Cómo calcular el par. Estática. momento de fuerza

El momento de fuerza con respecto al eje de rotación se llama cantidad fisica, igual al producto de la fuerza por su hombro.

El momento de fuerza está determinado por la fórmula:

M - FI, donde F es fuerza, I es brazo de fuerza.

El brazo de una fuerza es la distancia más corta desde la línea de acción de la fuerza hasta el eje de rotación del cuerpo.

En la figura. 1.33, y representa un cuerpo rígido capaz de girar alrededor de un eje. El eje de rotación de este cuerpo es perpendicular al plano de la figura y pasa por el punto designado por la letra O. El brazo de fuerza F aquí es la distancia 1Hot del eje de rotación a la línea de acción de la fuerza. Encuéntrelo de la siguiente manera. Primero, traza la línea de acción de la fuerza. Luego, desde el punto O, por donde pasa el eje de rotación del cuerpo, se baja una perpendicular a la línea de acción de la fuerza. La longitud de esta perpendicular es el brazo de la fuerza dada.

El momento de fuerza caracteriza el efecto giratorio de una fuerza. Esta acción depende tanto de la fuerza como del apalancamiento. Cuanto mayor sea el hombro, menos fuerza se debe aplicar para obtener el resultado deseado, es decir, el mismo momento de fuerza (ver (1.33)). Por eso es mucho más difícil abrir una puerta empujándola cerca de las bisagras que agarrando el mango, y es mucho más fácil desenroscar una tuerca con una llave larga que con una corta.

La unidad SI de momento de fuerza es un momento de fuerza de 1 N, cuyo brazo es igual a 1 m - newton metro (N m).

Regla de los momentos

Un cuerpo rígido capaz de girar alrededor de un eje fijo está en equilibrio si el momento de la fuerza M que lo gira en el sentido de las agujas del reloj es igual al momento de la fuerza M2 que lo gira en el sentido contrario a las agujas del reloj:

M1 = -M2 o F 1 ll = - F 2 l 2.

La regla de los momentos es consecuencia de uno de los teoremas de la mecánica formulados por el científico francés P. Varignon en 1687.

Si dos fuerzas iguales y de direcciones opuestas que no se encuentran en la misma línea recta actúan sobre un cuerpo, entonces dicho cuerpo no está en equilibrio, ya que el momento resultante de estas fuerzas con respecto a cualquier eje no es igual a cero, ya que ambas fuerzas tienen momentos dirigidos en la misma dirección. Dos de estas fuerzas que actúan simultáneamente sobre un cuerpo se denominan par de fuerzas. Si el cuerpo está fijado sobre un eje, bajo la influencia de un par de fuerzas girará. Si se aplica un par de fuerzas a un cuerpo libre, entonces girará alrededor de un eje que pasa por el centro de gravedad del cuerpo, figura. 1.33, b.

El momento de un par de fuerzas es el mismo respecto de cualquier eje perpendicular al plano del par. El momento total M de un par siempre es igual al producto de una de las fuerzas F por la distancia I entre las fuerzas, que se llama hombro del par, independientemente de qué segmentos y /2 sea la posición del eje del par. El hombro de la pareja se divide en:

M = Llenado + Fl2=F(l1 + l2) = Fl.

El momento de varias fuerzas, cuya resultante es cero, será el mismo en relación con todos los ejes paralelos entre sí, por lo que la acción de todas estas fuerzas sobre el cuerpo puede ser reemplazada por la acción de un par de fuerzas con el mismo momento.

La regla del apalancamiento, descubierta por Arquímedes en el siglo III a.C., existió durante casi dos mil años, hasta que en el siglo XVII con mano ligera El científico francés Varignon no recibió una forma más general.

regla de par

Se introdujo el concepto de par. El momento de fuerza es una cantidad física igual al producto de la fuerza por su brazo:

donde M es el momento de fuerza,
F - fuerza,
l - apalancamiento de fuerza.

De la regla de equilibrio de la palanca directamente La regla de los momentos de fuerzas es la siguiente:

F1 / F2 = l2 / l1 o, por la propiedad de la proporción, F1 * l1 = F2 * l2, es decir, M1 = M2

En expresión verbal, la regla de los momentos de fuerzas es la siguiente: una palanca está en equilibrio bajo la acción de dos fuerzas si el momento de la fuerza que la hace girar en el sentido de las agujas del reloj es igual al momento de la fuerza que la hace girar en el sentido contrario a las agujas del reloj. La regla de los momentos de fuerza es válida para cualquier cuerpo fijado alrededor de un eje fijo. En la práctica, el momento de la fuerza se calcula de la siguiente manera: en la dirección de acción de la fuerza, se traza una línea de acción de la fuerza. Luego, desde el punto en el que se encuentra el eje de rotación, se traza una perpendicular a la línea de acción de la fuerza. La longitud de esta perpendicular será igual al brazo de la fuerza. Multiplicando el valor del módulo de fuerza por su brazo, obtenemos el valor del momento de fuerza con respecto al eje de rotación. Es decir, vemos que el momento de fuerza caracteriza la acción giratoria de la fuerza. El efecto de una fuerza depende tanto de la fuerza misma como de su influencia.

Aplicación de la regla de los momentos de fuerzas en diversas situaciones.

Esto implica la aplicación de la regla de los momentos de fuerzas en diferentes situaciones. Por ejemplo, si abrimos una puerta, entonces la empujaremos en la zona del tirador, es decir, alejándola de las bisagras. Puedes hacer un experimento básico y asegurarte de que empujar la puerta es más fácil cuanto más aplicamos fuerza desde el eje de rotación. experimento práctico en en este caso está directamente confirmado por la fórmula. Ya que, para que los momentos de fuerzas en diferentes brazos sean iguales, es necesario que al brazo mayor le corresponda una fuerza menor y, por el contrario, al brazo menor le corresponda una fuerza mayor. Cuanto más cerca del eje de rotación apliquemos la fuerza, mayor debe ser. Cuanto más lejos del eje accionemos la palanca, girando el cuerpo, menos fuerza necesitaremos aplicar. Los valores numéricos se pueden encontrar fácilmente a partir de la fórmula de la regla del momento.

Precisamente, basándose en la regla de los momentos de fuerza, tomamos una palanca o un palo largo si necesitamos levantar algo pesado y, habiendo deslizado un extremo debajo de la carga, tiramos de la palanca cerca del otro extremo. Por el mismo motivo atornillamos los tornillos con un destornillador de mango largo y apretamos las tuercas con una llave larga.

En física, los problemas con cuerpos en rotación o sistemas que están en equilibrio se consideran utilizando el concepto de "momento de fuerza". Este artículo analizará la fórmula del torque y cómo se puede usar para resolver este tipo de problema.

en fisica

Como se señaló en la introducción, este artículo analizará sistemas que pueden girar alrededor de un eje o alrededor de un punto. Consideremos un ejemplo de dicho modelo que se muestra en la siguiente figura.

Vemos que la palanca gris está fijada al eje de rotación. Al final de la palanca hay un cubo negro de cierta masa que está sujeto a una fuerza (flecha roja). Está intuitivamente claro que el resultado de esta fuerza será la rotación de la palanca alrededor de su eje en sentido antihorario.

El momento de fuerza es una cantidad en física que es igual al producto vectorial del radio que conecta el eje de rotación y el punto de aplicación de la fuerza (vector verde en la figura), y la fuerza externa misma. Es decir, la fuerza relativa al eje se escribe de la siguiente manera:

El resultado de este producto será el vector M¯. Su dirección se determina basándose en el conocimiento de los vectores multiplicadores, es decir, r¯ y F¯. Según la definición de producto vectorial, M¯ debe ser perpendicular al plano formado por los vectores r¯ y F¯, y dirigido de acuerdo con la regla derecha(si los cuatro dedos de la mano derecha se colocan a lo largo del primer vector multiplicado hacia el final del segundo, entonces el que se coloca hacia arriba pulgar indicará hacia dónde se dirige el vector deseado). En la figura puedes ver hacia dónde se dirige el vector M¯ (flecha azul).

Forma escalar de notación M¯

En la figura del párrafo anterior, la fuerza (flecha roja) actúa sobre la palanca en un ángulo de 90o. En general, se puede aplicar absolutamente en cualquier ángulo. Considere la imagen a continuación.

Aquí vemos que la fuerza F ya actúa sobre la palanca L en un cierto ángulo Φ. Para este sistema, la fórmula para el momento de fuerza con respecto a un punto (mostrado por una flecha) en forma escalar tomará la forma:

M = L * F * pecado(Φ)

De la expresión se deduce que el momento de la fuerza M será mayor cuanto más cerca esté la dirección de acción de la fuerza F al ángulo de 90 o con respecto a L. Por el contrario, si F actúa a lo largo de L, entonces sin(0 ) = 0, y la fuerza no crea ningún momento ( M = 0).

Cuando se considera el momento de fuerza en forma escalar, a menudo se utiliza el concepto de “palanca de fuerza”. Esta cantidad representa la distancia entre el eje (el punto de rotación) y el vector F. Aplicando esta definición a la figura anterior, podemos decir que d = L * sin(Φ) es la palanca de fuerza (la igualdad se sigue de la definición de la función trigonométrica "seno"). Usando la palanca de fuerza, la fórmula para el momento M se puede reescribir de la siguiente manera:

Significado físico de la cantidad M

La cantidad física en cuestión determina la capacidad. fuerza externa F ejerce un efecto rotacional sobre el sistema. Para que un cuerpo entre en movimiento de rotación, es necesario que se le imparta un cierto momento M.

Un claro ejemplo de este proceso es la apertura o cierre de la puerta de una habitación. Sosteniendo la manija, una persona aplica fuerza y gira la puerta sobre sus bisagras. Todos pueden hacer esto. Si intenta abrir la puerta trabajando en ella cerca de las bisagras, deberá hacer un gran esfuerzo para moverla.

Otro ejemplo es desenroscar una tuerca con una llave. Cuanto más corta sea esta clave, más difícil será completar la tarea.

Estas características quedan demostradas por la fórmula para el momento de fuerza a través del hombro, que se dio en el párrafo anterior. Si M se considera un valor constante, entonces cuanto menor sea d, mayor será F para crear un momento de fuerza dado.

Varias fuerzas actuantes en el sistema.

Hemos discutido casos anteriores en los que solo una fuerza F actúa sobre un sistema capaz de girar, pero ¿qué hacer cuando hay varias de esas fuerzas? De hecho, esta situación es más frecuente, ya que sobre el sistema pueden actuar fuerzas de diversa naturaleza (gravitacional, eléctrica, de fricción, mecánica y otras). En todos estos casos, el momento de fuerza resultante M¯ se puede obtener utilizando la suma vectorial de todos los momentos M i ¯, es decir:

M¯ = ∑ i (M i ¯), donde i es el número de fuerza F i

Una conclusión importante se desprende de la propiedad de la aditividad de los momentos, que se llama teorema de Varignon, que lleva el nombre del matemático de finales del siglo XVII y principios del XVIII, el francés Pierre Varignon. Dice: "La suma de los momentos de todas las fuerzas que influyen en el sistema considerado se puede representar como el momento de una fuerza, que es igual a la suma de todas las demás y se aplica a un punto determinado". Matemáticamente, el teorema se puede escribir de la siguiente manera:

∑ yo (M yo ¯) = M¯ = re * ∑ yo (F yo ¯)

Este importante teorema se utiliza a menudo en la práctica para resolver problemas relacionados con la rotación y el equilibrio de los cuerpos.

¿Funciona un momento de fuerza?

Analizando las fórmulas dadas en forma escalar o vectorial, podemos llegar a la conclusión de que el valor M es algún tipo de trabajo. De hecho, su dimensión es N*m, que en el SI corresponde a julios (J). De hecho, el momento de fuerza no es trabajo, sino sólo una cantidad que es capaz de realizarlo. Para que esto suceda, es necesario que haya un movimiento circular en el sistema y una acción de largo plazo M. Por lo tanto, la fórmula para el trabajo del momento de fuerza se escribe de la siguiente forma:

En esta expresión, θ es el ángulo a través del cual se realizó la rotación por el momento de fuerza M. Como resultado, la unidad de trabajo se puede escribir como N*m*rad o J*rad. Por ejemplo, un valor de 60 J*rad indica que al girar 1 radian (aproximadamente 1/3 de un círculo), la fuerza F que crea el momento M realizó 60 julios de trabajo. Esta fórmula se utiliza a menudo al resolver problemas en sistemas donde actúan fuerzas de fricción, como se mostrará a continuación.

Momento de fuerza y momento de impulso.

Como se ha demostrado, el impacto de un momento M sobre el sistema provoca la aparición de un movimiento de rotación en el mismo. Este último se caracteriza por una cantidad llamada “momento angular”. Se puede calcular mediante la fórmula:

Aquí I es el momento de inercia (una cantidad que juega el mismo papel durante la rotación que la masa durante el movimiento lineal de un cuerpo), ω es la velocidad angular, está relacionada con la velocidad lineal mediante la fórmula ω = v/r.

Ambos momentos (momento y fuerza) están relacionados entre sí mediante la siguiente expresión:

M = I * α, donde α = dω / dt - aceleración angular.

Presentemos otra fórmula que es importante para resolver problemas que involucran el trabajo de momentos de fuerzas. Con esta fórmula, puedes calcular la energía cinética de un cuerpo en rotación. Se parece a esto:

Equilibrio multicuerpo

El primer problema está relacionado con el equilibrio de un sistema en el que actúan varias fuerzas. La siguiente figura muestra un sistema sujeto a tres fuerzas. Es necesario calcular qué masa debe suspenderse el objeto de esta palanca y en qué punto se debe hacer para que este sistema estaba en equilibrio.

De las condiciones del problema se puede entender que para resolverlo se debe utilizar el teorema de Varignon. La primera parte del problema se puede responder de inmediato, ya que el peso del objeto que se debe suspender de la palanca será igual a:

P = F 1 - F 2 + F 3 = 20 - 10 + 25 = 35 norte

Los signos aquí se eligen teniendo en cuenta el hecho de que una fuerza que gira una palanca en sentido antihorario crea un par negativo.

La posición del punto d, donde se debe suspender este peso, se calcula mediante la fórmula:

M 1 - M 2 + M 3 = d * P = 7 * 20 - 5 * 10 + 3 * 25 = d * 35 => d = 165/35 = 4,714 m

Tenga en cuenta que utilizando la fórmula para el momento de gravedad, calculamos el valor equivalente de M al creado por las tres fuerzas. Para que el sistema esté en equilibrio, es necesario suspender un cuerpo que pesa 35 N en un punto a 4,714 m del eje al otro lado de la palanca.

Problema de disco en movimiento

La solución al siguiente problema se basa en el uso de la fórmula para el momento de fuerza de fricción y la energía cinética de un cuerpo de rotación. Problema: dado un disco de radio r = 0,3 metros, que gira a una velocidad de ω = 1 rad/s. Es necesario calcular qué distancia puede recorrer a lo largo de la superficie si el coeficiente de fricción de rodadura es μ = 0,001.

Este problema es más fácil de resolver si utilizas la ley de conservación de la energía. Tenemos la energía cinética inicial del disco. Cuando comienza a rodar, toda esta energía se gasta en calentar la superficie debido a la acción de la fricción. Igualando ambas cantidades obtenemos la expresión:

I * ω 2 /2 = μ * N/r * r * θ

La primera parte de la fórmula es la energía cinética del disco. La segunda parte es el trabajo del momento de fuerza de fricción F = μ * N/r aplicado al borde del disco (M=F * r).

Considerando que N = m * g y I = 1/2m * r 2, calculamos θ:

θ = m * r 2 * ω 2 /(4 * μ * m * g) = r 2 * ω 2 /(4 * μ *g) = 0,3 2 * 1 2 /(4 * 0,001 * 9,81 ) = 2,29358 rad

Dado que 2pi radianes corresponden a una longitud de 2pi * r, entonces encontramos que la distancia requerida que recorrerá el disco es:

s = θ * r = 2,29358 * 0,3 = 0,688 mo aproximadamente 69 cm

Tenga en cuenta que la masa del disco no afecta este resultado de ninguna manera.

lo mas mejor definicion El torque es la tendencia de una fuerza a rotar un objeto alrededor de un eje, punto de apoyo o punto de pivote. El par se puede calcular utilizando la fuerza y el brazo de momento (la distancia perpendicular desde el eje a la línea de acción de la fuerza), o utilizando el momento de inercia y la aceleración angular.

Pasos

Uso de fuerza y apalancamiento de momento

Determine las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y los momentos correspondientes. Si la fuerza no es perpendicular al brazo de momento en cuestión (es decir, actúa en ángulo), es posible que necesites encontrar sus componentes usando funciones trigonométricas, como seno o coseno.
- La componente de fuerza considerada dependerá del equivalente de fuerza perpendicular.
- Imagine una varilla horizontal sobre la cual se debe aplicar una fuerza de 10 N en un ángulo de 30° sobre el plano horizontal para rotarla alrededor de su centro.
- Como necesita utilizar una fuerza que no es perpendicular al brazo de momento, necesita una componente vertical de la fuerza para girar la varilla.
- Por lo tanto, se debe considerar la componente y, o usar F = 10sen30° N.
Utilice la ecuación de momento, τ = Fr, y simplemente reemplace las variables con datos dados o recibidos.
- Un ejemplo sencillo: imagine a un niño que pesa 30 kg sentado en un extremo de un columpio. La longitud de un lado del columpio es de 1,5 m.
- Dado que el eje de rotación del columpio está en el centro, no es necesario multiplicar la longitud.
- Debes determinar la fuerza ejercida por el niño usando la masa y la aceleración.
- Como la masa está dada, debes multiplicarla por la aceleración de la gravedad, g, igual a 9,81 m/s 2. Por eso:
- Ahora tienes todos los datos necesarios para usar la ecuación de momento:
Utilice signos (más o menos) para mostrar la dirección del momento. Si la fuerza hace girar el cuerpo en el sentido de las agujas del reloj, entonces el momento es negativo. Si la fuerza hace girar el cuerpo en sentido antihorario, entonces el momento es positivo.
- En el caso de que se apliquen varias fuerzas, simplemente se suman todos los momentos en el cuerpo.
- Dado que cada fuerza tiende a provocar diferentes direcciones de rotación, es importante utilizar el signo de rotación para realizar un seguimiento de la dirección de cada fuerza.
- Por ejemplo, se aplicaron dos fuerzas a la llanta de una rueda que tenía un diámetro de 0,050 m, F 1 = 10,0 N, en el sentido de las agujas del reloj, y F 2 = 9,0 N, en el sentido contrario a las agujas del reloj.
- Como este cuerpo es un círculo, el eje fijo es su centro. Necesitas dividir el diámetro y obtener el radio. El tamaño del radio servirá como brazo de momento. Por tanto, el radio es 0,025 m.
- Para mayor claridad, podemos resolver ecuaciones separadas para cada uno de los momentos que surgen de la fuerza correspondiente.
- Para la fuerza 1, la acción se dirige en el sentido de las agujas del reloj, por lo tanto, el momento que crea es negativo:
- Para la fuerza 2, la acción se dirige en sentido antihorario, por lo tanto, el momento que crea es positivo:
- Ahora podemos sumar todos los momentos para obtener el par resultante:
Usando momento de inercia y aceleración angular.
1. Para empezar a solucionar el problema, comprenda cómo funciona el momento de inercia de un cuerpo. El momento de inercia de un cuerpo es la resistencia de un cuerpo al movimiento de rotación. El momento de inercia depende tanto de la masa como de la naturaleza de su distribución.
  - Para entender esto claramente, imaginemos dos cilindros del mismo diámetro pero de diferentes masas.
  - Imagine que necesita girar ambos cilindros alrededor de su eje central.
  - Evidentemente, un cilindro con más masa será más difícil de girar que otro cilindro porque es “más pesado”.
  - Ahora imagina dos cilindros de diferentes diámetros, pero de la misma masa. Para parecer cilíndrico y tener diferentes masas, pero al mismo tiempo tener diferentes diámetros, la forma o distribución de masa de ambos cilindros debe ser diferente.
  - Un cilindro con un diámetro mayor se verá como una placa plana y redondeada, mientras que un cilindro más pequeño se verá como un tubo sólido de tela.
  - Un cilindro con un diámetro mayor será más difícil de girar ya que es necesario aplicar gran fuerza para superar el brazo de momento más largo.
2. Selecciona la ecuación que usarás para calcular el momento de inercia. Hay varias ecuaciones que se pueden utilizar para hacer esto.
  - La primera ecuación es la más simple: la suma de las masas y los brazos de momento de todas las partículas.
  - Esta ecuación se utiliza para puntos materiales o partículas. Una partícula ideal es un cuerpo que tiene masa pero no ocupa espacio.
  - En otras palabras, la única característica significativa de este cuerpo es la masa; No es necesario conocer su tamaño, forma o estructura.
  - La idea de partícula material es muy utilizada en física para simplificar los cálculos y utilizar esquemas ideales y teóricos.
  - Ahora imagine un objeto como un cilindro hueco o una esfera sólida y uniforme. Estos elementos tienen una descripción clara y una cierta forma, tamaño y estructura.
  - Por tanto, no puedes considerarlos como un punto material.
  - Afortunadamente, puedes utilizar fórmulas que se aplican a algunos objetos comunes:
3. Encuentra el momento de inercia. Para comenzar a calcular el par, es necesario encontrar el momento de inercia. Utilice el siguiente ejemplo como guía:
  - Dos pequeñas “pesas” con masas de 5,0 kg y 7,0 kg están montadas a una distancia de 4,0 m entre sí sobre una varilla liviana (cuya masa puede despreciarse). El eje de rotación está en el centro de la varilla. La varilla gira desde el reposo hasta una velocidad angular de 30.0 rad/s en 3.00 s. Calcule el par producido.
  - Como el eje de rotación está en el centro de la varilla, el brazo de momento de ambas cargas es igual a la mitad de su longitud, es decir 2,0 metros.
  - Dado que no se especifican la forma, el tamaño y la estructura de las “cargas”, podemos suponer que las cargas son partículas materiales.
  - El momento de inercia se puede calcular de la siguiente manera:
4. Encuentre la aceleración angular, α. Para calcular la aceleración angular, puedes usar la fórmula α= at/r.
  - La primera fórmula, α= at/r, se puede utilizar cuando se dan la aceleración tangencial y el radio.
  - La aceleración tangencial es una aceleración dirigida tangencialmente a la dirección del movimiento.
  - Imagine un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria curva. La aceleración tangencial es simplemente su aceleración lineal en cualquier punto a lo largo de todo el camino.
  - En el caso de la segunda fórmula, es más fácil ilustrarla relacionándola con conceptos de cinemática: desplazamiento, velocidad lineal y aceleración lineal.
  - El desplazamiento es la distancia recorrida por un objeto (la unidad SI es metros, m); la velocidad lineal es un indicador del cambio en el desplazamiento por unidad de tiempo (unidad SI - m/s); La aceleración lineal es una medida de cambio. velocidad lineal por unidad de tiempo (unidad SI – m/s 2).
  - Ahora veamos los análogos de estas cantidades en el movimiento de rotación: desplazamiento angular, θ - el ángulo de rotación de un determinado punto o segmento (unidad SI - rad); velocidad angular, ω – cambio en el desplazamiento angular por unidad de tiempo (unidad SI – rad/s); y aceleración angular, α – cambio en la velocidad angular por unidad de tiempo (unidad SI – rad/s 2).
  - Volviendo a nuestro ejemplo, nos dieron datos sobre el momento angular y el tiempo. Dado que la rotación comenzó desde el reposo, la velocidad angular inicial es 0. Podemos usar la ecuación para encontrar:
5. Utilice la ecuación, τ = Iα, para encontrar el par. Simplemente reemplaza las variables con las respuestas obtenidas en los pasos anteriores.
  - Puedes notar que la unidad "rad" no encaja en nuestras unidades de medida, ya que se considera una cantidad adimensional.
  - Esto significa que puedes ignorarlo y continuar con tus cálculos.
  - Para analizar unidades de medida, podemos expresar la aceleración angular en s -2.
- En el primer método, si el cuerpo es un círculo y su eje de rotación está en el centro, entonces no es necesario calcular las componentes de la fuerza (siempre que la fuerza no se aplique en ángulo), ya que la fuerza se encuentra en la tangente a la circunferencia, es decir perpendicular al brazo de momento.
- Si le resulta difícil imaginar cómo se produce la rotación, tome un bolígrafo e intente recrear la tarea. Para una reproducción más precisa, no olvide copiar la posición del eje de rotación y la dirección de la fuerza aplicada.

Momento de un par de fuerzas.

El momento de fuerza con respecto a cualquier punto (centro) es un vector numéricamente igual al producto del módulo de fuerza por el brazo, es decir a la distancia más corta desde el punto especificado hasta la línea de acción de la fuerza, y dirigida perpendicular al plano que pasa por el punto seleccionado y la línea de acción de la fuerza en la dirección desde la cual la "rotación" realizada por la fuerza alrededor el punto parece ocurrir en sentido antihorario. El momento de fuerza caracteriza su acción rotacional.

Si ACERCA DE– el punto con respecto al cual se encuentra el momento de la fuerza F, entonces el momento de fuerza se denota con el símbolo M o (F). Demostremos que si el punto de aplicación de la fuerza F determinado por el vector de radio r, entonces la relación es válida

M o (F)=r×F. (3.6)

Según esta relación el momento de la fuerza es igual al producto vectorial del vector r por el vector F.

De hecho, el módulo del producto vectorial es igual a

mes o ( F)=RF pecado = fh, (3.7)

Dónde h- hombro de fuerza. Tenga en cuenta también que el vector M o (F) dirigido perpendicular al plano que pasa por los vectores r Y F, en la dirección desde la cual el giro más corto del vector r a la dirección del vector F parece ocurrir en sentido antihorario. Por tanto, la fórmula (3.6) determina completamente el módulo y la dirección del momento de fuerza. F.

A veces es útil escribir la fórmula (3.7) en la forma

mes o ( F)=2S, (3.8)

Dónde S– área del triángulo OVA.

Dejar incógnita, y, z son las coordenadas del punto de aplicación de la fuerza, y F x, fy, F z– proyecciones de fuerza sobre los ejes de coordenadas. Entonces si el punto ACERCA DE se encuentra en el origen, el momento de fuerza se expresa de la siguiente manera:

De ello se deduce que las proyecciones del momento de fuerza sobre los ejes de coordenadas están determinadas por las fórmulas:

M buey(F)=yF z -zF y,

M oy(F)=zF x -xF z ,

M oy(F)=xF y -yF x. (3.10)

Introduzcamos ahora el concepto de proyección de fuerza sobre un plano.

Que se dé fuerza F y algún avión. Dejemos caer perpendiculares desde el principio y el final del vector de fuerza en este plano.

Proyección de fuerza sobre un plano. llamado vector , cuyo principio y final coinciden con la proyección del principio y la proyección del final de la fuerza sobre este plano.

Si tomamos el avión como avión en consideración. xoy, entonces la proyección de la fuerza F Habrá un vector en este avión. Fxy.

momento de fuerza Fxy relativo al punto ACERCA DE(puntos de intersección del eje z con avión xoy) se puede calcular usando la fórmula (3.9), si lo tomamos z=0, F z=0. obtenemos

METROoh(Fxy)=(xF y -yF x)k.

Por tanto, el momento se dirige a lo largo del eje. z, y su proyección sobre el eje z coincide exactamente con la proyección sobre el mismo eje del momento de fuerza F relativo al punto ACERCA DE. En otras palabras,

M Oz(F)=M Oz(Fxy)= xF y -yF x. (3.11)

Obviamente, se puede obtener el mismo resultado si proyectamos la fuerza F a cualquier otro plano paralelo xoy. En este caso, el punto de intersección del eje. z con el plano será diferente (denotamos el nuevo punto de intersección por ACERCA DE 1). Sin embargo, todas las cantidades incluidas en el lado derecho de la igualdad (3.11) incógnita, en, F x, F y permanecerá sin cambios y, por lo tanto, se puede escribir

M Oz(F)=MO 1 z ( Fxy).

En otras palabras, la proyección del momento de fuerza con respecto a un punto sobre un eje que pasa por este punto no depende de la elección del punto en el eje . Por lo tanto, en lo que sigue, en lugar del símbolo M Oz(F) usaremos el símbolo mz(F). Esta proyección de momento se llama momento de fuerza respecto al eje z. A menudo es más conveniente calcular el momento de una fuerza con respecto a un eje proyectando la fuerza F en un plano perpendicular al eje y calculando el valor mz(Fxy).

De acuerdo con la fórmula (3.7) y teniendo en cuenta el signo de la proyección, obtenemos:

mz(F)=mz(Fxy)=± F xyh*. (3.12)

Aquí h*– hombro de fuerza Fxy relativo al punto ACERCA DE. Si un observador ve desde la dirección positiva del eje z que la fuerza Fxy tiende a rotar el cuerpo alrededor de un eje z en el sentido contrario a las agujas del reloj, luego se toma el signo "+" y, en caso contrario, el signo "-".

La fórmula (3.12) permite formular siguiente regla para calcular el momento de la fuerza con respecto al eje. Para hacer esto necesitas:

· seleccione un punto arbitrario en el eje y construya un plano perpendicular al eje;

· proyectar una fuerza sobre este plano;

· determinar el brazo de la proyección de fuerza h*.

El momento de fuerza con respecto al eje es igual al producto del módulo de proyección de la fuerza sobre su hombro, tomado con el signo correspondiente (consulte la regla indicada anteriormente).

De la fórmula (3.12) se deduce que el momento de la fuerza respecto al eje es cero en dos casos:

· cuando la proyección de la fuerza sobre un plano perpendicular al eje es cero, es decir cuando la fuerza y el eje son paralelos ;

cuando la proyección del hombro h* es igual a cero, es decir cuando la línea de acción corta el eje .

Ambos casos se pueden combinar en uno: El momento de una fuerza respecto a un eje es cero si y sólo si la línea de acción de la fuerza y el eje están en el mismo plano. .

Tarea 3.1. Calcular relativo a un punto ACERCA DE momento de fuerza F, aplicado al punto A y una cara de cubo dirigida diagonalmente con lado A.

Al resolver este tipo de problemas, es aconsejable calcular primero los momentos de fuerza. F relativo a los ejes de coordenadas incógnita, y, z. Coordenadas de puntos A aplicación de fuerza F voluntad

Proyecciones de fuerza F en ejes de coordenadas:

Sustituyendo estos valores en igualdades (3.10), encontramos

Las mismas expresiones para momentos de fuerza. F con respecto a los ejes de coordenadas se puede obtener utilizando la fórmula (3.12). Para ello diseñamos la fuerza. F en un plano perpendicular al eje incógnita Y en. Es obvio que . Aplicando la regla expuesta anteriormente obtenemos, como era de esperar, las mismas expresiones:

, , .

El módulo del momento está determinado por la igualdad.

Introduzcamos ahora el concepto de momento de pareja. Primero, encontremos a qué es igual la suma de los momentos de las fuerzas que forman el par con respecto a un punto arbitrario. Dejar ACERCA DE es un punto arbitrario en el espacio, y F Y F" – Fuerzas que forman una pareja.

Entonces M o (F) = OA × F, M o (F")= transmisión exterior × F",

M o (F)+ M o (F")= OA × F+ transmisión exterior × F",

pero desde F=-F", Eso

M o (F)+ M o (F")= OA × F- transmisión exterior × F=(OA-transmisión exterior)× F.

Teniendo en cuenta la igualdad OA-OB=BA , finalmente encontramos:

M o (F)+ M o (F")= Virginia × F.

Por eso, la suma de los momentos de fuerzas que componen el par no depende de la posición del punto con respecto al cual se toman los momentos .

Ilustraciones vectoriales Virginia × F y se llama momento de pareja . El momento del par está indicado por el símbolo. M(F,F"), y

M(F,F")=Virginia × F= AB × F",

o, en resumen,

METRO=Virginia × F= AB × F". (3.13)

Considerando el lado derecho de esta igualdad, observamos que El momento de un par es un vector perpendicular al plano del par, igual en módulo al producto del módulo de una fuerza del par por el brazo del par (es decir, por la distancia más corta entre las líneas de acción de las fuerzas que componen el par) y dirigido en la dirección desde la cual la “rotación” del par es visible en sentido antihorario . Si h– el hombro de la pareja, entonces M(F,F")=h×F.

De la definición misma se desprende claramente que el momento de un par de fuerzas es un vector libre, cuya línea de acción no está definida (una justificación adicional para esta observación se desprende de los teoremas 2 y 3 de este capítulo).

Para que un par de fuerzas constituya un sistema equilibrado (un sistema de fuerzas equivalente a cero), es necesario y suficiente que el momento del par sea igual a cero. En efecto, si el momento de una pareja es cero, METRO=h×F, entonces cualquiera F=0, es decir sin fuerzas, ni el hombro de una pareja h es igual a cero. Pero en este caso, las fuerzas del par actuarán en línea recta; dado que son iguales en magnitud y están dirigidos en direcciones opuestas, entonces, según el axioma 1, formarán un sistema equilibrado. Por el contrario, si dos fuerzas F 1 Y F 2, que forman un par, están equilibrados, luego, basándose en el mismo axioma 1, actúan en línea recta. Pero en este caso el apalancamiento del par h es igual a cero y por lo tanto METRO=h×F=0.

Teoremas de pares

Demostremos tres teoremas con cuya ayuda se hacen posibles transformaciones equivalentes de pares. En todas las consideraciones debe recordarse que se refieren a pares que actúan sobre cualquier cuerpo sólido.

Teorema 1. Dos pares que se encuentran en el mismo plano se pueden reemplazar por un par que se encuentra en el mismo plano, con un momento igual a la suma de los momentos de estos dos pares.

Para probar este teorema, considere dos pares ( F 1,"F" 1) Y ( F 2,"F" 2) y mover los puntos de aplicación de todas las fuerzas a lo largo de las líneas de su acción a puntos A Y EN respectivamente. Sumando las fuerzas según el axioma 3, obtenemos

R=F1+F 2 Y R"=F" 1+"F" 2,

Pero F 1=-"F" 1 Y F 2=-"F" 2.

Por eso, R=-R", es decir. fortaleza R Y R" formar una pareja. Encontremos el momento de este par usando la fórmula (3.13):

M=M(R, R")=VA× R= VA× (F 1+F 2)=VA× F 1+VA× F 2. (3.14)

Cuando las fuerzas que componen el par se transfieren a lo largo de las líneas de su acción, ni el hombro ni el sentido de rotación del par cambian, por tanto, el momento del par tampoco cambia. Medio,

BA×F 1 =M(F 1,"F" 1)=m 1, VA× F2 = M(F 2,"F" 2)=m2

y la fórmula (3.14) tomará la forma

M=M1 +M2, (3.15)

lo que demuestra la validez del teorema formulado anteriormente.

Hagamos dos observaciones a este teorema.

1. Las líneas de acción de las fuerzas que forman los pares pueden resultar paralelas. El teorema sigue siendo válido en este caso, pero para demostrarlo se debe utilizar la regla de la suma de fuerzas paralelas.

2. Después de la suma puede resultar que METRO(R, R")=0; Con base en la observación hecha anteriormente, se deduce que la colección de dos pares ( F 1,"F" 1, F 2,"F" 2)=0.

Teorema 2. Dos pares que tienen momentos geométricamente iguales son equivalentes.

Deja el cuerpo en el avión. I par ( F 1,"F" 1) con momento m 1. Demostremos que este par puede ser reemplazado por otro con el par ( F 2,"F" 2), ubicado en el avión II, aunque solo sea su momento m2 es igual m 1(de acuerdo con la definición (ver 1.1) esto significará que los pares ( F 1,"F" 1) Y ( F 2,"F" 2) son equivalentes). En primer lugar, observamos que los aviones. I Y II deben ser paralelos, en particular pueden coincidir. En efecto, del paralelismo de los momentos m 1 Y m2(en nuestro caso m 1=m2) se deduce que los planos de acción de los pares perpendiculares a los momentos también son paralelos.

Introduzcamos un nuevo par ( F 3,"F" 3) y fíjelo junto con un par ( F 2,"F" 2) al cuerpo, colocando ambos pares en el plano II. Para hacer esto, de acuerdo con el axioma 2, debe seleccionar un par ( F 3,"F" 3) con momento M 3 de modo que el sistema de fuerzas aplicado ( F 2,"F" 2, F 3,"F" 3) estaba equilibrado. Esto se puede hacer, por ejemplo, de la siguiente manera: poner F 3=-"F" 1 Y F" 3 =-F 1 y combinar los puntos de aplicación de estas fuerzas con las proyecciones A 1 y EN 1 puntos A Y EN al avión II. De acuerdo con la construcción, tendremos: M 3 = -M 1 o, dado que M1 = M2,

M 2 + M 3 = 0.

Teniendo en cuenta la segunda observación del teorema anterior, obtenemos ( F 2,"F" 2, F 3,"F" 3)=0. Así, los pares ( F 2,"F" 2) Y ( F 3,"F" 3) están mutuamente equilibrados y su apego al cuerpo no viola su estado (axioma 2), de modo que

(F 1,"F" 1)= (F 1,"F" 1, F 2,"F" 2, F 3,"F" 3). (3.16)

Por otra parte, fuerzas F 1 Y F 3, y también "F" 1 Y "F" 3 se puede sumar de acuerdo con la regla de suma de fuerzas paralelas dirigidas en una dirección. En módulo, todas estas fuerzas son iguales entre sí, por lo tanto sus resultantes R Y R" debe aplicarse en el punto de intersección de las diagonales del rectángulo TEJIDO 1 A 1; además, son iguales en magnitud y están dirigidos en direcciones opuestas. Esto significa que constituyen un sistema equivalente a cero. Entonces,

(F 1,"F" 1, F 3,"F" 3)=(R, R")=0.

ahora podemos escribir

(F 1,"F" 1, F 2,"F" 2, F 3,"F" 3)=(F 3,"F" 3). (3.17)

Comparando las relaciones (3.16) y (3.17), obtenemos ( F 1,"F" 1)=(F 2,"F" 2), que era lo que había que demostrar.

De este teorema se deduce que un par de fuerzas pueden moverse en el plano de su acción y transferirse a un plano paralelo; finalmente, en un par puedes cambiar simultáneamente las fuerzas y el apalancamiento, manteniendo solo la dirección de rotación del par y la magnitud de su momento ( F 1 h 1 =F 2 h 2).

A continuación haremos un uso extensivo de dichas transformaciones de pares equivalentes.

Teorema 3. Dos pares que se encuentran en planos que se cruzan equivalen a un par cuyo momento es igual a la suma de los momentos de los dos pares dados.

Deja que las parejas ( F 1,"F" 1) Y ( F 2,"F" 2) están ubicados en planos que se cruzan I Y II respectivamente. Usando el corolario del Teorema 2, reducimos ambos pares al hombro AB, ubicado en la línea de intersección de los planos. I Y II. Denotemos los pares transformados por ( Pregunta 1,Q" 1) Y ( Pregunta 2,Q" 2). En este caso, las igualdades deben satisfacerse.

M 1 = M(Pregunta 1,Q" 1)=METRO(F 1,"F" 1) Y M2 = M(Pregunta 2,Q" 2)=METRO(F 2,"F" 2).

Sumemos, según el axioma, 3 fuerzas aplicadas en puntos A Y EN respectivamente. Entonces obtenemos R=Q1+Q2 Y R"=Q" 1 +Q" 2. considerando que Q"1 = -Q1 Y Q" 2 = -Q 2, obtenemos R=-R". Así, hemos demostrado que un sistema de dos pares equivale a un par ( R,R").

busquemos el momento METRO esta pareja. Basado en la fórmula (3.13) tenemos

METRO(R,R")=VA× (Pregunta 1 + Pregunta 2)=VA× Pregunta 1 + VA× Pregunta 2=

=METRO(Pregunta 1,Q" 1)+METRO(Pregunta 2,Q" 2)=METRO(F 1,"F" 1)+METRO(F 2,"F" 2)

M=M1 +M2,

aquellos. el teorema está demostrado.

Tenga en cuenta que el resultado obtenido también es válido para pares que se encuentran en planos paralelos. Según el teorema 2, dichos pares se pueden reducir a un plano y, según el teorema 1, se pueden reemplazar por un par cuyo momento es igual a la suma de los momentos de los pares constituyentes.

Los teoremas de pares demostrados anteriormente nos permiten sacar una conclusión importante: el momento de la pareja es un vector libre y determina completamente la acción de la pareja sobre un cuerpo absolutamente rígido . De hecho, ya hemos demostrado que si dos pares tienen los mismos momentos (por tanto, se encuentran en el mismo plano o en planos paralelos), entonces son equivalentes entre sí (Teorema 2). Por otro lado, dos pares que se encuentran en planos que se cruzan no pueden ser equivalentes, porque esto significaría que uno de ellos y el par opuesto al otro son equivalentes a cero, lo cual es imposible, ya que la suma de los momentos de dichos pares es distinta de cero.

Así, el concepto introducido de momento de pareja es sumamente útil, ya que refleja completamente acción mecánica parejas en el cuerpo. En este sentido, podemos decir que el momento representa de manera exhaustiva la acción de un par sobre un cuerpo rígido.

Para cuerpos deformables, la teoría de pares descrita anteriormente no es aplicable. Dos pares opuestos, que actúan, por ejemplo, en los extremos de una varilla, son equivalentes a cero desde el punto de vista de la estática de un cuerpo sólido. Mientras tanto, su acción sobre la varilla deformable provoca su torsión, y cuanto mayor es el módulo de momentos.

Pasemos a resolver el primer y segundo problema de la estática, cuando solo actúan pares de fuerzas sobre el cuerpo.