Factorizar un trinomio cuadrático negativo. Factorizar un trinomio cuadrático

Un trinomio cuadrado es un polinomio de la forma ax^2 + bx + c, donde x es una variable, a, byc son algunos números y a ≠ 0.

Para factorizar un trinomio, necesitas conocer las raíces de ese trinomio. (más un ejemplo sobre el trinomio 5x^2 + 3x- 2)

Nota: el valor del trinomio cuadrático 5x^2 + 3x - 2 depende del valor de x. Por ejemplo: si x = 0, entonces 5x^2 + 3x - 2 = -2

Si x = 2, entonces 5x^2 + 3x - 2 = 24

Si x = -1, entonces 5x^2 + 3x - 2 = 0

En x = -1, el trinomio cuadrado 5x^2 + 3x - 2 desaparece, en este caso el número -1 se llama raíz de un trinomio cuadrado.

Cómo obtener la raíz de una ecuación.

Expliquemos cómo obtuvimos la raíz de esta ecuación. Primero es necesario tener claro el teorema y la fórmula con la que trabajaremos:

“Si x1 y x2 son raíces trinomio cuadrático ax^2 + bx + c, entonces ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)”.

X = (-b±√(b^2-4ac))/2a\

Esta fórmula para encontrar las raíces de un polinomio es la fórmula más primitiva con la que nunca te confundirás.

La expresión es 5x^2 + 3x – 2.

1. Igualar a cero: 5x^2 + 3x – 2 = 0

2. Encuentra las raíces de la ecuación cuadrática, para ello sustituimos los valores en la fórmula (a es el coeficiente de X^2, b es el coeficiente de X, el término libre, es decir, la figura sin X ):

Encontramos la primera raíz con un signo más delante de la raíz cuadrada:

Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

La segunda raíz con un signo menos delante de la raíz cuadrada:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Entonces hemos encontrado las raíces del trinomio cuadrático. Para asegurarte de que son correctas, puedes comprobar: primero sustituimos la primera raíz en la ecuación, luego la segunda:

1) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Si, después de sustituir todas las raíces, la ecuación se vuelve cero, entonces la ecuación se resuelve correctamente.

3. Ahora usemos la fórmula del teorema: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), recuerda que X1 y X2 son las raíces de la ecuación cuadrática. Entonces: 5x^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)

4. Para asegurarte de que la descomposición es correcta, simplemente puedes multiplicar los paréntesis:

5(x - 0,4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x – 0,4) = 5x^2 + 3 – 2. Lo que confirma la corrección de la decisión.

La segunda opción para encontrar las raíces de un trinomio cuadrado.

Otra opción para encontrar las raíces de un trinomio cuadrado es el teorema inverso al teorema de Viette. Aquí las raíces de la ecuación cuadrática se encuentran usando las fórmulas: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Pero es importante entender que este teorema sólo se puede utilizar si el coeficiente a = 1, es decir, el número delante de x^2 = 1.

Por ejemplo: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Resolvemos: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Ahora es importante pensar en qué números del producto dan uno. Naturalmente esto 1 * 1 Y -1 * (-1) . De estos números seleccionamos aquellos que corresponden a la expresión x1 + x2 = 2, por supuesto, esto es 1 + 1. Entonces encontramos las raíces de la ecuación: x1 = 1, x2 = 1. Esto es fácil de verificar si sustituya x^2 en la expresión - 2x + 1 = 0.

Un trinomio cuadrado es un polinomio de la forma ax^2+bx+c, donde x es una variable, a, byc son algunos números y a no es igual a cero.
En realidad, lo primero que necesitamos saber para factorizar el desafortunado trinomio es el teorema. Se ve así: "Si x1 y x2 son las raíces del trinomio cuadrado ax^2+bx+c, entonces ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)". Por supuesto, hay una prueba de este teorema, pero requiere algunos conocimientos teóricos (cuando sacamos el factor a en el polinomio ax^2+bx+c obtenemos ax^2+bx+c=a(x^2 +(b/a) x + c/a). Según el teorema de Viette, x1+x2=-(b/a), x1*x2=c/a, por lo tanto b/a=-(x1+x2), c/. a=x1*x2, x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1). -x2(x-x1 )= (x-x1)(x-x2). Esto significa ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) A veces los profesores te obligan a aprender la prueba, pero si no es necesario, le aconsejo que simplemente la memorice.

Paso 2

Tomemos como ejemplo el trinomio 3x^2-24x+21. Lo primero que debemos hacer es igualar el trinomio a cero: 3x^2-24x+21=0. Las raíces de la ecuación cuadrática resultante serán las raíces del trinomio, respectivamente.

Paso 3

Resolvamos la ecuación 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Entonces, decidamos. Quien no sabe decidir ecuaciones cuadráticas, mira mis instrucciones con 2 formas de resolverlas usando la misma ecuación como ejemplo. Las raíces resultantes son x1=7, x2=1.

Paso 4

Ahora que tenemos las raíces del trinomio, podemos sustituirlas con seguridad en la fórmula =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
obtenemos: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Puedes deshacerte del término a poniéndolo entre paréntesis: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
como resultado obtenemos: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Nota: cada uno de los factores resultantes ((x-7), (3x-3) son polinomios de primer grado. Eso es todo el desarrollo =) Si dudas de la respuesta recibida, siempre puedes comprobarla multiplicando los paréntesis.

Paso 5

Comprobando la solución. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. ¡Ahora sabemos con certeza que nuestra decisión es correcta! Espero que mis instrucciones ayuden a alguien =) ¡Buena suerte con tus estudios!

En nuestro caso, en la ecuación D > 0 y obtuvimos 2 raíces. Si hubiera una D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
Si un trinomio cuadrado no tiene raíces, entonces no se puede factorizar, que son polinomios de primer grado.

Desarrollar polinomios para obtener un producto a veces puede parecer confuso. Pero no es tan difícil si entiendes el proceso paso a paso. El artículo describe en detalle cómo factorizar un trinomio cuadrático.

Mucha gente no entiende cómo factorizar un trinomio cuadrado y por qué se hace. Al principio puede parecer un ejercicio inútil. Pero en matemáticas nada se hace por nada. La transformación es necesaria para simplificar la expresión y facilitar el cálculo.

Un polinomio de la forma – ax²+bx+c, llamado trinomio cuadrático. El término "a" debe ser negativo o positivo. En la práctica, esta expresión se llama ecuación cuadrática. Por eso, a veces lo dicen de otra manera: cómo expandir una ecuación cuadrática.

¡Interesante! Un polinomio se llama cuadrado debido a su mayor grado, el cuadrado. Y un trinomio, debido a los 3 componentes.

Algunos otros tipos de polinomios:

binomio lineal (6x+8);
cuadrinomio cúbico (x³+4x²-2x+9).

Factorizar un trinomio cuadrático

Primero, la expresión es igual a cero, luego necesitas encontrar los valores de las raíces x1 y x2. Puede que no haya raíces, puede que haya una o dos raíces. La presencia de raíces está determinada por el discriminante. Es necesario saber de memoria su fórmula: D=b²-4ac.

Si el resultado D es negativo, no hay raíces. Si es positivo, hay dos raíces. Si el resultado es cero, la raíz es uno. Las raíces también se calculan mediante la fórmula.

Si al calcular el discriminante el resultado es cero, puedes utilizar cualquiera de las fórmulas. En la práctica, la fórmula simplemente se abrevia: -b / 2a.

Las fórmulas para diferentes valores discriminantes son diferentes.

Si D es positivo:

Si D es cero:

Calculadoras en línea

Hay una calculadora en línea en Internet. Se puede utilizar para realizar factorización. Algunos recursos brindan la oportunidad de ver la solución paso a paso. Estos servicios ayudan a comprender mejor el tema, pero es necesario intentar comprenderlo bien.

Vídeo útil: Factorizar un trinomio cuadrático

Ejemplos

Sugerimos mirar ejemplos simples de cómo factorizar una ecuación cuadrática.

Ejemplo 1

Esto muestra claramente que el resultado son dos x porque D es positivo. Deben sustituirse en la fórmula. Si las raíces resultan negativas, el signo en la fórmula cambia al contrario.

Conocemos la fórmula para factorizar un trinomio cuadrático: a(x-x1)(x-x2). Ponemos entre paréntesis los valores: (x+3)(x+2/3). No hay ningún número antes de un término en una potencia. Esto significa que hay uno ahí, baja.

Ejemplo 2

Este ejemplo muestra claramente cómo resolver una ecuación que tiene una raíz.

Sustituimos el valor resultante:

Ejemplo 3

Dado: 5x²+3x+7

Primero, calculemos el discriminante, como en casos anteriores.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

El discriminante es negativo, lo que significa que no hay raíces.

Después de recibir el resultado, debe abrir los corchetes y verificar el resultado. Debería aparecer el trinomio original.

Solución alternativa

Algunas personas nunca pudieron entablar amistad con el discriminador. Hay otra forma de factorizar un trinomio cuadrático. Por conveniencia, el método se muestra con un ejemplo.

Dado: x²+3x-10

Sabemos que deberíamos obtener 2 corchetes: (_)(_). Cuando la expresión queda así: x²+bx+c, al principio de cada paréntesis ponemos x: (x_)(x_). Los dos números restantes son el producto que da “c”, es decir, en este caso -10. La única forma de saber qué números son es mediante selección. Los números sustituidos deben corresponder al término restante.

Por ejemplo, multiplicar los siguientes números da -10:

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. No.
(x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. No.
(x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. No.
(x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Encaja.

Esto significa que la transformación de la expresión x2+3x-10 se ve así: (x-2)(x+5).

¡Importante! Debes tener cuidado de no confundir las señales.

Expansión de un trinomio complejo

Si “a” es mayor que uno, comienzan las dificultades. Pero no todo es tan difícil como parece.

Para factorizar, primero debes ver si se puede factorizar algo.

Por ejemplo, dada la expresión: 3x²+9x-30. Aquí el número 3 está fuera de paréntesis:

3(x²+3x-10). El resultado es el ya conocido trinomio. La respuesta se ve así: 3(x-2)(x+5)

¿Cómo descomponer si el término que está en el cuadrado es negativo? En este caso, el número -1 se quita de paréntesis. Por ejemplo: -x²-10x-8. La expresión entonces se verá así:

El esquema difiere poco del anterior. Sólo hay algunas cosas nuevas. Digamos que se da la expresión: 2x²+7x+3. La respuesta también está escrita entre 2 corchetes que deben completarse (_)(_). En el segundo paréntesis se escribe x, y en el primero lo que queda. Se ve así: (2x_)(x_). En caso contrario se repite el esquema anterior.

El número 3 viene dado por los números:

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

Resolvemos ecuaciones sustituyendo estos números. La última opción es adecuada. Esto significa que la transformación de la expresión 2x²+7x+3 se ve así: (2x+1)(x+3).

Otros casos

No siempre es posible convertir una expresión. Con el segundo método, no es necesario resolver la ecuación. Pero la posibilidad de transformar términos en un producto sólo se controla a través del discriminante.

Vale la pena practicar la resolución de ecuaciones cuadráticas para que no surjan dificultades al utilizar las fórmulas.

Vídeo útil: factorizar un trinomio

Conclusión

Puedes usarlo de cualquier manera. Pero es mejor practicar ambos hasta que se vuelvan automáticos. Además, aprender a resolver bien ecuaciones cuadráticas y factorizar polinomios es necesario para quienes planean conectar sus vidas con las matemáticas. Todos los siguientes temas matemáticos se basan en esto.

En esta lección aprenderemos a factorizar trinomios cuadráticos en factores lineales. Para ello, debemos recordar el teorema de Vieta y su recíproco. Esta habilidad nos ayudará a expandir rápida y cómodamente trinomios cuadráticos en factores lineales y también simplificará la reducción de fracciones que consisten en expresiones.

Entonces volvamos a la ecuación cuadrática, donde .

Lo que tenemos en el lado izquierdo se llama trinomio cuadrático.

El teorema es cierto: Si son las raíces de un trinomio cuadrático, entonces la identidad se cumple

¿Dónde está el coeficiente principal? Son las raíces de la ecuación.

Entonces, tenemos una ecuación cuadrática: un trinomio cuadrático, donde las raíces de la ecuación cuadrática también se llaman raíces del trinomio cuadrático. Por tanto, si tenemos las raíces de un trinomio cuadrado, entonces este trinomio se descompone en factores lineales.

Prueba:

La demostración de este hecho se lleva a cabo utilizando el teorema de Vieta, que comentamos en lecciones anteriores.

Recordemos lo que nos dice el teorema de Vieta:

Si son las raíces de un trinomio cuadrático para el cual, entonces.

De este teorema se desprende la siguiente afirmación:

Vemos que, según el teorema de Vieta, es decir, sustituyendo estos valores en la fórmula anterior, obtenemos la siguiente expresión

Q.E.D.

Recuerde que demostramos el teorema de que si son las raíces de un trinomio cuadrado, entonces la expansión es válida.

Ahora recordemos un ejemplo de ecuación cuadrática, a la que seleccionamos raíces usando el teorema de Vieta. De este hecho podemos obtener la siguiente igualdad gracias al teorema demostrado:

Ahora comprobemos la exactitud de este hecho simplemente abriendo los corchetes:

Vemos que factorizamos correctamente, y cualquier trinomio, si tiene raíces, se puede factorizar según este teorema en factores lineales según la fórmula

Sin embargo, comprobemos si dicha factorización es posible para cualquier ecuación:

Tomemos, por ejemplo, la ecuación. Primero, verifiquemos el signo discriminante.

Y recordamos que para cumplir el teorema que aprendimos, D debe ser mayor que 0, por lo que en este caso la factorización según el teorema que aprendimos es imposible.

Por tanto, formulamos un nuevo teorema: si un trinomio cuadrado no tiene raíces, entonces no se puede descomponer en factores lineales.

Entonces, analizamos el teorema de Vieta, la posibilidad de descomponer un trinomio cuadrático en factores lineales, y ahora resolveremos varios problemas.

Tarea número 1

En este grupo realmente resolveremos el problema inverso al planteado. Teníamos una ecuación y encontramos sus raíces factorizándola. Aquí haremos lo contrario. Digamos que tenemos las raíces de una ecuación cuadrática.

El problema inverso es este: escribe una ecuación cuadrática usando sus raíces.

Hay 2 formas de solucionar este problema.

Como son las raíces de la ecuación, entonces es una ecuación cuadrática cuyas raíces están dadas por números. Ahora abramos los corchetes y verifiquemos:

Esta fue la primera forma en que creamos una ecuación cuadrática con raíces dadas, que no tiene otras raíces, ya que cualquier ecuación cuadrática tiene como máximo dos raíces.

Este método implica el uso del teorema inverso de Vieta.

Si son las raíces de la ecuación, entonces satisfacen la condición de que .

Para la ecuación cuadrática reducida , , es decir, en este caso, y .

Por tanto, hemos creado una ecuación cuadrática que tiene las raíces dadas.

Tarea número 2

Es necesario reducir la fracción.

Tenemos un trinomio en el numerador y un trinomio en el denominador, y los trinomios pueden estar factorizados o no. Si se factorizan tanto el numerador como el denominador, entonces entre ellos puede haber factores iguales que se pueden reducir.

Primero que nada, debes factorizar el numerador.

Primero, debes verificar si esta ecuación se puede factorizar, encontremos el discriminante. Dado que , el signo depende del producto (debe ser menor que 0), en este ejemplo, es decir, la ecuación dada tiene raíces.

Para resolverlo utilizamos el teorema de Vieta:

En este caso, dado que estamos tratando con raíces, será bastante difícil seleccionar simplemente las raíces. Pero vemos que los coeficientes están balanceados, es decir, si asumimos que , y sustituimos este valor en la ecuación, obtenemos el siguiente sistema: , es decir, 5-5=0. Por tanto, hemos seleccionado una de las raíces de esta ecuación cuadrática.

Buscaremos la segunda raíz sustituyendo lo que ya se sabe en el sistema de ecuaciones, por ejemplo, , es decir .

Así, hemos encontrado ambas raíces de la ecuación cuadrática y podemos sustituir sus valores en la ecuación original para factorizarla:

Recordemos el problema original, necesitábamos reducir la fracción.

Intentemos resolver el problema sustituyendo .

No hay que olvidar que en este caso el denominador no puede ser igual a 0, es decir, .

Si se cumplen estas condiciones, entonces hemos reducido la fracción original a la forma.

Problema número 3 (tarea con un parámetro)

¿A qué valores del parámetro es la suma de las raíces de la ecuación cuadrática?

Si las raíces de esta ecuación existen, entonces , pregunta: cuando.