Movimiento de una función cuadrática. Trazar una gráfica de una función cuadrática. Guía visual (2019)

Una función de la forma donde se llama función cuadrática.

Cronograma función cuadrática – parábola.

Consideremos los casos:

CASO I, PARÁBOLA CLÁSICA

Eso es , ,

Para construir, complete la tabla sustituyendo los valores de x en la fórmula:

Marque los puntos (0;0); (1;1); (-1;1), etc. en el plano de coordenadas (cuanto menor sea el paso que damos, los valores de x (en en este caso paso 1), y cuantos más valores de x tomemos, más suave será la curva), obtenemos una parábola:

Es fácil ver que si tomamos el caso, es decir, obtenemos una parábola que es simétrica con respecto al eje (oh). Es fácil verificar esto completando una tabla similar:

II CASO, “a” ES DIFERENTE DE LA UNIDAD

¿Qué pasará si tomamos , , ? ¿Cómo cambiará el comportamiento de la parábola? Con título="Representado por QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

En la primera imagen (ver arriba) se ve claramente que los puntos de la tabla de la parábola (1;1), (-1;1) se transformaron en puntos (1;4), (1;-4), es decir, con los mismos valores se multiplica la ordenada de cada punto por 4. Esto sucederá con todos los puntos clave de la tabla original. Razonamos de manera similar en los casos de los cuadros 2 y 3.

Y cuando la parábola “se vuelve más ancha” que la parábola:

Resumamos:

1)El signo del coeficiente determina la dirección de las ramas. Con título="Representado por QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) valor absoluto El coeficiente (módulo) es responsable de la "expansión" y la "compresión" de la parábola. Cuanto más grande, más estrecha es la parábola; cuanto más pequeña |a|, más ancha es la parábola.

CASO III, APARECE “C”

Ahora introduzcamos en el juego (es decir, consideremos el caso en el que), consideraremos parábolas de la forma . No es difícil adivinar (siempre puedes consultar la tabla) que la parábola se desplazará hacia arriba o hacia abajo a lo largo del eje según el signo:

CASO IV, APARECE “b”

¿Cuándo se “separará” la parábola del eje y finalmente “caminará” a lo largo de todo el plano de coordenadas? ¿Cuándo dejará de ser igual?

Aquí para construir una parábola necesitamos. fórmula para calcular el vértice: , .

Entonces en este punto (como en el punto (0;0) nuevo sistema coordenadas) construiremos una parábola, lo cual ya podemos hacer. Si estamos tratando con el caso, entonces desde el vértice colocamos un segmento unitario hacia la derecha, uno hacia arriba, el punto resultante es nuestro (de manera similar, un paso hacia la izquierda, un paso hacia arriba es nuestro punto); si estamos tratando, por ejemplo, desde el vértice colocamos un segmento unitario hacia la derecha, dos hacia arriba, etc.

Por ejemplo, el vértice de una parábola:

Ahora lo principal que hay que entender es que en este vértice construiremos una parábola según el patrón de parábola, porque en nuestro caso.

Al construir una parábola después de encontrar las coordenadas del vértice muyEs conveniente considerar los siguientes puntos:

1) parábola definitivamente pasará por el punto . De hecho, sustituyendo x=0 en la fórmula, obtenemos que . Es decir, la ordenada del punto de intersección de la parábola con el eje (oy) es . En nuestro ejemplo (arriba), la parábola corta la ordenada en el punto , ya que .

2) eje de simetría parábolas es una línea recta, por lo que todos los puntos de la parábola serán simétricos con respecto a ella. En nuestro ejemplo, tomamos inmediatamente el punto (0; -2) y lo construimos simétrico con respecto al eje de simetría de la parábola, obtenemos el punto (4; -2) por el que pasará la parábola.

3) Igualando a , encontramos los puntos de intersección de la parábola con el eje (oh). Para ello, resolvemos la ecuación. Dependiendo del discriminante, obtendremos uno (,), dos ( title="Renderizado por QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . En el ejemplo anterior nuestra raíz del discriminante no es un número entero; al construir no tiene mucho sentido para nosotros encontrar las raíces, pero vemos claramente que tendremos dos puntos de intersección con el eje (oh) (desde title="Representado por QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Así que resolvámoslo

Algoritmo para construir una parábola si se da en la forma

1) determinar la dirección de las ramas (a>0 – arriba, a<0 – вниз)

2) encontramos las coordenadas del vértice de la parábola usando la fórmula, .

3) encontramos el punto de intersección de la parábola con el eje (oy) usando el término libre, construimos un punto simétrico a este punto con respecto al eje de simetría de la parábola (cabe señalar que sucede que no es rentable marcar este punto, por ejemplo, porque el valor es grande... nos saltamos este punto...)

4) En el punto encontrado, el vértice de la parábola (como en el punto (0;0) del nuevo sistema de coordenadas), construimos una parábola. Si título="Representado por QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Encontramos los puntos de intersección de la parábola con el eje (oy) (si aún no han “emergido”) resolviendo la ecuación

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Nota 1. Si la parábola se nos da inicialmente en la forma , donde están algunos números (por ejemplo, ), entonces será aún más fácil construirla, porque ya nos han dado las coordenadas del vértice . ¿Por qué?

Tomemos un trinomio cuadrático y aislemos el cuadrado completo en él: Mira, tenemos eso,. Tú y yo antes llamábamos al vértice de una parábola, es decir, ahora.

Por ejemplo, . Marcamos el vértice de la parábola en el plano, entendemos que las ramas se dirigen hacia abajo, la parábola está expandida (con respecto a ). Es decir, realizamos los puntos 1; 3; 4; 5 del algoritmo para construir una parábola (ver arriba).

Nota 2. Si la parábola se da en una forma similar a esta (es decir, se presenta como un producto de dos factores lineales), inmediatamente vemos los puntos de intersección de la parábola con el eje (ox). En este caso – (0;0) y (4;0). Por lo demás, actuamos según el algoritmo, abriendo los corchetes.

Muchos problemas requieren calcular el valor máximo o mínimo de una función cuadrática. El máximo o mínimo se puede encontrar si la función original está escrita en forma estándar: o mediante las coordenadas del vértice de la parábola: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Además, el máximo o mínimo de cualquier función cuadrática se puede calcular mediante operaciones matemáticas.

Pasos

La función cuadrática está escrita en forma estándar.

Escribe la función en forma estándar. Una función cuadrática es una función cuya ecuación involucra una variable x 2 (\displaystyle x^(2)). La ecuación puede incluir o no una variable. x (\displaystyle x). Si una ecuación incluye una variable con un exponente mayor que 2, no describe una función cuadrática. Si es necesario, proporcione términos similares y reorganícelos para escribir la función en forma estándar.

• Por ejemplo, dada la función f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). Agregar términos con variable x 2 (\displaystyle x^(2)) y miembros con variable x (\displaystyle x) para escribir la ecuación en forma estándar:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba o hacia abajo. Si el coeficiente un (displaystyle a) con variables x 2 (\displaystyle x^(2)) un (displaystyle a)

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). Aquí a = 2 (\displaystyle a=2)
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). Por tanto, aquí la parábola está dirigida hacia abajo.
   • f (x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). Aquí a = 1 (\displaystyle a=1), entonces la parábola está dirigida hacia arriba.
   • Si la parábola se dirige hacia arriba, es necesario buscar su mínimo. Si la parábola apunta hacia abajo, busque su máximo.

2. Calcule -b/2a. Significado − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) es la coordenada x (\displaystyle x) vértices de la parábola. Si una función cuadrática se escribe en forma estándar a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), utilice los coeficientes para x (\displaystyle x) Y x 2 (\displaystyle x^(2)) como sigue:

   • En los coeficientes de función. a = 1 (\displaystyle a=1) Y segundo = 10 (\displaystyle b=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • Como segundo ejemplo, considere la función. Aquí a = − 3 (\displaystyle a=-3) Y segundo = 6 (\displaystyle b=6). Por tanto, calcula la coordenada “x” del vértice de la parábola de la siguiente manera:
     • x = − b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x=1)

3. Encontrar valor correspondiente f(x). Inserte el valor encontrado de "x" en la función original para encontrar el valor correspondiente de f(x). De esta forma encontrarás el mínimo o máximo de la función.

   • En el primer ejemplo f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) has calculado que la coordenada x del vértice de la parábola es x = − 5 (\displaystyle x=-5). En la función original, en lugar de x (\displaystyle x) sustituto − 5 (\displaystyle -5)
     • f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • f (x) = − 26 (\displaystyle f(x)=-26)
   • En el segundo ejemplo f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) encontraste que la coordenada x del vértice de la parábola es x = 1 (\displaystyle x=1). En la función original, en lugar de x (\displaystyle x) sustituto 1 (\displaystyle 1) para encontrar su valor máximo:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • f (x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. Escribe tu respuesta. Vuelva a leer el enunciado del problema. Si necesitas encontrar las coordenadas del vértice de una parábola, escribe ambos valores en tu respuesta x (\displaystyle x) Y y (\displaystyle y)(o f (x) (\displaystyle f(x))). Si necesitas calcular el máximo o mínimo de una función, escribe solo el valor en tu respuesta y (\displaystyle y)(o f (x) (\displaystyle f(x))). Mira el signo del coeficiente nuevamente. un (displaystyle a) para comprobar si calculó el máximo o el mínimo.

   • En el primer ejemplo f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) significado un (displaystyle a) positivo, entonces has calculado el mínimo. El vértice de la parábola se encuentra en el punto de coordenadas (− 5 , − 26) (\displaystyle (-5,-26)), y el valor mínimo de la función es − 26 (\displaystyle -26).
   • En el segundo ejemplo f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) significado un (displaystyle a) negativo, entonces has encontrado el máximo. El vértice de la parábola se encuentra en el punto de coordenadas (1, − 1) (\displaystyle (1,-1)), y el valor máximo de la función es − 1 (\displaystyle -1).

5. Determina la dirección de la parábola. Para hacer esto, mira el signo del coeficiente. un (displaystyle a). Si el coeficiente un (displaystyle a) positiva, la parábola se dirige hacia arriba. Si el coeficiente un (displaystyle a) Negativo, la parábola se dirige hacia abajo. Por ejemplo:

   • . Aquí a = 2 (\displaystyle a=2), es decir, el coeficiente es positivo, por lo que la parábola está dirigida hacia arriba.
   • . Aquí a = − 3 (\displaystyle a=-3), es decir, el coeficiente es negativo, por lo que la parábola se dirige hacia abajo.
   • Si la parábola está dirigida hacia arriba, debes calcular el valor mínimo de la función. Si la parábola se dirige hacia abajo, necesitas encontrar el valor máximo de la función.

6. Encuentra el valor mínimo o máximo de la función. Si la función se escribe a través de las coordenadas del vértice de la parábola, el mínimo o máximo es igual al valor del coeficiente k (\displaystyle k). En los ejemplos anteriores:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Aquí k = − 4 (\displaystyle k=-4). Este es el valor mínimo de la función porque la parábola está dirigida hacia arriba.
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Aquí k = 2 (\displaystyle k=2). Este es el valor máximo de la función porque la parábola está dirigida hacia abajo.

7. Encuentra las coordenadas del vértice de la parábola. Si el problema requiere encontrar el vértice de una parábola, sus coordenadas son (h , k) (\displaystyle (h,k)). Tenga en cuenta que cuando una función cuadrática se escribe a través de las coordenadas del vértice de una parábola, la operación de resta debe estar entre paréntesis. (x − h) (\displaystyle (xh)), entonces el valor h (\displaystyle h) se toma con el signo opuesto.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Aquí la operación de suma (x+1) está entre paréntesis, que se puede reescribir de la siguiente manera: (x-(-1)). De este modo, h = − 1 (\displaystyle h=-1). Por tanto, las coordenadas del vértice de la parábola de esta función son iguales a (− 1 , − 4) (\displaystyle (-1,-4)).
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Aquí entre paréntesis está la expresión (x-2). Por eso, h = 2 (\displaystyle h=2). Las coordenadas del vértice son (2,2).

Cómo calcular el mínimo o el máximo mediante operaciones matemáticas

1. Primero, veamos la forma estándar de la ecuación. Escribe la función cuadrática en forma estándar: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Si es necesario, agregue términos similares y reorganícelos para obtener la ecuación estándar.

   • Por ejemplo: .

2. Encuentra la primera derivada. La primera derivada de una función cuadrática, que está escrita en forma estándar, es igual a f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). La primera derivada de esta función se calcula de la siguiente manera:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)

3. Iguala la derivada a cero. Recuerde que la derivada de una función es igual a la pendiente de la función en un punto determinado. En mínimo o máximo, la pendiente es cero. Por lo tanto, para encontrar el valor mínimo o máximo de una función, la derivada debe ser cero. En nuestro ejemplo.