Предельный цикл. Предельные циклы Шум округления в рекурсивных структурах. Случай фиксированной запятой

После рассмотрения состояний равновесия перейдем к периодическим движениям, которые, как мы знаем, могут встречаться в системах, описываемых уравнениями

Если наименьшее число, для которого при всяком

то движение называется периодическим движением с периодом Как мы знаем, периодическому движению соответствует замкнутая фазовая траектория на фазовой плоскости х, у, и обратно: всякой замкнутой траектории соответствует бесчисленное множество периодических движений, отличающихся друг от друга выбором начала отсчета времени. Замкнутые фазовые траектории мы уже встречали при рассмотрении консервативных систем, где они всегда образовывали целые континуумы траекторий, вложенных одна в другую (например, траектории вокруг особой точки типа центра). В рассмотренных нами примерах автоколебательных систем (генератор с -характеристикой, часы; см. гл. III, §§ 3-5) периодическому движению на фазовой плоскости соответствовала изолированная замкнутая кривая, к которой с внешней и внутренней сторон приближались (при возрастании соседние траектории по спиралям. Такие изолированные замкнутые траектории носят название предельных циклов. Простые примеры позволяют убедиться, что и системы вида (5.1) с аналитическими правыми частями, вообще говоря, допускают в качестве траекторий предельные циклы.

Мы будем называть предельный цикл устойчивым, если существует такая область на фазовой плоскости, содержащая этот предельный цикл, - окрестность что все фазовые траектории, начинающиеся в окрестности асимптотически при приближаются к предельному циклу.

Если же, наоборот, в любэй сколь угодно малой окрестности предельного цикла существует хотя бы одна фазовая траектория, не приближающаяся к предельному циклу при то такой предельный цикл будем называть неустойчивым. Для иллюстрации сказанного на рис. 240 изображен устойчивый предельный цикл, а на рис. 241 и 242 - неустойчивые предельные циклы. Заметим, что неустойчивые циклы, подобные изображенному на рис. 242, такие, что все траектории с одной стороны (например, извне) приближаются к ним, а с другой стороны (например, изнутри) удаляются от них при иногда называют «полуустойчи-выми» или двойными (последнее название обусловлено тем, что обычно такие циклы при подходящем изменении параметра системы расщепляются на два, один из которых устойчив, а другой неустойчив).

Наряду с устойчивостью предельного цикла как траектории, определение которой было только что дано (ее часто называют орбитной устойчивостью), можно говорить об устойчивости в смысле

Ляпунова периодического движения, соответствующего предельному циклу. Именно, периодическое движение периодом так что называется устойчивым в смысле Ляпунова, если для каждого заданного положительного можно подыскать такое положительное 8, что для любого другого движения удовлетворяющего условиям

выполняются неравенства:

при любых Ниже мы будем пользоваться главным образом понятием орбитной устойчивости предельного цикла.

Устойчивость предельного цикла (равно как и устойчивость в смысле Ляпунова соответствующих периодических движений) определяется знаком его «характеристического показателям

где любое периодическое решение, соответствующее рассматриваемому предельному циклу, и период решения. Именно, предельный цикл устойчив при и неустойчив при (значению соответствуют как устойчивые, так и неустойчивые предельные циклы).

Для исследования устойчивости периодического движения в смысле Ляпунова можно, как показал Ляпунов, идти по пути линеаризации уравнений, подобно тому, как мы это делали при исследовании устойчивости состояний равновесия. Если положить подставить эти выражения в уравнения (5.1), разложить правые части этих уравнений - функции в ряды по степеням и отбросить нелинейные члены, то мы получим линейные уравнения («уравнения первого приближения») для координат «возмущения» и :

Это - система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами периода (ибо суть функции от периодических функций времени с периодом Общий вид ее решения таков:

где - некоторые периодические функции (с периодом От показателей которые носят название «характеристических показателей», зависит характер решений для и именно, знаки их действительных частей определяют, являются ли эти решения нарастающими или затухающими.

В рассматриваемой задаче (в силу автономности исходной системы уравнений (5.1)) один из характеристических показателей равен нулю, а другой равен Знак этого показателя определяет, устойчиво ли движение , именно: периодическое движение устойчиво в смысле Ляпунова (правда, не абсолютно, так как возмущения по фазе не затухают), если и неустойчиво, если если же то уравнения первого приближения не решают вопроса об устойчивости периодического движения.

Прежде чем переходить к доказательству сформулированного условия устойчивости предельного цикла, мы остановимся, забегая по некоторым пунктам немного вперед, на принципиальном вопросе о физической интерпретации изолированных замкнутых траекторий - предельных циклов.

Если мы потребуем, чтобы в реальных физических системах качественный характер возможных движений сохранялся при произвольных малых изменениях самих систем (на языке математики - при произвольных малых изменениях правых частей системы (5.1)), то, как это мы увидим в дальнейшем, мы этим запретим существование неизолированных замкнутых кривых. В системах, удовлетворяющих этому требованию устойчивости качественного характера движений при малых изменениях динамической системы, - в так называемых «грубых» системах, - могут быть только изолированные замкнутые траектории (только предельные циклы) и притом обязательно с характеристическим показателем, отличным от нуля (поэтому орбитная устойчивость предельного цикла влечет за собой устойчивость по Ляпунову всех соответствующих ему периодических движений).

С физической точки зрения представляет интерес следующее замечание, которое можно сделать относительно движений, отображаемых устойчивым предельным циклом. Именно, можно сказать, что для таких движений период и «амплитуда» не зависят от начальных условий в том смысле, что все соседние движения (соответствующие целой области начальных значений - так называемой области устойчивости в большом) асимптотически приближаются к периодическому движению по предельному циклу, которое имеет определенный период и определенную «амплитуду».

Вышеприведенные свойства периодических движений, отображаемых предельными циклами с отрицательными характеристическими показателями: а) устойчивость по отношению к малым изменениям самой системы; б) независимость (в указанном смысле) периода и «амплитуды» от начальных условий - составляют характерную черту реальных автоколебательных процессов.

Конкретное исследование уравнений вида (5.1), с которыми пришлось иметь дело в различных случаях автоколебаний, также показало на ряде примеров, что если уравнения (5.1) с достаточной точностью отображают законы движения реальной автоколебательной

системы, то они обязательно имеют предельные циклы с отрицательным характеристическим показателем, и что стационарные периодичёские процессы действительно отображаются этими предельными циклами.

Отсюда мы делаем такой вывод: реальные автоколебательные процессы, устанавливающиеся в системах, достаточно точно отображаемых уравнениями (5.1), математически соответствуют предельным циклам с отрицательным характеристическим показателем. Наличие таких предельных циклов в фазовом портрете рассматриваемой динамической системы является необходимым и достаточным условием для возможности (при надлежащих начальных условиях) существования автоколебаний в системе, т. е. для того, чтобы, система была автоколебательной .

Неустойчивый предельный цикл, имеющий положительный характеристический показатель, само собой разумеется, также может содержаться в фазовом портрете «грубых» систем. Однако такой предельный цикл не соответствует реальному периодическому процессу; он играет лишь роль «водораздела», по обе стороны от которого траектории имеют различное поведение. Ясно, что это обстоятельство также имеет существенный физический интерес. Например, наличие неустойчивого цикла дает объяснение так называемого «жесткого» режима, при котором малые начальные отклонения в системе затухают, а большие, наоборот, нарастают.

Которой нет других периодических траекторий. Эквивалентным является утверждение, что всякая достаточно близкая к предельному циклу траектория стремится к нему либо в прямом, либо в обратном времени.

Катастрофа голубого неба

Однако, на бутылке Клейна или при рассмотрении комплексифицированных предельных циклов, возможна и более сложная бифуркация - так называемая катастрофа голубого неба . А именно, при стремлении параметра к критическому значению длина (одного!) предельного цикла начинает нарастать, стремясь к бесконечности, и поэтому он не продолжается на сам момент бифуркации.

Физический пример: осциллятор Ван дер Поля

Van der Pol oscillator в Scholarpedia.

16-я проблема Гильберта

Вторая часть 16-й проблемы Гильберта касается возможного количества и расположения предельных циклов векторных полей на плоскости. В отличие от первой - алгебраической - части, требующей описать расположение овалов алгебраической кривой заданной степени, даже для квадратичных векторных полей неизвестно существование равномерной оценки сверху на число предельных циклов.

См. также

Гипотеза Аносова

Литература

А. Б. Каток, Б. Хасселблат Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. - М .: МЦНМО, 2005. - 464 с. - ISBN 5-94057-063-1
Ю. С. Ильяшенко, Динамические системы и философия общности положения, М.:МЦНМО, 2007, ISBN 978-5-94057-353-1
Yu. Ilyashenko, Centennial history of Hilbert 16th problem, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 301-354

Wikimedia Foundation . 2010 .

Предельные монокарбоновые кислоты
Предзародышевое развитие

Смотреть что такое "Предельный цикл" в других словарях:

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ - замкнутая изолированная траектория в фазовом пространстве динамич. системы, изображающая периодич. движение. В окрестности П. ц. фазовые траектории либо удаляются от него (неустойчивый П. ц.), либо неограниченно приближаются к нему «наматываются» … Физическая энциклопедия

предельный цикл - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN limit cyclelimiting cycle … Справочник технического переводчика

Предельный цикл - системы дифференциальный уравнений 2 го порядка замкнутая траектория в фазовом пространстве xOy, обладающая тем свойством, что все траектории, начинающиеся в достаточно узкой кольцеобразной ее окрестности, неограниченно… … Большая советская энциклопедия

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ - замкнутая траектория в фазовом пространстве автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, к рая является a или w предельным множеством (см. Предельное множество траектории) хотя бы для одной другой траектории этой системы. П. ц. наз … Математическая энциклопедия

предельный цикл - ribinis ciklas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. limit cycle vok. Grenzschwingung, f; Grenzzyklus, m rus. предельный цикл, m pranc. cycle limite, m … Automatikos terminų žodynas

Экономический словарь

предельная петля гистерезиса - предельный цикл гистерезиса; предельная петля гистерезиса Наибольший по площади цикл гистерезиса магнитного материала … Политехнический терминологический толковый словарь

Мы рассмотрели два типа особых траекторий: особые точки и сепаратрисы. Очень важным видом особой траектории является «предельный цикл». В линейной системе второго порядка описываемой дифференциальным уравнением (1), при имеем замкнутую фазовую траекторию (эллипс), которую мы не можем отнести к предельным циклам, т.к. в этом случае имеем в системе не автоколебания, а границу устойчивости линейной системы. Во всех остальных случаях изолированные, замкнутые фазовые траектории принято называть предельными циклами.

Предельный цикл соответствует устойчивому периодическому режиму – автоколебаниям, если все фазовые траектории «наматываются» на предельный цикл (устойчивый предельный цикл) (Рис. 18).

Если же все фазовые траектории «сматываются» с предельного цикла, как изнутри, так и снаружи, такой предельный цикл неустойчив и соответствует неустойчивым автоколебаниям. (Рис. 19).

Если же соседние траектории «навёртываются» на предельный цикл с одной стороны и «свёртываются» с другой, такой предельный цикл называется полуустойчивым. (Рис. 20).

Итак, при исследовании НСАР особыми траекториями являются «особые точки» (положение равновесия) и предельные циклы (устойчивые периодические колебания). Они и составляют схему фазового портрета.

Метод точечного преобразования

Метод точечных преобразований предложен академиком Андроновым и является дополнением к методу фазовой плоскости. Он служит для анализа возможных режимов в НСАР и их количественной оценки. Пусть изображающая точка в какой-то момент времени находится на верхней полуоси ординат (·Y 1). При движении изображающей точки по фазовой траектории она обходит начало координат и снова возвращается на полуось (·Y 2). (Рис. 21)

При этом «Y 2 » может быть больше, меньше или равно «Y 1 ». Операция нахождения точкиY 2 по заданной точкеY 1 называетсяточечным преобразованием .

Аналитическое взаимно однозначное и непрерывное соответствие точек Y 2 с точкамиY 1 на одной и той же полупрямой (т.е. точечное преобразование) устанавливается с помощью так называемойфункции последования , которая может быть получена из уравнения фазовой траектории

(14)

С помощью этой зависимости можно осуществить точечное преобразование всех точек положительной полуоси ординат, или, другими словами, точечное преобразование положительной полуоси Y, в саму себя.

Графическое изображение
называетсядиаграммой точечного преобразования . По этой диаграмме мы и можем исследовать всевозможные режимы в НСАР, не строя фазового портрета. Точечное преобразование можно осуществлять необязательно для положительной полуоси. В принципе это можно делать для полуосиXи других прямых. Предположим, что имеется диаграмма точечного преобразования. (Рис. 22)

Характер процессов, происходящих в НСАР определяется взаимным расположением диаграммы точечного преобразования [
] и биссектрисы координатного угла, уравнение которойY 2 =Y 1 . Это означает, что после обхода вокруг начала (·)Y 1 возвращается на своё место и, следовательно, в системе имеют место незатухающие колебания (предельный цикл).

Область ниже биссектрисы ОА означает, что после обхода начала координат Y 1

Область выше биссектрисы ОА соответствует Y 2 >Y 1 , и, следовательно, в этой области фазовые траектории представляют раскручивающуюся спираль (расходящиеся колебания).

Рассмотрим характер процессов в САР при любых начальных условиях:

Точечное преобразование точки- точка 1 (Рис. 22). К точке 1 применим ещё раз точечное преобразование, для чего найдём на оси абсцисс значение
. Для этого проведём через точку 1 прямую, параллельную оси абсцисс до пересечения с биссектрисой (точка 2). Точечное преобразование точки 2 – точка 3. Повторяя эти преобразования получаем ступенчатую линию, приводящую нас в точку равновесия А 2 . Точки касания ступенчатой линией биссектрисы ОА определяют последовательность точек пересечения фазовой траекторией полуосиY.

При начальных условиях Y 0 =Y 11 (справа от точки А 2) точечные преобразования опять приводят нас к точке А 2 , следовательно точка А 2 является точкой устойчивого равновесия и соответствует устойчивому предельному циклу.

Аналогичные рассуждения в окрестностях точки А 1 показывают, что точка А 1 является точкой неустойчивого равновесия (неустойчивый предельный цикл).

Итак, устойчивым предельным циклам соответствуют такие точки пересечения диаграммы точечного преобразования с биссектрисой Y 2 =Y 1 , в которых диаграмма точечного преобразования имеет меньший наклон к оси абсцисс, чем биссектриса.

Аналитически это записывается так:
, т.к.биссектрисы = 1. При
имеем неустойчивый предельный цикл. Другими словами, устойчивый предельный цикл получается, если диаграмма точечного преобразования пересекает биссектрисуY 2 =Y 1 сверху вниз, а неустойчивый – если снизу вверх. Таким образом, кривая точечного преобразования позволяет проанализировать возможные режимы поведения НСАР, а именно:

система устойчива в малом, т.к. при Y 1

в системе возможен один предельный устойчивый цикл (точка А 2).

Зная координаты точки А 2 , можно рассчитать частоту и амплитуду автоколебаний. При изменении параметров НСАР диаграмма точечного преобразования перемещается относительно биссектрисы угла. При этом поведение НСАР может качественно меняться (Рис. 23).

Кривая 1, как мы видели ранее, соответствует устойчивости в малом и двум предельным циклам: устойчивому (А 2) и неустойчивому (А 1). Кривая 3 соответствует устойчивости в целом (ни одного предельного цикла). Кривая 2 касается биссектрисы и соответствует полуустойчивому предельному циклу. При изменении параметров НСАР мы переходим от кривой 2 к кривой 1 или 3, т.е. кривая 2 является границей между совершенно разными режимами работы НСАР. Значения параметров НСАР, при которых имеет место полуустойчивый предельный цикл, называютсябифуркационными . (Бифуркация (лат.) – разделение, разветвление).