Название: Математика - Пособие для поступающих в ВУЗы. 2002.
Пособие написано академиком Международной академии информатизации, доктором физико-математических наук, профессором Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.
Дана оригинальная методика решения многих задач, подкрепленная большим количеством разобранных экзаменационных примеров. В конце каждого параграфа помещены упражнения для самостоятельной работы из числа предлагавшихся на вступительных экзаменах по математике в МГУ.
Книга предназначена поступающим в ВУЗы. Она также может быть рекомендована преподавателям математики при подготовке учащихся к сдаче выпускных экзаменов за курс средней школы.
В данной главе приводятся некоторые сведения из аналитической геометрии - раздела математики, в котором рассматривается применение алгебраических методов к геометрическим вопросам.
МЕТОД КООРДИНАТ
Координаты точки на прямой
Действительные числа изображаются точками прямой. Прямая, на которой указаны начало отсчета (фиксирована точка О), единица масштаба и положительное направление, называется числовой осью. Число, определяющее положение точки на числовой оси, называется координатой точки на этой оси. Координата точки на числовой оси равна расстоянию точки от начала отсчета, выраженному в выбранных единицах масштаба и взятому со знаком «плюс», если точка лежит в положительном направлении от начала, и со знаком «минус» - в противном Случае. Начало отсчета (точку О) называют началам координат. Координата точки О равна нулю.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
§ 1. Метод координат
§ 2. Некоторые элементарные функции
§ 3. Основные приемы построения графиков
Глава II АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Эквивалентность уравнений
§ 2. Линейные уравнения
§ 3. Системы линейных уравнений
§ 4. Системы нелинейных уравнений
§ 5. Иррациональные уравнения
§ 6. Рациональные уравнения высших степеней
§ 7. Задачи на составление уравнений
Глава III АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Общие сведения о неравенствах
§ 2. Рациональные неравенства
§ 3. Иррациональные неравенства
§ 4. Применение неравенств к исследованию квадратного трехчлена
§ 5. Задачи на максимум и минимум
Глава
IV ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Тригонометрические функции и соотношения между ними
§ 2. Тригонометрические уравнения
§ 3. Тригонометрические неравенства
§ 4. Использование неравенств при решении тригонометрических уравнений
§ 5. Использование преобразований при решении тригонометрических уравнений и неравенств
Глава V ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Основные свойства показательной и логарифмической функций
§ 2. Показательные и логарифмические уравнения
§ 3. Показательные и логарифмические неравенства
§ 4. Различные трансцендентные уравнения и неравенства
Глава VI ПЛАНИМЕТРИЯ
§ 1. Задачи на вычисление
§ 2. Задачи на построение и доказательство
Глава VII ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ И НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
§ 1. Задачи на вычисление
§ 2. Вычисление элементов трехгранного угла
§ 3. Задачи на построение и доказательство
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Математика - Пособие для поступающих в ВУЗы - Моденов В.П. - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
- Учебное пособие к вступительным экзаменам по математике в вузы, Дзюндзюк Б.В., Мельников О.Ф., Семеиець В.В., Шкляров Л.Й., 1998
Сегодня для большинства абитуриентов началась горячая пора: вузы второго потока принимают документы - по старым правилам, но в новых демографических условиях.
Приемные комиссии вузов второго потока (кроме заочной и вечерней формы получения образования в вузах сельскохозяйственного профиля) начали прием документов от абитуриентов на все формы получения образования 16 июля.
Во вступительной кампании имеют возможность принять участие 72 766 абитуриентов. В ЦТ приняли участие 113 448 абитуриентов. Не преодолели нижний порог тестового балла, необходимого для участия в конкурсе, 40 682 абитуриента.
По прогнозам Министерства образования, повышение по сравнению с прошлым годом минимального порога проходных баллов должно было отсеять около 30% абитуриентов. Однако минимум не смогли набрать 35,86% от принявших участие в ЦТ.
Таким образом, учитывая, что в этом году белорусские вузы намерены принять 79,3 тысячи первокурсников, студентом теоретически может стать каждый из набравших минимальный проходной балл.
Нетрудно спрогнозировать, что в этом году традиционно сложно будет поступить на престижные специальности в ведущие университеты. В то же время наверняка сохранится и даже, вероятно, обострится проблема недобора на некоторые специальности, наметившаяся в 2012 году, когда незаполненными остались 200 дневных бюджетных мест.
Зачисление абитуриентов в вуз на обучение как за счет средств бюджета, так и на условиях оплаты проводится по конкурсу на основе общей суммы баллов, подсчитанной по результатам сдачи вступительных испытаний и среднего балла документа об образовании. Максимальное количество баллов - 400 (три результата ЦТ + средний балл аттестата, умноженный на 10).
«Динамика соответствует первому дню прошлого года - в базе 400 документов, - рассказал о начале кампании по приему документов в комментарии для Naviny.by член приемной комиссии БГУ Вячеслав Молофеев . - Как правило, в первые дни идут сильные абитуриенты. Каждый третий имеет в арсенале более 300 баллов. Те, у кого меньше 200 баллов, подаются на платное обучение либо на заочное на бюджет. Нас очень радует, что в БГУ идут победители олимпиад - уже 25 человек подали документы».
Максимальный балл среди уже подавших документы в БГУ - 380 - у молодого человека, планирующего поступить на «политологию» на юридический факультет. В топе факультетов БГУ, куда идут абитуриенты с высокими баллами - факультет философии и социальных наук, факультет прикладной математики.
«Мы рады, когда в БГУ приходят сильные абитуриенты», - подчеркнул Вячеслав Молофеев.
От абитуриентов, не прошедших по конкурсу на дневную бюджетную форму обучения, для участия в конкурсе в этом же вузе на заочную и вечернюю формы за счет средств бюджета (кроме вузов сельскохозяйственного профиля) документы будут приниматься по 2 августа. На обучение на условиях оплаты - по 4 августа.
В нынешнем году, как и в прошлом, представители абитуриентов, действующие на основании доверенности, удостоверенной нотариально, могут подавать документы в приемные комиссии учреждений образования и заключать договоры на обучение.
Зачисление по раздельному конкурсу выпускников городских и сельских учреждений образования будет осуществляться только на бюджетные места. Зачисление абитуриентов на условиях оплаты будет проходить по общему конкурсу.
Льготы при поступлении, о необходимости отмены которых говорят уже много лет, остаются.
Согласно правилам , вне конкурса (кроме профилей (направлений) специальностей «международные отношения», «правоведение», «медико-фармацевтический», а также специальностей, на которые конкурс в год, предшествующий приему, составил 5 и более человек на место) при наличии в документе об образовании отметок не ниже 6 (шести) баллов по предметам вступительных испытаний зачисляются:
Дети-сироты и дети, оставшиеся без попечения родителей;
победители и призеры официальных чемпионатов, розыгрышей кубков Республики Беларусь по видам спорта, включенным в программу летних и зимних Олимпийских игр;
лица, имеющие рекомендации воинских частей при зачислении в вузы силовых ведомств.
Преимущественное право на зачисление при равном общем количестве баллов в порядке перечисления имеют:
Инвалиды I и II группы, дети-инвалиды;
дети военнослужащих или рабочих и служащих, которые занимали штатные должности в воинских частях, погибших (умерших от ранений) или ставших инвалидами при исполнении обязанностей воинской службы;
инвалиды III группы;
абитуриенты из многодетных семей.
Приемные комиссии работают с понедельника по субботу с 9.00 до 18.00. Если последний день приема документов, сдачи вступительных испытаний или зачисления абитуриентов выпадет на воскресенье, приемные комиссии работают в этот день с 9.00 до 18.00. Приемные комиссии вузов второго потока будут работать в субботы 21, 28 июля, 4 августа, одно воскресенье - 29 июля (для вузов, осуществляющих проведение внутренних экзаменов).
Приемные комиссии будут информировать абитуриентов о ходе приема документов на своих сайтах и на информационных стендах. Информация должна обновляться каждый день не реже одного раза в три часа работы приемной комиссии (9.00, 12.00, 15.00, 18.00).
В последний день приема документов информирование абитуриентов о ходе приема документов прекращается в 15.00. Допуск абитуриентов в здание учреждения образования, в котором располагается приемная комиссия, завершается в 18.00. Приемная комиссия в последний день приема документов в 18.00 прекращает выдачу документов абитуриентам с целью их подачи на другую специальность, при этом обеспечивает прием документов от всех абитуриентов, находящихся в здании вуза, в котором располагается приемная комиссия, после прекращения допуска.
Пособие написано в соответствии с действующей программой по биологии для поступающих в вузы, содержит необходимые и достаточные сведения по ботанике, зоологии, анатомии человека и общей биологии. Материал изложен на современном уровне, по всем разделам информация дается с «запасом», и её более чем достаточно для поступления в высшее учебное заведение. В книге приведены 384 рисунка и 11 таблиц, помогающие восприятию изложенного материала, в конце каждого раздела имеются вопросы для самоконтроля. Особое внимание в пособии обращено на изложение тех тем курса биологии, которые обычно вызывают у школьников наибольшие затруднения. Прослеживаются основные этапы эволюции органического мира, эволюционные изменения в строении и функциях организмов.
Предназначено для абитуриентов, слушателей подготовительных отделений, учащихся колледжей, лицеев, гимназий с углубленным изучением биологии, учителей биологии.
Научный редактор Гороховская Е.А.
Рецензент доктор биологических наук, профессор Шарова И.Х.
Растения, главы 35, 36, 38, 39, 40 написаны Гончаровым О.В.
Животные, Человек, главы 37, 41, 42, 43, 44, 45 и основные вопросы для повторения ко всем разделам написаны Пименовым А.В.
Раздел 1. Царство Растения (Plantae) 11
Введение 11
Морфология и анатомия растений 13
Глава 1. Особенности строения растительных клеток 14
Глава 2. Растительные ткани 18
2.1. Образовательные ткани (меристемы) 19
2.2. Покровные ткани 20
2.3. Механические (арматурные) ткани 22
2.4. Проводящие ткани 22
2.5. Основные ткани 24
2.6. Выделительные ткани 24
Глава 3. Вегетативные органы 25
3.1. Корень и корневые системы 25
3.1.1. Морфология корня 26
3.1.2. Анатомическое строение корня 27
3.1.3. Корневые системы 29
3.1.4 Почва 30
3.1.5. Удобрения 30
3.1.4. Физиология корня 33
3.2. Побег и системы побегов 37
3.2.1. Морфология побега 37
Внешнее строение побега 37
3.2.2. Развитие побега из почки 40
3.2.3. Образование системы побегов. Ветвление 40
3.2.4. Видоизменения побега 41
3.2.5. Стебель - осевой орган побега 44
Общая характеристика стебля 44
Анатомия стебля 45
Транспорт веществ по стеблю 47
3.2.6. Лист - боковой орган побега 47
Морфология листа 48
Анатомия листа 52
Функции листа 53
Видоизменения листа 56
Листопад 57
Глава 4. Размножение растений 57
4.1. Бесполое размножение 58
4.2. Вегетативное размножение растений 59
4.3. Половое размножение 65
Глава 5. Генеративные органы 66
5.1. Цветок 66
5.1.1. Морфология цветка 67
5.1.2. Соцветия 74
5.1.3. Опыление 76
5.1.4. Оплодотворение. Образование плодов и семян 78
5.2. Семя 78
5.2.1. Состав семян 79
5.2.2. Строение семени 79
5.2.3. Типы семян 80
5.2.4. Условия прорастания семян 81
5.3. Плод 81
5.3.1. Околоплодник 82
4.3.2. Классификация плодов 82
Систематика растений 86
Глава 6. Низшие растения, или Водоросли 86
6.1. Красные водоросли, или багрянки 88
6.2. Отдел Бурые водоросли 90
6.3. Отдел Зеленые водоросли 91
6.4. Значение водорослей 95
Высшие растения 96
Глава 7. Отдел Моховидные (Bryophyta) 96
Значение мхов 100
Глава 8. Отдел Плауновидные (Lecopodiophyta) 100
Значение плаунов 101
Глава 9. Отдел Хвощевидные (Equisetophyta) 102
Значение хвощей 103
Глава 10. Отдел Папоротниковидные (Polypodiophyta) 104
Семенные растения 106
Глава 12. Отдел Покрытосеменные (Angiospermae) 110
12.1. Двудольные растения 113
11.2. Однодольные растения 117
Раздел 2. Царство Грибы (Mycota) 119
Глава 13. Отдел Грибы 119
13.1.1. Плесневые грибы. Дрожжи 120
13.1.2. Шляпочные грибы 123
13.1.4. Значение грибов 126
13.2. Отдел Лишайники (Lichenophyta Lichenes) 126
13.2.1. Морфология лишайников 126
13.2.2. Физиология лишайников 127
13.2.3. Значение лишайников 129
Раздел 3. Царство Дробянок (Mychota) 129
Глава 14. Бактерии 129
14.1. Морфология бактерий 130
14.2. Физиология бактерий 134
14.3. Значение бактерий 136
Основные вопросы для повторения 137
Корень 137
Цветы и соцветия 138
Плоды и семена 139
Классификация цветковых 139
Водоросли 139
Лишайники 140
Моховидные 140
Раздел 4. Царство Животные (Zoa) 141
Глава 15. Подцарство Простейшие (Protozoa) 144
15.1. Общая характеристика 144
15.2. Тип Корнежгутиковые (Sarcomastigophora) 145
15.2.1. Класс Корненожки, или Саркодовые (Sarcodina) 145
15.2.2. Класс Жгутиконосцы (Mastigophora) 146
15.2.3. Тип Инфузории, или Ресничные (Ciliophora) 149
15.2.4. Тип Споровики (Sporozoa) 151
Подцарство Многоклеточные 153
Глава 16. Тип Кишечнополостные (Coelenterata) 153
16.1. Появление многоклеточных животных 153
16.2. Общая характеристика типа 154
16.2. Класс Гидроидные полипы (Hydrozoa). 155
16.3. Класс Сцифоидные медузы (Scyphozoa) 156
Глава 17. Тип Плоские черви (Plathelminthes) 158
17.1. Общая характеристика типа 158
17.2. Класс Ресничные (Turbellaria) 160
17.3. Класс Сосальщики (Trematoda) 162
17.4. Класс Ленточные (Cestoda) 164
Первичнополостные 168
Глава 18. Тип Круглые черви (Nemathelminthes) 168
18.1. Общая характеристика типа 168
18.2. Строение и жизнедеятельность нематод 169
Вторичнополостные 173
Глава 19. Тип Кольчатые Черви (Annelida) 173
19.1. Общая характеристика типа 173
19.2. Строение и жизнедеятельность 174
Глава 20. Тип Моллюски (Mollusca) 179
Класс Двустворчатые (Bivalvia), Класс Брюхоногие (Gastropoda) 179
20.1. Общая характеристика типа 179
20.2. Строение и жизнедеятельность 180
Глава 20. Тип Членистоногие (Arthropoda) 186
20.1. Общая характеристика типа 186
20.2. Подтип Жабродышащие (Branchiata) Класс Ракообразные (Crustacea) 188
20.3. Подтип Хелицеровые (Chelicerata) Класс Паукообразные (Arachnida) 191
20.4. Подтип Трахейные (Tracheata) Класс Насекомые (Insecta) 197
Строение и жизнедеятельность 197
Глава 21. Тип Хордовые (Chordata) 206
Подтип Бесчерепные (Acrania) Класс Головохордовые (Cephalochordata) 206
21.1. Общая характеристика типа 206
21.2. Ланцетник 208
Подтип Позвоночные (Vertebrata) Надкласс Рыбы (Pisces) 212
21.3. Характеристика подтипа 212
21.4. Характеристика надкласса 215
21.5. Класс Хрящевые рыбы (Сhondrichtyes) 217
21.6. Класс Костные рыбы (Osteichtyes) 217
Надкласс Наземные позвоночные (Tetrapoda) 225
Класс Земноводные (Amphibia) 225
21.7. Характеристика класса 225
21.8. Строение и жизнедеятельность 226
Класс Пресмыкающиеся (Reptilia) 234
21.9. Характеристика класса 234
21.10. Строение и жизнедеятельность 235
Класс Птицы (Aves) 243
21.11. Характеристика класса 243
21.12. Строение и жизнедеятельность 244
Класс Млекопитающие (Mammalia) 256
21.13. Общая характеристика класса 256
21.14. Строение и жизнедеятельность 257
Основные вопросы для повторения 273
Простейшие 273
Кишечнополостные 273
Плоские черви 274
Круглые черви 274
Кольчатые черви 274
Членистоногие, ракообразные 275
Членистоногие, Паукообразные 275
Членистоногие, Насекомые 275
Головохордовые 276
Земноводные 276
Пресмыкающиеся 276
М.: Новая волна, 2002. - 800с.
Пособие написано академиком Международной академии информатизации, доктором физико-математических наук, профессором Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.
Дана оригинальная методика решения многих задач, подкрепленная большим количеством разобранных экзаменационных примеров. В конце каждого параграфа помещены упражнения для самостоятельной работы из числа предлагавшихся на вступительных экзаменах по математике в МГУ.
Книга предназначена поступающим в вузы. Она также может быть рекомендована преподавателям математики при подготовке учащихся к сдаче выпускных экзаменов за курс средней школы.
Формат: pdf
Размер: 1 4,2 Мб
Скачать: drive.google
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
§ 1. Метод координат......................................................................................... 5
§ 2. Некоторые элементарные функции......................................................... 33
§ 3. Основные приемы построения графиков............................................. 47
Глава II АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Эквивалентность уравнений................................................................... 6 1
§ 2. Линейные уравнения............................................................. .................... 75
§ 3. Системы линейных уравнений.................................................................. 8 5
§ 4. Системы нелинейных уравнений............................................................. 102
§ 5. Иррациональные уравнения...................................................................... 125
§ 6. Рациональные уравнения высших степеней.......................................... 155
§ 7. Задачи на составление уравнений......................................................... 168
Глава III АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Общие сведения о неравенствах............................................................. 189
§ 2. Рациональные неравенства.. :................................................................. 201
§ 3. Иррациональные неравенства................................................................... 220
§ 4. Применение неравенств к исследованию
квадратного трехчлена................................................................................. 236
§ 5. Задачи на максимум и минимум............................................................. 256
ГЛАВА IV ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯИ НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Тригонометрические функции и соотношения
между ними ................................................................................................... 291
§ 2. Тригонометрические уравнения............................................................ 305
§ 3. Тригонометрические неравенства........................................................ 362
§ 4. Использование неравенств при решении
Тригонометрических уравнений............................................................... 389
§ 5. Использование преобразований при решении
Тригонометрических уравнений и неравенств...................................... 403
Глава V ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Основные свойства показательной
и логарифмической функций............................................................... 464
§ 2. Показательные и логарифмические уравнения.................................. 486
§ 3. Показательные и логарифмические неравенства............... .............. 522
§ 4. Различные трансцендентные уравнения и неравенства................... 554
Глава VI ПЛАНИМЕТРИЯ
§ 1. Задачи на вычисление.................................................................................. 598
§ 2. Задачи на построение и доказательство................................................. 675
Глава VII ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ И НЕКОТОРЫЕМЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
§ 1. Задачи на вычисление................................................................................. 686
§ 2. Вычисление элементов трехгранного угла......................................... 734
§ 3. Задачи на построение и доказательство............................................... 772
О том, как читать книги в форматах pdf , djvu - см. раздел "Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др. "
К ЧИТАТЕЛЮ
Математика уже давно стала основным аппаратом физики и техники. В последние годы математические методы исследования все настойчивее проникают в такие науки, как химия, биология, геология, экономика, лингвистика, педагогика, медицина, право, археология. Поэтому не удивительно, что на многих, в том числе и гуманитарных, факультетах университетов, во всех технических вузах наступающие сдают экзамены по математике.
Этого экзамена многие боятся. Часто можно услышать разговоры, что на приемных экзаменах по математике поступающим прет-лагают решать головоломнейшие задачи, а экзаменаторы якобы только тем и обеспокоены, как бы «срезать» побольше поступающих.
Все это, конечно, фантазия. На приемных экзаменах речь идет не о каких-то сложных проблемах, а о задачах в пределах обычного школьного курса в полном соответствии с «Программой вступительных экзаменов по математике для поступающих в высшие учебные заведения СССР». Поводом же для «страхов» и слухов о «головоломках» обычно служит просто слабое и формальное владение стандартным школьным материалом - ведь в этом случае и простая задача покажется неприступной.
Конечно, сказанное отнюдь не означает, что все конкурсные задачи очень просты и решаются немедленно без всяких размышлений и усилий. Уверенно справиться с ними может лишь тот, кто глубоко владеет материалом программы и имеет достаточную практику в решении задач. А это досыпается лишь упорным, настойчивым трудом. Математику нельзя выучить за одну ночь - только систематические занятия могут сделать экзаменационные вопросы и задачи простыми и легкими.
Верно, что на экзамене по математике надо уметь решать задачи. Но каждый понимает, что задачи надо решать правильно. В этом различии - просто решать или решать правильно - и состоит суть дела. Очень часто поступающие считают, что решить задачу- значит провести некоторое количество выкладок, имеющих отношение к предложенной задаче. Но эти еыкладки далеко не всегда можно считать правильным решением.
Экзаменаторы хотят получить от поступающего исчерпывающее, логически верное и грамотно изложенное решение поставленных перед ним задач. Они стремятся не просто проверить знание тех или иных школьных теорем, умение формально проводить те или иные выкладки, но и выяснить, насколько поступающий владеет логикой математических рассуждений, « какой мере он умеет применять теоретические знания при решении задач. К сожалению, это и является самым сложным для поступающих - гораздо труднее научиться видеть сущность дела, чем запомнить некоторые формулировки или автоматически выполнять определенные рецепты.
Каждому более или менее подготовленному школьнику знакомы обычные приемы решения обычных задач - различного вида уравнении и неравенств, «текстовых» задач, тригонометрических примеров, геометрических задач и т. п. Но часто эти знания ограничены лишь всякого рода правилами, как надо поступать и как поступать нельзя, т. е. не выходят за пределы чисто технических умений.
Между тем никакие чисто технические навыки не принесут успеха, если не думать о законности применения тех или иных преобразований, об обоснованности того или иного заключения и т. п., если не понимать саму логику решения задачи.
Большинство поступающих хорошо излагает вопросы теории, но многие становятся в тупик или допускают грубые ошибки при применении этой теории на практике. Сколько раз приходилось видеть поступающих, бойко отвечающих на какой-нибудь вопрос, но которые не могли сказать ни слова, стоило лишь поставить тот же вопрос в иной, чуть необычной форме, применить иные, чем в учебнике, обозначения.
Все это свидетельствует о формальном усвоении теории, и такого рода знания, конечно, мало чего стоят.
В преодолении подобных недостатков и состоит, собственно говоря, цель этой книги. Мы хотим попытаться научить поступающих задумываться над логикой решения, научить задавать самим себе вопрос «почему?» и отвечать на него, в каждый момент решения задачи ясно сознавать, что сделано и что предстоит еще сделать. Другими словами, мы -хотим в этой книге показать, как правильно решать задачи.
Эта цель наложила на книгу один существенный отпечаток: мы не всегда приводим самые лучшие решения - решения, которые может придумать опытйый математик. Наоборот, мы старались смотреть на задачу глазами человека, не очень искушенного в остроумных решениях и специальных методах, искали самое естественное (с точки зрения поступающего) решение, но зато доводили его до конца логически максимально строго.
Именно это, в общем, и требуется от поступающих - не поиск наиболее короткого и оригинального решения, но умение правильно довести до конца самое обыкновенное решение. Разумеется, это ни в коей мере не означает, что остроумные решения чем-то плохи, и будет очень полезно, если в процессе работы с книгой читатель найдет такие решения для той или иной задачи. Хотя сообразительность- это не то качество поступающего, которое проверяется на экзамене в первую очередь, ее нельзя недооценивать.
Следует, впрочем, подчеркнуть, что лишь активное использование всего арсенала средств элементарной математики создает предпосылки для возникновения той или иной оригинальной идеи. Без творческого владения материалом школьного курса бессмысленно, например, надеяться справиться с любой «нестандартной» задачей, где подчас приходится комбинировать самые разнообразные математические идеи и факты.
В настоящее время во многих школах на факультативных и кружковых занятиях учащиеся знакомятся с понятием непрерывности, с элементами дифференциального и интегрального исчисления, с векторной алгеброй и т, д, Однако основы математического ана-
лиза и векторного исчисления не входят в программу вступительных экзаменов. Поэтому для всех экзаменационных задач мы приводим лишь «обычные» школьные решения (хотя некоторые из этих задач могут быть решены - и даже более просто и коротко - с помощью средств «высшей» математики).
Быть может, читателю иногда покажется, что некоторые простые примеры разбираются слишком подробно. Но не следует спешить с таким выводом - очень часто кажется простым как раз то, что не воспринято достаточно глубоко. Лучше постараться понять суть такого подробного, замедленного решения. Как правило, это делается при рассмотрении тех вопросов, которые у поступающих вызывают наибольшие затруднения.
В то же время читатель легко заметит, что не все решения в книге проведены одинаково подробно и полно. Мы рассчитываем, что эта книга должна не столько читаться, сколько изучаться с карандашом и бумагой в руках, а потому сделали упор на разъяснении принципиальных моментов, надеясь, что не вызывающие особых затруднений этапы решения (например, формальные выкладки) читатель проведет сам.
Настоящая книга не является учебником по элементарной математике. Она призвана лишь помочь активизировать свои знания тем, кто уже знаком со школьным курсом в объеме принятых стабильных учебников. Мы не даем систематического изложения теории, а ограничиваемся лишь отдельными замечаниями по вопросам, которые обычно ускользают из поля зрения учащихся, анализом и иллюстрацией на примерах наиболее сложных, узловых разделов программы и типичных ошибок поступающих, а также более подробным разъяснением некоторых тем, обычно оставляемых в школе без должного внимания. Поэтому, приступая к разбору какого-либо параграфа этой книги, следует предварительно еще раз просмотреть содержание соответствующих разделов школьных учебников.
Книга содержит также достаточное число задач для самостоятельного решения, снабженных ответами (а в некоторых случаях - и указаниями). Однако мы не имеем в виду, что надо выполнять эти упражнения все сразу. Лучше всего решать их выборочно, до тех пор, пока не появится уверенность, что материал уже достаточно усвоен и дальнейшие примеры для его закрепления не нужны. Тогда естественно перейти к другому параграфу, а через некоторое время вернуться к еще не решенным упражнениям, рассматривая их как своего рода задачник.
Для удобства читателей мы приводим программу вступительных экзаменов по математике (1975 г.). Отметим, что эта программа содержит подробный список основных понятий школьного курса математики, которыми поступающие должны активно владеть. Далее, в прбграмме детально перечислены все те утверждения, которые поступающие должны уметь четко формулировать и строго доказывать. Следует также обратить внимание на приведенный в программа перечень основных навыков, которыми должен владеть каждый поступающий.
В книге помешены материалы, дающие представление о порядке проведения, характере и содержании вступительных экзаменов по математике, Мы собрали и по возможности систематизировали опыт приемных экзаменов в Московский университет примерно за десять последних лет, привели варианты письменных экзаменов и билеты устных экзаменов, предлагавшиеся поступающим в МГУ.
Однако книга может использоваться не только поступающими в МГУ, но и теми, кто собирается держать вступительные экзамены в любой институт, академию или университет. Дело в том, что рассматриваемые ниже вопросы носят общий характер, преследуют цель повысить математическую культуру читателя в строгих рамках стандартного школьного курса, научить его свободно владеть логикой математических рассуждений. И то, на примере каких задач это делается, уже не имеет существенного значения. Кроме того, разнообразие профилей и специальностей Московского университета столь велико, что практически для каждого высшего учебного заведения найдется специальность МГУ, где к поступающим предъявляются примерно аналогичные требования.
По степени сложности экзаменационных задач, по уровню требований к поступающим все факультеты (и вузы) можно условно разбить на две группы. В первую группу входят факультеты и вузы, где математика является одним из основных предметов и изучается по расширенной программе, а во вторую - все остальные.
Это, конечно, не значит, что, например, от будущих физиков требуются какие-то дополнительные знания, Еыходящие за пределы программы вступительных экзаменов. Но они должны продемонстрировать умение решать более трудные задачи, активно владеть материалом школьного курса, показать навыки самостоятельного логического мышления.
Поступающим в вузы первой группы рекомендуется внимательно разобрать и тщательно продумать весь содержащийся в книге материал. Поступающие же в вузы второй группы в процессе работы над книгой должны сами выбрать задачи, которые для них посильны, стараясь, однако, решать и более сложные задачи, с тем чтобы создать некоторый «запас прочности».
Читатель сам легко составит себе представление об уровне требований, предъявляемых к поступающим на различные специальности, поскольку перед всеми задачами, заимствованными из вариантов письменных экзаменов, указан источник. При этом приняты следующие сокращенные обозначения факультетов МГУ: Мехмат механико-математический, ВМК - вычислительной математики и кибернетики, Физфак - физический, Геофак - геологический, Химфак - химический, Биофак - биологический, Филфак - филологический. Например, указание (Физфак, 1975) означает, что данная задача предлагалась поступающим на физический факультет МГУ в 1975 г. Кроме того, использовались задачи, предлагавшиеся на географическом и экономическом факультетах и на факультетах почвоведения и психологии.
Книга может служить пособием для подготовительных отделений вузов. Учащиеся этих отделений, уже прошедшие в свое время школьный курс математики, в процессе его повторения должны не просто «освежить» свои знания, но углубить и активизировать их, развить навыки решения задач. По нашему мнению, излагаемый ниже материал вполне подходит для этой цели. Наличие в книге примеров и задач разной трудности позволит преподавателям подготовительиых отделений отобрать для разбора на занятиях и для упражнений те, которые соответствуют профилю вуза и уровню подготовленности учащихся.
Нам кажется, что учителя средних школ и студенты пединститутов также почерпнут в этой книге много полезных примеров, задач и методических замечаний, которые можно было бы использовать как непосредственно на уроках, так и при организации факультативных занятий.
Старшеклассники, желающие самостоятельно углубить свои знания по математике, также найдут в книге материал для размышлений и интересные задачи, решение которых принесет пользу и удовлетворение. Конечно, в этом случае не следует читать книгу подряд, а лучше постепенно, на протяжении всего учебного года, обращаться к тем ее параграфам (или даже их частям), в которых используется лишь уже пройденный в школе материал. Несомненно, что такое «длительное», изучение книги принесет гораздо больше пользы, чем беглое и поверхностное знакомство с ней в сравнительно короткий период подготовки к экзаменам.
Абсолютное большинство содержащихся в книге задач (как разбираемых, так и предлагаемых в качестве упражнений)-это подлинные задачи вариантов вступительных экзаменов в Московский университет. Некоторые из них уже широко известны, условия других (как и многие полные решения) публикуются впервые.
Мы считаем обязательным подчеркнуть, что не являемся авторами самих этих задач. Ежегодно на вступительных экзаменах в МГУ поступающим предлагаются оригинальные задачи, содержащие новые, подчас совершенно неожиданные обработки тем, изучаемых в школе. К сожалению, нет никакой чисто физической возможности перечислить здесь фамилии всех лиц, принимавших участие б составлении этих задач.
Почти все задачи - плод кропотливой и длительной работы большого числа членов экзаменационных комиссий, результат коллективного сочинения. Каждый, кто хоть раз сталкивался с проблемой составления задач, хорошо знает, каких трудов стоит возникновение всякой новой яркой и оригинальной задачи, не повторяющей уже хорошо известные формулировки и не решающейся «лобовым» применением формальных правил и методов.
Напомним читателю, что он держит в руках пятое издание настоящей книги. Приступая к его подготовке, авторы ставили перед собой несколько целей. Прежде всего мы хотели, не увеличивая объема книги, включить в нее новые задачи последних лет. Для этого пришлось отказаться от более старых, (и соответственно более известных) задач, а также от некоторых задач, не несущих особо важной для идей книги смысловой нагрузки. Перечислить абсолютно все ошибки и затруднения поступающих практически невозможно, да в этом едва ли и есть смысл. Поэтому мы более тщательно подошли к отбору задач, стремясь выделить узловые вопросы и предостеречь читателя от наиболее распространенных типичных ошибок. Мы отказались и от подробного изложения некоторых тем, ограничиваясь только существенными, с нашей точки зрения, замечаниями или обращая внимание на то, что по разным причинам осталось за рамками учебников, но необходимо для правильного и глубокого понимания излагаемого там материала. Все это не могло не привести к значительным переработкам, коснувшимся как самой структуры книги, так и содержания каждого параграфа.
Существенную пользу при подготовке нового издания нам оказали многочисленные письма читателей - учителей, школьников, любителей математики. Считаем своим приятным долгом искренне поблагодарить всех этих добровольных корреспондентов, нашедших время и возможность высказать нам свои критические замечания, соображения и конструктивные советы.
В заключение хотелось бы выразить глубокую благодарность сотрудникам механико-математического факультета МГУ, которые помогали нам своими предложениями и дружеской критикой в процессе работы над книгой и тем самым способствовали ее улучшению.
Авторы
