Los números primos son uno de los fenómenos matemáticos más interesantes que han atraído la atención de científicos y ciudadanos comunes y corrientes durante más de dos milenios. A pesar de que vivimos en la era de las computadoras y de los programas de información más modernos, muchos enigmas de los números primos aún no se han resuelto; incluso hay algunos que los científicos no saben cómo abordar;
Los números primos son, como se sabe en el curso de aritmética elemental, aquellos que son divisibles sin resto sólo por uno y por sí mismo. Por cierto, si un número natural es divisible, además de los enumerados anteriormente, por cualquier otro número, entonces se llama compuesto. Uno de los teoremas más famosos afirma que cualquier número compuesto se puede representar como un único producto posible de números primos.
Algunos datos interesantes. En primer lugar, la unidad es única en el sentido de que, de hecho, no pertenece ni a números primos ni a compuestos. Al mismo tiempo, en la comunidad científica todavía es costumbre atribuirlo específicamente al primer grupo, ya que formalmente cumple plenamente con sus requisitos.
En segundo lugar, el único número par incluido en el grupo de los “números primos” es, naturalmente, dos. Cualquier otro número par simplemente no puede llegar aquí, ya que por definición, además de él mismo y uno, también es divisible por dos.
Los números primos, cuya lista, como se dijo anteriormente, puede comenzar con uno, representan una serie infinita, tan infinita como la serie de los números naturales. Basándonos en el teorema fundamental de la aritmética, podemos llegar a la conclusión de que los números primos nunca se interrumpen ni terminan nunca, ya que de lo contrario la serie de números naturales se interrumpiría inevitablemente.
Los números primos no aparecen al azar en las series naturales, como podría parecer a primera vista. Tras analizarlos detenidamente, se pueden notar inmediatamente varias características, las más interesantes de las cuales están asociadas con los llamados números "gemelos". Se llaman así porque de alguna manera incomprensible terminaron uno al lado del otro, separados solo por un delimitador par (cinco y siete, diecisiete y diecinueve).
Si los miras de cerca, notarás que la suma de estos números es siempre múltiplo de tres. Además, al dividir el uno de la izquierda entre tres, el resto siempre queda dos y el de la derecha siempre queda uno. Además, la distribución misma de estos números a lo largo de la serie natural se puede predecir si imaginamos toda esta serie en forma de sinusoides oscilatorias, cuyos puntos principales se forman cuando los números se dividen entre tres y dos.
Los números primos no sólo son objeto de una cuidadosa consideración por parte de los matemáticos de todo el mundo, sino que también se utilizan con éxito desde hace mucho tiempo en la compilación de diversas series de números, que son la base, entre otras cosas, de la criptografía. Hay que reconocer que una gran cantidad de misterios relacionados con estos maravillosos elementos aún esperan ser resueltos; muchas cuestiones no sólo tienen importancia filosófica sino también práctica;
- Traducción
Las propiedades de los números primos fueron estudiadas por primera vez por los matemáticos. Antigua Grecia. Los matemáticos de la escuela pitagórica (500 - 300 a. C.) estaban interesados principalmente en las propiedades místicas y numerológicas de los números primos. Fueron los primeros en proponer ideas sobre números perfectos y amigables.
Un número perfecto tiene una suma de sus propios divisores igual a él mismo. Por ejemplo, los divisores propios del número 6 son 1, 2 y 3. 1 + 2 + 3 = 6. Los divisores del número 28 son 1, 2, 4, 7 y 14. Además, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Los números se llaman amigables si la suma de los divisores propios de un número es igual a otro, y viceversa, por ejemplo, 220 y 284. Podemos decir que un número perfecto es amigable consigo mismo.
En la época de los Elementos de Euclides en el año 300 a.C. varios ya han sido probados hechos importantes respecto a los números primos. En el Libro IX de los Elementos, Euclides demostró que los números primos número infinito. Este, dicho sea de paso, es uno de los primeros ejemplos del uso de la prueba por contradicción. También demuestra el teorema fundamental de la aritmética: cada número entero se puede representar de forma única como producto de números primos.
También demostró que si el número 2n-1 es primo, entonces el número 2n-1 * (2n-1) será perfecto. Otro matemático, Euler, pudo demostrar en 1747 que todos los números pares perfectos se pueden escribir de esta forma. Hasta el día de hoy se desconoce si existen números perfectos impares.
En el año 200 a.C. Al griego Eratóstenes se le ocurrió un algoritmo para encontrar números primos llamado el Tamiz de Eratóstenes.
Y luego hubo una gran ruptura en la historia del estudio de los números primos, asociada con la Edad Media.
Los siguientes descubrimientos los hizo el matemático Fermat ya a principios del siglo XVII. Demostró la conjetura de Albert Girard de que cualquier número primo de la forma 4n+1 puede escribirse únicamente como la suma de dos cuadrados, y también formuló el teorema de que cualquier número puede escribirse como la suma de cuatro cuadrados.
Él desarrolló Nuevo método factorización de números grandes, y lo demostró en el número 2027651281 = 44021 × 46061. También demostró el pequeño teorema de Fermat: si p es un número primo, entonces para cualquier entero a será cierto que a p = a módulo p.
Esta afirmación prueba la mitad de lo que se conoció como la "conjetura china" y que data de hace 2000 años: un número entero n es primo si y sólo si 2 n -2 es divisible por n. La segunda parte de la hipótesis resultó ser falsa; por ejemplo, 2341 - 2 es divisible por 341, aunque el número 341 es compuesto: 341 = 31 × 11.
El pequeño teorema de Fermat sirvió de base para muchos otros resultados en teoría de números y métodos para comprobar si los números son primos, muchos de los cuales todavía se utilizan en la actualidad.
Fermat mantuvo mucha correspondencia con sus contemporáneos, especialmente con un monje llamado Maren Mersenne. En una de sus cartas, planteó la hipótesis de que los números de la forma 2 n +1 siempre serán primos si n es una potencia de dos. Probó esto para n = 1, 2, 4, 8 y 16, y confió en que en el caso en que n no fuera una potencia de dos, el número no era necesariamente primo. Estos números se llaman números de Fermat, y sólo 100 años después, Euler demostró que el siguiente número, 2 32 + 1 = 4294967297, es divisible por 641 y, por tanto, no es primo.
Los números de la forma 2 n - 1 también han sido objeto de investigación, ya que es fácil demostrar que si n es compuesto, entonces el número en sí también lo es. Estos números se llaman números de Mersenne porque los estudió exhaustivamente.
Pero no todos los números de la forma 2 n - 1, donde n es primo, son primos. Por ejemplo, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Esto se descubrió por primera vez en 1536.
Durante muchos años, números de este tipo proporcionaron a los matemáticos los números primos más grandes conocidos. Que M 19 fue demostrado por Cataldi en 1588, y durante 200 años fue el mayor número primo conocido, hasta que Euler demostró que M 31 también era primo. Este récord se mantuvo durante otros cien años, y luego Lucas demostró que M 127 es primo (y este ya es un número de 39 dígitos), y luego la investigación continuó con la llegada de las computadoras.
En 1952 se demostró la primacía de los números M 521, M 607, M 1279, M 2203 y M 2281.
En 2005, se habían encontrado 42 números primos de Mersenne. El mayor de ellos, M 25964951, consta de 7816230 dígitos.
El trabajo de Euler tuvo un gran impacto en la teoría de los números, incluidos los números primos. Amplió el pequeño teorema de Fermat e introdujo la función φ. Factoricé el quinto número de Fermat 2 32 +1, encontré 60 pares de números amigos y formulé (pero no pude probar) la ley de reciprocidad cuadrática.
Fue el primero en introducir métodos de análisis matemático y desarrollar la teoría analítica de números. Demostró que no sólo la serie armónica ∑ (1/n), sino también una serie de la forma
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…
El resultado obtenido por la suma de los recíprocos de números primos también diverge. La suma de n términos de la serie armónica crece aproximadamente como log(n), y la segunda serie diverge más lentamente como log[log(n)]. Esto significa que, por ejemplo, la suma de los recíprocos de todos los números primos encontrados hasta la fecha dará solo 4, aunque la serie aún diverge.
A primera vista, parece que los números primos se distribuyen de forma bastante aleatoria entre los números enteros. Por ejemplo, entre los 100 números inmediatamente anteriores a 10000000 hay 9 números primos, y entre los 100 números inmediatamente después de este valor sólo hay 2. Pero en segmentos grandes los números primos se distribuyen de manera bastante uniforme. Legendre y Gauss se ocuparon de cuestiones relativas a su distribución. Gauss le dijo una vez a un amigo que en 15 minutos libres siempre cuenta el número de números primos de los siguientes 1.000 números. Al final de su vida, había contado todos los números primos hasta 3 millones. Legendre y Gauss calcularon igualmente que para n grande la densidad prima es 1/log(n). Legendre estimó el número de números primos en el rango de 1 an como
π(norte) = norte/(log(norte) - 1,08366)
Y Gauss es como una integral logarítmica.
π(n) = ∫ 1/log(t) dt
Con un intervalo de integración de 2 a n.
La afirmación sobre la densidad prima 1/log(n) se conoce como teorema de distribución prima. Intentaron demostrarlo a lo largo del siglo XIX, y Chebyshev y Riemann lograron avances. Lo relacionaron con la hipótesis de Riemann, una hipótesis aún no probada sobre la distribución de ceros de la función zeta de Riemann. La densidad de los números primos fue demostrada simultáneamente por Hadamard y Vallée-Poussin en 1896.
Todavía quedan muchas cuestiones sin resolver en la teoría de los números primos, algunas de las cuales tienen cientos de años:
- La hipótesis de los primos gemelos trata sobre un número infinito de pares de números primos que difieren entre sí en 2
- Conjetura de Goldbach: cualquier número par, empezando por 4, se puede representar como la suma de dos números primos
- ¿Existe un número infinito de números primos de la forma n 2 + 1?
- ¿Es siempre posible encontrar un número primo entre n 2 y (n + 1) 2? (Chebyshev demostró el hecho de que siempre hay un número primo entre n y 2n)
- ¿Es infinito el número de primos de Fermat? ¿Hay primos de Fermat después de 4?
- existe progresión aritmética de números primos consecutivos para cualquier longitud dada? por ejemplo, para longitud 4: 251, 257, 263, 269. La longitud máxima encontrada es 26.
- ¿Existe un número infinito de conjuntos de tres números primos consecutivos en una progresión aritmética?
- n 2 - n + 41 es un número primo para 0 ≤ n ≤ 40. ¿Existe un número infinito de tales números primos? La misma pregunta para la fórmula n 2 - 79 n + 1601. Estos números son primos para 0 ≤ n ≤ 79.
- ¿Existe un número infinito de números primos de la forma n# + 1? (n# es el resultado de multiplicar todos los números primos menores que n)
- ¿Existe un número infinito de números primos de la forma n# -1?
- ¿Existe un número infinito de números primos de la forma n? + 1?
- ¿Existe un número infinito de números primos de la forma n? - 1?
- Si p es primo, ¿2 p -1 no siempre contiene cuadrados primos entre sus factores?
- ¿La secuencia de Fibonacci contiene un número infinito de números primos?
Los números primos gemelos más grandes son 2003663613 × 2 195000 ± 1. Constan de 58711 dígitos y fueron descubiertos en 2007.
¡El número primo factorial más grande (del tipo n! ± 1) es 147855! - 1. Consta de 142891 dígitos y fue encontrado en el año 2002.
El número primo primordial más grande (un número de la forma n# ± 1) es 1098133# + 1.
- Traducción
Las propiedades de los números primos fueron estudiadas por primera vez por los matemáticos de la antigua Grecia. Los matemáticos de la escuela pitagórica (500 - 300 a. C.) estaban interesados principalmente en las propiedades místicas y numerológicas de los números primos. Fueron los primeros en proponer ideas sobre números perfectos y amigables.
Un número perfecto tiene una suma de sus propios divisores igual a él mismo. Por ejemplo, los divisores propios del número 6 son 1, 2 y 3. 1 + 2 + 3 = 6. Los divisores del número 28 son 1, 2, 4, 7 y 14. Además, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Los números se llaman amigables si la suma de los divisores propios de un número es igual a otro, y viceversa, por ejemplo, 220 y 284. Podemos decir que un número perfecto es amigable consigo mismo.
En la época de los Elementos de Euclides en el año 300 a.C. Ya se han demostrado varios hechos importantes sobre los números primos. En el Libro IX de los Elementos, Euclides demostró que existe un número infinito de números primos. Este, por cierto, es uno de los primeros ejemplos del uso de la prueba por contradicción. También demuestra el teorema fundamental de la aritmética: cada número entero se puede representar de forma única como producto de números primos.
También demostró que si el número 2n-1 es primo, entonces el número 2n-1 * (2n-1) será perfecto. Otro matemático, Euler, pudo demostrar en 1747 que todos los números pares perfectos se pueden escribir de esta forma. Hasta el día de hoy se desconoce si existen números perfectos impares.
En el año 200 a.C. Al griego Eratóstenes se le ocurrió un algoritmo para encontrar números primos llamado el Tamiz de Eratóstenes.
Y luego hubo una gran ruptura en la historia del estudio de los números primos, asociada con la Edad Media.
Los siguientes descubrimientos los hizo el matemático Fermat ya a principios del siglo XVII. Demostró la conjetura de Albert Girard de que cualquier número primo de la forma 4n+1 puede escribirse únicamente como la suma de dos cuadrados, y también formuló el teorema de que cualquier número puede escribirse como la suma de cuatro cuadrados.
Desarrolló un nuevo método para factorizar números grandes y lo demostró con el número 2027651281 = 44021 × 46061. También demostró el pequeño teorema de Fermat: si p es un número primo, entonces para cualquier entero a será cierto que a p = a módulo pag.
Esta afirmación prueba la mitad de lo que se conoció como la "conjetura china" y que data de hace 2000 años: un número entero n es primo si y sólo si 2 n -2 es divisible por n. La segunda parte de la hipótesis resultó ser falsa; por ejemplo, 2341 - 2 es divisible por 341, aunque el número 341 es compuesto: 341 = 31 × 11.
El pequeño teorema de Fermat sirvió de base para muchos otros resultados en teoría de números y métodos para comprobar si los números son primos, muchos de los cuales todavía se utilizan en la actualidad.
Fermat mantuvo mucha correspondencia con sus contemporáneos, especialmente con un monje llamado Maren Mersenne. En una de sus cartas, planteó la hipótesis de que los números de la forma 2 n +1 siempre serán primos si n es una potencia de dos. Probó esto para n = 1, 2, 4, 8 y 16, y confió en que en el caso en que n no fuera una potencia de dos, el número no era necesariamente primo. Estos números se llaman números de Fermat, y sólo 100 años después, Euler demostró que el siguiente número, 2 32 + 1 = 4294967297, es divisible por 641 y, por tanto, no es primo.
Los números de la forma 2 n - 1 también han sido objeto de investigación, ya que es fácil demostrar que si n es compuesto, entonces el número en sí también lo es. Estos números se llaman números de Mersenne porque los estudió exhaustivamente.
Pero no todos los números de la forma 2 n - 1, donde n es primo, son primos. Por ejemplo, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Esto se descubrió por primera vez en 1536.
Durante muchos años, números de este tipo proporcionaron a los matemáticos los números primos más grandes conocidos. Que M 19 fue demostrado por Cataldi en 1588, y durante 200 años fue el mayor número primo conocido, hasta que Euler demostró que M 31 también era primo. Este récord se mantuvo durante otros cien años, y luego Lucas demostró que M 127 es primo (y este ya es un número de 39 dígitos), y luego la investigación continuó con la llegada de las computadoras.
En 1952 se demostró la primacía de los números M 521, M 607, M 1279, M 2203 y M 2281.
En 2005, se habían encontrado 42 números primos de Mersenne. El mayor de ellos, M 25964951, consta de 7816230 dígitos.
El trabajo de Euler tuvo un gran impacto en la teoría de los números, incluidos los números primos. Amplió el pequeño teorema de Fermat e introdujo la función φ. Factoricé el quinto número de Fermat 2 32 +1, encontré 60 pares de números amigos y formulé (pero no pude probar) la ley de reciprocidad cuadrática.
Fue el primero en introducir métodos de análisis matemático y desarrollar la teoría analítica de números. Demostró que no sólo la serie armónica ∑ (1/n), sino también una serie de la forma
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…
El resultado obtenido por la suma de los recíprocos de números primos también diverge. La suma de n términos de la serie armónica crece aproximadamente como log(n), y la segunda serie diverge más lentamente como log[log(n)]. Esto significa que, por ejemplo, la suma de los recíprocos de todos los números primos encontrados hasta la fecha dará solo 4, aunque la serie aún diverge.
A primera vista, parece que los números primos se distribuyen de forma bastante aleatoria entre los números enteros. Por ejemplo, entre los 100 números inmediatamente anteriores a 10000000 hay 9 números primos, y entre los 100 números inmediatamente después de este valor sólo hay 2. Pero en segmentos grandes los números primos se distribuyen de manera bastante uniforme. Legendre y Gauss se ocuparon de cuestiones relativas a su distribución. Gauss le dijo una vez a un amigo que en 15 minutos libres siempre cuenta el número de números primos de los siguientes 1.000 números. Al final de su vida, había contado todos los números primos hasta 3 millones. Legendre y Gauss calcularon igualmente que para n grande la densidad prima es 1/log(n). Legendre estimó el número de números primos en el rango de 1 an como
π(norte) = norte/(log(norte) - 1,08366)
Y Gauss es como una integral logarítmica.
π(n) = ∫ 1/log(t) dt
Con un intervalo de integración de 2 a n.
La afirmación sobre la densidad prima 1/log(n) se conoce como teorema de distribución prima. Intentaron demostrarlo a lo largo del siglo XIX, y Chebyshev y Riemann lograron avances. Lo relacionaron con la hipótesis de Riemann, una hipótesis aún no probada sobre la distribución de ceros de la función zeta de Riemann. La densidad de los números primos fue demostrada simultáneamente por Hadamard y Vallée-Poussin en 1896.
Todavía quedan muchas cuestiones sin resolver en la teoría de los números primos, algunas de las cuales tienen cientos de años:
- La hipótesis de los primos gemelos trata sobre un número infinito de pares de números primos que difieren entre sí en 2
- Conjetura de Goldbach: cualquier número par, empezando por 4, se puede representar como la suma de dos números primos
- ¿Existe un número infinito de números primos de la forma n 2 + 1?
- ¿Es siempre posible encontrar un número primo entre n 2 y (n + 1) 2? (Chebyshev demostró el hecho de que siempre hay un número primo entre n y 2n)
- ¿Es infinito el número de primos de Fermat? ¿Hay primos de Fermat después de 4?
- ¿Existe una progresión aritmética de números primos consecutivos para una longitud determinada? por ejemplo, para longitud 4: 251, 257, 263, 269. La longitud máxima encontrada es 26.
- ¿Existe un número infinito de conjuntos de tres números primos consecutivos en una progresión aritmética?
- n 2 - n + 41 es un número primo para 0 ≤ n ≤ 40. ¿Existe un número infinito de tales números primos? La misma pregunta para la fórmula n 2 - 79 n + 1601. Estos números son primos para 0 ≤ n ≤ 79.
- ¿Existe un número infinito de números primos de la forma n# + 1? (n# es el resultado de multiplicar todos los números primos menores que n)
- ¿Existe un número infinito de números primos de la forma n# -1?
- ¿Existe un número infinito de números primos de la forma n? + 1?
- ¿Existe un número infinito de números primos de la forma n? - 1?
- Si p es primo, ¿2 p -1 no siempre contiene cuadrados primos entre sus factores?
- ¿La secuencia de Fibonacci contiene un número infinito de números primos?
Los números primos gemelos más grandes son 2003663613 × 2 195000 ± 1. Constan de 58711 dígitos y fueron descubiertos en 2007.
¡El número primo factorial más grande (del tipo n! ± 1) es 147855! - 1. Consta de 142891 dígitos y fue encontrado en el año 2002.
El número primo primordial más grande (un número de la forma n# ± 1) es 1098133# + 1.
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Definición 1. número primo− es un número natural mayor que uno que es divisible sólo por sí mismo y 1.
En otras palabras, un número es primo si tiene sólo dos divisores naturales distintos.
Definición 2. Cualquier número natural que tiene otros divisores además de sí mismo y uno se llama un número compuesto.
En otras palabras, los números naturales que no son primos se llaman números compuestos. De la Definición 1 se deduce que un número compuesto tiene más de dos factores naturales. El número 1 no es primo ni compuesto porque tiene un solo divisor 1 y, además, muchos teoremas sobre números primos no se cumplen para la unidad.
De las Definiciones 1 y 2 se deduce que todo número entero positivo mayor que 1 es un número primo o un número compuesto.
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tabla de números primos
Declaración 1. Si pag- número primo y a cualquier número entero, entonces a dividido por pag, o pag Y a números coprimos.
En realidad. Si pag Un número primo es divisible sólo por sí mismo y por 1 si a no divisible por pag, entonces el más grande común divisor a Y pag es igual a 1. Entonces pag Y a números coprimos.
Declaración 2. Si el producto de varios números a 1 , a 2 , a 3,... es divisible por un número primo pag, entonces al menos uno de los números a 1 , a 2 , a 3, ...divisible por pag.
En realidad. Si ninguno de los números fuera divisible por pag, entonces los números a 1 , a 2 , a 3, ... serían números coprimos con respecto a pag. Pero del Corolario 3 () se deduce que su producto a 1 , a 2 , a 3, ... también es relativamente primo con respecto a pag, lo que contradice la condición de la declaración. Por lo tanto al menos uno de los números es divisible por pag.
Teorema 1. Cualquier número compuesto siempre puede representarse, y de forma única, como producto de un número finito de números primos.
Prueba. Dejar k número compuesto, y sea a 1 es uno de sus divisores diferente de 1 y de sí mismo. Si a 1 es compuesto, entonces tiene además de 1 y a 1 y otro divisor a 2. Si a 2 es un número compuesto, entonces tiene, además de 1 y a 2 y otro divisor a 3. Razonando de esta manera y teniendo en cuenta que los números a 1 , a 2 , a 3 , ... disminuye y esta serie contiene un número finito de términos, llegaremos a algún número primo pag 1 . Entonces k se puede representar en la forma
Supongamos que hay dos descomposiciones de un número. k:
Porque k=p 1 pag 2 pag 3...divisible por un número primo q 1, entonces al menos uno de los factores, por ejemplo pag 1 es divisible por q 1 . Pero pag 1 es un número primo y sólo es divisible por 1 y por sí mismo. Por eso pag 1 =q 1 (porque q 1 ≠1)
Entonces de (2) podemos excluir pag 1 y q 1:
Así, estamos convencidos de que todo número primo que aparece como factor en el primer desarrollo una o más veces también aparece en el segundo desarrollo al menos tantas veces, y viceversa, cualquier número primo que aparece como factor en el segundo desarrollo una o más veces también aparece en la primera expansión al menos el mismo número de veces. Por lo tanto, cualquier número primo se incluye como factor en ambas expansiones. mismo número veces y por lo tanto estas dos expansiones son iguales.■
Expansión de un número compuesto k se puede escribir de la siguiente forma
| (3) |
Dónde pag 1 , pag 2, ... varios números primos, α, β, γ ... números enteros positivos.
La expansión (3) se llama expansión canónica números.
Los números primos aparecen de manera desigual en la serie de números naturales. En algunas partes de la fila hay más, en otras, menos. Cuanto más avanzamos en la serie numérica, menos comunes son los números primos. Surge la pregunta: ¿existe un número primo mayor? El antiguo matemático griego Euclides demostró que existen infinitos números primos. Presentamos esta prueba a continuación.
Teorema 2. El número de números primos es infinito.
Prueba. Supongamos que hay un número finito de números primos y sea el mayor número primo pag. Consideremos todos los números mayores. pag. Según el supuesto del enunciado, estos números deben ser compuestos y deben ser divisibles por al menos uno de los números primos. Elijamos un número que sea el producto de todos estos números primos más 1:
Número z más pag porque 2p ya mas pag. pag no es divisible por ninguno de estos números primos, porque al dividirlo por cada uno de ellos da como resto 1. Llegamos así a una contradicción. Luego hay un número infinito de números primos.
Este teorema es un caso especial de un teorema más general:
Teorema 3. Sea dada una progresión aritmética
Entonces cualquier número primo incluido en norte, debe incluirse en metro, por lo tanto en norte otros factores primos que no están incluidos en metro y, además, estos factores primos en norte no se incluyen más veces que en metro.
Lo opuesto también es cierto. Si todo factor primo de un número norte incluido al menos tantas veces en el número metro, Eso metro dividido por norte.
Declaración 3. Dejar a 1 ,a 2 ,a 3,... varios números primos incluidos en metro Entonces
Dónde i=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . Darse cuenta de α yo acepta α +1 valores, β j acepta β +1 valores, γ k acepta γ +1 valores, ... .
Los números son diferentes: naturales, racionales, racionales, enteros y fraccionarios, positivos y negativos, complejos y primos, pares e impares, reales, etc. En este artículo podrás descubrir qué son los números primos.
¿Qué números se llaman “simples” en inglés?
Muy a menudo, los escolares no saben cómo responder a una de las preguntas más sencillas de matemáticas a primera vista: qué es un número primo. A menudo confunden los números primos con los números naturales (es decir, los números que la gente usa al contar objetos, mientras que en algunas fuentes comienzan con cero y en otras con uno). Pero estos son dos conceptos completamente diferentes. Los números primos son números naturales, es decir, números enteros y positivos mayores que uno y que tienen sólo 2 divisores naturales. Además, uno de estos divisores es el número dado y el segundo es uno. Por ejemplo, tres es un número primo porque no se puede dividir sin resto por ningún número que no sea él mismo y uno.
Números compuestos
Lo opuesto a los números primos son los números compuestos. También son naturales, también más grandes que uno, pero no tienen dos, sino gran cantidad divisores. Así, por ejemplo, los números 4, 6, 8, 9, etc. son números naturales, compuestos, pero no primos. Como puede ver, en su mayoría son números pares, pero no todos. Pero "dos" es un número par y el "primer número" de una serie de números primos.
Subsecuencia
Para construir una serie de números primos, es necesario seleccionar entre todos los números naturales, teniendo en cuenta su definición, es decir, es necesario actuar por contradicción. Es necesario examinar cada uno de los números naturales positivos para ver si tiene más de dos divisores. Intentemos construir una serie (secuencia) que consta de números primos. La lista comienza con dos, seguida de tres, ya que sólo es divisible por sí misma y por uno. Considere el número cuatro. ¿Tiene divisores distintos de cuatro y uno? Sí, ese número es 2. Entonces cuatro no es un número primo. Cinco también es primo (no es divisible por ningún otro número, excepto 1 y 5), pero seis es divisible. Y en general, si sigues todos los números pares, notarás que, excepto "dos", ninguno de ellos es primo. De esto concluimos que los números pares, excepto dos, no son primos. Otro descubrimiento: todos los números divisibles por tres, excepto el propio tres, ya sean pares o impares, tampoco son primos (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, etc.). Lo mismo se aplica a los números que son divisibles por cinco y siete. Toda su multitud tampoco es simple. Resumamos. Entonces, los números simples de un solo dígito incluyen todos los números impares excepto uno y nueve, y los pares "dos" son números pares. Las decenas en sí (10, 20,... 40, etc.) no son simples. Los números primos de dos dígitos, tres dígitos, etc. se pueden determinar basándose en los principios anteriores: si no tienen divisores distintos de ellos mismos y uno.
Teorías sobre las propiedades de los números primos.
Existe una ciencia que estudia las propiedades de los números enteros, incluidos los números primos. Esta es una rama de las matemáticas llamada superior. Además de las propiedades de los números enteros, también se ocupa de los números algebraicos y trascendentales, así como de funciones de diversos orígenes relacionadas con la aritmética de estos números. En estos estudios, además de los métodos elementales y algebraicos, también se utilizan los analíticos y geométricos. En concreto, la “Teoría de Números” se ocupa del estudio de los números primos.
Los números primos son los "bloques de construcción" de los números naturales.
En aritmética existe un teorema llamado teorema fundamental. Según él, cualquier número natural, excepto uno, se puede representar como un producto cuyos factores son números primos, y el orden de los factores es único, lo que significa que el método de representación es único. Se llama factorizar un número natural en factores primos. Hay otro nombre para este proceso: factorización de números. En base a esto, los números primos pueden denominarse " material de construcción”, “bloques” para construir números naturales.
Busca números primos. Pruebas de simplicidad
Muchos científicos de diferentes épocas intentaron encontrar algunos principios (sistemas) para encontrar una lista de números primos. La ciencia conoce sistemas llamados tamiz de Atkin, tamiz de Sundartham y tamiz de Eratóstenes. Sin embargo, no producen ningún resultado significativo y se utiliza una prueba sencilla para encontrar los números primos. Los matemáticos también crearon algoritmos. Suelen denominarse pruebas de primalidad. Por ejemplo, existe una prueba desarrollada por Rabin y Miller. Es utilizado por criptógrafos. También existe la prueba Kayal-Agrawal-Sasquena. Sin embargo, a pesar de la suficiente precisión, es muy difícil de calcular, lo que reduce su importancia práctica.
¿Tiene límite el conjunto de los números primos?
El antiguo científico griego Euclides escribió en su libro "Elementos" que el conjunto de los números primos es el infinito. Dijo esto: “Imaginemos por un momento que los números primos tienen un límite. Luego multiplíquelos entre sí y agreguemos uno al producto. El número obtenido como resultado de estas sencillas acciones no se puede dividir por ninguna de las series de números primos, porque el resto siempre será uno. Esto significa que hay algún otro número que aún no está incluido en la lista de números primos. Por lo tanto, nuestra suposición no es cierta y este conjunto no puede tener límite. Además de la prueba de Euclides, existe una fórmula más moderna dada por el matemático suizo del siglo XVIII Leonhard Euler. Según él, la suma recíproca de la suma de los primeros n números crece ilimitadamente a medida que aumenta el número n. Y aquí está la fórmula del teorema sobre la distribución de los números primos: (n) crece cuando n/ln (n).
¿Cuál es el número primo más grande?
El mismo Leonard Euler pudo encontrar el número primo más grande de su tiempo. Esto es 2 31 - 1 = 2147483647. Sin embargo, en 2013, se calculó otro número primo más grande en la lista: 2 57885161 - 1. Se llama número de Mersenne. Contiene alrededor de 17 millones de dígitos decimales. Como puede ver, el número encontrado por un científico del siglo XVIII es varias veces menor que este. Debería haber sido así, porque Euler realizó este cálculo manualmente, mientras que nuestro contemporáneo probablemente contó con la ayuda de una computadora. Además, este número se obtuvo en la Facultad de Matemáticas de uno de los departamentos estadounidenses. Los números que llevan el nombre de este científico pasan la prueba de primalidad de Luc-Lemaire. Sin embargo, la ciencia no quiere quedarse ahí. La Electronic Frontier Foundation, fundada en 1990 en los Estados Unidos de América (EFF), ha ofrecido una recompensa monetaria por encontrar números primos grandes. Y si hasta 2013 el premio se concedía a aquellos científicos que los encontraran entre 1 y 10 millones de números decimales, hoy esta cifra ha pasado de 100 millones a 1.000 millones. Los premios oscilan entre 150 y 250 mil dólares estadounidenses.
Nombres de números primos especiales.
Se llaman especiales aquellos números que se encontraron gracias a algoritmos creados por ciertos científicos y pasaron la prueba de simplicidad. Éstos son algunos de ellos:
1. Merssen.
4. Cullen.
6. Mills y cols.
La simplicidad de estos números, que llevan el nombre de los científicos mencionados anteriormente, se establece mediante las siguientes pruebas:
1. Luc-Lemaire.
2. Pepina.
3. Riesel.
4. Billhart - Lemaire - Selfridge y otros.
La ciencia moderna no se detiene allí, y probablemente en un futuro próximo el mundo conocerá los nombres de aquellos que pudieron ganar el premio de 250.000 dólares al encontrar el número primo más grande.
