Las pirámides son: triangulares, cuadrangulares, etc., dependiendo de cuál sea la base: triángulo, cuadrilátero, etc.
Una pirámide se llama regular (Fig. 286, b) si, en primer lugar, su base es un polígono regular y, en segundo lugar, su altura pasa por el centro de este polígono.
De lo contrario, la pirámide se llama irregular (Fig. 286, c). Todo está en la pirámide correcta. costillas laterales iguales entre sí (como oblicuos con proyecciones iguales). Por tanto, todas las caras laterales de una pirámide regular son triángulos isósceles iguales.
Análisis de los elementos de una pirámide hexagonal regular y su representación en un dibujo complejo (Fig.287).
a) Dibujo complejo de una pirámide hexagonal regular. La base de la pirámide se ubica en el plano P 1; dos lados de la base de la pirámide son paralelos al plano de proyección P 2.
b) La base ABCDEF es un hexágono ubicado en el plano de proyección P 1.
c) La cara lateral de ASF es un triángulo situado en el plano general.
d) La cara lateral de FSE es un triángulo ubicado en el plano de proyección del perfil.
e) Edge SE es un segmento en posición general.
f) Costilla SA - segmento frontal.
g) La cima S de la pirámide es un punto en el espacio.
Las figuras 288 y 289 muestran ejemplos de operaciones gráficas secuenciales al realizar un dibujo complejo e imágenes visuales (axonometría) de las pirámides.
Dado:
1. La base está ubicada en el plano P 1.
2. Uno de los lados de la base es paralelo al eje x 12.
I. Dibujo complejo.
Yo, un.
Diseñamos la base de la pirámide: un polígono, de acuerdo con esta condición que se encuentra en el plano P1.
Diseñamos un vértice, un punto ubicado en el espacio. La altura del punto S es igual a la altura de la pirámide. La proyección horizontal S 1 del punto S estará en el centro de la proyección de la base de la pirámide (por condición).
Yo, c. Dada una proyección horizontal K 1 del punto K en la cara lateral de SBA, es necesario encontrar su proyección frontal. Para hacer esto, dibuje una línea auxiliar S 1 F 1 a través de los puntos S 1 y K 1 , encuentre su proyección frontal y sobre ella, usando una línea de conexión vertical, determine la ubicación de la proyección frontal deseada K 2 del punto K .
II.
El desarrollo de la superficie de una pirámide es una figura plana que consta de caras laterales: triángulos isósceles idénticos, un lado de los cuales es igual al lado de la base, y los otros dos, a los bordes laterales, y desde un polígono regular. la base. Tamaños naturales
Los lados de la base se identifican en su proyección horizontal. Las dimensiones naturales de las nervaduras no se revelaron en las proyecciones. 1
Hipotenusa S 2 ¯A 2 (Fig.288, , b) triangulo rectángulo
S 2 O 2 ¯A 2 , en el que el cateto grande es igual a la altura S 2 O 2 de la pirámide y el cateto pequeño es igual a la proyección horizontal del borde S 1 A 1 es el tamaño natural del borde de la pirámide. La construcción del barrido se debe realizar en el siguiente orden:
a) desde un punto arbitrario S (vértice) trazamos un arco de radio R igual al borde de la pirámide;
b) sobre el arco dibujado colocaremos cinco cuerdas de tamaño R 1 igual al lado de la base;
c) conectamos los puntos D, C, B, A, E, D con líneas rectas secuencialmente entre sí y hasta el punto S, obtenemos cinco triángulos isósceles iguales que conforman el desarrollo de la superficie lateral de esta pirámide, cortados a lo largo de la borde SD;
d) unimos la base de la pirámide, un pentágono, a cualquier cara utilizando el método de triangulación, por ejemplo a la cara DSE.
La transferencia del punto K al escaneo se realiza mediante una línea recta auxiliar utilizando la dimensión B 1 F 1 tomada en la proyección horizontal y la dimensión A 2 K 2 tomada en el tamaño natural de la costilla.
III. 1
Una representación visual de una pirámide en isometría.
III, a. 1
Una representación visual de una pirámide en isometría.
Representamos la base de la pirámide usando las coordenadas de acuerdo con (Fig.288,
, A).
Representamos la cima de la pirámide usando las coordenadas de acuerdo con (Fig.288,
Dado:
III, b.
Representamos los bordes laterales de la pirámide, conectando la cima con los vértices de la base. El borde S"D" y los lados de la base C"D" y D"E" están representados con líneas discontinuas, como invisibles, cerradas por los bordes de la pirámide C"S"B", B"S"A" y A"S"E".
III, mi.
Yo, un. Diseñando la base de la pirámide - triangulo isósceles
, que se encuentra en el plano P 1, y el vértice S es un punto ubicado en el espacio, cuya altura es igual a la altura de la pirámide.
Yo, b.
Diseñamos los bordes de la pirámide: segmentos, para los cuales conectamos líneas rectas de las proyecciones del mismo nombre de los vértices de la base con las proyecciones del mismo nombre del vértice de la pirámide. Representamos la proyección horizontal del costado de la base del avión con una línea discontinua, como invisible, cubierta por dos caras de la pirámide ABS, ACS.
Yo, c.
En la proyección frontal A 2 C 2 S 2 de la cara lateral, se da una proyección D 2 del punto D. Necesitas encontrar su proyección horizontal. Para hacer esto, a través del punto D 2 trazamos una línea auxiliar paralela al eje x 12 - la proyección frontal de la horizontal, luego encontramos su proyección horizontal y sobre ella, usando una línea de conexión vertical, determinamos la ubicación del deseado proyección horizontal D 1 del punto D.
II. Construyendo un escaneo piramidal.
Las dimensiones naturales de los lados de la base se revelan en la proyección horizontal. El tamaño natural de la costilla AS se reveló en la proyección frontal; no hay aristas de tamaño natural BS y CS en las proyecciones; el tamaño de estas aristas se revela girándolas alrededor del eje i perpendicular al plano P1 que pasa por la cima de la pirámide S. La nueva proyección frontal ¯C 2 S 2 es el valor natural del borde CS.
La secuencia de construcción del desarrollo de la superficie de la pirámide:
a) dibujar un triángulo isósceles: la cara CSB, cuya base es igual al lado de la base de la pirámide CB, y los lados son iguales al tamaño natural del borde SC;
b) unimos dos triángulos a los lados SC y SB del triángulo construido - las caras de la pirámide CSA y BSA, y a la base CB del triángulo construido - la base CBA de la pirámide, como resultado obtenemos un completo desarrollo de la superficie de esta pirámide.
La transferencia del punto D al escaneo se realiza en el siguiente orden: primero, en el escaneo de la cara lateral ASC, dibujamos una línea horizontal usando la dimensión R 1 y luego determinamos la ubicación del punto D en la línea horizontal usando el dimensión R 2 .
Te enumeraré la teoría que necesitas para refrescar tu memoria antes de resolver: pirámides, propiedades de similitud de figuras y cuerpos, propiedades de las pirámides regulares, teorema de Pitágoras, fórmula para el área de un triángulo (es la segunda). Consideremos las tareas:
De una pirámide triangular cuyo volumen es 80, se corta una pirámide triangular por un plano que pasa por la cima de la pirámide y la línea media de la base. Encuentra el volumen de la pirámide triangular cortada.
El volumen de una pirámide es igual a un tercio del producto del área de su base por su altura:
Estas pirámides (originales y recortadas) tienen una altura común, por lo que sus volúmenes se relacionan como las áreas de sus bases. La línea media del triángulo original corta un triángulo cuya área es cuatro veces menor, es decir:
Puede encontrar más información sobre esto aquí.
Esto significa que el volumen de la pirámide cortada será cuatro veces menor.
Entonces será igual a 20.
Respuesta: 20
*un problema similar, se utiliza la fórmula del área de un triángulo.
El volumen de una pirámide triangular es 15. El plano pasa por el lado de la base de esta pirámide y corta el borde del lado opuesto en un punto que lo divide en una proporción de 1: 2, contando desde la cima de la pirámide. Encuentra el volumen más grande de las pirámides en el que el plano divide la pirámide original.
Construyamos una pirámide y marquemos los vértices.Marquemos el punto E en el borde AS, de modo que AE sea dos veces más grande que ES (la condición dice que ES está relacionado con AE como 1 a 2), y construyamos el plano indicado que pasa por el borde AC y el punto E:
Analicemos el volumen de qué pirámide será mayor: ¿EABC o SEBC?
*El volumen de una pirámide es igual a un tercio del producto del área de su base por su altura:
Si consideramos las dos pirámides resultantes y tomamos la cara EBC como base en ambas, resulta obvio que el volumen de la pirámide AEBS será mayor que el volumen de la pirámide SEBC. ¿Por qué?
La distancia desde el punto A al plano EBC es mayor que la distancia desde el punto S. Y esta distancia juega el papel de altura para nosotros.
Entonces, encontremos el volumen de la pirámide EABC.
Se nos da el volumen de la pirámide original; las pirámides SABC y EABC tienen una base común. Si establecemos la relación de alturas, podemos determinar fácilmente el volumen.
De la relación de los segmentos ES y AE se deduce que AE es igual a dos tercios de ES. Las alturas de las pirámides SABC y EABC están en la misma relación:la altura de la pirámide EABC será igual a 2/3 de la altura de la pirámide SABC.
Así, si
Eso
Respuesta: 10
El volumen de una pirámide hexagonal regular es 6. El lado de la base es 1. Encuentra el borde lateral.
En una pirámide regular, el vértice se proyecta hacia el centro de la base.Realicemos construcciones adicionales:
Podemos encontrar el borde lateral del triángulo rectángulo SOC. Para hacer esto necesita conocer SO y OS.
SO es la altura de la pirámide, podemos calcularla usando la fórmula del volumen:
Calculemos el área de la base. este es un hexágono regular con un lado igual a 1. El área de un hexágono regular es igual al área de seis triángulos equiláteros con el mismo lado, más sobre esto (sección 6), entonces:
Medio
OS = BC = 1, ya que en un hexágono regular el segmento que conecta su centro con el vértice es igual al lado de este hexágono.
Así, según el teorema de Pitágoras:
Respuesta: 7
VolumenEl volumen de un tetraedro es 200. Encuentra el volumen de un poliedro cuyos vértices son los puntos medios de las aristas del tetraedro dado.
El volumen del poliedro indicado es igual a la diferencia entre los volúmenes del tetraedro original V 0 y cuatro tetraedros iguales, cada uno de los cuales se obtiene cortando un plano que pasa por los puntos medios de los bordes que tienen un vértice común:
Determinemos el volumen del tetraedro cortado.
Tenga en cuenta que el tetraedro original y el tetraedro "cortado" son cuerpos similares. Se sabe que la relación entre los volúmenes de cuerpos similares es k 3, donde k es el coeficiente de similitud. EN en este caso es igual a 2 (ya que todas las dimensiones lineales del tetraedro original son dos veces más grandes que las dimensiones correspondientes del cortado):
Calculemos el volumen del tetraedro cortado:
Por tanto, el volumen requerido será igual a:
Respuesta: 100
El área de superficie del tetraedro es 120. Encuentra el área de superficie del poliedro cuyos vértices son los puntos medios de las aristas del tetraedro dado.
Primera forma:
La superficie requerida consta de 8 triángulos equiláteros con un lado de la mitad del tamaño del borde del tetraedro original. La superficie del tetraedro original consta de 16 de estos triángulos (en cada una de las 4 caras del tetraedro hay 4 triángulos), por lo que el área requerida es igual a la mitad del área de la superficie del tetraedro dado y es igual a 60.
Segunda forma:
Como se conoce el área de la superficie del tetraedro, podemos encontrar su arista, luego determinar la longitud de la arista del poliedro y luego calcular su área de superficie.
Un dibujo es el primer y muy importante paso para resolver un problema geométrico. ¿Cómo debería verse el dibujo de una pirámide regular?
primero recordemos propiedades de diseño paralelo:
- los segmentos paralelos de una figura se representan mediante segmentos paralelos;
— se conserva la relación entre las longitudes de los segmentos de rectas paralelas y de los segmentos de una recta.
Dibujo de una pirámide triangular regular.
Primero dibujamos la base. Dado que durante el diseño paralelo no se conservan los ángulos y las proporciones de las longitudes de los segmentos no paralelos, el triángulo regular en la base de la pirámide se representa como un triángulo arbitrario.
El centro de un triángulo regular es el punto de intersección de las medianas del triángulo. Dado que las medianas en el punto de intersección se dividen en una proporción de 2:1, contando desde el vértice, conectamos mentalmente el vértice de la base con la mitad del lado opuesto, lo dividimos aproximadamente en tres partes y colocamos un punto en una distancia de 2 partes del vértice. Desde este punto hacia arriba trazamos una perpendicular. Esta es la altura de la pirámide. Dibujamos una perpendicular de tal longitud que el borde lateral no cubra la imagen de la altura.
Dibujo correcto pirámide cuadrangular
También comenzamos a dibujar una pirámide cuadrangular regular desde la base. Dado que se conserva el paralelismo de los segmentos, pero no los valores de los ángulos, el cuadrado en la base se representa como un paralelogramo. Es aconsejable reducir el ángulo agudo de este paralelogramo, entonces las caras laterales serán más grandes. El centro de un cuadrado es el punto de intersección de sus diagonales. Dibujamos diagonales y restauramos una perpendicular desde el punto de intersección. Esta perpendicular es la altura de la pirámide. Elegimos la longitud de la perpendicular para que las nervaduras laterales no se fusionen entre sí.
Dibujo de una pirámide hexagonal regular.
Dado que durante el diseño paralelo se conserva el paralelismo de los segmentos, la base de una pirámide hexagonal regular (un hexágono regular) se representa como un hexágono cuyos lados opuestos son paralelos e iguales. El centro de un hexágono regular es el punto de intersección de sus diagonales. Para no saturar el dibujo, no dibujamos diagonales, sino que encontramos este punto aproximadamente. Desde allí restauramos la perpendicular (la altura de la pirámide) para que las nervaduras laterales no se fusionen entre sí.
Calcular los volúmenes de figuras espaciales es una de las tareas importantes de la estereometría. En este artículo consideraremos la cuestión de determinar el volumen de un poliedro como una pirámide, y también daremos uno hexagonal regular.
Pirámide hexagonal
Primero, veamos cuál es la figura que se discutirá en el artículo.
Tengamos un hexágono arbitrario cuyos lados no sean necesariamente iguales entre sí. Supongamos también que hemos elegido un punto del espacio que no está en el plano del hexágono. Al conectar todas las esquinas de este último con el punto seleccionado, obtenemos una pirámide. En la siguiente figura se muestran dos pirámides diferentes con una base hexagonal.
Se puede ver que, además del hexágono, la figura consta de seis triángulos, cuyo punto de conexión se llama vértice. La diferencia entre las pirámides representadas es que la altura h de la de la derecha no corta la base hexagonal en su centro geométrico, mientras que la altura de la de la izquierda cae exactamente en este centro. Gracias a este criterio, la pirámide izquierda se llamó recta y la pirámide derecha, inclinada.
Dado que la base de la figura izquierda de la figura está formada por un hexágono con lados y ángulos iguales, se llama regular. Más adelante en el artículo hablaremos sólo de esta pirámide.
Para calcular el volumen de una pirámide arbitraria, es válida la siguiente fórmula:
Aquí h es la longitud de la altura de la figura, S o es el área de su base. Usemos esta expresión para determinar el volumen de una pirámide regular hexagonal.
Dado que la base de la figura en cuestión es un hexágono equilátero, para calcular su área puedes utilizar la siguiente expresión general para un n-gón:
S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)
Aquí n es un número entero igual al número de lados (ángulos) de un polígono, a es la longitud de su lado, la función cotangente se calcula utilizando las tablas correspondientes.
Aplicando la expresión para n = 6, obtenemos:
S 6 = 6/4 * a 2 * ctg(pi/6) = √3/2 * a 2
Ahora queda sustituir esta expresión en la fórmula general del volumen V:
V 6 = S 6 * h = √3/2 * h * a 2
Así, para calcular el volumen de la pirámide en cuestión es necesario conocer sus dos parámetros lineales: la longitud del lado de la base y la altura de la figura.
Ejemplo de solución de problema
Demostremos cómo se puede utilizar la expresión resultante para V 6 para resolver el siguiente problema.
Se sabe que el volumen correcto es 100 cm 3 . Es necesario determinar el lado de la base y la altura de la figura si se sabe que están conectados entre sí. la siguiente igualdad:
Dado que la fórmula para el volumen incluye solo a y h, puedes sustituir cualquiera de estos parámetros, expresados en términos del otro. Por ejemplo, sustituyendo a, obtenemos:
V 6 = √3/2*h*(2*h) 2 =>
h = ∛(V 6 /(2*√3))
Para encontrar la altura de una figura, debes tomar la raíz tercera del volumen, que corresponde a la dimensión de la longitud. Sustituimos el valor del volumen V 6 de la pirámide de las condiciones del problema, obtenemos la altura:
h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm
Dado que el lado de la base, de acuerdo con la condición del problema, es el doble del valor encontrado, obtenemos su valor:
a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352cm
El volumen de una pirámide hexagonal se puede encontrar no sólo a través de la altura de la figura y el valor del lado de su base. Basta conocer dos parámetros lineales diferentes de la pirámide para calcularla, por ejemplo, la apotema y la longitud del borde lateral.
