inscritos (en general, este punto se llama centro de un polígono regular), entonces $H$ es el centro del círculo inscrito. Dibujemos perpendiculares desde el punto $H$ a los lados de la base: $HK_1, HK_2$, etc. Estos son los radios del círculo inscrito (por definición). Entonces, según TTP ($PH$ es una perpendicular al plano, $HK_1, HK_2$, etc. son proyecciones perpendiculares a los lados) inclinadas $PK_1, PK_2$, etc. perpendicular a los lados $A_1A_2, A_2A_3$, etc. respectivamente. Entonces, por definición $\ángulo PK_1H, \ángulo PK_2H$ iguales a los ángulos entre las caras laterales y la base. Porque triángulos $PK_1H, PK_2H, ...$ son iguales (como rectangulares en dos lados), entonces los ángulos $\ángulo PK_1H, \ángulo PK_2H, ...$ son iguales.

5) Demostremos que $(d)$ implica $(b)$ .

Similar al cuarto punto, los triángulos $PK_1H, PK_2H, ...$ son iguales (como rectangulares a lo largo del cateto y ángulo agudo), lo que significa que los segmentos $HK_1=HK_2=...=HK_n$ son igual. Esto significa, por definición, $H$ es el centro de un círculo inscrito en la base. Pero porque Para polígonos regulares, los centros de los círculos inscritos y circunscritos coinciden, entonces $H$ es el centro del círculo circunscrito. Chtd.

Consecuencia

Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos isósceles iguales.

Definición

La altura de la cara lateral de una pirámide regular trazada desde su vértice se llama apotema.
Las apotemas de todas las caras laterales de una pirámide regular son iguales entre sí y también son medianas y bisectrices.

Notas importantes

1. La altura de una pirámide triangular regular cae en el punto de intersección de las alturas (o bisectrices o medianas) de la base (la base es un triángulo regular).

2. La altura es correcta pirámide cuadrangular cae en el punto de intersección de las diagonales de la base (la base es un cuadrado).

3. La altura es correcta pirámide hexagonal cae en el punto de intersección de las diagonales de la base (la base es un hexágono regular).

4. La altura de la pirámide es perpendicular a cualquier línea recta que se encuentre en la base.

Definición

La pirámide se llama rectangular, si uno de sus bordes laterales es perpendicular al plano de la base.

Notas importantes

1. En una pirámide rectangular, el borde perpendicular a la base es la altura de la pirámide. Es decir, $SR$ es la altura.

2. Porque $SR$ es perpendicular a cualquier línea desde la base, entonces $\triángulo SRM, \triángulo SRP$– triángulos rectángulos.

3. Triángulos $\triángulo SRN, \triángulo SRK$- también rectangular.
Es decir, cualquier triángulo formado por esta arista y la diagonal que sale del vértice de esta arista situada en la base será rectangular.

\[(\Large(\text(Volumen y superficie de la pirámide)))\]

Teorema

El volumen de la pirámide es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura de la pirámide: \

Consecuencias

Sea $a$ el lado de la base, $h$ la altura de la pirámide.

1. El volumen de una pirámide triangular regular es $V_(\text(triángulo rectángulo.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h$,

2. El volumen de una pirámide cuadrangular regular es $V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h$.

3. El volumen de una pirámide hexagonal regular es $V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h$.

4. El volumen de un tetraedro regular es $V_(\text(tetr. derecha))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3$.

Teorema

El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base por la apotema.

\[(\Grande(\text(Frustum)))\]

Definición

Considere una pirámide arbitraria $PA_1A_2A_3...A_n$ . Dibujemos un plano paralelo a la base de la pirámide que pase por un cierto punto que se encuentra en el borde lateral de la pirámide. Este plano dividirá la pirámide en dos poliedros, uno de los cuales es una pirámide ($PB_1B_2...B_n$), y el otro se llama pirámide truncada($A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n$).

La pirámide truncada tiene dos bases: los polígonos $A_1A_2...A_n$ y $B_1B_2...B_n$ que son similares entre sí.

La altura de una pirámide truncada es una perpendicular trazada desde algún punto de la base superior al plano de la base inferior.

Notas importantes

1. Todas las caras laterales de una pirámide truncada son trapecios.

2. El segmento que conecta los centros de las bases de una pirámide truncada regular (es decir, una pirámide obtenida por sección transversal de una pirámide regular) es la altura.

Concepto de pirámide

Definición 1

Una figura geométrica formada por un polígono y un punto que no se encuentra en el plano que contiene este polígono, conectado a todos los vértices del polígono, se llama pirámide (Fig. 1).

El polígono a partir del cual está hecha la pirámide se llama base de la pirámide; los triángulos resultantes, cuando se conectan a un punto, son las caras laterales de la pirámide, los lados de los triángulos son los lados de la pirámide y el punto común. a todos los triángulos está la cima de la pirámide.

Tipos de pirámides

Dependiendo del número de ángulos en la base de la pirámide, se puede llamar triangular, cuadrangular, etc. (Fig. 2).

Figura 2.

Otro tipo de pirámide es la pirámide regular.

Introduzcamos y demostremos la propiedad de una pirámide regular.

Teorema 1

Todas las caras laterales de una pirámide regular son triángulos isósceles iguales entre sí.

Prueba.

Considere una pirámide regular $n-$gonal con vértice $S$ de altura $h=SO$. Dibujemos un círculo alrededor de la base (Fig. 4).

Figura 4.

Considere el triángulo $SOA$. Según el teorema de Pitágoras, obtenemos

Evidentemente, cualquier borde lateral quedará definido de esta forma. En consecuencia, todas las aristas laterales son iguales entre sí, es decir, todas las caras laterales son triángulos isósceles. Demostremos que son iguales entre sí. Como la base es un polígono regular, las bases de todas las caras laterales son iguales entre sí. En consecuencia, todas las caras laterales son iguales según el III criterio de igualdad de triángulos.

El teorema ha sido demostrado.

Introduzcamos ahora la siguiente definición relacionada con el concepto de pirámide regular.

Definición 3

La apotema de una pirámide regular es la altura de su cara lateral.

Obviamente, según el teorema uno, todas las apotemas son iguales entre sí.

Teorema 2

El área de la superficie lateral de una pirámide regular se determina como el producto del semiperímetro de la base por la apotema.

Prueba.

Denotemos el lado de la base de la pirámide $n-$gonal por $a$ y la apotema por $d$. Por tanto, el área de la cara lateral es igual a

Dado que, según el teorema 1, todos los lados son iguales, entonces

El teorema ha sido demostrado.

Otro tipo de pirámide es la pirámide truncada.

Definición 4

Si se dibuja un plano paralelo a su base a través de una pirámide ordinaria, entonces la figura formada entre este plano y el plano de la base se llama pirámide truncada (Fig. 5).

Figura 5. Pirámide truncada

Las caras laterales de la pirámide truncada son trapecios.

Teorema 3

El área de la superficie lateral de una pirámide truncada regular se determina como el producto de la suma de los semiperímetros de las bases y la apotema.

Prueba.

Denotemos los lados de las bases de la pirámide $n-$gonal con $a\ y\ b$, respectivamente, y la apotema con $d$. Por tanto, el área de la cara lateral es igual a

Como todos los lados son iguales, entonces

El teorema ha sido demostrado.

Tarea de muestra

Ejemplo 1

Encuentre el área de la superficie lateral de una pirámide triangular truncada si se obtiene de una pirámide regular con base de lado 4 y apotema 5 cortando un plano que pasa por la línea media de las caras laterales.

Solución.

Usando el teorema de la línea media, encontramos que la base superior de la pirámide truncada es igual a $4\cdot \frac(1)(2)=2$, y la apotema es igual a $5\cdot \frac(1)(2) =2,5$.

Luego, por el teorema 3, obtenemos