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El sitio ya ha analizado algunos tipos de problemas de estereometría, que se incluyen en un único banco de tareas para el examen de matemáticas.Por ejemplo, tareas sobre .
Un prisma se llama regular si sus lados son perpendiculares a las bases y en las bases se encuentra un polígono regular. Es decir, un prisma regular es un prisma recto que tiene un polígono regular en su base.
Un prisma hexagonal regular tiene un hexágono regular en la base, las caras laterales son rectángulos.
En este artículo encontrarás problemas para resolver un prisma cuya base es un hexágono regular.. No hay características especiales ni dificultades en la solución.¿Cuál es el punto? Dado un prisma hexagonal regular, debes calcular la distancia entre dos vértices o encontrar un ángulo determinado. Los problemas son realmente simples; al final, la solución se reduce a encontrar un elemento en un triángulo rectángulo.
Se utiliza el teorema de Pitágoras y. Se requiere conocimiento de las definiciones. funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Asegúrate de mirar la información sobre el hexágono regular en.También necesitarás la habilidad de extraer una gran cantidad de ellos. Puedes resolver poliedros, también calcularon la distancia entre vértices y ángulos.
Brevemente: ¿qué es un hexágono regular?
Se sabe que en un hexágono regular los lados son iguales. Además, los ángulos entre los lados también son iguales..
*Los lados opuestos son paralelos.
Información adicional
El radio de una circunferencia circunscrita a un hexágono regular es igual a su lado. *Esto se confirma de forma muy sencilla: si unimos los vértices opuestos de un hexágono, obtenemos seis triángulos equiláteros iguales. ¿Por qué equilátero?
Cada triángulo tiene un ángulo con su vértice en el centro igual a 60 0 (360:6=60). Dado que dos lados de un triángulo que tienen un vértice común en el centro son iguales (estos son los radios del círculo circunscrito), entonces cada ángulo en la base de dicho triángulo triangulo isósceles también es igual a 60 grados.
Es decir, un hexágono regular, en sentido figurado, consta de seis triángulos equiláteros iguales.
¿Qué otro dato cabe señalar que sea útil para resolver problemas? El ángulo del vértice de un hexágono (el ángulo entre sus lados adyacentes) es de 120 grados.
*Deliberadamente no tocamos las fórmulas para un N-gon normal. Consideraremos estas fórmulas en detalle en el futuro; simplemente no son necesarias aquí.
Consideremos las tareas:
272533. En un prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 todas las aristas son iguales 48. Calcula la distancia entre los puntos A y E 1.
consideremos triangulo rectángulo AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO. 1 mi 1 . Según el teorema de Pitágoras:
*El ángulo entre los lados de un hexágono regular es de 120 grados.
Sección AE 1 es la hipotenusa, AA 1 y A 1 mi 1 piernas. Costilla AA 1 lo sabemos. Catet A 1 mi 1 podemos encontrar usando usando .
Teorema: El cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus otros dos lados sin el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo entre ellos.
Por eso
Según el teorema de Pitágoras:
Respuesta: 96
*Ten en cuenta que no es necesario elevar al cuadrado 48.
En un prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 todas las aristas miden 35. Calcula la distancia entre los puntos B y E.
Se dice que todas las aristas son iguales a 35, es decir, el lado del hexágono que se encuentra en la base es igual a 35. Y además, como ya se dijo, el radio del círculo descrito a su alrededor es igual al mismo número.
De este modo,
Respuesta: 70
273353. En un prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 todas las aristas son iguales a cuarenta raíces de cinco. Encuentra la distancia entre puntos. B y E 1.
Considere el triángulo rectángulo BB 1 mi 1 . Según el teorema de Pitágoras:
Segmento B 1 E 1 es igual a dos radios del círculo circunscrito alrededor de un hexágono regular, y su radio es igual al lado del hexágono, es decir
De este modo,
Respuesta: 200
273683. En un prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 todas las aristas son iguales a 45. Encuentra la tangente del ángulo AD 1 D.
Considere un triángulo rectángulo SUMA 1 en el que ANUNCIO igual al diámetro de un círculo circunscrito alrededor de la base. Se sabe que el radio de un círculo circunscrito a un hexágono regular es igual a su lado.
De este modo,
Respuesta: 2
En un prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 todas las aristas son iguales 23. Encuentra el ángulo LENGUADO. Da tu respuesta en grados.
Consideremos un hexágono regular:
En él, los ángulos entre los lados son de 120°. Medio,
La longitud del borde en sí no importa; no afecta el ángulo.
Respuesta: 60
En un prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 todas las aristas son iguales a 10. Encuentra el ángulo AC 1 C. Da la respuesta en grados.
Considere el triángulo rectángulo AC 1 C:
encontremos C.A.. En un hexágono regular, los ángulos entre sus lados son iguales a 120 grados, luego, según el teorema del coseno para un triánguloabecedario:
De este modo,
Entonces el ángulo AC 1 C es igual a 60 grados.
Respuesta: 60
274453. En un prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 todas las aristas son iguales a 10. Encuentra el ángulo AC 1 C. Da la respuesta en grados.
Prisma hexagonal regular- un prisma, en cuyas bases hay dos hexágonos regulares, y todas las caras laterales son estrictamente perpendiculares a estas bases.
- A B C D E F A1 B1 do1 D1 mi1 F1 - prisma hexagonal regular
- a- longitud del lado de la base del prisma
- h- longitud costilla lateral prismas
- Sprincipal- área de la base del prisma
- Slado .- área de la cara lateral del prisma
- Slleno- cuadrado superficie completa prismas
- Vprismas- volumen del prisma
Área base del prisma
En las bases del prisma hay hexágonos regulares con lados a. Según las propiedades de un hexágono regular, el área de las bases del prisma es igual a
Por aquí
Sprincipal= 3 3 √ 2 ⋅ a2
Así resulta que SA B C D E F= SA1 B1 do1 D1 mi1 F1 = 3 3 √ 2 ⋅ a2
Superficie total del prisma
El área superficial total de un prisma es la suma de las áreas de las caras laterales del prisma y las áreas de sus bases. Cada una de las caras laterales del prisma es un rectángulo de lados a Y h. Por tanto, según las propiedades del rectángulo.
S
lado .= un ⋅ hUn prisma tiene seis caras laterales y dos bases, por lo tanto su área superficial total es igual a
Slleno= 6 ⋅ Slado .+ 2 ⋅ Sprincipal= 6 ⋅ una ⋅ h + 2 ⋅ 3 3 √ 2 ⋅ a2
Volumen del prisma
El volumen de un prisma se calcula como el producto del área de su base por su altura. La altura de un prisma regular es cualquiera de sus aristas laterales, por ejemplo, la arista A A1 . En la base de lo correcto prisma hexagonal hay un hexágono regular cuya área conocemos. obtenemos
Vprismas= Sprincipal⋅A A1 = 3 3 √ 2 ⋅ a2 ⋅h
Hexágono regular en las bases del prisma
Consideremos el hexágono regular ABCDEF que se encuentra en la base del prisma.
Dibujamos los segmentos AD, BE y CF. Sea la intersección de estos segmentos el punto O.
Según las propiedades de un hexágono regular, los triángulos AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA son triángulos regulares. Resulta que
A O = O D = E O = O B = C O = O F = a
Dibujamos un segmento AE que se cruza con un segmento CF en el punto M. El triángulo AEO es isósceles, en él A O = O E = a , ∠ E O A = 120 ∘ . Según las propiedades de un triángulo isósceles.
UN mi = un ⋅ 2 (1 − porque E O A )− − − − − − − − − − − − √ = 3 √ ⋅a
De la misma manera llegamos a la conclusión de que UN C = C E = 3 √ ⋅a, F M = M O = 1 2 ⋅a.
encontramos mi A1
en un trianguloAE A1 :
- A A1 =h
- A E = 3 √ ⋅a- como acabamos de descubrir
- ∠ E A A1 = 90 ∘
AE A1
mi A1 = A A2 1 +A mi2 − − − − − − − − − − √ = h2 + 3 ⋅ a2 − − − − − − − − √
Si h = un, entonces mi A1 = 2 ⋅ un
F B1
= Un do1
=B D1
=C mi1
=D F1
=
h2
+
3
⋅
a2
−
−
−
−
−
−
−
−
√
.
en un triangulo SER B1 :
- B B1 =h
- segundo mi = 2 ⋅ a- porque E O = O B = a
- ∠ EB B1 = 90 ∘ - según las propiedades de la rectitud correcta
Por tanto, resulta que el triángulo SER B1 rectangular. Según las propiedades de un triángulo rectángulo.
mi B1 = B B2 1 +B mi2 − − − − − − − − − − √ = h2 + 4 ⋅ a2 − − − − − − − − √
Si h = un, entonces
mi B1 = 5 √ ⋅a
Después de un razonamiento similar obtenemos que F do1
= Un D1
=B mi1
=C F1
=D A1
=
h2
+
4
⋅
a2
−
−
−
−
−
−
−
−
√
.
encontramos oh F1
en un triangulo F O F1 :
- F F1 =h
- F O = a
- ∠ O F F1 = 90 ∘ - según las propiedades de un prisma regular
Por tanto, resulta que el triángulo F O F1 rectangular. Según las propiedades de un triángulo rectángulo.
oh F1 = F F2 1 +O F2 − − − − − − − − − − √ = h2 + a2 − − − − − − √
Si h = un, entonces
De cada vértice de un prisma, por ejemplo del vértice A 1 (Fig.), se pueden trazar tres diagonales (A 1 E, A 1 D, A 1 C).
Se proyectan sobre el plano ABCDEF por las diagonales de la base (AE, AD, AC). De los inclinados A 1 E, A 1 D, A 1 C, el más grande es el que tiene mayor proyección. En consecuencia, la mayor de las tres diagonales tomadas es A 1 D (en el prisma también hay diagonales iguales a A 1 D, pero no las hay más grandes).
Del triángulo A 1 AD, donde ∠DA 1 A = α
y A 1 D = d
, encontramos H=AA 1 = d
porque α
,
anuncio= d
pecado α
.
El área de un triángulo equilátero AOB es igual a 1/4 AO 2 √3. Por eso,
S ocn. = 6 1/4 AO 2 √3 = 6 1/4 (AD/2) 2 √3.
Volumen V = S H = 3√ 3 / 8 AD 2 AA 1
Respuesta: 3√ 3/8 d 3 pecado 2 α porque α .
Comentario . Para representar un hexágono regular (la base de un prisma), puedes construir un paralelogramo arbitrario BCDO. Disponiendo los segmentos OA = OD, OF = OC y OE = OB en las continuaciones de las rectas DO, CO, BO, obtenemos el hexágono ABCDEF. El punto O representa el centro.
