En esta lección daremos una definición estricta de monomio, considere varios ejemplos del libro de texto. Recordemos las reglas para multiplicar potencias con las mismas bases. Definamos la forma estándar de un monomio, el coeficiente del monomio y su parte alfabética. Consideremos dos operaciones típicas principales con monomios, a saber, la reducción a una forma estándar y el cálculo de un valor numérico específico de un monomio para valores dados de las variables literales incluidas en él. Formulemos una regla para reducir un monomio a su forma estándar. Aprendamos a resolver tareas tipicas con cualquier monomio.
Sujeto:Monomios. Operaciones aritméticas sobre monomios
Lección:El concepto de monomio. Forma estándar de monomio
Considere algunos ejemplos:
3. 
;
encontraremos características comunes para las expresiones dadas. En los tres casos, la expresión es el producto de números y variables elevados a una potencia. En base a esto damos definición de monomio : un monomio se llama algo como esto expresión algebraica, que consiste en el producto de potencias y números.
Ahora damos ejemplos de expresiones que no son monomios:
Encontremos la diferencia entre estas expresiones y las anteriores. Consiste en que en los ejemplos 4-7 hay operaciones de suma, resta o división, mientras que en los ejemplos 1-3, que son monomios, no existen estas operaciones.
Aquí hay algunos ejemplos más:
La expresión número 8 es un monomio porque es producto de una potencia y un número, mientras que el ejemplo 9 no es un monomio.
Ahora averigüemos acciones sobre monomios .
1. Simplificación. Veamos el ejemplo número 3. ;y ejemplo No. 2 /
En el segundo ejemplo vemos solo un coeficiente - , cada variable ocurre solo una vez, es decir, la variable " A"se representa en una sola copia como "", de manera similar, las variables "" y "" aparecen solo una vez.
En el ejemplo No. 3, por el contrario, hay dos coeficientes diferentes - y , vemos la variable "" dos veces - como "" y como "", de manera similar, la variable "" aparece dos veces. Es decir, esta expresión debe simplificarse, así llegamos a La primera acción realizada sobre monomios es reducir el monomio a su forma estándar. . Para hacer esto, reduciremos la expresión del Ejemplo 3 a la forma estándar, luego definiremos esta operación y aprenderemos cómo reducir cualquier monomio a la forma estándar.
Entonces, considere un ejemplo:
La primera acción en la operación de reducción a forma estándar es siempre multiplicar todos los factores numéricos:
;
El resultado de esta acción se llamará coeficiente del monomio .
Luego necesitas multiplicar las potencias. Multipliquemos las potencias de la variable " incógnita"según la regla de multiplicación de potencias con las mismas bases, que establece que al multiplicar se suman los exponentes:
Ahora multipliquemos las potencias " en»:
;
Entonces, aquí hay una expresión simplificada:
;
Cualquier monomio se puede reducir a su forma estándar. formulemos regla de estandarización :
Multiplica todos los factores numéricos;
Coloque el coeficiente resultante en primer lugar;
Multiplique todos los grados, es decir, obtenga la parte de la letra;
Es decir, cualquier monomio se caracteriza por un coeficiente y una parte con letras. De cara al futuro, observamos que los monomios que tienen la misma parte de letras se denominan similares.
Ahora tenemos que hacer ejercicio Técnica para reducir monomios a su forma estándar. . Considere ejemplos del libro de texto:
Tarea: llevar el monomio a la forma estándar, nombrar el coeficiente y la parte de la letra.
Para completar la tarea, usaremos la regla para reducir un monomio a una forma estándar y las propiedades de las potencias.
1. 
;
3. 
;
Comentarios sobre el primer ejemplo.: Primero, determinemos si esta expresión es realmente un monomio; para ello, comprobemos si contiene operaciones de multiplicación de números y potencias y si contiene operaciones de suma, resta o división. Podemos decir que esta expresión es un monomio ya que se cumple la condición anterior. A continuación, de acuerdo con la regla para reducir un monomio a una forma estándar, multiplicamos los factores numéricos:
- encontramos el coeficiente de un monomio dado;
; ; ; es decir, se obtiene la parte literal de la expresión:;
Anotemos la respuesta: ;
Comentarios sobre el segundo ejemplo.: Siguiendo la regla realizamos:
1) multiplicar factores numéricos:
2) multiplica las potencias:
Las variables se presentan en una sola copia, es decir, no se pueden multiplicar por nada, se reescriben sin cambios, se multiplica el grado:
Anotemos la respuesta:
;
EN en este ejemplo el coeficiente del monomio es igual a uno y la parte de las letras es .
Comentarios sobre el tercer ejemplo: a De manera similar a los ejemplos anteriores, realizamos las siguientes acciones:
1) multiplicar factores numéricos:
;
2) multiplica las potencias:
;
Anotemos la respuesta: ;
EN en este caso el coeficiente del monomio es "", y la parte literal 
.
Ahora consideremos segunda operación estándar sobre monomios . Dado que un monomio es una expresión algebraica que consta de variables literales que pueden tomar valores numéricos específicos, tenemos la aritmética expresión numérica, que debe calcularse. Es decir, la siguiente operación con polinomios es calcular su valor numérico específico .
Veamos un ejemplo. Monomio dado:
este monomio ya ha sido reducido a su forma estándar, su coeficiente es igual a uno y la parte de la letra
Antes dijimos que una expresión algebraica no siempre se puede calcular, es decir, las variables que en ella se incluyen no pueden tomar ningún valor. En el caso de un monomio, las variables incluidas en él pueden ser cualquiera; esta es una característica del monomio.
Entonces, en ejemplo dado se requiere calcular el valor del monomio en , , , .
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¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si está interesado en este trabajo, descargue la versión completa.
Tipo de lección: integrado (con TIC), lección de introducción de nuevos conocimientos.
Metas y objetivos (álgebra): introducir el concepto de monomio; grado de monomio; forma estándar de monomio. Enseñe a los estudiantes a reducir monomios a su forma estándar. Continuar desarrollando habilidades en la realización de acciones con títulos. Mejorar las habilidades informáticas de los estudiantes. Desarrollar la atención y la precisión.
Metas y objetivos (TIC): enseñar a usar en actividades practicas editor de fórmulas integrado en MS Office Word; desarrollar una habilidad trabajo independiente.
Materiales utilizados en la lección: presentación, clase de computación con paquete instalado MS Office (Word), notas de referencia trabajo practico, tarjetas de tareas para trabajo independiente, instalación multimedia.
Progreso de la lección
I. Momento organizacional.
Saludo a los estudiantes.
II. Ejercicios orales.
(deslice en la pantalla2).
- Presente como potencia: y 3 *y 2 ; (y 3) 5 ; y7 *y3 ; (y 7) 4 ; un 10 / un 8 .
- ¿Qué número (positivo o negativo) es el valor de la expresión: (-8) 10 ; (-5) 27 ; 7 5 ; -2 8 ; -(-1) 7 .
- Calcular: (3*2) 2 -3*2 2 ; (-3) 8/3 7 .
III. Aprender material nuevo.
Informar el tema de la lección y las metas y objetivos de la lección (diapositiva 3,4).
6*x 2 *y; 2*x3 ; minuto 7; ab; -8 (diapositiva 5)
- Lea las expresiones escritas en la pizarra.
- ¿Qué representan estas expresiones?
Las expresiones de este tipo se llaman monomios.
DEFINICIÓN: Un monomio es el producto de números y variables, potencias de variables, o un número, variable, potencia de una variable.
Mire atentamente la pantalla (diapositiva 7). ¿Cuáles de las siguientes expresiones son monomios? ¿Por qué?
IV. Consolidación de nuevo material.
No. 463 – independientemente. Control frontal. (Diapositiva 8).
V. Aprender material nuevo.
Déjame tener monomios
2x 2 y*9y 2 y 8x*9xy (diapositiva 9)
Usemos las leyes conmutativa y asociativa de la multiplicación. Obtenemos:
2*9*x 2 *y*y 2 =18x 2 y 3 y 8*9*x*x*y=72x 2 y.
- ¿Qué obtuvimos?
- ¿Qué representa?
Representamos el monomio como el producto del factor numérico en primer lugar y las potencias de varias variables. Este tipo de monomio se llama forma estándar.
- ¿Qué monomio se llama monomio de forma estándar?
DEFINICIÓN: un monomio se llama monomio de forma estándar si tiene 1 factor numérico en primer lugar (coeficiente), el producto de variables idénticas en él se escribe como una potencia.
Lee los monomios que están escritos en forma estándar. Nombra sus coeficientes.
VI. Consolidación de nuevo material.
No. 464 - oralmente, No. 465 - bajo la dirección de un maestro.
VII. Una tarea realizada en un ordenador (trabajo práctico).
Programa MS Word. Editor de fórmulas incorporado. Usando el editor de fórmulas incorporado para escribir monomios. Archivo "Vista estándar de un monomio" en el escritorio. Complete la tabla preparada usando el editor de fórmulas incorporado.
Completa la tabla. (Diapositiva 15)
Verifique - en la pantalla (diapositiva 16) y los archivos guardados de los estudiantes.
VIII. Aprender material nuevo.
- ¿Qué está escrito en la pizarra?
- ¿Cuál es el exponente de la variable X?
- ¿Cuál es el exponente de la variable Y?
- Encuentra la suma de los exponentes. este numero se llama grado monomio.
En la página 84 del libro de texto, encuentre la definición del grado de un monomio. Léelo.
IX. Consolidando nuevo material.
núm. 473 – oralmente;
No. 467 (a; d) - comentó en la pizarra.
X. Trabajo independiente.
En la pantalla según las opciones (diapositiva 19). (Cada alumno tiene una hoja de papel en su escritorio con la tarea para completar el trabajo - Apéndice 2)
Check – autotest con grabación (diapositiva 20 en la pantalla).
XI. Resumiendo.
- ¿Qué es un monomio?
- ¿Qué tipo de monomio se llama monomio estándar?
- ¿Cuál es el grado de un monomio?
XII. Tarea.
Pág.19, núm. 466, 468, 476, 470.
¡Gracias por la lección! (diapositiva 23)
Lista de literatura usada:
- Álgebra. 7mo grado: libro de texto para instituciones educativas / [Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorov]; editado por S.A. Telyakovsky. - M.: Educación, 2007.
Potencia de un monomio
Para un monomio existe el concepto de su grado. Averigüemos qué es.
Definición.
Potencia de un monomio la forma estándar es la suma de los exponentes de todas las variables incluidas en su registro; si no hay variables en la notación de un monomio y es diferente de cero, entonces su grado se considera igual a cero; el número cero se considera un monomio cuyo grado no está definido.
Determinar el grado de un monomio le permite dar ejemplos. El grado del monomio a es igual a uno, ya que a es un 1. La potencia del monomio 5 es cero, ya que es distinto de cero y su notación no contiene variables. Y el producto 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 es un monomio de octavo grado, ya que la suma de los exponentes de todas las variables a, x e y es igual a 2+1+3+2=8.
Por cierto, el grado de un monomio no escrito en forma estándar es igual al grado del monomio correspondiente en forma estándar. Para ilustrar esto, calculemos el grado del monomio. 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Este monomio en forma estándar tiene la forma −6·x 8 ·y 4, su grado es 8+4=12. Por tanto, el grado del monomio original es 12.
Coeficiente monomio
Un monomio en forma estándar, que tiene al menos una variable en su notación, es un producto con un único factor numérico: un coeficiente numérico. Este coeficiente se llama coeficiente monomio. Formulemos los argumentos anteriores en forma de definición.
Definición.
Coeficiente monomio es el factor numérico de un monomio escrito en forma estándar.
Ahora podemos dar ejemplos de coeficientes de varios monomios. El número 5 es el coeficiente del monomio 5·a 3 por definición, de manera similar el monomio (−2,3)·x·y·z tiene un coeficiente de −2,3.
Especial atención merecen los coeficientes de los monomios, iguales a 1 y −1. La cuestión aquí es que, por lo general, no están presentes explícitamente en la grabación. Se cree que el coeficiente de los monomios en forma estándar que no tienen un factor numérico en su notación es igual a uno. Por ejemplo, monomios a, x·z 3, a·t·x, etc. tener un coeficiente de 1, ya que a puede considerarse como 1·a, x·z 3 - como 1·x·z 3, etc.
De manera similar, el coeficiente de monomios, cuyas entradas en forma estándar no tienen un factor numérico y comienzan con un signo menos, se considera menos uno. Por ejemplo, monomios −x, −x 3 y z 3, etc. tener un coeficiente −1, ya que −x=(−1) x, −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 etc.
Por cierto, el concepto de coeficiente de monomio a menudo se denomina monomios de forma estándar, que son números sin factores de letras. Los coeficientes de dichos números monomios se consideran estos números. Entonces, por ejemplo, el coeficiente del monomio 7 se considera igual a 7.
Referencias.
- Álgebra: libro de texto para 7mo grado educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 17ª edición. - M.: Educación, 2008. - 240 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Mordkovich A.G.Álgebra. 7mo grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich. - 17ª ed., añadir. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemáticas (un manual para quienes ingresan a las escuelas técnicas): Proc. asignación.- M.; Más alto escuela, 1984.-351 p., enfermo.
Los monomios son productos de números, variables y sus potencias. Los números, las variables y sus potencias también se consideran monomios. Por ejemplo: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. El monomio 5aa2b2b se puede reducir a la forma 20a^2b^2. Esta forma se llama forma estándar del monomio. Es decir, la forma estándar del monomio es el producto del coeficiente (que viene primero) y las potencias de. las variables. Los coeficientes 1 y -1 no se escriben, pero se mantiene un signo menos de -1. Monomio y su forma estándar.
Las expresiones 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x son productos de números, variables y sus potencias. Estas expresiones se llaman monomios. Los números, las variables y sus potencias también se consideran monomios.
Por ejemplo, las expresiones 8, 35,y e y2 son monomios.
La forma estándar de un monomio es un monomio en forma de producto de un factor numérico en primer lugar y potencias de varias variables. Cualquier monomio se puede reducir a una forma estándar multiplicando todas las variables y números incluidos en él. A continuación se muestra un ejemplo de cómo reducir un monomio a su forma estándar:
4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5
El factor numérico de un monomio escrito en forma estándar se llama coeficiente del monomio. Por ejemplo, el coeficiente del monomio -7x2y2 es igual a -7. Los coeficientes de los monomios x3 y -xy se consideran iguales a 1 y -1, ya que x3 = 1x3 y -xy = -1xy
El grado de un monomio es la suma de los exponentes de todas las variables incluidas en él. Si un monomio no contiene variables, es decir, es un número, entonces su grado se considera igual a cero.
Por ejemplo, el grado del monomio 8x3yz2 es 6, el grado del monomio 6x es 1 y el grado de -10 es 0.
Multiplicación de monomios. Elevando monomios a potencias
Al multiplicar monomios y elevar monomios a una potencia, se utilizan la regla para multiplicar potencias con la misma base y la regla para elevar una potencia a una potencia. Esto produce un monomio, que normalmente se representa en forma estándar.
Por ejemplo
4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3
((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6
El concepto de monomio.
Definición de monomio: Un monomio es una expresión algebraica que usa solo multiplicación.
Forma estándar de monomio
¿Cuál es la forma estándar de un monomio? Un monomio se escribe en forma estándar, si tiene un factor numérico en primer lugar y este factor se llama coeficiente del monomio, en el monomio solo hay uno, las letras del monomio se ubican en orden alfabético y cada letra aparece solo una vez.
Un ejemplo de monomio en forma estándar:
aquí en primer lugar está el número, el coeficiente del monomio, y este número es solo uno en nuestro monomio, cada letra aparece una sola vez y las letras están ordenadas en orden alfabético, en este caso es el alfabeto latino.
Otro ejemplo de monomio en forma estándar:
cada letra aparece solo una vez, están ordenadas en orden alfabético latino, pero ¿dónde está el coeficiente del monomio, es decir? ¿Cuál es el factor numérico que debería ir primero? Aquí es igual a uno: 1adm.
¿Puede el coeficiente de un monomio ser negativo? Sí, tal vez, ejemplo: -5a.
¿Puede el coeficiente de un monomio ser fraccionario? Sí, tal vez, ejemplo: 5.2a.
Si un monomio consta únicamente de un número, es decir no tiene letras, ¿cómo puedo llevarlo al formato estándar? Cualquier monomio que sea un número ya está en forma estándar, por ejemplo: el número 5 es un monomio en forma estándar.
Reducir monomios a forma estándar
¿Cómo llevar un monomio a su forma estándar? Veamos ejemplos.
Sea el monomio 2a4b; debemos llevarlo a su forma estándar. Multiplicamos sus dos factores numéricos y obtenemos 8ab. Ahora el monomio está escrito en forma estándar, es decir tiene un solo factor numérico, escrito en primer lugar, cada letra del monomio aparece solo una vez y estas letras están ordenadas alfabéticamente. Entonces 2a4b = 8ab.
Dado: monomio 2a4a, lleve el monomio a su forma estándar. Multiplicamos los números 2 y 4, reemplazando el producto aa por la segunda potencia de a 2. Obtenemos: 8a 2 . Esta es la forma estándar de este monomio. Entonces 2a4a = 8a 2 .
Monomios similares
¿Qué son los monomios semejantes? Si los monomios difieren sólo en coeficientes o son iguales, entonces se llaman similares.
Ejemplo de monomios semejantes: 5a y 2a. Estos monomios difieren sólo en coeficientes, lo que significa que son similares.
¿Son similares los monomios 5abc y 10cba? Llevemos el segundo monomio a su forma estándar y obtengamos 10abc. Ahora podemos ver que los monomios 5abc y 10abc difieren sólo en sus coeficientes, lo que significa que son similares.
Suma de monomios
¿Cuál es la suma de los monomios? Sólo podemos sumar monomios semejantes. Veamos un ejemplo de suma de monomios. ¿Cuál es la suma de los monomios 5a y 2a? La suma de estos monomios será un monomio semejante a ellos, cuyo coeficiente es igual a la suma de los coeficientes de los términos. Entonces, la suma de los monomios es 5a + 2a = 7a.
Más ejemplos de suma de monomios:
2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 segundo 3 do 4 + 3a 2 segundo 3 do 4 = 5a 2 segundo 3 do 4
De nuevo. Sólo puedes sumar monomios similares; la suma se reduce a sumar sus coeficientes.
Restar monomios
¿Cuál es la diferencia entre los monomios? Sólo podemos restar monomios semejantes. Veamos un ejemplo de resta de monomios. ¿Cuál es la diferencia entre los monomios 5a y 2a? La diferencia de estos monomios será un monomio similar a ellos, cuyo coeficiente es igual a la diferencia de los coeficientes de estos monomios. Entonces, la diferencia de monomios es 5a - 2a = 3a.
Más ejemplos de resta de monomios:
10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 segundo 3 do 4 - 3a 2 segundo 3 do 4 = 2a 2 segundo 3 do 4
Multiplicando monomios
¿Cuál es el producto de monomios? Veamos un ejemplo:
aquellos. el producto de monomios es igual a un monomio cuyos factores están formados por los factores de los monomios originales.
Otro ejemplo:
2a 2 segundo 3 * a 5 segundo 9 = 2a 7 segundo 12 .
¿Cómo se produjo este resultado? Cada factor contiene "a" elevado a la potencia: en el primero - "a" elevado a 2, y en el segundo - "a" elevado a 5. Esto significa que el producto contendrá "a" elevado a de 7, porque al multiplicar letras idénticas, los exponentes de sus potencias se suman:
Un 2 * un 5 = un 7 .
Lo mismo se aplica al factor "b".
El coeficiente del primer factor es dos y el segundo es uno, por lo que el resultado es 2 * 1 = 2.
Así se calculó el resultado: 2a 7 b 12.
De estos ejemplos queda claro que los coeficientes de los monomios se multiplican y letras idénticas se reemplazan por las sumas de sus potencias en el producto.
