Las expresiones son la base de las matemáticas. Este concepto es bastante amplio. Mayoría Lo que hay que abordar en matemáticas (ejemplos, ecuaciones e incluso fracciones) son expresiones. Un rasgo distintivo de la expresión es la presencia. operaciones matemáticas. Se indica mediante ciertos signos (multiplicación, división, resta o suma). La secuencia de realización de operaciones matemáticas se corrige entre paréntesis si es necesario. Hacer matemáticas significa encontrar el significado de una expresión.

¿Qué no es una expresión?

No todas las notaciones matemáticas pueden clasificarse como expresiones. Las igualdades no son expresiones. No importa si las operaciones matemáticas están presentes en la igualdad o no. Por ejemplo, a=5 es una igualdad, no una expresión, pero 8+6*2=20 tampoco puede considerarse una expresión, aunque contiene multiplicación y suma. Este ejemplo también pertenece a la categoría de igualdades. Los conceptos de expresión e igualdad no son mutuamente excluyentes, el primero forma parte del segundo. El signo igual conecta dos expresiones:
5+7=24:2 Puedes simplificar esta igualdad:
5+7=12Una expresión siempre supone que las operaciones matemáticas que representa se pueden realizar. 9+:-7 no es una expresión, aunque aquí hay signos de operaciones matemáticas, porque es imposible realizar estas acciones. ejemplos matemáticos, que son expresiones formales pero no tienen significado. Un ejemplo de tal expresión:
46:(5-2-3)El número 46 se debe dividir por el resultado de las acciones entre paréntesis, y es igual a cero. No se puede dividir por cero; tal acción se considera prohibida en matemáticas.

Expresiones numéricas y algebraicas.

Hay dos tipos de expresiones matemáticas. Si una expresión contiene solo números y símbolos de operaciones matemáticas, dicha expresión se denomina expresión numérica. Si, junto con los números, la expresión contiene variables indicadas con letras, o no hay ningún número, la expresión consta únicamente de variables y símbolos de operaciones matemáticas, se llama algebraica. La diferencia fundamental entre un valor numérico y uno algebraico. es que una expresión numérica tiene un solo valor. Por ejemplo, el valor de la expresión numérica 56–2*3 siempre será igual a 50; Una expresión algebraica puede tener muchos significados, porque cualquier número puede sustituirse por una letra. Entonces, si en la expresión b–7 sustituimos b por 9, el valor de la expresión será 2, y si es 200, será 193.

2. Expresión matemática y su significado.

3. Resolución de problemas a partir de la elaboración de una ecuación.

El álgebra reemplaza los valores numéricos de las características cuantitativas de conjuntos o cantidades con símbolos de letras. EN vista general El álgebra también reemplaza los signos de operaciones específicas (suma, multiplicación, etc.) con símbolos generalizados de operaciones algebraicas y no considera los resultados específicos de estas operaciones (respuestas), sino sus propiedades.

Metodológicamente, se cree que el papel principal de los elementos de álgebra en el curso. clases primarias El propósito de las matemáticas es contribuir a la formación de ideas generalizadas en los niños sobre el concepto de “cantidad” y el significado de las operaciones aritméticas.

Hoy en día, existen dos tendencias radicalmente opuestas a la hora de determinar el volumen de contenido de material algebraico en un curso de matemáticas. escuela primaria. Una tendencia está asociada con la algebraización temprana del curso de matemáticas de la escuela primaria, con su saturación de material algebraico ya desde el primer grado; Otra tendencia está asociada a la introducción de material algebraico en el curso de matemáticas de la escuela primaria en su etapa final, al finalizar el 4º grado. Los representantes de la primera tendencia pueden considerarse autores de libros de texto alternativos del sistema L.V. Zankova (I.I. Arginskaya), sistemas V.V. Davydov (E.N. Aleksandrova, G.G. Mikulina, etc.), el sistema “Escuela 2100” (L.G. Peterson), el sistema “Escuela del siglo XXI” (V.N. Rudnitskaya). El autor del libro de texto alternativo sobre el sistema "Armonía", N.B., puede considerarse un representante de la segunda tendencia. Istomin.

El libro de texto de la escuela tradicional puede considerarse un representante de las visiones "intermedias": contiene bastante material algebraico, ya que se centra en el uso del libro de texto de matemáticas de N.Ya. Vilenkina está en los grados 5-6 de la escuela secundaria, pero introduce a los niños en conceptos algebraicos a partir del segundo grado, distribuyendo el material durante tres años, y en los últimos 20 años prácticamente no ha ampliado la lista de conceptos algebraicos.

El contenido mínimo obligatorio de la educación en matemáticas para los grados primarios (última edición 2001) no contiene material algebraico. No mencionan la capacidad de los egresados ​​de la escuela primaria para trabajar con conceptos algebraicos y los requisitos para su nivel de preparación al finalizar la educación primaria.

1. Expresión matemática y su significado.

Una secuencia de letras y números conectados por signos de acción se llama expresión matemática.

Es necesario distinguir una expresión matemática de la igualdad y la desigualdad, que utilizan signos de igualdad y desigualdad por escrito.

Por ejemplo:

3 + 2 - expresión matemática;

7 - 5; 5 6 - 20; 64: 8 + 2 - expresiones matemáticas;

a+b; 7 - s; 23 - y 4 - expresiones matemáticas.

Notación como 3 + 4 = 7 no es una expresión matemática, es una igualdad.

Tipo de registro 5< 6 или 3 + а >7- no son expresiones matemáticas, son desigualdades.

Expresiones numéricas

Las expresiones matemáticas que contienen únicamente números y símbolos de acción se denominan expresiones numéricas.

En el primer grado, el libro de texto en cuestión no utiliza estos conceptos. A los niños se les presentan expresiones numéricas explícitas (con nombres) en segundo grado.

Las expresiones numéricas más simples contienen solo signos de suma y resta, por ejemplo: 30 - 5 + 7; 45 + 3; 8 - 2 - 1, etc. Realizadas las acciones indicadas, obtenemos el valor de la expresión. Por ejemplo: 30 - 5 + 7 = 32, donde 32 es el valor de la expresión.

Algunas expresiones que los niños aprenden en los cursos de matemáticas de la escuela primaria tienen nombres propios: 4 + 5 - suma;

6 - 5 - diferencia;

7 6 - producto; 63: 7 - cociente.

Estas expresiones tienen nombres para cada componente: componentes de la suma - sumandos; componentes de la diferencia: minuendo y sustraendo; los componentes del producto son factores; Los componentes de la división son el dividendo y el divisor. Los nombres de los valores de estas expresiones coinciden con el nombre de la expresión, por ejemplo: el valor de la cantidad se llama “suma”; el significado de un cociente se llama "cociente", etc.

El siguiente tipo de expresiones numéricas son las expresiones que contienen operaciones de primera etapa (suma y resta) y paréntesis. Los niños los conocen en 1er grado. Asociada a este tipo de expresión está la regla para el orden de ejecución de las acciones entre paréntesis: las acciones entre paréntesis se realizan primero.

A esto le siguen expresiones numéricas que contienen operaciones de dos pasos sin paréntesis (suma, resta, multiplicación y división). Asociada a este tipo de expresión está la regla para el orden de las operaciones en expresiones que contienen todas las operaciones aritméticas sin paréntesis: las operaciones de multiplicación y división se realizan antes de la suma y la resta.

El último tipo de expresiones numéricas son las expresiones que contienen operaciones de dos pasos entre paréntesis. Asociada con este tipo de expresión está la regla para el orden de las operaciones en expresiones que contienen todas las operaciones aritméticas y paréntesis: primero se realizan las acciones entre paréntesis, luego se realizan las operaciones de multiplicación y división, luego las operaciones de suma y resta.

Una entrada que consta de números, signos y paréntesis, y que también tiene significado, llamada expresión numérica.

Por ejemplo, las siguientes entradas:

• (100-32)/17,
• 2*4+7,
• 4*0.7 -3/5,
• 1/3 +5/7

serán expresiones numéricas. Debe entenderse que un número también será una expresión numérica. En nuestro ejemplo, este es el número 13.

Y, por ejemplo, las siguientes entradas

• 100 - *9,
• /32)343

no serán expresiones numéricas, ya que no tienen significado y son simplemente un conjunto de números y signos.

Valor de expresión numérica

Dado que los signos de las expresiones numéricas incluyen signos de operaciones aritméticas, podemos calcular el valor de una expresión numérica. Para ello, debes seguir estos pasos.

Por ejemplo,

(100-32)/17 = 4, es decir, para la expresión (100-32)/17, el valor de esta expresión numérica será el número 4.

2*4+7=15, el número 15 será el valor de la expresión numérica 2*4+7.

A menudo, en aras de la brevedad, las entradas no escriben el valor completo de una expresión numérica, sino que simplemente escriben "el valor de la expresión", omitiendo la palabra "numérico".

Igualdad numérica

Si dos expresiones numéricas se escriben usando un signo igual, entonces estas expresiones forman una igualdad numérica. Por ejemplo, la expresión 2*4+7=15 es una igualdad numérica.

Como se señaló anteriormente, las expresiones numéricas pueden usar paréntesis. Como ya sabes, los paréntesis afectan el orden de las acciones.

En general, todas las acciones se dividen en varias etapas.

• Acciones de la primera etapa: suma y resta.
• Operaciones de segunda etapa: multiplicación y división.
• Las acciones de la tercera etapa son elevar al cuadrado y al cubo.

Reglas para calcular los valores de expresiones numéricas.

Al calcular los valores de expresiones numéricas, se deben seguir las siguientes reglas.

• 1. Si la expresión no tiene corchetes, entonces debe realizar acciones comenzando desde los niveles más altos: tercera etapa, segunda etapa y primera etapa. Si hay varias acciones de la misma etapa, se realizan en el orden en que están escritas, es decir, de izquierda a derecha.
• 2. Si la expresión contiene paréntesis, las acciones entre paréntesis se realizan primero y solo entonces todas las demás acciones se realizan en el orden habitual. Al realizar acciones entre paréntesis, si hay varias, se debe utilizar el orden descrito en el párrafo 1.
• 3. Si la expresión es una fracción, primero se calculan los valores del numerador y del denominador y luego se divide el numerador por el denominador.
• 4. Si la expresión contiene corchetes anidados, las acciones deben realizarse desde los corchetes internos.

Expresiones numéricas y algebraicas. Conversión de expresiones.

¿Qué es una expresión en matemáticas? ¿Por qué necesitamos conversiones de expresiones?

La pregunta, como dicen, es interesante... El hecho es que estos conceptos son la base de todas las matemáticas. Todas las matemáticas se componen de expresiones y sus transformaciones. ¿No está muy claro? Déjame explicarte.

Digamos que tienes un mal ejemplo frente a ti. Muy grande y muy complejo. ¡Digamos que eres bueno en matemáticas y no tienes miedo de nada! ¿Puedes dar una respuesta de inmediato?

tendrás que decidir este ejemplo. Consistentemente, paso a paso, este ejemplo simplificar. Por ciertas reglas, naturalmente. Aquellos. hacer conversión de expresión. Cuanto más exitosamente lleves a cabo estas transformaciones, más fuerte serás en matemáticas. Si no sabes cómo hacer las transformaciones correctas, no podrás hacerlas en matemáticas. Nada...

Para evitar un futuro (o presente...) tan incómodo, no está de más entender este tema).

Primero, averigüemos ¿Qué es una expresión en matemáticas?. Qué ha pasado expresión numérica y que es expresión algebraica.

¿Qué es una expresión en matemáticas?

Expresión en matemáticas- Este es un concepto muy amplio. Casi todo lo que tratamos en matemáticas es un conjunto de expresiones matemáticas. Cualquier ejemplo, fórmula, fracción, ecuación, etc., todo consta de expresiones matemáticas.

3+2 es una expresión matemática. s 2 - d 2- Esta también es una expresión matemática. Tanto una fracción saludable como incluso un número son expresiones matemáticas. Por ejemplo, la ecuación es:

5x + 2 = 12

consta de dos expresiones matemáticas conectadas por un signo igual. Una expresión está a la izquierda y la otra a la derecha.

En general, el término " expresión matemática"Se utiliza, más a menudo, para evitar tararear. ¿Te preguntarán qué es una fracción ordinaria, por ejemplo? ¡¿Y cómo responder?!

Primera respuesta: "Esto es... mmmmmm... tal cosa... en la cual... ¿Puedo escribir mejor una fracción? ¿Cuál quieres?"

La segunda respuesta: “Una fracción ordinaria es (¡con alegría y alegría!) expresión matemática , que consta de un numerador y un denominador!"

La segunda opción será algo más impresionante, ¿verdad?)

Este es el propósito de la frase " expresión matemática "muy bien. Correcto y sólido. Pero por aplicación práctica es necesario estar bien versado en tipos específicos de expresiones en matemáticas .

El tipo específico es otra cuestión. Este ¡Es un asunto completamente diferente! Cada tipo de expresión matemática tiene mío un conjunto de reglas y técnicas que deben utilizarse al tomar una decisión. Para trabajar con fracciones: un juego. Para trabajar con expresiones trigonométricas: la segunda. Para trabajar con logaritmos: el tercero. Etcétera. En algún lugar estas reglas coinciden, en algún lugar difieren marcadamente. Pero no te asustes por estos palabras de miedo. Dominaremos logaritmos, trigonometría y otras cosas misteriosas en las secciones correspondientes.

Aquí dominaremos (o repetiremos, según quién...) dos tipos principales de expresiones matemáticas. Expresiones numéricas y expresiones algebraicas.

Expresiones numéricas.

Qué ha pasado expresión numérica? Este es un concepto muy simple. El nombre en sí insinúa que se trata de una expresión con números. Sí, así es. Una expresión matemática formada por números, paréntesis y símbolos aritméticos se llama expresión numérica.

7-3 es una expresión numérica.

(8+3.2) 5.4 también es una expresión numérica.

Y este monstruo:

también una expresión numérica, sí...

Un número ordinario, una fracción, cualquier ejemplo de cálculo sin X y otras letras: todas estas son expresiones numéricas.

signo principal numérico expresiones - en ella sin letras. Ninguno. Sólo números y símbolos matemáticos (si es necesario). Es simple, ¿verdad?

¿Y qué puedes hacer con las expresiones numéricas? Por lo general, las expresiones numéricas se pueden contar. Para hacer esto, sucede que hay que abrir los corchetes, cambiar los signos, abreviar, intercambiar términos, es decir, hacer conversiones de expresiones. Pero más sobre eso a continuación.

Aquí nos ocuparemos de un caso tan divertido cuando con una expresión numérica. no necesitas hacer nada. Bueno, ¡nada de nada! Esta agradable operación - no hacer nada)- se ejecuta cuando la expresión no tiene sentido.

¿Cuándo una expresión numérica no tiene sentido?

Está claro que si vemos algún tipo de abracadabra frente a nosotros, como

entonces no haremos nada. Porque no está claro qué hacer al respecto. Algún tipo de tontería. Tal vez cuente el número de ventajas...

Pero hay expresiones aparentemente bastante decentes. Por ejemplo este:

(2+3) : (16 - 2 8)

Sin embargo, esta expresión también no tiene sentido! Por la sencilla razón de que en el segundo paréntesis, si cuentas, obtienes cero. ¡Pero no puedes dividir por cero! Ésta es una operación prohibida en matemáticas. Por tanto, tampoco es necesario hacer nada con esta expresión. Para cualquier tarea con dicha expresión, la respuesta siempre será la misma: "¡La expresión no tiene significado!"

Para dar esa respuesta, por supuesto, tuve que calcular lo que estaría entre paréntesis. Y a veces hay muchas cosas entre paréntesis... Bueno, no hay nada que puedas hacer al respecto.

No hay tantas operaciones prohibidas en matemáticas. Solo hay uno en este tema. División por cero. Las restricciones adicionales que surgen en raíces y logaritmos se analizan en los temas correspondientes.

Entonces, una idea de lo que es. expresión numérica- recibió. Concepto la expresión numérica no tiene sentido- comprendió. Sigamos adelante.

Expresiones algebraicas.

Si aparecen letras en una expresión numérica, esta expresión se convierte en... La expresión se convierte en... ¡Sí! se vuelve expresión algebraica. Por ejemplo:

5a2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Este tipo de expresiones también se denominan expresiones literales. O expresiones con variables. Es prácticamente lo mismo. Expresión 5a+c, por ejemplo, tanto literal como algebraico, y una expresión con variables.

Concepto expresión algebraica - más amplio que numérico. Él incluye y todas las expresiones numéricas. Aquellos. una expresión numérica también es una expresión algebraica, solo que sin letras. Todo arenque es un pez, pero no todo pez es un arenque...)

Por qué alfabético- Está vacío. Bueno, ya que hay letras... Frase expresión con variables Tampoco es muy desconcertante. Si comprende que los números están ocultos debajo de las letras. Debajo de las letras se pueden ocultar todo tipo de números... Y 5, y -18, y lo que quieras. Es decir, una carta puede ser reemplazar para diferentes números. Por eso las letras se llaman variables.

en expresión y+5, Por ejemplo, en- valor variable. O simplemente dicen " variable", sin la palabra "magnitud". A diferencia de cinco, que es un valor constante. O simplemente - constante.

Término expresión algebraica significa que para trabajar con esta expresión es necesario utilizar leyes y reglas álgebra. Si aritmética funciona con números específicos, entonces álgebra- con todos los números a la vez. Un ejemplo sencillo para aclarar.

En aritmética podemos escribir que

Pero si escribimos tal igualdad mediante expresiones algebraicas:

a + b = b + a

decidiremos de inmediato Todo preguntas. Para todos los numeros de un solo golpe. Para todo numero infinito. Porque debajo de las letras A Y b implícito Todo números. Y no sólo números, sino también otras expresiones matemáticas. Así funciona el álgebra.

¿Cuándo una expresión algebraica no tiene sentido?

Todo sobre la expresión numérica está claro. Allí no puedes dividir por cero. Y con letras, ¿es posible saber entre qué dividimos?

Tomemos por ejemplo esta expresión con variables:

2: (A - 5)

¿Tiene sentido? ¿Quién sabe? A- cualquier número...

Cualquiera, cualquiera... Pero hay un significado. A, para lo cual esta expresión exactamente¡No tiene sentido! ¿Y cuál es este número? ¡Sí! ¡Esto es 5! Si la variable A reemplaza (dicen “sustituir”) con el número 5, entre paréntesis obtienes cero. Que no se puede dividir. Entonces resulta que nuestra expresión no tiene sentido, Si un = 5. Pero para otros valores A¿tiene sentido? ¿Puedes sustituir otros números?

Ciertamente. En tales casos simplemente dicen que la expresión

2: (A - 5)

tiene sentido para cualquier valor A, excepto a = 5 .

Todo el conjunto de números que Poder sustituir en una expresión dada se llama rango de valores aceptables esta expresión.

Como puedes ver, no hay nada complicado. Miremos la expresión con variables y averigüemos: ¿a qué valor de la variable se obtiene la operación prohibida (división por cero)?

Y luego asegúrese de mirar la pregunta de la tarea. ¿Qué están preguntando?

no tiene sentido, nuestro significado prohibido será la respuesta.

Si preguntas a qué valor de una variable la expresión tiene sentido(¡siente la diferencia!), la respuesta será todos los demás números excepto lo prohibido.

¿Por qué necesitamos el significado de la expresión? Él está ahí, él no está... ¡¿Cuál es la diferencia?! La cuestión es que este concepto cobra mucha importancia en la escuela secundaria. ¡Extremadamente importante! Ésta es la base de conceptos tan sólidos como el dominio de valores aceptables o el dominio de una función. Sin esto, no podrás resolver ecuaciones o desigualdades graves en absoluto. Como esto.

Conversión de expresiones. Transformaciones de identidad.

Nos presentaron expresiones numéricas y algebraicas. Entendimos lo que significa la frase “la expresión no tiene significado”. Ahora tenemos que descubrir qué es. Transformación de expresiones. La respuesta es simple, hasta el punto de la vergüenza). Esta es cualquier acción con una expresión. Eso es todo. Has estado haciendo estas transformaciones desde primer grado.

Tomemos la genial expresión numérica 3+5. ¿Cómo se puede convertir? ¡Sí, muy sencillo! Calcular:

Este cálculo será la transformación de la expresión. Puedes escribir la misma expresión de manera diferente:

Aquí no contamos nada de nada. Acabo de escribir la expresión. en una forma diferente. Esta también será una transformación de la expresión. Puedes escribirlo así:

Y esto también es una transformación de una expresión. Puedes realizar tantas transformaciones como quieras.

Cualquier acción sobre la expresión cualquier escribirlo de otra forma se llama transformar la expresión. Y eso es todo. Es muy sencillo. Pero hay una cosa aquí regla muy importante. Tan importante que se puede llamar con seguridad. regla principal todas las matemáticas. Rompiendo esta regla inevitablemente conduce a errores. ¿Estamos entrando en ello?)

Digamos que transformamos nuestra expresión al azar, así:

¿Conversión? Ciertamente. Escribimos la expresión en una forma diferente, ¿qué hay de malo aquí?

No es así.) La cuestión es que las transformaciones "al azar" no están interesados ​​en las matemáticas en absoluto.) Todas las matemáticas se basan en transformaciones en las que apariencia, pero la esencia de la expresión no cambia. Tres más cinco se pueden escribir de cualquier forma, pero debe ser ocho.

transformaciones, expresiones que no cambian la esencia son llamados idéntico.

Exactamente transformaciones de identidad y permitirnos, paso a paso, transformarnos ejemplo complejo en una expresión simple, manteniendo La esencia del ejemplo. Si nos equivocamos en la cadena de transformaciones, hacemos una transformación NO idéntica, entonces decidiremos otro ejemplo. Con otras respuestas que no están relacionadas con las correctas.)

Ésta es la regla principal para resolver cualquier problema: mantener la identidad de las transformaciones.

Di un ejemplo con la expresión numérica 3+5 para mayor claridad. EN expresiones algebraicas Transformaciones idénticas están dadas por fórmulas y reglas. Digamos que en álgebra hay una fórmula:

a(b+c) = ab + ac

Esto significa que en cualquier ejemplo podemos en lugar de la expresión a(b+c) siéntete libre de escribir una expresión ab + ca. Y viceversa. Este transformación idéntica. Las matemáticas nos permiten elegir entre estas dos expresiones. Y cuál escribir - de ejemplo concreto depende.

Otro ejemplo. Una de las transformaciones más importantes y necesarias es la propiedad básica de una fracción. Puedes consultar el enlace para obtener más detalles, pero aquí solo te recordaré la regla: Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican (dividen) por el mismo número, o una expresión que no es igual a cero, la fracción no cambiará. A continuación se muestra un ejemplo de transformaciones de identidad que utilizan esta propiedad:

Como probablemente habrás adivinado, esta cadena puede continuar indefinidamente...) Una propiedad muy importante. Esto es lo que te permite convertir todo tipo de monstruos de ejemplo en blancos y esponjosos).

Hay muchas fórmulas que definen transformaciones idénticas. Pero los más importantes son un número bastante razonable. Una de las transformaciones básicas es la factorización. Se utiliza en todas las matemáticas, desde elemental hasta avanzada. Empecemos por él. En la próxima lección.)

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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Este artículo analiza cómo encontrar los valores de expresiones matemáticas. Comencemos con expresiones numéricas simples y luego consideremos los casos a medida que aumenta su complejidad. Al final presentamos una expresión que contiene símbolos de letras, paréntesis, raíces, símbolos matemáticos especiales, potencias, funciones, etc. Como es tradición, proporcionaremos toda la teoría con ejemplos abundantes y detallados.

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¿Cómo encontrar el valor de una expresión numérica?

Las expresiones numéricas, entre otras cosas, ayudan a describir la condición de un problema en lenguaje matemático. En general, las expresiones matemáticas pueden ser muy simples, que constan de un par de números y símbolos aritméticos, o muy complejas, que contienen funciones, potencias, raíces, paréntesis, etc. Como parte de una tarea, a menudo es necesario encontrar el significado de una expresión concreta. Cómo hacer esto se discutirá a continuación.

Los casos más simples

Estos son casos en los que la expresión no contiene más que números y operaciones aritméticas. Para encontrar con éxito los valores de tales expresiones, necesitará conocimiento del orden de realización de operaciones aritméticas sin paréntesis, así como la capacidad de realizar operaciones con varios números.

Si la expresión contiene solo números y signos aritméticos " + " , " · " , " - " , " ÷ " , entonces las acciones se realizan de izquierda a derecha en el siguiente orden: primero multiplicación y división, luego suma y resta. Pongamos ejemplos.

Ejemplo 1: el valor de una expresión numérica

Sea necesario encontrar los valores de la expresión 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Primero hagamos la multiplicación y la división. Obtenemos:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Ahora realizamos la resta y obtenemos el resultado final:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Ejemplo 2: el valor de una expresión numérica

Calculemos: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Primero realizamos conversión, división y multiplicación de fracciones:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Ahora hagamos algunas sumas y restas. Agrupemos las fracciones y llevémoslas a un denominador común:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Se ha encontrado el valor requerido.

Expresiones entre paréntesis

Si una expresión contiene paréntesis, definen el orden de las operaciones en esa expresión. Primero se realizan las acciones entre paréntesis y luego todas las demás. Demostremos esto con un ejemplo.

Ejemplo 3: el valor de una expresión numérica

Encontremos el valor de la expresión 0,5 · (0,76 - 0,06).

La expresión contiene paréntesis, por lo que primero realizamos la operación de resta entre paréntesis y solo luego la multiplicación.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

El significado de las expresiones que contienen paréntesis dentro de paréntesis se encuentra según el mismo principio.

Ejemplo 4: el valor de una expresión numérica

Calculemos el valor 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.

Realizaremos acciones comenzando desde los corchetes más internos, pasando a los externos.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Al encontrar el significado de expresiones entre paréntesis, lo principal es seguir la secuencia de acciones.

Expresiones con raíces

Las expresiones matemáticas cuyos valores necesitamos encontrar pueden contener signos raíz. Además, la expresión en sí puede estar bajo el signo raíz. ¿Qué hacer en este caso? Primero debe encontrar el valor de la expresión debajo de la raíz y luego extraer la raíz del número obtenido como resultado. Si es posible, es mejor deshacerse de las raíces en expresiones numéricas, reemplazándolas con valores numéricos.

Ejemplo 5: el valor de una expresión numérica

Calculemos el valor de la expresión con raíces - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Primero, calculamos las expresiones radicales.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Ahora puedes calcular el valor de la expresión completa.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

A menudo, encontrar el significado de una expresión con raíces requiere primero transformar la expresión original. Expliquemos esto con un ejemplo más.

Ejemplo 6: el valor de una expresión numérica

¿Cuánto es 3 + 1 3 - 1 - 1?

Como puede ver, no tenemos la oportunidad de reemplazar la raíz con un valor exacto, lo que complica el proceso de conteo. Sin embargo, en en este caso puedes aplicar la fórmula de multiplicación abreviada.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

De este modo:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Expresiones con poderes

Si una expresión contiene potencias, sus valores deben calcularse antes de continuar con todas las demás acciones. Sucede que el exponente o la base del grado en sí son expresiones. En este caso, primero se calcula el valor de estas expresiones y luego el valor del grado.

Ejemplo 7: el valor de una expresión numérica

Encontremos el valor de la expresión 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Empecemos a calcular en orden.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Solo queda realizar la operación de suma y averiguar el significado de la expresión:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

También suele ser aconsejable simplificar una expresión utilizando las propiedades de un grado.

Ejemplo 8: el valor de una expresión numérica

Calculemos el valor de la siguiente expresión: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Los exponentes son nuevamente tales que no se pueden obtener sus valores numéricos exactos. Simplifiquemos la expresión original para encontrar su valor.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Expresiones con fracciones

Si una expresión contiene fracciones, al calcular dicha expresión, todas las fracciones que contiene deben representarse como fracciones ordinarias y calcularse sus valores.

Si el numerador y el denominador de una fracción contienen expresiones, primero se calculan los valores de estas expresiones y se anota el valor final de la fracción. Las operaciones aritméticas se realizan en el orden estándar. Veamos la solución de ejemplo.

Ejemplo 9: el valor de una expresión numérica

Encontremos el valor de la expresión que contiene fracciones: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Como puedes ver, hay tres fracciones en la expresión original. Primero calculemos sus valores.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Reescribamos nuestra expresión y calculemos su valor:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

A menudo, a la hora de encontrar el significado de expresiones, conviene reducir fracciones. Hay una regla tácita: antes de encontrar su valor, lo mejor es simplificar al máximo cualquier expresión, reduciendo todos los cálculos a los casos más simples.

Ejemplo 10: El valor de una expresión numérica

Calculemos la expresión 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

No podemos extraer completamente la raíz de cinco, pero podemos simplificar la expresión original mediante transformaciones.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

La expresión original toma la forma:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Calculemos el valor de esta expresión:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Expresiones con logaritmos

Cuando hay logaritmos en una expresión, su valor se calcula desde el principio, si es posible. Por ejemplo, en la expresión log 2 4 + 2 · 4, puedes escribir inmediatamente el valor de este logaritmo en lugar de log 2 4 y luego realizar todas las acciones. Obtenemos: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Las expresiones numéricas también se pueden encontrar bajo el propio signo del logaritmo y en su base. En este caso, lo primero que hay que hacer es encontrar sus significados. Tomemos la expresión log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Tenemos:

registro 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = registro 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Si es imposible calcular el valor exacto del logaritmo, simplificar la expresión ayuda a encontrar su valor.

Ejemplo 11: El valor de una expresión numérica

Encontremos el valor de la expresión log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

Iniciar sesión 2 Iniciar sesión 2 256 = Iniciar sesión 2 8 = 3 .

Por la propiedad de los logaritmos:

registro 6 2 + registro 6 3 = registro 6 (2 3) = registro 6 6 = 1.

Usando nuevamente las propiedades de los logaritmos, para la última fracción de la expresión obtenemos:

registro 5 729 registro 0, 2 27 = registro 5 729 registro 1 5 27 = registro 5 729 - registro 5 27 = - registro 27 729 = - registro 27 27 2 = - 2.

Ahora puedes proceder a calcular el valor de la expresión original.

registro 2 registro 2 256 + registro 6 2 + registro 6 3 + registro 5 729 registro 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Expresiones con funciones trigonométricas.

Sucede que la expresión contiene las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente y cotangente, así como sus funciones inversas. El valor se calcula antes de que se realicen todas las demás operaciones aritméticas. En caso contrario, la expresión se simplifica.

Ejemplo 12: El valor de una expresión numérica

Encuentra el valor de la expresión: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Primero, calculamos los valores de las funciones trigonométricas incluidas en la expresión.

pecado - 5 π 2 = - 1

Sustituimos los valores en la expresión y calculamos su valor:

t g 2 4 π 3 - pecado - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

Se ha encontrado el valor de la expresión.

A menudo, para encontrar el significado de una expresión con funciones trigonométricas, primero debe convertirse. Expliquemos con un ejemplo.

Ejemplo 13: El valor de una expresión numérica

Necesitamos encontrar el valor de la expresión cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Para la conversión utilizaremos las fórmulas trigonométricas del coseno del ángulo doble y del coseno de la suma.

cos 2 π 8 - sen 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sen 5 π 36 sen π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Caso general de una expresión numérica.

En general, una expresión trigonométrica puede contener todos los elementos descritos anteriormente: paréntesis, potencias, raíces, logaritmos, funciones. formulemos regla general encontrar el significado de tales expresiones.

Cómo encontrar el valor de una expresión.

1. Raíces, potencias, logaritmos, etc. son reemplazados por sus valores.
2. Se realizan las acciones entre paréntesis.
3. El resto de acciones se realizan en orden de izquierda a derecha. Primero, multiplicación y división, luego suma y resta.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo 14: El valor de una expresión numérica

Calculemos el valor de la expresión - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

La expresión es bastante compleja y engorrosa. No es casualidad que elegimos un ejemplo así, tratando de incluir en él todos los casos descritos anteriormente. ¿Cómo encontrar el significado de tal expresión?

Se sabe que al calcular el valor de una forma fraccionaria compleja, los valores del numerador y denominador de la fracción primero se encuentran por separado, respectivamente. Transformaremos y simplificaremos secuencialmente esta expresión.

En primer lugar, calculemos el valor de la expresión radical 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Para hacer esto, necesitas encontrar el valor del seno y la expresión que es el argumento de la función trigonométrica.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Ahora puedes averiguar el valor del seno:

pecado π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = pecado π 6 + 2 π = pecado π 6 = 1 2.

Calculamos el valor de la expresión radical:

2 pecado π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · pecado π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Con el denominador de la fracción todo es más sencillo:

Ahora podemos escribir el valor de la fracción entera:

2 · pecado π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

Teniendo esto en cuenta, escribimos la expresión completa:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Resultado final:

2 · pecado π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

En este caso pudimos calcular valores exactos raíces, logaritmos, senos, etc. Si esto no es posible, puedes intentar deshacerte de ellos mediante transformaciones matemáticas.

Calcular valores de expresión usando métodos racionales.

Los valores numéricos deben calcularse de forma coherente y precisa. Este proceso se puede racionalizar y acelerar utilizando varias propiedades de las operaciones con números. Por ejemplo, se sabe que un producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Teniendo en cuenta esta propiedad, podemos decir inmediatamente que la expresión 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 es igual a cero. Al mismo tiempo, no es necesario realizar las acciones en el orden descrito en el artículo anterior.

También es conveniente utilizar la propiedad de restar números iguales. Sin realizar ninguna acción, puedes ordenar que el valor de la expresión 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 también sea cero.

Otra técnica para acelerar el proceso es el uso de transformaciones de identidad, como agrupar términos y factores y colocar el factor común entre paréntesis. Enfoque racional al cálculo de expresiones con fracciones: reducción de expresiones idénticas en el numerador y denominador.

Por ejemplo, tome la expresión 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Sin realizar las operaciones entre paréntesis, pero reduciendo la fracción, podemos decir que el valor de la expresión es 1 3.

Encontrar los valores de expresiones con variables.

El valor de una expresión literal y una expresión con variables se encuentra para valores dados específicos de letras y variables.

Encontrar los valores de expresiones con variables.

Para encontrar el valor de una expresión literal y una expresión con variables, debe sustituir los valores dados de letras y variables en la expresión original y luego calcular el valor de la expresión numérica resultante.

Ejemplo 15: Valor de una expresión con variables

Calcula el valor de la expresión 0, 5 x - y dado x = 2, 4 e y = 5.

Sustituimos los valores de las variables en la expresión y calculamos:

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

A veces puedes transformar una expresión para obtener su valor independientemente de los valores de las letras y variables incluidas en ella. Para hacer esto, debe deshacerse de letras y variables en la expresión, si es posible, utilizando transformaciones idénticas, propiedades de operaciones aritméticas y todos los demás métodos posibles.

Por ejemplo, la expresión x + 3 - x obviamente tiene el valor 3, y para calcular este valor no es necesario conocer el valor de la variable x. El valor de esta expresión es igual a tres para todos los valores de la variable x de su rango de valores permitidos.

Otro ejemplo. El valor de la expresión x x es igual a uno para todas las x positivas.

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