Pirámide. Pirámide truncada
Pirámide es un poliedro, una de cuyas caras es un polígono ( base ), y todas las demás caras son triángulos con un vértice común ( caras laterales ) (Figura 15). La pirámide se llama correcto , si su base es un polígono regular y la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de la base (Fig. 16). Una pirámide triangular con todas las aristas iguales se llama tetraedro .
costilla lateral de una pirámide es el lado de la cara lateral que no pertenece a la base Altura pirámide es la distancia desde su cima hasta el plano de la base. Todo costillas laterales de una pirámide regular son iguales entre sí, todas las caras laterales son iguales triángulos isósceles. La altura de la cara lateral de una pirámide regular trazada desde el vértice se llama apotema . sección diagonal Se llama sección de una pirámide a un plano que pasa por dos aristas laterales que no pertenecen a la misma cara.
Superficie lateral La pirámide es la suma de las áreas de todas las caras laterales. Área superficie completa se llama suma de las áreas de todas las caras laterales y la base.
Teoremas
1. Si en una pirámide todos los bordes laterales están igualmente inclinados con respecto al plano de la base, entonces la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito cerca de la base.
2. Si en una pirámide todas las aristas laterales tienen longitudes iguales, luego la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito cerca de la base.
3. Si todas las caras de una pirámide están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de un círculo inscrito en la base.
Para calcular el volumen de una pirámide arbitraria, la fórmula correcta es:
Dónde V- volumen;
base S– superficie de base;
h– altura de la pirámide.
Para una pirámide regular, las siguientes fórmulas son correctas:
Dónde pag– perímetro de la base;
Ja– apotema;
h- altura;
S lleno
lado S
base S– superficie de base;
V– volumen de una pirámide regular.
Pirámide truncada Se llama la parte de la pirámide encerrada entre la base y un plano de corte paralelo a la base de la pirámide (Fig. 17). Pirámide truncada regular es la parte de una pirámide regular encerrada entre la base y un plano cortante paralelo a la base de la pirámide.
Jardines pirámide truncada - polígonos similares. Caras laterales – trapecios. Altura de una pirámide truncada es la distancia entre sus bases. Diagonal una pirámide truncada es un segmento que conecta sus vértices que no se encuentran en la misma cara. sección diagonal Es una sección de una pirámide truncada por un plano que pasa por dos aristas laterales que no pertenecen a la misma cara.
Para una pirámide truncada son válidas las siguientes fórmulas:
(4)
Dónde S 1 , S 2 – áreas de las bases superior e inferior;
S lleno– superficie total;
lado S– superficie lateral;
h- altura;
V– volumen de una pirámide truncada.
Para una pirámide truncada regular la fórmula es correcta:
Dónde pag 1 , pag 2 – perímetros de las bases;
Ja– apotema de una pirámide truncada regular.
Ejemplo 1. En una pirámide triangular regular, el ángulo diédrico en la base es de 60º. Encuentra la tangente del ángulo de inclinación del borde lateral al plano de la base.
Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 18).
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La pirámide es regular, lo que significa que en la base hay un triángulo equilátero y todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. El ángulo diédrico en la base es el ángulo de inclinación de la cara lateral de la pirámide con respecto al plano de la base. El ángulo lineal es el ángulo. a entre dos perpendiculares: etc. La cima de la pirámide se proyecta en el centro del triángulo (el centro de la circunferencia circunscrita y del círculo inscrito del triángulo). abecedario). El ángulo de inclinación del borde lateral (por ejemplo SB) es el ángulo entre el propio borde y su proyección sobre el plano de la base. para la costilla SB este ángulo será el ángulo SBD. Para encontrar la tangente necesitas conocer los catetos. ENTONCES Y TRANSMISIÓN EXTERIOR.. Sea la longitud del segmento BD es igual a 3 A. Punto ACERCA DE segmento BD se divide en partes: y de encontramos ENTONCES: 
De encontramos: 
Respuesta:
Ejemplo 2. Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular truncada regular si las diagonales de sus bases son iguales a cm y cm, y su altura es de 4 cm.
Solución. Para encontrar el volumen de una pirámide truncada usamos la fórmula (4). Para encontrar el área de las bases, debes encontrar los lados de los cuadrados de las bases, conociendo sus diagonales. Los lados de las bases son iguales a 2 cm y 8 cm, respectivamente. Esto significa que las áreas de las bases y Sustituyendo todos los datos en la fórmula, calculamos el volumen de la pirámide truncada:
Respuesta: 112cm3.
Ejemplo 3. Encuentre el área de la cara lateral de una pirámide truncada triangular regular, cuyos lados de las bases miden 10 cm y 4 cm, y la altura de la pirámide es de 2 cm.
Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 19).
La cara lateral de esta pirámide es trapezoide isósceles. Para calcular el área de un trapecio, necesitas saber la base y la altura. Las bases se dan según el estado, sólo se desconoce la altura. La encontraremos de donde A 1 mi perpendicular a un punto A 1 en el plano de la base inferior, A 1 D– perpendicular desde A 1 por C.A.. A 1 mi= 2 cm, ya que esta es la altura de la pirámide. para encontrar Delaware Hagamos un dibujo adicional que muestre la vista superior (Fig. 20). Punto ACERCA DE– proyección de los centros de las bases superior e inferior. desde (ver Fig. 20) y Por otro lado DE ACUERDO– radio inscrito en el círculo y 
om– radio inscrito en un círculo:
MK = DE.
Según el teorema de Pitágoras de
Área de la cara lateral: 
Respuesta:
Ejemplo 4. En la base de la pirámide se encuentra un trapezoide isósceles, cuyas bases A Y b (a> b). Cada cara lateral forma un ángulo igual al plano de la base de la pirámide. j. Encuentra el área de superficie total de la pirámide.
Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 21). Superficie total de la pirámide SABCD igual a la suma de las áreas y el área del trapezoide ABCD.
Usemos la afirmación de que si todas las caras de la pirámide están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces el vértice se proyecta hacia el centro del círculo inscrito en la base. Punto ACERCA DE– proyección de vértice S en la base de la pirámide. Triángulo CÉSPED es la proyección ortogonal del triángulo CDS al plano de la base. Utilizando el teorema del área de proyección ortogonal de una figura plana, obtenemos:
De la misma manera significa 
Así, el problema se redujo a encontrar el área del trapezoide. ABCD. Dibujemos un trapecio ABCD por separado (Fig. 22). Punto ACERCA DE– el centro de un círculo inscrito en un trapezoide.
Dado que un círculo puede inscribirse en un trapezoide, entonces o Del teorema de Pitágoras tenemos
Aquí puede encontrar información básica sobre pirámides y fórmulas y conceptos relacionados. Todos ellos se estudian con un tutor de matemáticas en preparación para el Examen Estatal Unificado.
Consideremos un plano, un polígono. 
, que se encuentra en él y un punto S, que no se encuentra en él. Conectemos S a todos los vértices del polígono. El poliedro resultante se llama pirámide. Los segmentos se llaman costillas laterales. 
El polígono se llama base y el punto S es la cima de la pirámide. Dependiendo del número n, la pirámide se llama triangular (n=3), cuadrangular (n=4), pentagonal (n=5), etc. Un nombre alternativo para una pirámide triangular es tetraedro. La altura de una pirámide es la perpendicular que desciende desde su cima al plano de la base. 
Una pirámide se llama regular si un polígono regular, y la base de la altitud de la pirámide (la base de la perpendicular) es su centro.
comentario del tutor:
No confunda los conceptos de “pirámide regular” y “tetraedro regular”. En una pirámide regular, las aristas laterales no son necesariamente iguales a las aristas de la base, pero en un tetraedro regular, las 6 aristas son iguales. Esta es su definición. Es fácil demostrar que la igualdad implica que el centro P del polígono coincide con una base de altura, por lo que un tetraedro regular es una pirámide regular.
¿Qué es una apotema?
La apotema de una pirámide es la altura de su cara lateral. Si la pirámide es regular, entonces todas sus apotemas son iguales. Lo contrario no es cierto. 
Un tutor de matemáticas sobre su terminología: el 80% del trabajo con pirámides se construye a través de dos tipos de triángulos:
1) Que contiene apotema SK y altura SP
2) Que contiene el borde lateral SA y su proyección PA 
Para simplificar las referencias a estos triángulos, es más conveniente que un tutor de matemáticas llame al primero de ellos apotémico, y el segundo costal. Desafortunadamente, no encontrará esta terminología en ninguno de los libros de texto y el profesor tiene que introducirla unilateralmente.
Fórmula para el volumen de una pirámide.:
1) 
, donde es el área de la base de la pirámide y es la altura de la pirámide
2), donde es el radio de la esfera inscrita y es el área de la superficie total de la pirámide.
3) 
, donde MN es la distancia entre dos aristas que se cruzan cualesquiera y es el área del paralelogramo formado por los puntos medios de las cuatro aristas restantes.
Propiedad de la base de la altura de una pirámide:
El punto P (ver figura) coincide con el centro del círculo inscrito en la base de la pirámide si se cumple una de las siguientes condiciones:
1) Todas las apotemas son iguales
2) Todas las caras laterales están igualmente inclinadas con respecto a la base.
3) Todas las apotemas están igualmente inclinadas con respecto a la altura de la pirámide.
4) La altura de la pirámide está igualmente inclinada en todas las caras laterales.
Comentario del tutor de matemáticas.: Tenga en cuenta que todos los puntos tienen una cosa en común propiedad general: de una forma u otra, las caras laterales están involucradas en todas partes (las apotemas son sus elementos). Por tanto, el tutor puede ofrecer una formulación menos precisa, pero más cómoda para el aprendizaje: el punto P coincide con el centro del círculo inscrito, la base de la pirámide, si existe información igual sobre sus caras laterales. Para demostrarlo basta demostrar que todos los triángulos de apotema son iguales.
El punto P coincide con el centro de un círculo circunscrito cerca de la base de la pirámide si se cumple una de tres condiciones:
1) Todos los bordes laterales son iguales
2) Todas las nervaduras laterales están igualmente inclinadas con respecto a la base.
3) Todas las nervaduras laterales están igualmente inclinadas respecto a la altura.
Introducción
Cuando empezamos a estudiar figuras estereométricas, tocamos el tema "Pirámide". Nos gustó este tema porque la pirámide se usa muy a menudo en arquitectura. Y desde el nuestro profesión futura Arquitecta, inspirándonos en esta figura, pensamos que ella puede impulsarnos hacia grandes proyectos.
La fuerza de las estructuras arquitectónicas es su cualidad más importante. Al vincular la resistencia, en primer lugar, con los materiales a partir de los cuales se crean y, en segundo lugar, con las características de las soluciones de diseño, resulta que la resistencia de una estructura está directamente relacionada con la forma geométrica que le es básica.
En otras palabras, estamos hablando de una figura geométrica que puede considerarse como modelo de la forma arquitectónica correspondiente. Resulta que la forma geométrica también determina la fuerza de una estructura arquitectónica.
Desde la antigüedad, las pirámides de Egipto han sido consideradas las estructuras arquitectónicas más duraderas. Como sabes, tienen la forma de pirámides cuadrangulares regulares.
Es esta forma geométrica la que proporciona la mayor estabilidad debido a la gran superficie de la base. Por otro lado, la forma piramidal asegura que la masa disminuye a medida que aumenta la altura sobre el suelo. Son estas dos propiedades las que hacen que la pirámide sea estable y, por lo tanto, fuerte en condiciones de gravedad.
Objetivo del proyecto: aprenda algo nuevo sobre las pirámides, profundice sus conocimientos y encuentre aplicaciones prácticas.
Para lograr este objetivo, fue necesario resolver las siguientes tareas:
· Aprender información histórica sobre la pirámide.
· Considere la pirámide como una figura geométrica.
· Encuentra aplicación en la vida y la arquitectura.
· Encuentra las similitudes y diferencias entre las pirámides ubicadas en diferentes partes sveta
parte teorica
El comienzo de la geometría de la pirámide se estableció en el Antiguo Egipto y Babilonia, sin embargo desarrollo activo recibido en Grecia antigua. El primero en establecer el volumen de la pirámide fue Demócrito, y Eudoxo de Cnido lo demostró. El antiguo matemático griego Euclides sistematizó el conocimiento sobre la pirámide en el volumen XII de sus "Elementos", y también derivó la primera definición de pirámide: una figura sólida delimitada por planos que convergen de un plano a un punto.
Tumbas de faraones egipcios. Las más grandes de ellas, las pirámides de Keops, Khafre y Mikerin en El Giza, fueron consideradas en la antigüedad una de las Siete Maravillas del Mundo. La construcción de la pirámide, en la que griegos y romanos ya vieron un monumento al orgullo sin precedentes de los reyes y a la crueldad que condenó a todo el pueblo de Egipto a una construcción sin sentido, fue el acto de culto más importante y se suponía que expresaba, aparentemente, la identidad mística del país y su gobernante. La población del país trabajó en la construcción de la tumba durante la parte del año libre de trabajos agrícolas. Varios textos atestiguan la atención y el cuidado que los propios reyes (aunque de época posterior) prestaron a la construcción de su tumba y a sus constructores. También se sabe sobre los honores de culto especiales que se otorgaban a la propia pirámide.
Conceptos básicos
Pirámide Es un poliedro cuya base es un polígono, y el resto de caras son triángulos que tienen un vértice común.
Apotema- la altura de la cara lateral de una pirámide regular, extraída de su vértice;
Caras laterales- triángulos que se encuentran en un vértice;
costillas laterales- lados comunes de las caras laterales;
Cima de la pirámide- un punto que conecta las nervaduras laterales y que no se encuentra en el plano de la base;
Altura- un segmento perpendicular dibujado a través de la cima de la pirámide hasta el plano de su base (los extremos de este segmento son la cima de la pirámide y la base de la perpendicular);
Sección diagonal de una pirámide.- sección de la pirámide que pasa por la cima y la diagonal de la base;
Base- un polígono que no pertenece al vértice de la pirámide.
Propiedades básicas de una pirámide regular.
Las aristas laterales, las caras laterales y las apotemas son respectivamente iguales.
Los ángulos diédricos en la base son iguales.
Los ángulos diédricos en los bordes laterales son iguales.
Cada punto de altura equidista de todos los vértices de la base.
Cada punto de altura es equidistante de todas las caras laterales.
Fórmulas piramidales básicas
El área de la superficie lateral y total de la pirámide.
El área de la superficie lateral de una pirámide (llena y truncada) es la suma de las áreas de todas sus caras laterales, el área de la superficie total es la suma de las áreas de todas sus caras.
Teorema: El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base por la apotema de la pirámide.
pag- perímetro de la base;
h- apotema.
El área de las superficies lateral y completa de una pirámide truncada.
página 1, pag 2 - perímetros de la base;
h- apotema.
R- superficie total de una pirámide truncada regular;
lado S- área de la superficie lateral de una pirámide truncada regular;
S 1 + S 2- área base
Volumen de la pirámide
Forma El volumen ula se utiliza para pirámides de cualquier tipo.
h- altura de la pirámide.
Esquinas de la pirámide
Los ángulos formados por la cara lateral y la base de la pirámide se llaman ángulos diédricos en la base de la pirámide.
Un ángulo diédrico está formado por dos perpendiculares.
Para determinar este ángulo, a menudo es necesario utilizar el teorema de las tres perpendiculares..
Los ángulos formados por el borde lateral y su proyección sobre el plano de la base se llaman Ángulos entre el borde lateral y el plano de la base..
El ángulo formado por dos aristas laterales se llama ángulo diédrico en el borde lateral de la pirámide.
El ángulo formado por dos aristas laterales de una cara de la pirámide se llama ángulo en la cima de la pirámide.
Secciones piramidales
La superficie de una pirámide es la superficie de un poliedro. Cada una de sus caras es un plano, por lo tanto la sección de una pirámide definida por un plano cortante es una línea quebrada formada por rectas individuales.
sección diagonal
La sección de una pirámide por un plano que pasa por dos aristas laterales que no se encuentran en la misma cara se llama sección diagonal pirámides.
Secciones paralelas
Teorema:
Si la pirámide es intersecada por un plano paralelo a la base, entonces los bordes laterales y las alturas de la pirámide se dividen por este plano en partes proporcionales;
La sección de este plano es un polígono similar a la base;
Las áreas de la sección y la base están relacionadas entre sí como los cuadrados de sus distancias al vértice.
Tipos de pirámide
Pirámide correcta – una pirámide cuya base es un polígono regular y la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de la base.
Para una pirámide regular:
1. las costillas laterales son iguales
2. las caras laterales son iguales
3. las apotemas son iguales
4. Los ángulos diédricos en la base son iguales.
5. Los ángulos diédricos en los bordes laterales son iguales.
6. cada punto de altura es equidistante de todos los vértices de la base
7. cada punto de altura es equidistante de todos los bordes laterales
Pirámide truncada- parte de la pirámide encerrada entre su base y un plano cortante paralelo a la base.
La base y la sección correspondiente de una pirámide truncada se llaman bases de una pirámide truncada.
La perpendicular trazada desde cualquier punto de una base al plano de otra se llama la altura de una pirámide truncada.
Tareas
No 1. en la derecha pirámide cuadrangular el punto O es el centro de la base, SO=8 cm, BD=30 cm Encuentra el borde lateral SA.
resolución de problemas
No 1. En una pirámide regular, todas las caras y aristas son iguales.
Considere OSB: OSB es un rectángulo rectangular, porque.
SB 2 = ASI 2 + OB 2
SB 2 =64+225=289
Pirámide en arquitectura
Una pirámide es una estructura monumental en forma de pirámide geométrica regular ordinaria, en la que los lados convergen en un punto. Según su finalidad funcional, las pirámides en la antigüedad eran lugares de entierro o culto. La base de una pirámide puede ser triangular, cuadrangular o tener forma de polígono con un número arbitrario de vértices, pero la versión más común es la base cuadrangular.
Existe una cantidad considerable de pirámides construidas por diferentes culturas. mundo antiguo principalmente como templos o monumentos. Las pirámides grandes incluyen las pirámides egipcias.
En toda la Tierra puedes ver estructuras arquitectónicas en forma de pirámides. Los edificios piramidales recuerdan a la antigüedad y tienen un aspecto muy bonito.
pirámides egipcias mayores monumentos arquitectonicos Antiguo Egipto, entre las cuales una de las “Siete Maravillas del Mundo” es la Pirámide de Keops. Desde el pie hasta la cima alcanza los 137,3 m, y antes de perder la cima su altura era de 146,7 m.
El edificio de la emisora de radio en la capital de Eslovaquia, que parece una pirámide invertida, fue construido en 1983. Además de las oficinas y locales de servicio, en el interior del volumen se encuentra una sala de conciertos bastante espaciosa, que cuenta con uno de los órganos más grandes de Eslovaquia.
El Louvre, que es “silencioso, inmutable y majestuoso, como una pirámide”, ha sufrido muchos cambios a lo largo de los siglos antes de convertirse en el museo más grande del mundo. Nació como una fortaleza, erigida por Felipe Augusto en 1190, que pronto se convirtió en residencia real. En 1793 el palacio se convirtió en museo. Las colecciones se enriquecen mediante legados o compras.
Concepto de pirámide
Definición 1
Una figura geométrica formada por un polígono y un punto que no se encuentra en el plano que contiene este polígono, conectado a todos los vértices del polígono, se llama pirámide (Fig. 1).
El polígono a partir del cual está hecha la pirámide se llama base de la pirámide; los triángulos resultantes, cuando se conectan a un punto, son las caras laterales de la pirámide, los lados de los triángulos son los lados de la pirámide y el punto común. a todos los triángulos está la cima de la pirámide.
Tipos de pirámides
Dependiendo del número de ángulos en la base de la pirámide, se puede llamar triangular, cuadrangular, etc. (Fig. 2).
Figura 2.
Otro tipo de pirámide es la pirámide regular.
Introduzcamos y demostremos la propiedad de una pirámide regular.
Teorema 1
Todas las caras laterales de una pirámide regular son triángulos isósceles iguales entre sí.
Prueba.
Considere una pirámide regular $n-$gonal con vértice $S$ de altura $h=SO$. Dibujemos un círculo alrededor de la base (Fig. 4).
Figura 4.
Considere el triángulo $SOA$. Según el teorema de Pitágoras, obtenemos
Evidentemente, cualquier borde lateral quedará definido de esta forma. En consecuencia, todas las aristas laterales son iguales entre sí, es decir, todas las caras laterales son triángulos isósceles. Demostremos que son iguales entre sí. Como la base es un polígono regular, las bases de todas las caras laterales son iguales entre sí. En consecuencia, todas las caras laterales son iguales según el III criterio de igualdad de triángulos.
El teorema ha sido demostrado.
Introduzcamos ahora la siguiente definición relacionada con el concepto de pirámide regular.
Definición 3
La apotema de una pirámide regular es la altura de su cara lateral.
Obviamente, según el teorema uno, todas las apotemas son iguales entre sí.
Teorema 2
El área de la superficie lateral de una pirámide regular se determina como el producto del semiperímetro de la base por la apotema.
Prueba.
Denotemos el lado de la base de la pirámide $n-$gonal por $a$ y la apotema por $d$. Por tanto, el área de la cara lateral es igual a
Dado que, según el teorema 1, todos los lados son iguales, entonces
El teorema ha sido demostrado.
Otro tipo de pirámide es la pirámide truncada.
Definición 4
Si se dibuja un plano paralelo a su base a través de una pirámide ordinaria, entonces la figura formada entre este plano y el plano de la base se llama pirámide truncada (Fig. 5).
Figura 5. Pirámide truncada
Las caras laterales de la pirámide truncada son trapecios.
Teorema 3
El área de la superficie lateral de una pirámide truncada regular se determina como el producto de la suma de los semiperímetros de las bases y la apotema.
Prueba.
Denotemos los lados de las bases de la pirámide $n-$gonal con $a\ y\ b$, respectivamente, y la apotema con $d$. Por tanto, el área de la cara lateral es igual a
Como todos los lados son iguales, entonces
El teorema ha sido demostrado.
Tarea de muestra
Ejemplo 1
Encuentre el área de la superficie lateral de una pirámide triangular truncada si se obtiene de una pirámide regular con base de lado 4 y apotema 5 cortando un plano que pasa por la línea media de las caras laterales.
Solución.
Usando el teorema de la línea media, encontramos que la base superior de la pirámide truncada es igual a $4\cdot \frac(1)(2)=2$, y la apotema es igual a $5\cdot \frac(1)(2) =2,5$.
Luego, por el teorema 3, obtenemos
